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Trabajo, Energía, Potencial y Campo Eléctrico
Prof. Dr. Victor H. Rios
2010
Cátedra de Física Experimental II
Fisica III -10
Física III
- El concepto físico de trabajo.- Energía potencial eléctrica.- Energía para la formación de un sistema de cargas puntuales discretas.- Aplicaciones a cristales iónicos- Energía en el caso de sistemas continuos.- Potencial y campo electrostático de una carga puntual. - Aplicaciones y Problemas.- Campos conservativos, condición electrostática.- Trabajo realizado por el campo eléctrico.-Ecuaciones de las líneas de fuerza y equipotenciales para una carga puntual - Campo y potencial eléctrico de dos cargas, Campo de una línea de cargas.- Campo producido por un hilo rectilíneo cargado.- Apéndice- Dipolo eléctrico.- Cristal iónico. - Campos y potenciales de distribuciones continuas.
Contenidos
Fisica III -10
Fisica III - 10
Trabajo de una fuerza
Consideremos el esquema de la Fig.1
Fig.1 Esquema para el cálculo del trabajo de una fuerza
El trabajo realizado por la fuerza para llevar la carga “q” desde el punto inicial P0 al punto final P, está definido por:
F
F
x
y
z
ds
ds F
P0 P
∫=P
PsdFW
0.
Si la fuerza es expresada por sus componentes, es decir ),,( zyx FFFF ≡
el trabajo será:
)(0
dzFdyFdxFW zyx
P
P++= ∫
Fisica III -10
Energía potencial eléctrica
La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demos-trar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.
El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denomina-mos energía potencial.
El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector despla-zamiento dl, tangente a la trayectoria.
dW = F * dl = F dl cosθ = F * dr
donde dr es el desplazamiento infi-nitesimal de la partícula cargada q en la dirección radial.
Fig.2 Esquema de la trayectoria
pBpA
B
A
EEldF −=∫
.
Fisica III -10
Para calcular el trabajo total, integramos entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas.
El trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B.
La fuerza de atracción F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa.
La energía potencial es :
El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r = ∞, E p =0
⇒
Fig.2 Esquema de la trayectoria
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Energía potencial de una distribución de cargas
Vamos a calcular ahora la energía necesaria para formar la distribución uniforme de cargas positivas.
O bien, la energía que se liberaría cuando la distribución uniforme de carga positiva explotase de modo que cada parte de ella estuviese a una distancia infinita una de la otra.
Determinaremos la expresión de la energía de un sistema de tres cargas, y la ge-neralizamos para una distribución continua de carga.
Consideremos un sistema de tres cargas puntuales fijas q1, q2 y q3, tal como se indica en la fig.3
La energía de este sistema U vale :
Fig. 3
q1
q2q3 q2
q1 q1
q3 q2 q3
Fisica III -10
Llamando V1 al potencial producido por las cargas q2 y q3 en la posición que ocupa q1. La energía de la carga q1 en el campo producido por las otras dos es:
Análogamente, llamando V2 al potencial producido por las cargas q1 y q3 en la posición que ocupa q2. La energía de la carga q2 en el campo producido por las otras dos es:
Del mismo modo, llamando V3 al potencial producido por las cargas q1 y q2 en la posición que ocupa q3. La energía de la carga q3 en el campo producido por las otras dos es:
q2 q3
q1
q3
q2
q1
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Sumando estas tres contribuciones obtenemos el doble de la energía del sistema de partí-culas:
Un problema clásico en el estudio de cristales iónicos es el cálculo de la energía electrostática de una red de cargas puntuales.
Aplicación a cristales
En general no es muy sencillo desde el punto de vista de computación, debido carácter infinito de las interaccio-nes coulombianas y al tamaño finito de los cristales estu-diados .
Fig. 4
Distribuciones continuas de carga ( Lineal )
d l´
X
Y
Z
r´
d q´
Fig. 5
´´
´´´)( 0´ dl
dqlqlímr l =
∆∆= →∆λ
Densidad de carga lineal
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Distribución continua de cargas (superficial y volumétrica)
Densidad superficial de carga Densidad volumétrica de carga
Habiamos visto el caso lineal, ahora para las distribuciones:
Z
r'
v
X Y
dq' ρ(r')
dv'
r'
S Z
X Y
σ(r') dq'
da'
´´
´´´)( 0´ da
dqaqlímr a =
∆∆= →∆σ
´´
´´´)( 0´ dV
dqVqlímr V =
∆∆= →∆ρ
Fisica III -10
Fig.6
Generalización de la expresión de la energía para el caso continuo
∑=
=N
iii VqU
121 ∑
=
=N
j ij
ji r
qkV
1∑ ∑
= =
≠=N
i
N
j ij
ji jirqqkU
1 1;
2
Z
r'
v
X Y
dq' ρ(r')
dτ'
Consideremos el caso de la distribución Volumétrica, la energía será:
∫∑ ⇒=´
´)(´)(´21)(
21
τρτδ rVrdrVqU
iii
⇒
Fig. 7
donde
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Fisica III -10
Campo y potencial eléctrico de una carga puntual
La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es:
La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.
Fig.13 Diagrama esquemático de las fuerzas en diferentes situaciones
rr
qQF ˆ4
12
0επ=
Fisica III -09
Concepto de campo
Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia
a) Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del punto P.
Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P.
b) Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.
Cada punto P del espacio que rodea a la carga Q tiene una nueva propiedad, que se denomina campo eléctrico E que describiremos mediante una magnitud vectorial, que se define como la fuerza sobre la unidad de carga positiva imagi-nariamente situada en el punto P.
La unidad de medida del campo en el S.I. de uni-dades es el N/C
Fig. 14 Campo E
rrQE ˆ
41
20επ
=
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Concepto de potencial
Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q.
Definimos potencial V como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginaria-mente situada en P, V = Ep / q.
El potencial es una magnitud escalar ⇒
La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V)
rQV
041
επ=
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Relaciones entre fuerzas y campos
Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es :
F = q E
cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mis-mo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o negativa.
Relaciones entre campo y diferencia de potencial
La relación entre campo eléctrico y el potencial es :
En la fig. 12, vemos la interpretación geométrica.
La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B
Fig. 15 Campo eléctrico
Fig. 16 Interpretación de E y V
∫ −=B
ABA VVldE
.
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El campo eléctrostático ¨E¨ es conservativo, lo que quiere decir que la integral del “E” a lo largo de un camino cerrado es:
Dado el potencial ¨V¨ podemos calcular el vector campo eléctrico ¨E¨, mediante el operador gradiente. Cuando se cumple esta condición podemos escribir:
CAMPOS CONSERVATIVOS – CONDICION ELECTROSTATICA
0. =∫cldE
⇒
Prueba
Un campo vectorial independiente del tiempo es conservativo cuando se deriva de un campo escalar V(r) es denominado potencial de , es decir existe una función V (r) tal que:
rdErdVrdV ..)( =∇−= es un diferencial exacto.
E
E
kzVj
yVi
xVVE ˆˆˆ
∂∂−
∂∂−
∂∂−=− ∇=
Interpretación física
En particular, si UF ∇−=
representa el campo de fuerzas
El trabajo mecánico para trasladar una partícula de A a B, será:
)()(.)(
)(
)(
)(
AUBUdUrdFWBU
AU
Br
ArAB −==−= ∫∫
xy
z
)(Ar)(Br
A BF
F
Ya que UdrdF −=. U( r ) es la energía potencial de la partícula en el campo de fuerzas
El trabajo del campo será:
UAUBUWAB ∆≡−= )()(
Si el camino entre A y B es cerrado ( A= B), resulta:
0. =−= ∫ rdFWC
AA
Fisica III -10
Fisica III -10
Trabajo realizado por el campo eléctrico
El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial es VB es:
Fig. 17 Campo y potencial eléctrico
)(. BApB
B
ApA VVqEEldFW −=−== ∫
Fisica III -10
a) El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo,
Si q > 0 y VA > VB entonces W > 0
b) El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto.
c) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto.
A partir de la ecuación
d) Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el
potencial más bajo.
)(. BApB
B
ApA VVqEEldFW −=−== ∫
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LINEAS DE FUERZAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES PARA UNA CARGA PUNTUAL
El campo eléctrico de una carga puntual Q en un punto P distante r de la carga viene re-presentado por un vector de
• Módulo ⇒
El potencial del punto P debido a la carga Q es un escalar y vale
Fig. 17 Campo eléctrico de una carga puntual (positiva y negativa)
• dirección radial• sentido hacia afuera si la carga es positiva, y hacia la carga si es negativa
-+ +Q-Q
Fisica III -10
Un campo eléctrico puede representarse por líneas de fuerza, líneas que son tan-gentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos.
En la figura, se representan las* Líneas de fuerza de una carga puntual, que son líneas rectas que pasan por la carga.* Líneas equipotenciales son superficies esféricas concéntricas.
Fig. 18 Líneas de campo y superficies equipotenciales
rx
rQ
EEE xx
204
1
cos
π ε
θ
=
==
ry
rQ
senEEE yy
204
1π ε
θ
=
== x
yEE
x
y =
dxdy
EE
x
y =
dxdy
xy =
cxyxdx
ydy lnlnln +=⇒=
xcy = Ecuación de las líneas de campor
rQE ˆ
41
20επ
=
θ
x
yr
´CCQkrC
rQkV ==⇒==
Ecuación de circunferencias concéntricas !!!
Fisica III -09
Como el campo es tangente a las líneas de fuerza, la ecuación de las líneas de fuerza es
Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. Representaremos la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.
Fig. 20 Líneas de campo
La ecuación de las líneas equipoten-ciales es
Ecuación de las líneas de campo eléctrico y equipotenciales , M. Faraday (1791-1867)
Fig. 21 Líneas de campo y equipotenciales
Fig. 19
Campo y Potencial eléctrico. Sistema de cargas
• Principio de superposición de campos: El campo neto creado por un sistema de cargas es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las cargas del sistema.
∑∑ ==i i
i
iiTotal r
qkVV
Cargas discretas
∑∑ ==i
ii
i
iiTotal r
rqkEE
3 dqrrkEdETotal ∫∫ == 3
Distribución continua de carga
∫∫ ==r
dqkdVVTotal
• Suma de Potenciales : El potencial neto creado por un sistema de cargas es la suma de los potenciales creados por cada una de las cargas del sistema.
Fisica III -09
Fisica III -10
Línea de cargas
Campo producido por un conjunto de cargas iguales e igualmente espaciadas
Vamos estudiar un sistema un sistema de n cargas puntuales iguales y equidistan-tes n > 2, como paso previo a la obtención del campo producido por una distribución continua de carga.
El campo eléctrico E producido por n cargas en el punto P, es la suma vectorial de los campos producidos por cada una de las car-gas individuales en el punto P.
donde ri es el vector unitario cuya dirección es la recta que pasa por la carga ¨i¨ y el pun-to P.
El potencial en el punto P, es la suma de los potenciales producidos por cada una de las cargas individuales en el punto P.
Fig. 23 Línea de cargas
⇒
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Campo producido por un hilo rectilíneo cargado
Vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.
Fig.24 Línea cargada
El campo producido por el elemento de car-ga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es :
Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y
⇒
La otra a lo largo del eje horizontal X , y no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El campo total es la suma de las componentes verticales Y
Componente vertical
⇒
Superficies equipotenciales
ctezyxV =),,(
V0
V1V2
VN
0|||| =−=∆⋅∇−=∆⋅ ii VVrVrE
El gradiente y r||
son ortogonales
ij
ij
VVVVrVrE
>
<−−=∆⋅∇−=∆⋅ ⊥⊥ 0)(
Vectores campo eléctrico
• El potencial es constante en todos sus puntos :.
• El vector gradiente es ortogonal a S.
• El gradiente va de menores a mayores valores de V .
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Superficies equipotenciales ( ejemplos)
Campo producido por un dipolo
Campo producido por una carga puntual
Campo producido por dos placas
Superficie equipotencial
Línea de campo eléctrico
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Bibliografía
- Alonso; Finn. "Física ". Cap. 21. Addison-Wesley Iberoamericana.- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 22. McGraw-Hill. - Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 29. CECSA.- Roller; Blum. "Física". Cap. 28. Reverté.- Serway. "Física". Cap. 25. McGraw-Hill.- Tipler. "Física". Cap. 20. Reverté.
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Apéndice
Fisica III -10
Fisica III -10
Campo eléctrico de un sistema de dos cargas eléctricas
Cuando varias cargas están presentes el campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada una de las cargas. Consideremos el sistema de dos car-gas eléctricas de la fig.19
El módulo del campo eléctrico producido por cada una de las cargas es
Las componentes del campo total son
Fig. 21 Suma vectorial de los campos eléctricos
1θ 2θ
Fig. 22 Campo y potencial para dos cargas de mismo signo e iguales
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El dipolo eléctrico
El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como vere-mos en el tema dedicado a los dieléctricos.
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo va-lor, separadas una distancia d.
El potencial en el punto P distante r1 de la carga –Q y r2 de la carga +Q es
Expresamos r1 y r2 en función de r y q , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.
Fig. 01 Dipolo eléctrico
Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación em-pleando el desarrollo en serie
Fisica III -10
Para expresar de forma aproximada los cocientes r / r1 y r / r2.
Despreciando los términos de orden superior a d2 / r2
El potencial se expresa en función de r y θ
Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.
Fisica III -10
Componentes del campo eléctrico del Dipolo
Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares
Las componentes del campo eléctrico E son
Fig. 02 Componentes de E del dipolo eléctrico
La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.
Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.
Fig. 03 Campo y Potencial del Dipolo Eléctrico
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Uniones IntermolecularesUniones Intermoleculares
• Se establecen entre átomos cargados eléctricamente y que pertenecen a dos especies Se establecen entre átomos cargados eléctricamente y que pertenecen a dos especies químicas químicas distintas.distintas.• Las especies químicas son iones o moléculas. La carga eléctrica proviene de que estas Las especies químicas son iones o moléculas. La carga eléctrica proviene de que estas especies son especies son ionesiones, o átomos involucrados en un , o átomos involucrados en un dipolo permanente dipolo permanente o en uno en un dipolo inducido. dipolo inducido.
Fuerzas Moleculares de Van der WaalsFuerzas Moleculares de Van der Waals
La base de las fuerzas de van der Waals es la La base de las fuerzas de van der Waals es la existencia de dipolos eléctricos en las moléculasexistencia de dipolos eléctricos en las moléculas
+-
µ
Estos Estos dipolosdipolos pueden ser pueden ser permanentespermanentes, , fugacesfugaces o o inducidosinducidos..
• Los Los dipolos permanentesdipolos permanentes derivan de derivan de la asimetría de las cargas electrónicas.la asimetría de las cargas electrónicas.
+ δδ ++δδ ++
δδ --
H H
O
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Fuerzas Moleculares de Van der WaalsFuerzas Moleculares de Van der Waals
El El momento dipolar permanentemomento dipolar permanente se se determina por espectroscopía determina por espectroscopía (efecto Stark) o por la constante (efecto Stark) o por la constante dieléctrica.dieléctrica.
Momentos Dipolares (Momentos Dipolares (µµ))
µµ//DD
CClCCl44 00
HH22 0 0
HH220 1.85 0 1.85
HCl 1.08HCl 1.08
HI 0.42HI 0.42
D (Debye): 3.3 x 10D (Debye): 3.3 x 10-30 -30 C/mC/m(1 uec/1 A)(1 uec/1 A)
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Un disco de radio R tiene una carga Q uniformemente distribuída como la de la Fig. 04
Demuestre que el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia h de su plano, estádado por:
donde
Fig. 04
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Fin
