Mtodo de Gauss-Jordan
1.-INTRODUCCION
Eliminacin de Gauss-Jordan
En matemticas, la eliminacin Gaussiana, eliminacin de Gauss o
eliminacin de Gauss-Jordan, llamadas as debido a Carl Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del lgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve
por el mtodo de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la
reduccin del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuacin
tiene una incgnita menos que la anterior. Cuando se aplica este
proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada
Anlisis de ComplejidadLa complejidad computacional de la eliminacin
gaussiana es aproximadamente n3. Esto es, el nmero de operaciones
requeridas es n3 si el tamao de la matriz es n n. Algoritmo de
eliminacin de Gauss-Jordan1. Ir a la columna no cero extrema
izquierda2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otro que no lo tenga3. Luego, obtener ceros
debajo de este elemento delantero, sumando mltiplos adecuados del
rengln superior a los renglones debajo de l4. Cubrir el rengln
superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.
Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se
encuentra en la forma de escaln)5. Comenzando con el ltimo rengln
no cero, avanzar hacia arriba: para cada rengln obtener un 1
delantero e introducir ceros arriba de este sumando mltiplos
correspondientes a los renglones correspondientesUna variante
interesante de la eliminacin de Gauss es la que llamamos eliminacin
de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan),
esta consiste en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos
uno al cuatro (llamados paso directo) as para cuando estos
finalicen ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida
22.-Mtodo de Gauss-Jordan Como hemos visto, el mtodo de Gauss
transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular
superior. El mtodo de Gauss-Jordan contina el proceso de
transformacin hasta obtener una matriz diagonal unitaria (aij=0
para cualquier ). Veamos el mtodo de Gauss-Jordan siguiendo con el
ejemplo empleado en el apartado anterior. Aplicando el mtodo de
Gauss habamos llegado a la siguiente ecuacin:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el
mtodo de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a44=-3;
multiplicamos la cuarta ecuacin por y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operacin con la segunda y tercera fila,
obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la
tercera ecuacin por y la restamos a la primera:
3
Repetimos la operacin con la segunda fila:
Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda
ecuacin por y la sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fcil de
resolver. Empleando la ecuacin(46) obtenemos las soluciones:
43.- Estudio de sistemas de ecuaciones lineales (S. E. L.)Para
el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos
herramientas matemticas que nos van a facilitar los clculos: las
matrices y los determinantes.Las matrices y los determinantes nos
permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la
condicin de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales
(s.e.l.) - Teorema de Rouch-Frbenius -.Tiene soluciones el
sistema?, es decir, es compatible? Si tiene soluciones cuntas y
cales son?Visto esto, estudiar un sistema es:Discutir= Averiguar si
un S.E.L. tiene solucin, y si tiene, ver si es nica o no.Resolver=
Hallar la solucin si es nica, o las soluciones si son
infinitas.ESTUDIAR = DISCUTIR + RESOLVER4.-Preliminares:La ecuacin
2x - 3 = 0 se llama ecuacin lineal de una variable. Obviamente slo
tiene una solucin. La ecuacin -3x + 2y = 7 se llama ecuacin lineal
de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de nmeros.
Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable
y dando valores cualesquiera a la otra. La ecuacin x - 2y + 5z = 1
se llama ecuacin lineal de tres variables. Sus soluciones son
ternas ordenadas de nmeros. Tiene infinitas soluciones que se
obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las
otras dos.En general, una ecuacin lineal de "n" variables es del
tipo:
5 Las soluciones son las secuencias de nmeros s1, s2, s3, ...,
sn que hacen verdadera la igualdad [1] Si los coeficientes valen 0
y el trmino independiente no, la ecuacin se llama incompatible. No
tiene solucin y tambin se denomina ecuacin imposible, proposicin
falsa o igualdad absurda. Si los coeficientes y el trmino
independiente son nulos, se dice que la ecuacin es una
identidad.5.-Sistemas de Ecuaciones Lineales:Muchos problemas de la
vida real nos obligan a resolver simultneamente varias ecuaciones
lineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambin
resultan muy tiles en geometra (las ecuaciones lineales se
interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a
estudiar la posicin relativa de estas figuras geomtricas en el
plano o en el espacio).Un sistema de ecuaciones lineales es un
conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma
tradicional as :
un sistema as expresado tiene "m" ecuaciones y "n"
incgnitas,donde aij son nmeros reales, llamados coeficientes del
sistema,los valores bm son nmeros reales, llamados trminos
independientes del sistema,las incgnitas xj son las variables del
sistema,y la solucin del sistema es un conjunto ordenado de nmeros
reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incgnitas x1,
x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez
las "m" ecuaciones del sistema.Este mismo sistema de ecuaciones
lineales en notacin matricial tiene esta forma:
6
Donde: Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensin mn
formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incgnitas.
Denotamos por B a la matriz columna formada por los trminos
independientes. y llamamos matriz ampliada de dimensin m(n+1) a la
matriz que se obtiene al aadir a la matriz del sistema (= matriz de
coeficientes) la columna de los trminos independientes, y la
denotamos por A*, es decir
6.- Clasificacin:Atendiendo a sus soluciones: Atendiendo a sus
trminos independientes :
77.- Discusin de un S.E.L.:Generalmente, para la discusin de un
s.e.l., utilizamos el Teorema de Rouch-Frbenius. Un s.e.l. es
compatible si, y slo si, el rango de la matriz de coeficientes es
igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los trminos
independientes. Si estos rangos son distintos el sistema es
incompatible. Es decir, la condicin necesaria y suficiente para que
un sistema de m ecuaciones y n incgnitas tenga solucin es que r(A)
= r(A*),
Si el nmero de incgnitas n es igual al rango h , la solucin es
nica. Si el nmero de incgnitas n es mayor que el rango h , el
sistema tiene infinitas soluciones. Si el sistema es compatible, el
rango del sistema indica el nmero de ecuaciones linealmente
independientes. Para los sistemas indeterminados la solucin puede
hallarse despejando k incgnitas principales en funcin de (n-h)
incgnitas denominadas parmetros y que pueden tomar cualquier valor
( grados de libertad ).Al hallar el rango en matrices que provengan
de s.e.l. es preciso tener en cuenta que si se intercambian
columnas en la matriz de coeficientes ha de hacerse de igual forma
el cambio correspondiente de incgnitas, teniendo especial cuidado
con la columna de los trminos independientes que conviene no
moverla. En general, es aconsejable realizar todas las operaciones
por filas.
87.1.-Caso particular: Sist. HomogneosComo un sistema homogneo
es aquel que tiene todos sus trminos independientes nulos, podemos
observar que r(A) = r(A*) siempre, luego siempre son compatibles,
ya que tienen al menos la solucin (0, 0, 0, ... , 0) que se
denomina solucin trivial. Puesto que, en la prctica, esta solucin
carece de inters, suele decirse que un sistema homogneo posee
solucin slo si esta es distinta de la trivial.Si un sistema
homogneo presenta una solucin distinta de la trivial : (s1, s2, ...
, sn) entonces se cumple que son tambin solucin todas las
proporcionales a ella : ( ks1, ks2, ... , ksn) , para todo nmero
real k.
8.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES Consideremos un conjunto
de "m" ecuaciones con "n" incgnitas dado por:
. . . . . . . . . . . . . . .
Dondeson coeficientes conocidos,son incgnitas yson trminos
conocidos que se denominan trminos no homogneos. El sistema de
ecuaciones lineales anteriores pueden expresarse de la forma
compacta como:
donde A, x , y estn definidos respectivamente por: 9
Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de las
incgnitas "x". Una forma de resolver este sistema de ecuaciones es
utilizando la formulamultiplicndola por la matriz inversa de A por
ambos lados de la igualdad; de la siguiente manera:
(I es la matriz identidad)
De esta manera encontramos que si calculamos la inversa de A y
la multiplicamos por el vector "y", obtendremos el vector "x" con
las soluciones al sistema de ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones
pueden presentar tres casos: Es el ms comn, ya que el nmero de
ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. El nmero de ecuaciones
es menor que el de incgnitas y tenemos lo que se conoce como
problema subdeterminado. El nmero de ecuaciones es mayor que es de
incgnitas y tenemos lo que se conoce como problema sobre
determinado. Esto ocurre en el ajuste de rectas y curvas. Un
conjunto de ecuaciones lineales no siempre tiene solucin numrica.
Los siguientes tres conjuntos de ecuaciones son ejemplo de ello:
10Ejemplo 1:
En este caso las dos rectas se encuentran en el mismo sitio por
lo que la solucin que satisface a una, tambin a la otra, teniendo
as infinitas soluciones. Ejemplo 2:
Las dos ecuaciones son lneas paralelas que nunca se interceptan,
por lo que no existe una solucin. Ejemplo 3:
Tenemos tres ecuaciones independientes para dos incgnitas. Como
se observa stas tres ecuaciones nunca pueden satisfacerse
simultneamente.
119.- Mtodos de resolucinSi bien para los sistemas de ecuaciones
lineales existen multitud de tcnicas del lgebra lineal, para los
sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es tcnicamente
bastante ms difcil.Mtodo analticosLos mtodos analticos se
restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales.
Ni siquiera se conoce una solucin analtica para el sistema de
ecuaciones de segundo grado general:
Mtodo numricosLas aplicaciones tcnicas generalmente recurren a
algoritmos numricos que permiten calcular aproximaciones numricas a
las soluciones de un sistema de ecuaciones.Uno de los mtodos
numricos que puede generalizarse a sistemas no-lineales es el mtodo
de Newton-Raphson. En el caso multidimensional la resolucin numrica
del sistema de n ecuaciones puede hacerse a partir del conocimiento
de una solucin aproximada , siempre y cuando la aplicacin anterior
sea difernciable, mediante el esquema iterativo:
O ms explcitamente:
12Lamentablemente la convergencia del esquema iterativo anterior
no est garantizada y en casos de soluciones mltiples la
convergencia puede darse hacia la solucin no deseada.10.-
EJERCICIOS
13
14
1511.-
BIBLIOGRAFIAhttp://books.google.com/books?id=Hs-tJqXF4PQC&pg=PA144&dq=gaus+jordan&hl=es&ei=sLWUTYbaCNKD0QGVws30Cw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q&f=falsehttp://books.google.com/books?id=_kaXogtQyioC&pg=PA78&dq=gaus+jordan&hl=es&ei=sLWUTYbaCNKD0QGVws30Cw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q&f=falsehttp://books.google.com/books?id=FU6UKclO2MMC&pg=PA42&dq=gaus+jordan&hl=es&ei=sLWUTYbaCNKD0QGVws30Cw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=8&ved=0CFAQ6AEwBw#v=onepage&q&f=falsehttp://books.google.com/books?id=vO9aWRaSl74C&pg=PA70&dq=gaus+jordan&hl=es&ei=sLWUTYbaCNKD0QGVws30Cw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CFUQ6AEwCA#v=onepage&q&f=false
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