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1.- Introducción
En el siguiente trabajo que es básicamente sobre el método de Euler, método de Euler mejorado y finalmente el método de Runge-Kutta los cuales son de mucha importancia tanto en aplicación, análisis matemático y también en programación para solucionar un sin fin de problemas que se nos puedan presentar en nuestra vida como profesionales.
Es importante mencionar que los conceptos y teoría que se manejara en el desarrollo de esta investigación se ilustraran mediante ejemplos, ejercicios y solución de problemas que abarcan desde aplicaciones elementales de los métodos así como una breve explicación de diagramas de flujos de dichos métodos.
El propósito y objetivo principal de esta investigación es ofrecer una breve introducción a estos métodos de aproximación, explicar cómo, porque y cuando se espera que se puedan aplicar, funcionar y proporcionar una buen base para su estudio en un futuro tanto en análisis matemático como en computación.
Métodos Numéricos 1
2.- Método de Euler
2.1.- Teoría y explicación
El método de Euler, es un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. De un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euler es la primera aproximación de solución buscada.
La idea primaria del método de Euler es muy simple y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supóngase que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.
Este método muy pocas veces se emplea en la práctica, la simplicidad de su deducción sirve para ejemplificar la técnicas con que se desarrollan algunos de los métodos más avanzados sin el algebra tan complicada que se usa para esos desarrollos.Este método tiene por objeto obtener una aproximación de un problema bien planteado de valor inicial
dydt
=f ( t , y ) , a ≤ t ≤ b , y (a )=α (2.0)
En lo práctico no se podrá obtener una aproximación continua a la solución y ( t ) ; por lo contrario, se generaran aproximaciones a esa solución en varios valores, llamados puntos de red, en el intervalo [a , b]. Una vez que se obtiene la aproximación en los puntos se puede obtener usando la interpolación una solución aproximada en otros puntos del intervalo.
Lo primero es estipular que los puntos de red tienen una distribución uniforme en todo el intervalo [ a , b ] . se podría asegurar esta condición al seleccionar un entero positivo N y los puntos de red.
t i=a+ih ,para cada i=0,1,2 , …. , N .
La distancia común entre los puntos h=b−aN recibe el nombre de tamaño de paso. Utilizando el
teorema de Taylor para derivar el método de Euler. Suponga que y (t ), la solución única de la ecuación (3.0), tiene dos derivadas continuas en [ a , b ] de modo de para cada i=0,1,2 …, N−1 ,
y (ti+1 )= y (t i )+(t i+1−t i ) y ' (t i )+(t i+1−ti )
2
2 y' ' ( ξi ) ,
Para algún numero ξ i en (t i , t i+1). Si h=ti+1−t i , entonces
Métodos Numéricos 2
y (ti+1 )= y (t i )+h y ' (t i )+h2
2y ' ' (ξ i ) ,
Y como y ( t ) satisface la ecuación diferencial (2.0),
y (ti+1 )= y (t i )+hf (t i y (t i ))+ h2
2y ' ' (ξ i ) .
El método de Euler construye w i≈ y (t i) para cada i=1,2 …, N , al eliminar el termino restante. Por tanto,
wo=α ,
w i+1=wi+hf (t i ,w i ) , Para cada i=0,1 …. ,N−1.
A esta ecuación se conoce como ecuación de diferencias asociada al método de Euler. La teoría de y la solución de las ecuaciones diferenciales nos recuerda varios aspectos teóricos sobre la solución de las ecuaciones diferenciales.
Para interpretar geométricamente y más claramente el método de Euler, nótese que cuando w i es una aproximación cercana de y ¿); la suposición de que el problema está bien planteado implica que
f ( ti , wi ) ≈ y ' ( ti , y (t i )) .
En la figura 2.0 se puede observar el comportamiento grafico del método de Euler
Fig. 2.0
Métodos Numéricos 3
INICIO
FIN
Xo,Yo,H
I = 1
Yo = Yo + H * f(Xo,Yo)Xo = Xo + H
I ++
I <= n
2.2.- Diagrama de flujo
Métodos Numéricos 4
2.3.- Ejemplo
Supongamos que empleamos el método de Euler para aproximar la solución al problema de valor inicial
y−t2+ y '=1 , 0≤ t ≤ 2 , y (0 )=0.5 , con N=10.
Entonces h=0.2 ,t i=0.2 i , w0=0.5 , y w i+1=wi+h (wi−t i
2+1 )=wi+0.2 [w i−0.04 i2+1 ]=1.2 w i−0.008 i2+0.2,para i=0,1 , …, 9.
La solución exacta es y (t )=(t +1)2−0.5 et . En la tabla 2.0 se muestra la relación entre los valores aproximados en t i y los valores reales.
Tabla 2.0
Es importante mencionar que el error crece un poco a medida que el valor de t aumenta. Este crecimiento controlado del error es consecuencia de la estabilidad del método de Euler, el cual implica que se espera que, en el peor de los casos, el error pueda aumentar de forma lineal.
Como se menciono antes este método no es muy o lo suficientemente exacto para utilizarlo en la práctica, pero resulta útil y simple para analizar el error producido en su aplicación.
Métodos Numéricos 5
t i w i y i= y ( ti) |y i−wi| 0.0 0.5000000 0.5000000 0.0000000 0.2 0.8000000 0.8292986 0.0292986 0.4 1.1520000 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504000 1.6489406 0.0985406 0.8 1.9884800 2.1272295 0.1387495 1.0 2.4581760 2.6408591 0.1826831 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 1.4 3.4517734 3.7324000 0.2806266 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870225 2.0 4.8657845 5.3054720 0.4396874
2.4.- Problema propuesto
Resolver la ecuación diferencial y '=12
(1+x ) y2 , y (0 )=1 aplicando el método de Euler.
Utilizando y i+1= y i+hf (x i , y i)
Donde h=0.1 , f ( x i , yi )=12 (1+x i ) y2 , y0=1
Entonces y i+1= y i+0.05(1+x i) y i2
En la tabla 2.1 aparecen tabulados los valores de la solución aproximada obtenida a partir de la condición de que y0=1
Tabla 2.1
x i y i 0.005(1+x i) y i2 Y(solución exacta)
0 1 0.050000 10.1 1.050000 0.060638 1.0554090.2 1.110638 0.074011 1.1235960.3 1.184649 0.091221 1.2084590.4 1.275870 0.113949 1.3157890.5 1.389819 1.454545
Métodos Numéricos 6
3.- Método de Euler mejorado
3.1.- Teoría y explicación
Este método se basa en la misma idea del método original de Euler, pero este nuevo método hace referencia en la aproximación tomando un promedio entre ciertas pendientes
Considerando la siguiente problema de valor inicial
y '= f (t , y ) , y (t 0 )= y0 , t0 ≤ t
La deducción del método de euler por medio de la ecuación diferencial asociada nf(os permitirá deducir otros métodos distintos para la resolución del problema dado, esto se realiza mejorando el procedimiento del cálculo aproximando la siguiente integral.
∫tn
t n+1
f (t , y (t )) dt (3.0)
Se debe esperar mayor calidad en los resultados numéricos en la resolución del problema dado, ahora mejoraremos la calidad de la aproximación de (3.0) si complicar mucho el método, el procedimiento de calculo que se obtendrá tiene el nombre e Euler mejorado. Las formulas de cuadraturas que se usaran para calcular (3.0) reciben el nombre de esquema trapezoidal o método del trapecio el cual consiste en la siguiente formula.
∫tn
t n+1
f (t , y ( t )) dt ≈ h2[ f (¿ tn , y (t n))+f ( tn+1 , y (t n+1))]¿
Tomando en cuenta:
y (t n+1 )= y (t n )+∫t n
tn +1
f (t , y (t ) ) dt
Y con ayuda del método de Euler original llegamos a la formula que define el método de Euler mejorado:
yn+1= yn+h2[ f ( tn , yn )+f (t n+1 , yn+1 )] (3.1)
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En donde yn+ 1∗¿ yn+hf ( xn , yn )(3.2)
Se utiliza para calcular yn+1 para n=0,1,2 , …N con la ecuación (3.1) se debe usar primero en cada paso el método de Euler (3.2) para obtener una estimación inicial yn+ 1∗¿. Por ejemplo con n=0 , la ecuacion (3.2) da como resultado y1∗¿ y0+hf (t 0, y0); después conociendo este
valor, se usa la ecuación (3.1) para obtener y1= y0+h2
¿, donde t 1=t o+h y con todo ello se puede
observar en la fig. 3.0 como mejora el procedimiento al pasado de Euler original.
Fig.4.0
En general el método de Euler mejorado es un ejemplo de los métodos de predicción y corrección. El valor de yn+ 1∗¿, obtenido con la ecuación (3.2), pronostica un valor de y (t n) mientras el valor de yn+ 1determinado con la ecuación (3.1) corrige esta estimación
Métodos Numéricos 8
Yo,Xo,Xf,n
Y1 = Yo + H * f(Xo,Yo)Yo = Yo + H/2 * f(xo,yo) + f(xo+H,Yo)
Xo = Xo + H
INICIO
FIN
I = 1
I ++
I <= n
H = (xf-xo) / n
3.2.- Diagrama de flujo
Métodos Numéricos 9
3.3.- Ejemplo
Aplicar el método de euler mejorado a la siguiente ecuación deferencial de valor inicial:
y−t2+ y '=1 ,0≤ t ≤ 2 , y (0 )=0.5
Con N=10 ,h=0.2 tn=0.2 n y yo=0.5
La ecuación diferencial nos queda:
yn+ 1=1.22 yn−0.0088 n2−0.008 n+0.216
Para cada n=0,1 ,…,9. la tabla 3.0 contiene los resultados de estos cálculos para el problema dado
Tabla 3.0
Métodos Numéricos 10
t n y (t n) Método de Euler
mejorado
Error
0.0 0.5000000 0.5000000 00.2 0.8292986 0.8260000 0.00329860.4 1.2140877 1.2069200 0.00716770.6 1.6489406 1.6372424 0.01169820.8 2.1272295 2.1102357 0.01699381.0 2.6408591 2.6176876 0.02317151.2 3.1799415 3.1495789 0.03036271.4 3.7324000 3.6936862 0.03871381.6 4.2834838 4.2350972 0.04838661.8 4.8151763 4.7556185 0.05955772.0 5.3054720 5.2330546 0.0724173
3.4.- Problema propuesto
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial y '=2 xy , y (1 )=1 para aproximar el valor de y (1.5) con h=0.1 yh=0.005 usando el método de Euler mejorado
Con x0=1 , y0=1 , f ( xn , yn )=2 xn yn ,n=0 y h−0.1,
Calculamos primero la ecuación 3.2:
y i∗¿ y 0+ (0.1 ) (2 x0 y0 )=1+(0.1 ) 2 (1 ) (1 )=1.2
Usamos este ultimo valor en la ecuación 3.2, junto con x i=1+h=1+0.1=1.1 :
y i= y0+( 0.1 )2 x0 y0+2 x i
y i∗¿2
=1+(0.1 ) 2 (1 ) (1 )+2 (1.1 ) (1.2 )2
=1.232 ¿
En las tablas 3.1 y 3.2 aparecen los valores comparativos de los cálculos para h=0.1 yh=0.005
Tabla 3.1 Método de Euler mejorado con h=0.1
Tabla 3.2 Método de Euler mejorado con h=0.005
Métodos Numéricos 11
xn yn Valor exacto Error abs. % Error rel.
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.001.10 1.2320 1.2337 0.0017 0.141.20 1.5479 1.5527 0.0048 0.311.30 1.9832 1.9937 0.0106 0.531.40 2.5908 2.6117 0.0209 0.801.50 3.4509 3.4904 0.0394 1.13
xn yn Valor exacto Error abs. % Error rel.
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.001.05 1.1077 1.1079 0.0002 0.021.10 1.2332 1.2337 0.0004 0.041.15 1.3798 1.3806 0.0008 0.061.20 1.5514 1.5527 0.0013 0.081.25 1.7531 1.7551 0.0020 0.111.30 1.9909 1.9937 0.0029 0.141.35 2.2721 2.2762 0.0041 0.181.40 2.6060 2.6117 0.0057 0.221.45 3.0038 3.0117 0.0079 0.261.50 3.4795 3.4904 0.0108 0.31
4.- Método de Runge-kutta
4.1.- Teoría y explicación.
El método de Runge-kutta es un método usado para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales, este conjunto de métodos fue desarrollado inicialmente por los científicos matemáticos C.Runge y M.V.Kutta por los anos de 1900.
Los métodos de Taylor tienen un error local de truncamiento de orden alto, pero poseen la desventaja de requerir el cálculo y evaluación de las derivadas de f (t , y ). Este es un procedimiento lento y complicado en casi todos los problemas por lo cual los métodos de Taylor rara vez son utilizados en la práctica o experimentación.
Los métodos de Runge-Kutta tienen el error local de truncamiento de orden alto, como en el de Taylor, pero permiten prescindir del cálculo y evaluación de las derivadas de f (t , y ), esto es en lo que este método aventaja a los de la serie de Taylor y esto hace que el método de Runge-Kutta sea más simple y aplicable. Antes de exponer las ideas en las que se basa dicho métodos es recomendable entender lo que pasa con el teorema de Taylor para dos variables.
Existen varios métodos de Runge-Kutta; como el de Heun, el del punto medio, el de primer orden, y el de segundo orden pero nos enfocaremos en el más utilizado que es el de orden cuatro ya que es uno de los procedimientos más difundidos y a la vez más exacto para obtener soluciones a problemas de valor inicial, y los otros métodos de distinto orden de Runge-Kutta los cuales como anteriormente mencione se deducen del método de Taylor
Método de Runge Kutta de orden cuatro
w0=α,
k1=hf (t i ,w i),
k 2=hf (t i+h2
, wi+12
k 1),
k3=hf (t i+h2
,w i+12
k2) 5.0
k 4=hf ¿)
Métodos Numéricos 12
w i+1=wi+16(k1+2k2+2 k3+k 4)
Para cada i=0,1 , …, N−1. Este método tiene un error local de truncamiento 0(h4), siempre que la solución y (t ) tenga 5 derivadas continuas. Se introduce la notación k1 , k2 , k3 , k 4 en él para prescindir de las anidaciones sucesivas en una segunda variable de f (t , y ).
Comparación de métodos de Runge-Kutta de orden menor
En el método de de Runge-Kutta de orden cuatro es necesario realizar cuatro evaluaciones por paso, deberá dar respuestas más exactas que los de método de Euler con un cuarto de tamaño de paso para que sea mejor, de manera análoga si queremos que el método de Runge-Kutta de orden cuatro mejore deberá ofrecer una mayor precisión con el tamaño de paso h que el método de
segundo orden con el tamaño 12
h, porque el método de orden cuatro requiere de el doble de
evaluaciones por paso
En la fig. 4.0 se observa el comportamiento grafico del método de Runge-Kutta
Fig.4.0
Métodos Numéricos 13
4.2.- Diagrama de flujo
Métodos Numéricos 14
inicio
y , h , y0 , x0
y≥x0
k1=hf (x0 , y 0)
k 2=hf ( x+h2
+y0+k 1
2 )k3=hf ( x+h
2+
y0+k 2
2 )k 4=hf ( x+h
2+
y0+k3
2 )x0=x0+h
1++¿
4.3.- Ejemplo
Utilizar el método de Runge-Kutta de orden cuatro para aproximar la solución de el problema de valor inicial
y '= y−t2+1 ,0≤ t ≤ 2 , y (0 )=0.5
Con h=0.2 , N=10 y t i=0.2 i obtenemos los resultados y errores que se observan en la tabla 4.0
Tabla 4.0 Valores del método de Runge-Kutta de cuarto orden
t i Valores exactosy i= y ( ti)
Método de Runge-Kutta
de orden cuatro
w i
Error
|y i−wi|
0.0 0.5000000 0.5000000 00.2 0.8292986 0.8292933 0.00000530.4 1.2140877 1.2140762 0.00001140.6 1.6489406 1.6489220 0.00001860.8 2.1272295 2.1272027 0.00002691.0 2.6408591 2.6408227 0.00003641.2 3.1799415 3.1798942 0.00004741.4 3.7324000 3.7323401 0.00005991.6 4.2834838 4.2834095 0.00007431.8 4.8151763 4.8150857 0.00009062.0 5.3054720 5.3053630 0.0001089
El mayor esfuerzo de calculo que se requiere en este método es que se requiere aplicar la evaluación de f , el método de Runge-Kutta de orden cuatro requiere cuatro evaluaciones por paso y el error local de truncamiento 0(h2).
Métodos Numéricos 15
FIN
4.4.- Problema propuesto
Resolver la ecuación diferencial de valor inicial y '=2 xy , y (1 )=1 con h=0.1 y obtenga una aproximación a y (1.5) con el método de Runge-Kutta
Calcularemos el caso en que h=0 deacuerdo con las ecuaciones 4.0
k1=(0.1 ) f ( x0, y0 )=(0.1 ) (2 x0 y0 )=0.2
k 2=(0.1 ) f (x0+12
(0.1 ) , y0+12
(0.2 )) = (0.1 ) 2(x0+
12
(0.1 ))( y0+12
(0.2 ))=0.231
k3=(0.1 ) f (x0+12
(0.1 ) , y0+12
(0.231 ))¿ (0.1 ) 2(x0+
12
(0.1 ))( y0+12
(0.231 ))=0.234255
k 4=(0.1 ) f (x0+0.1 , y0+0.234255)¿ (0.1 ) 2 ( x0+0.1 ) ( y 0+0.234255 )=0.2715361
En consecuencia
y1= y0+16
¿)
¿1+ 16 (0.2+2 (0.231 )+2 (0.234255 )+0.2715361 )=1.23367435
En la tabla 4.1 con redondeo a cuatro decimales se encuentran los cálculos restantes con Runge-Kutta de cuarto orden
Tabla 4.1 método de Runge-Kutta de cuarto orden
Métodos Numéricos 16
xn yn Valor exacto Error abs. % Error rel
1.00 1.0000 1.0000 0.0000 0.001.10 1.2337 1.2337 0.0000 0.001.20 1.5527 1.5527 0.0000 0.001.30 1.9937 1.9937 0.0000 0.001.40 2.6116 2.6117 0.0001 0.001.50 3.4902 3.4904 0.0001 0.00
6.- Aplicación en la ingeniería electrónica de los métodos de problemas de valor inicial
Calcular la función i(t) de un circuito RL con una excitación de escalón unitario u(t ). La excitación de escalón unitario se obtiene prácticamente colocando en serie con la fuente de voltaje de corriente directa un interruptor, este interruptor está abierto y se cierra en el tiempo t=0. La respuesta que se calculara es la que se conoce como “Respuesta transitoria” ya que su duración es corta en el tiempo. Otro nombre que recibe la respuesta transitoria es “Respuesta natural” ya que corresponde a la naturaleza del circuito.
En la medida que aumente el intervalo de tiempo, la respuesta transitoria tendera ala respuesta forzada o de estado estable.
El corto intervalo de tiempo se calcula como 5 veces el valor de la constante de tiempo porque después de transcurrido este tiempo la señal es casi el 100% de la señal estable, o sea la señal después de un tiempo “largo”.
Aplicación:
Calcular i(t) en el siguiente circuito:
Métodos Numéricos 17
Solución:
Aplicando ley de voltajes de kirchoff (KVL)
¿−V 0 u (t )+Ri+ L( didt )=0
4 i ( t )+L( didt )=20 u(t)
Para t<0 V 0=0V ,i ( t )=0
Para t>0 V 0=20 V .
4 i ( t )+L( didt )=20
La solución analítica es:
i (t )=0 para t <0 ;( V 0
R )(1−exp(−R tL ))
Para t>0 , en este circuito : i (t )=5 (1−exp (−2t ) )
Para los algoritmos es necesario saber:
( dydt )=f ( t , y )
En este caso, para t >0:
4 i+2( didt )=20
2( didt )=20−4 i
( didt )=10−2i=f (t , i )
La constante de tiempo es LR
=24=1
2s
Métodos Numéricos 18
Se considera que después de 5 veces la constante de tiempo, la corriente i(t) habrá alcanzado casi todo su valor al infinito, es por esto que en los algoritmos el intervalo de tiempo será de 0 a 2.5 segundos
6.- Conclusiones
Es importante mencionar antes de estudiar estos métodos es importante mencionar que los problemas de valor inicial que se plantean comúnmente al observar fenómenos físicos solo se pueden aproximar la situación general, por lo tanto se necesita saber si cambios pequeños en el enunciado del problemas introducen cambios igualmente pequeños en la solución buscada.
Con esta investigación se aprendió mucho ya que se mencionaron unos nuevos métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales de valor inicial los cuales funcionan de manera iterativa, los cuales son de mucha utilidad en la práctica y experimentación, claro que existen unos que serán más exactos que otros y será decisión del usuario cual utilizar de acuerdo a sus necesidades.
Los tres métodos que se estudiaron en esta investigación son independientes y se calculan de manera diferente cada uno con si respectivo error de cálculo pero los dos siguen el mismo cometidos de darle una solución iterativa a una ecuación diferencial.
Yo pienso que el principal objetivo de esta investigación era que aprendiéramos los fundamentos de estos métodos de cálculo de ecuaciones diferenciales y aprender un poco sobre sus aplicaciones y resolución matemática de manera iterativa..
Métodos Numéricos 19
7.- Bibliografía
Libro 1:
Análisis numéricoSéptima edición
Richard L. BurdenYoungstown state university
J. Douglas FairesYoungstown state university
Editorial: Thomson learning
Libro 2:
Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la fronteraQuinta edición
Dennis G. ZillMichael R. Cullen
Loyola Marymount University
Editorial: Thomson learning
Libro 3:
Métodos numéricos
Luther García RodolfoGaylord F.
Páginas de internet de consulta:
http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidadse/Euler/euler.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler
http://es.wikipedia.org/wiki/Runge-Kutta
Métodos Numéricos 20
http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler_mejorado.htmhttp://webs.uvigo.es/ecuacionesdiferenciales/num2.pdf
2.- Teoría elemental de problemas con valor inicial
Las ecuaciones diferenciales sirven para modelar problemas de ciencias e ingeniería que requieren el cambio de alguna variable respecto a otra, en la mayor parte de esos problemas se necesita resolver problemas de valor inicial que quiere decir resolver una ecuación diferencial que satisfaga una condición inicial dada como el mismo nombre lo dice.
En la vida real las ecuaciones diferenciales resultan complicadas para resolverse con mucha exactitud entonces por ello se recurre a dos maneras para aproximar la solución. El primero consiste en simplificar la ecuación diferencial de manera que se pueda resolverse exactamente y utilizando después la solución de la ecuación simplificada para poder aproximar la solución de la ecuación original dada. El segundo es lo que se verá en esta investigación que son unos métodos para aproximar la solución del problemas original, esto métodos son los que se emplean por lo regular en la vida diaria ya que dan mejores resultados en exactitud y una información creíble y realista sobre los errores.
En esta investigación se verán unos métodos los cuales no producen una aproximación continua a la solución buscada del problema de valor inicial si no por lo contrario se encuentran aproximaciones en algunos puntos específicos y varias veces igualmente espaciados.
Es importante mencionar antes de estudiar estos métodos es importante mencionar que los problemas de valor inicial que se plantean comúnmente al observar fenómenos físicos solo se pueden aproximar la situación general, por lo tanto se necesita saber si cambios pequeños en el enunciado del problemas introducen cambios igualmente pequeños en la solución buscada, esto de igual manera es importante por la aparición del error de redondeo.
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