unidad v relaciones

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE LA REGIN SIERRA

DOCENTELIC. ISIDRO HERNNDEZ CASTELLANOS

MATERIAMATEMTICAS DISCRETAS

TEMAUNIDAD N 5: RELACIONES

ALUMNOMARIA ASUNCION SANCHEZ HERNANDEZ

MATRICULA13E30401

SEMESTRE / CARRERA / PERIODO ESCOLAR.1ER ING. INFORMTICA AGO-ENE 13

3 DE DICIEMBRE DEL 2013

NDICE

Introduccin------------------------------------------------------------------------------------------2

Objetivo-----------------------------------------------------------------------------------------------3

Relaciones -----------------------------------------------------------------------------------------4

5.1 Conceptos bsicos.------------------------------------------------------------------4

5.1.1 Producto cartesiano------------------------------------------------------5

5.1.2 Relacin binaria

5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas) ------------------------------------------------------------6

5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Anti simtrica, Transitiva).------------------------------------------------7

5.3 Relaciones de equivalencia (Cerraduras, Clases de equivalencia, Particiones)

5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva).

5.5 Aplicaciones de las relaciones y las funciones en la computacin.

Anexo------------------------------------------------------------------------------------------------8

Conclusin------------------------------------------------------------------------------------------9

Fuente bibliogrfica------------------------------------------------------------------------------10

INTRODUCCIN

En esta introduccin de la unidad V de tema llamado relaciones. Una relacin es una correspondencia. Las relacione se pueden hacer en computadoras, se utilizan en base de datos, estructuras de datos, redes, autmatas y lenguajes. Es parte de la vida diaria porque con ella se pueden guardar datos personales de un trabajador: nmero de control, registro federal de causantes, puesto ocupado etcPero la forma de tratar las relaciones, independientemente del rea del conocimiento, es muy semejante por lo que la informacin tratada en estos subtema de la unidad V de relaciones iremos conociendo como es que se hace una buena relacin y de gran utilidad.Las funciones son prcticamente clases especiales de relacin y se utilizan en todas las reas de las matemticas, en particular en clculo diferencial, geometra analtica, trigonometra y algebra y son las reas donde se utiliza las relaciones.

Objetivos

Comprender el concepto de relacin y su diferencia con una funcin. Aprender a representar las funciones y relaciones de diferentes maneras. Aprender a realizar operaciones con relaciones. Saber cules son las caractersticas de las relaciones de equivalencia y la manera en que una relacin puede adquirirlas. Aplicar los conceptos de relacin y funcin en la computacin.

5.1 RELACIONES

La definicin de relacin es la siguiente: Dados dos conjuntos no vacos A y B, una relacin R es un conjunto de pares ordenados en donde el primer elemento a esta relacionado con el segundo elemento b por medio de cierta propiedad o caractersticas. La relacin se indica como aRb:

R= {(a, b) a A y b B}

5.1.1 CONCEPTOS BSICOS.

Una relacin es una tabla que muestra la correspondencia de unos elementos con respecto a otros; por ejemplo la relacin entre maestro y las materias que imparte cada uno, cumple con las caractersticas de relacin por lo que se puede representar de la siguiente manera:

MAESTROMATERIA

JorgeSistemas digitales

Domingo Lenguajes algortmicos

Ignacio Estructuras de datos

Raymundo Programacin II

Manuel Sistemas operativos

Ezequiel Sistemas digitales

En este caso se tiene que:A= {x x es un maestro}

B= {y y es una materia de la carrera de ingeniera en sistemas computacionales.

R= {(Jorge Sistemas digitales), (Domingo Lenguajes algortmico), (Ignacio Estructuras de datos), (Raymundo Programacin II), (Manuel Sistemas operativos), (Ezequiel Sistemas digitales)} Se entiende que el conjunto A est integrado por todos los maestros, aunque no aparezcan en la relacin, y que el conjunto B tambin tiene ms materias que las que se consideran en la tabla anterior.

5.1.1 PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de los conjuntos A y B, que se denota como A x B, es la combinacin de todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B. en teora de conjuntos equivale al conjunto universo.

Ejemplo1.2: sean los conjuntos A= {1, 2, 3} y B= {a, b) El producto cartesiano A x B contiene todos los pares ordenados que resultan de relacionar todos los elementos del conjunto A con todos los elementos del conjunto B, como se muestra en la siguiente figura.

La figura del ejemplo 1.2: muestra otra forma de representar una relacin: un diagrama de flechas en el que se muestra claramente los elementos que pertenece a cada conjunto as como la relacin entre ellos. Tambin es fcil que A x B B x A.

5.1.2 RELACIN BINARIANo siempre los elementos de la relacin son pares ordenados, ya que pueden tener ms de dos elementos como en el siguiente caso:R= {(a, 1, ), (a, 2, ), (b, 1, ), c, 3, ), (c, 2, )Una de las relaciones ms importantes es la relacin binaria ya que se puede representar por medio de una matriz, tabla o grfica. Adems de ser ms fcil de manejar, se le llama relacin binaria porque sus elementos son pares ordenados que se forman a partir de dos conjuntos.

Ejemplo 1.1.2: sean los conjuntosA= {2, 4, 5, 6, 7, 11} y B= {b b Z; 1 b 10}Considrese que aRb si y solo si y b es divisible entre a. Por lo tanto los elementos de la relacin son:R = {(2,2), (2,4), (2,5), (2,6), (2,8), (2,10), (4, 4), (2,8), (5, 5), (5, 10), (6, 6), (7, 7)}Dom (R) = {2, 4, 5, 6, 7}Cd (R) = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

5.1.3 REPRESENTACIN DE RELACIONES (MATRICES, CONJUNTOS, GRAFOS, DIAGRAMA DE FLECHAS)

MATRIZ: si A y B son dos conjuntos finitos con m y n elementos, respectivamente, y R es una relacin de A en B, entonces es posible representar a R como una matriz M = [mij] cuyos elementos se definen como: 1 si (a, b) R

Mij =

0 si (a, b)

CONJUNTO: sean los conjuntos.A= {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Y sea la relacin R: A B tal que

R = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 5), (3, 2), (3, 7), (4, 2), (4, 5), (5, 6)}

Esta relacin se puede representar en forma de matriz como sigue:

Los elementos del conjunto A se representa como filas y los del conjunto B como columnas. Se coloca un 1 si el par ordenado se encuentra en la relacin y un 0 en caso contrario.

GRAFOS: es posible representar una relacin por medio de una grfica integradas por nodos y flechas, y a este tipo de grafica se le conoce como grafo dirigido de R. Como hacer un grafo: solo se tiene que colocar los elementos del conjunto A y B como nodos, y la relacin que existe entre los elementos se indica por medio de una flecha que va del elemento de conjunto A al elemento del conjunto B con el que esta relacionado.

DIAGRAMA DE FLECHA:

Ejemplo: sean los conjuntos A= {a, b, c} y B= {x, y} Y sea la relacin R: A B tal que. R= {(a, x), (a, y), (b, y), (c, x)}

5.2 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES (REFLEXIVA, IRREFLEXIVA, SIMTRICA, ASIMTRICA, ANTI SIMTRICA, TRANSITIVA).

PROPIEDADCONDICION

Reflexiva aRa; aA. esto es: todos los elementos de A estn relacionados consigo mismo.

Irreflexiva (a,a) R aA. esto es: ningn elemento de A esta relacionado con el mismo.

SimtricaCuando (a, b) R entonces (b, a) R, o bien cuando (a, b) R entonces (b, a) R. Esto es: los elementos simtricos e la relacin son iguales.

Asimtrica Cuando (a, b) R entonces (b, a) R, adems si a=b entonces (a, a) R. esto es: ningn caso los dos pares simtricos estn en la relacin.

Anti simtrica(a, b) R o bien (a, a) R. esto es: cuando a b en ningn caso de los dos pares simtricos estn en la relacin.

TransitivaSi (a, b) R y (b, c) R., entonces (a, c) R. esto es: cuando Ar c bRc entonces aRc.

5.3 RELACIONES DE EQUIVALENCIA (CERRADURAS, CLASES DE EQUIVALENCIA, PARTICIONES)

Relacin de equivalencia: es aquella que es reflexiva, simtrica y transitiva. Si la relacin es la comunicacin en unas computadoras, dichas red debe ser una relacin de equivalencia, porque toda computadora se puede comunicar con ella misma (reflexiva), si la computadora x se puede comunicar W se puede comunicar con la computadora W se puede comunicar con la Z entonces la computadora x se puede comunicar con la computadora x se puede comunicar con la computadora Z (transitiva).

Clases de equivalencia [a]: son conjuntos que contienen a todos los elementos b B que estn relacionados con a A.

[ a ] = {b b B, aRb} Particin (): es un conjunto de clases de equivalencias con las siguientes propiedades:

a) .debern estar contenidos todos los elementos del conjunto A.b) La interseccin de las clases de equivalencia debe ser vaca.= {[a] aA; la interseccin entre clases de equivalencia es vaca}

Cerradura: Cerradura: no todas las relaciones son de es posible hacer que tengan esta propiedad est agregando los pares ordenados necesarios mnimos para que sean reflexiva, simtricas y transitivas usando para ello las cerraduras. Los diferentes tipos de cerraduras que hay son los siguientes:

Cerradura reflexiva: en este caso se agrega a la relacin R la relacion identidad para obtener una relacin que sea reflexiva (RUI).

Cerradura simtrica: a la relacin R se le agrega la relacin inversa R para que la relacin resultante tenga la propiedad de simetra.

Cerradura transitiva: a la relacin R se le agrega la matriz que resulta de multiplicar la relacin.

5.4 FUNCIONES (INYECTIVA, SUPRAYECTIVA, BIYECTIVA).

Funcin: una funcin f es una relacin que asigna a cada elemento x de un conjunto A un nico elemento b de un conjunto B. sean A y B conjuntos no vacos. Una funcin f de A en B se escribe como:F: AB Se puede decir que todas las funciones

Funcin inyectiva (o uno a una):Una funcin f: A se llama inyectiva, si a cada elemento distinto del conjunto A corresponde un elemento distinto del conjunto B. Funcin suprayectiva (o sobre):Una funcin f: A se llama suprayectiva, si el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de la funcin es igual al conjunto B.

Funcin biyectiva (o correspondencia uno a uno):Cuando una funcin f es inyectiva y suprayectiva a la vez, se dice que biyectiva.

5.5 APLICACIONES DE LAS RELACIONES Y LAS FUNCIONES EN LA COMPUTACIN.Las aplicaciones se pueden aplicar en bases de datos si un archivo se considera como una relacin (o en otro contexto, una base de datos).Tambin se aplica en estructuras de datos ya que una relacin es una lista enlazada, una pila y tambin un rbol.Otra aplicacin en teoras de grafos partiendo de que una relacin tambin es un grafo. Un punto importante se puede utilizar el computacin como programacin tambin se aplican ya que una funcin es una relacin con ciertas caractersticas.

ANEXO

CONCLUSIN

Se lleg a la conclusin de que la unidad V llamada relaciones se hiso con el fin de destacar los principios matemticos usados en la creacin de herramientas computacionales. Sabiendo de antemano que las relaciones y las funciones son esenciales en base de datos, estructuras de datos y programacin.Se dice que las matemticas han sido una de las disciplinas que as le cuesta entender al alumno es por eso que las relaciones llegan a nosotros para entender ms de las matemticas. Y que tengan la facilidad de aprender los conocimientos matemticos bsicos Actualmente la computacin es fundamental en todas las actividades que se desarrollan diariamente.

BIBLIOGRAFA

Libro citado:

Matemticas para la computacin Jos A. Jimnez murillo

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