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Geometra

Alegora de la Geometra. La Geometra (del latn geometra, que proviene del idioma griego, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemtica que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geomtricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polgonos, poliedros, etc). Es la justificacin terica de la geometra descriptiva o del dibujo tcnico. Tambin da fundamento a instrumentos como el comps, el teodolito, el pantgrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinacin con el anlisis matemtico y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus orgenes se remontan a la solucin de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicacin prctica en fsica aplicada, mecnica, arquitectura, cartografa, astronoma, nutica, topografa, balstica, etc. Y es til en la preparacin de diseos e incluso en la elaboracin de artesanas.

HistoriaArtculo principal:Historia de la Geometra

La geometra es una de las ms antiguas ciencias. Inicialmente, constitua un cuerpo de conocimientos prcticos en relacin con las longitudes, reas y volmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, segn los textos de Herdoto, Estrabn y Diodoro Sculo. Euclides, en el siglo III a. C. configur la geometra en forma axiomtica, tratamiento que estableci una norma a seguir durante muchos siglos: la geometra euclidiana descrita en Los Elementos. El estudio de la astronoma y la cartografa, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvi como importante fuente de resolucin de problemas geomtricos durante ms de un milenio. Ren Descartes desarroll simultneamente el lgebra y la geometra, marcando una nueva etapa, donde las figuras geomtricas, tales como las curvas planas, podran ser representadas analticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometra se enriquece con el estudio de la estructura intrnseca de los entes geomtricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creacin de la topologa y la geometra diferencial.

Axiomas, definiciones y teoremasLa geometra se propone ir ms all de lo alcanzado por la intuicin. Por ello, es necesario un mtodo riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado histricamente los sistemas axiomticos. El primer sistema axiomtico lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomtico, ste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no slo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplir tambin todos los teoremas de la geometra en cuestin, y sus relaciones sern virtualmente idnticas al del modelo tradicional.

AxiomasEn geometra euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en funcin del punto, la recta y el plano. Euclides plante cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos despus cuando muchos gemetras lo cuestionaron al analizarlo originar nuevas geometras: la elptica (geometra de Riemann) o la hiperblica de NikoliLobachevski.

En geometra analtica, los axiomas se definen en funcin de ecuaciones de puntos, basndose en el anlisis matemtico y el lgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier funcin, llmese recta, circunferencia, plano, etc.

Tipos de geometraEntre los tipos de geometra ms destacables se encuentran:

Geometra euclidiana o Geometra plana o Geometra espacial Geometra no euclidiana Geometra riemanniana Geometra analtica Geometra diferencial Geometra proyectiva Geometra descriptiva Geometra de incidencia Geometra de dimensiones bajas Geometra sagrada

Distribucin geomtricaDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegacin, bsqueda En teora de probabilidad y estadstica, la distribucin geomtrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

la distribucin de probabilidad del nmero X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un xito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o la distribucin de probabilidad del nmero Y = X 1 de fallos antes del primer xito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cual de stas es la que uno llama "la" distribucin geomtrica, es una cuestin de convencin y conveniencia.

PropiedadesSi la probabilidad de xito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un xito es

parax = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer xito es

parax = 0,1, 2, 3,.... En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresin geomtrica. El valor esperado de una variable aleatoriaX distribuida geomtricamente es

y dado que Y = X-1,

En ambos casos, la varianza es

Las funciones generatrices de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su anloga continua, la distribucin exponencial, la distribucin geomtrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer xito, entonces, dado que el primer xito todava no ha ocurrido, la distribucin de probabilidad condicional del nmero de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribucin geomtrica es de hecho la nica distribucin discreta sin memoria. De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado , la distribucin geomtrica X con parmetro p = 1/ es la de mayor entropa. La distribucin geomtrica del nmero y de fallos antes del primer xito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y1,..., Yn distribuidas idnticamente la suma de las cuales tiene la misma distribucin que tiene Y. Estas no sern geomtricamente distribuidas a menos que n = 1.

Distribuciones relacionadasLa distribucin geomtrica es un caso especial de la distribucin binomial negativa con parmetro k = 1. Ms generalmente, si Y1,...,Yk son variables independientes distribuidas

geomtricamente con parmetro p, entonces binomial negativa con parmetros k y p.

sigue a una distribucin

Si Y1,...,Yr son variables independientes distribuidas geomtricamente (con diferentes parmetros de xito pm posibles ), entonces su mnimoW = minmYm es tambin geomtricamente distribuido, con parmetro p=1

(1 p )m

m DISTRIBUCIN GEOMTRICA O DE PASCAL La distribucin geomtrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecucin del xito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera . Tambin implica la existencia de una dicotoma de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre s. Proceso experimental del que se puede hacer derivar Esta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que tengamos las siguientes caractersticas El proceso consta de un nmero no definido de pruebas o experimentos separados o separables. El proceso concluir cuando se obtenga por primera vez el resultado deseado (xito). Cada prueba puede dar dos resultados mutuamente excluyentes : A y no A La probabilidad de obtener un resultado A en cada prueba es p y la de obtener un resultado no A es q siendo (p + q = 1). Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas ,por tanto , las pruebas ,son independientes (si se trata de un proceso de "extraccin" ste se llevar a , cabo con devolucin del individuo extrado) . (Derivacin de la distribucin). Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que tomemos como variable aleatoria X = el nmero de pruebas necesarias para obtener por

primera vez un xito o resultado A , esta variable se distribuir con una distribucin geomtrica de parmetro p.

Obtencin de la funcin de cuanta De lo dicho anteriormente , tendremos que la variable X es el nmero de pruebas necesarias para la consecucin del primer xito. De esta forma la variables aleatoria toma valores enteros a partir del uno ; 1,2, La funcin de cuanta P(x) har corresponder a cada valor de X la probabilidad de obtener el primer xito precisamente en la X-sima prueba. Esto es , P(X) ser la probabilidad del suceso obtener X-1 resultados "no A" y un xito o resultado A en la prueba nmero X teniendo en cuenta que todas las pruebas son independientes y que conocemos sus probabilidades tendremos:

dado que se trata de sucesos independientes y conocemos las probabilidades

luego la funcin de cuanta quedara

Algunos autores consideran la aleatorizacin como "nmero de pruebas anteriores al primer xito". De esta manera el conseguir el xito a la primera sera X=0 . En la siguiente representacin grfica de la funcin de cuanta de la geomtrica puede apreciarse este tipo de aleatorizacin , sin embargo nosotros preferimos , por razones prcticas, utilizar la aleatorizacin antes comentada

Funcin de distribucin En base a la funcin de cuanta se puede expresar la funcin de distribucin de la siguiente manera. desarrollando la expresin tendramos

de donde La Funcin Generatriz de Momentos (F.G.M.) quedara:

por lo que queda establecida que la F.G.M. tiene la expresin En base a la FGM podemos obtener la media y varianza:

As

Haciendo t =0 tendramos que

La varianza sera

Haciendo t =0 tendramos que

De esta manera

Luego La moda es el valor de la variable q