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FISICA III 1 TRABAJO DE INVESTIGACION

1. IDENTIDADES VECTORIALES:

Reglas para el producto de tres vectores:Sean A, B y C tres vectores cualesquiera. Se verifica que:

A . (BxC )=B . (CxA )=( AxB ) .CAx (BxC )=B (A .C )−C (A .B )

Reglas de derivación y suma de productos:Existe un conjunto de identidades de uso frecuente en el cálculo diferencial vectorial como las mostradas en la siguiente tabla:

1.- ∇ ( f +g )=∇ f +∇ g

2.- ∇ (cf )=c∇ f

3.- ∇ ( fg )=f ∇ g+g∇ f

4.- ∇ . (F+G )=∇ .F+∇ .G

5.- ∇ x (F+G )=∇ xF+∇ xG

6.- ∇ (F .G )=(F .∇ )G+(G .∇ )F+Fx (∇ xG )+G x (∇ x F)

7.- ∇ . ( fF )=f ∇ . F+F .∇ f

8.- ∇ . (FxG )=G . (∇ xF )−F .(∇ xG)

9.- ∇ .(∇ xF )=0

10.- ∇ x ( fF )=f ∇ xF+(∇ f )xF

11.- ∇ x (FxG )=F∇ .G−G∇ . F+(G .∇ )F−(F .∇)G

12.- ∇ x (∇ xF )=∇ (∇ .F )−∇2F

13.- ∇ x (∇ f )=0

14.- ∇2 ( fg )=f ∇2 g+g∇2 f+2∇ f .∇ g

15.- H . (FxG )=G. (HxF )=F .(GxH )

16.- Fx (GxH )=(F . H )G−(F .G)H

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUIFACULTAD DE INGENIERIASCARRERA PROFESIONAL DE ING. CIVILMAMANI FERNANDEZ MARGOT ELIZABETH

Tabla I: Identidades vectoriales, siendo f y g campos escalares y, F, G y H campos vectoriales.

TABLA I

∇ f (r )=[ ∂ f (r )∂x1

,…,∂ f (r )∂xn ]

∂∅∂n

≡ limϵ→ 0

∅ (r−ϵ n⃑ )−∅ (r)ϵ

∂∅∂n

=n .∇∅


En particular, la identidad 9 indica que si G es un campo vectorial para el que: ∇ .G=0 entonces existe un campo vectorial F tal que G=∇ xF.El campo vectorial G es llamado solenoidal. De igual manera, la identidad 13 señala que si F es un campo vectorial para el que ∇ xF=0 entonces existe un campo escalar f, tal que F=∇ f .El campo vectorial F es llamado irrotacional.

2. OPERADORES DIFERENCIALES:

2.1. OPERADOR GRADIENTE:

Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial

cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:


grad∅=∇∅


Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

2.1.1. PROPIEDADES DEL OPERADOR GRADIENTE:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es:

2.1.2. APLICACIONES EN FÍSICA:

La interpretación física del gradiente es la siguiente:

Mide la rapidez de variación de una magnitud física al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aquí se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su módulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeño o nulo implica que dicha magnitud apenas varía de un punto a otro.

El gradiente de una magnitud física posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.


∇ x (∇∅ )≡ 0⃑


2.2. OPERADOR DIVERGENCIA:

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva y "sumideros" la divergencia será negativa.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El símbolo ∇ representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo eléctrico.

Se llaman fuentes escalares del campo F⃑ al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de F⃑

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

2.3. OPERADOR ROTACIONAL:

En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.


¿ F⃑=∇ . F⃑= lim∆V →0

1∆V

∮S

❑

F⃑ . d S⃑

ρ ( r⃑ )=∇ . F⃑( r⃑)


Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí, ∆ S es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a ∆ S y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

2.3.1. PROPIEDADES DEL ROTACIONAL:

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro) es irrotacional.

En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

2.4. OPERADOR LAPLACIANO:

En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.


U⃑ .ROT F⃑=U⃑ .∇ x F⃑ ≡ lim∆ S→0

1∆ S∮ F⃑ . d r⃑

E⃑=−∇∅↔∇ x E⃑=0

E⃑=f (r) r⃑→∇ x E⃑=0

∇ . (∇ x F⃑ )≡0


Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div(grad φ), de donde el uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado (∇2) para representarlo. Si∅ , A, son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en términos del operador nabla como:

2.4.1. PROPIEDADES DEL OPERADOR LAPLACIANO:

El laplaciano es lineal:

La siguiente afirmación también es cierta:

2.5. OPERADOR D’ALEMBERTIANO:

El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como □2, o simplemente como□. Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de R3, el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo


∆∅= (∇ .∇ )∅=∇2∅

∆ A=∇ (∇ . A )−∇ x (∇ xA )=(∇ .∇)A

∇2 ( λf+ug )=λ∇2 f +u∇2g

∇2 ( fg )=(∇2 f ) g+2 (∇ f ) ∙ (∇ g )+f (∇2g)


mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda electromagnética.

2.6. OPERADOR WROSQUIANO:

Dadas las funciones f 1(x) , f 2(x ),…, f n ( x ) se define Wronskiano como el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel

El Wronskiano de un conjunto de funciones de la variable independiente x es, una vez desarrollado, una función de la misms variable x.

2.7. OPERADOR JACOBIANO:

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones


□2=guv∂u∂v=∂u∂u

W=(f 1 , f 2 ,…, f n )=| f 1

f 1 '…

f 1(n−1)

f 2

f 2 '…

f 2(n−1 )

…………

f nf n '…

f n(n−1)|


más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Supongamos F :Rn→Rmes una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

y i=F i ( x1 , x2 ,…, xn) ,

y=F ( x )=(F1 ( x ) ,…,Fm ( x ))

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

3. EN COORDENADAS CARTESIANAS:

Coordenadas cartesianas bidimensionales:

Un par ordenado de números reales (X 0, Y 0) lo podemos representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano XY. Este sistema está

constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamados ejes coordenados y la intersección de estos se llama origen. En


J F (x1 , x2 ,…, xn )=[∂ y1

∂ x1

⋯∂ y1

∂ xn⋮ ⋱ ⋮

∂ ym∂ x1

⋯∂ ym∂ xn

]∂( y1 ,…, ym)∂(x1 ,…,xn)

,o DF (x1,…, xn)


la figura del eje horizontal es llamado eje X y el eje vertical es el eje Y. estos ejes dividen al plano en cuatro partes llamados cuadrantes, denotados por: I, II, III, IV.

Coordenadas cartesianas tridimensionales:

Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de r, se definen las coordenadas cartesianas como las tres proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares.

Llamaremos a las tres proyecciones x1, x2, x3, y los planos

correspondientes los identificaremos por yz, zx, xy.

Es inmediato que si se mantiene fija una de las tres coordenadas cartesianas, las otras dos definen un plano, que será paralelo a uno de los planos de referencia del triedro sobre el cual se proyecta el vector. El valor de la coordenada que se fija es la distancia.

3.1. OPERADORES DIFERENCIALES EN COORDENADAS CARTESIANAS:

A. Gradiente:

∇V=ax∂V∂ x

+ay∂V∂ y

+az∂V∂z

B. Divergencia:

∇ . A=∂ Ax

∂ x+∂ A y

∂ y+∂ A z

∂ z

C. Rotacional:



∇ xA=| ax ay az∂∂x

∂∂ y

∂∂ z

Ax A y A z

|∇ xA=ax( ∂ A z

∂ y−∂ A y

∂ z )+a y ( ∂ A x

∂z−∂ A z

∂ x )+az( ∂ A y

∂x−∂ Ax

∂ y )D. Laplaciano:

∇2V=∂2V∂ x2 + ∂

2V∂ y2 + ∂

2V∂ z2

4. EN COORDENADAS CILINDRICAS:

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.



El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje Z, o bien la longitud de la proyección del radio vector sobre el plano XY φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radio vector sobre el plano XY . Z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas:

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las

cartesianas:

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.


0≤ ρ<∞ 0≤φ<2 π −∞<Z<∞


4.1. OPERADORES DIFERENCIALES EN COORDENADAS CILINDRICAS (ρ ,φ , z):

E. Gradiente:

∇∅=∂∅∂ ρ

ρ⃑+ 1∂∅ρ∂φ

φ⃑+ ∂∅∂ z

z⃑

F. Divergencia:

∇ . F⃑=1ρ∂(ρ Fρ)∂ ρ

+ 1ρ∂ Fφ

∂φ+∂F z

∂z

G. Rotacional:

∇ x F⃑=1ρ| ρ⃑ ρ φ⃑ z⃑

∂∂ ρ

∂∂φ

∂∂ z

Fρ ρFφ F z|

H. Laplaciano:

∇2∅= 1ρ∂∂ ρ (ρ ∂∅∂ ρ )+ 1

ρ2

∂2∅∂φ2 + ∂

2∅∂ z2

5. EN COORDENADAS ESFÉRICAS:

Las coordenadas esféricas ρ (radio), φ (longitud), y θ (colatitud) (aunque a veces la llamemos latitud, es justo respetar la geografía...) se relacionan con las cartesianas mediante:

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio “r”, el ángulo polar o colatitud θ y


{x=ρ cosφ sin θy=sinφ sinθz= ρcos θ


el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Dado un vector r del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de r, se definen las coordenadas esféricas como las tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares,

por las relaciones siguientes:

ρ=√x12+x2

2+x32 ,0≤ ρ<∞ ,

θ=arc cos ( x3

√x12+x2

2+x32 ) ,−90≤θ≤90 ,

∅=arc tg( yx ) ,0≤∅ ≤360

O bien:

5.1. OPERADORES DIFERENCIALES EN COORDENADAS ESFERICAS:


0≤r<∞ 0≤θ≤π 0≤φ<2 π

{x=r sin θ cosφy=r sinθ sinφz=rcos θ


I. Gradiente:

∇∅=∂∅∂r

e⃑r+1r∂∅∂θ

e⃑θ+1

r sin θ∂∅∂φ

e⃑φ

J. Divergencia:

∇ . F⃑= 1r2

∂(r2 Fr)∂r

+ 1rsin θ

∂ ( sinθ Fθ )∂θ

+ 1r sinθ

∂ (Fφ )∂φ

K. Rotacional:

∇ x F⃑= 1

r2sin θ | r⃑ r θ⃑ r sinθ φ⃑∂∂r

∂∂θ

∂∂φ

F r r Fθ r sin θ Fφ|

L. Laplaciano:

∇2∅= 1r2

∂∂r (r2 ∂∅

∂r )+ 1r2 sinθ

∂∂θ (sinθ

∂∅∂θ )+ 1

r2sin2θ∂2∅∂φ2

6. TENSORES:

En física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de varias componentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera que sea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. En adelante utilizaremos el convenio de sumación de Einstein.

Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrán dadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario para especificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será considerado como un tensor de orden 0; un vector,



un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, los tensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz.

Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:

La manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambios de coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.

La manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijar cualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo:

La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial.La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.

6.1. TENSORES DE DISTINTO ORDEN:

A los tensores se los puede clasificar por su orden, es decir el número de arreglos que requiere para ser descrito. En general, si n es la dimensión del tensor (dimensión del espacio vectorial sobre el que se construye) y r+s el orden, un tensor requiere de nr+ scomponentes para ser descrito.

a) Tensores de orden cero: escalares

Como se dijo anteriormente, un escalar es una cantidad que requiere solo un número real en cualquier sistema de coordenadas para ser descrito. Es decir es invariante ante cualquier cambio de coordenadas en cualquier sistema. De esta manera si ∅es un escalar en un sistema de coordenadas y ∅ 'es el mismo escalar en otro sistema de coordenadas entonces ∅=∅ ',Un escalar es un Tensor de Orden cero porque requiere un solo número para ser descrito: n0=1 .

b) Tensores de orden uno: vectores y covectores

En general, un vector requiere n componentes para ser descrito. En un espacio tridimensional, un vector se define



mediante tres componentes. La transformación de coordenadas de un vector de un espacio a otro se realiza mediante una transformación lineal. De esta manera, un vector es un tensor de orden uno porque requiere n números para definirlo. Si tenemos un vector expresado por sus componentes Ai

en un sistema y A 'i en otro sistema, la transformación de coordenadas para que el vector se mantenga invariante se puede expresar:

Donde α i ´ kes el coseno del ángulo entre el i-ésimo eje de coordenadas y el k-ésimo.

c) Tensores de orden dos: matrices y formas cuadráticas

Siguiendo la misma lógica, el siguiente elemento es el que requiere nxn=n2 componentes para ser descrito. Se denomina tensor de orden dos al objeto, normalmente representado por una matriz nxn, que representado en un sistema de coordenadas como A 'ik su transformación invariante en otro sistema con componentes es:

Donde α i ´les el coseno del ángulo entre el i-ésimo eje de un sistema con el l-ésimo eje del otro sistema.

d) Tensores de orden m generalizados

Finalmente, la generalización de los tipos anteriores viene dada por un elemento que necesita nmcoordenadas para ser especificado. Como generalización de las transformaciones anteriores tenemos:

Donde Ak1 , k 2,…knson las componentes del tensor en un sistema de coordenadas, A 'i1 ,i2 ,…∈¿¿ son las componentes del mismo tensor en otros coordenadas y los α i ´1k1

son los cosenos de los ángulos entre los i1-ésimos ejes del un sistema y los k 1-ésimos en el otro sistema.


A 'i=αi ´ k Ak

A 'i1 ,i2 ,…∈¿=α i´1k

1αi ´

2k

2…αi ´

nknA k1 ,k2 ,… kn¿


6.2. OPERACIONES CON TENSORES:

A. Producto tensorial de espacios vectoriales:

El producto tensorial V ⊗KW de dos espacios vectoriales V y W sobre un cuerpo K tienen una definición formal por el método de generadores y relaciones (se denota generalmente como V ⊗ W cuando el cuerpo subyacente K se sobreentiende). Para construirlo, se comienza con el conjunto de pares ordenados del producto cartesiano V ×W. Para propósitos de esta construcción, considérese este producto como un conjunto en vez de un espacio vectorial. El espacio vectorial libre F sobre V × W se define tomando el espacio vectorial en el cual los elementos de V × W son una base. Escrito en notación teorética de conjuntos:

F (VxW )={∑i=1

n

αi e(v i , wi)|n∈N ,α i∈K ,(vi ,w i)∈VxW } Donde se usa el símbolo e(v i , wi ) para destacar que son tomados como linealmente independientes por definición para distintos (v, w) ∈ V × W. El producto tensorial surge por la definición de las siguientes relaciones de equivalencia en F(V × W):

donde v, v1 y v2 son vectores de V, mientras que w, w1, y w2 son vectores de W, y c surge del cuerpo K. Denotando por R el espacio generado por esas cuatro relaciones de equivalencia, el producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W es entonces el espacio cociente.

V ⊗W=F (VxW )/R Es llamado también espacio producto tensor de V y W y es un espacio vectorial (que puede ser verificado directamente mirando los axiomas de espacio vectorial). El producto tensorial de dos elementos v and w es la clase de equivalencia (e(v,w) + R) de e(v,w) en V ⊗ W. La clase de



equivalencia de (v, w) se llama tensor y es denotada por V ⊗ W. Por construcción, se puede demostrar solamente tantas identidades entre los tensores, y las sumas de tensores, como se siguen de las relaciones usadas. Tómese el espacio vectorial generado por W x V y aplique (factorice los subespacios generados por) las relaciones multilineales detalladas arriba. Con esta notación, las cuatro relaciones de equivalencia toman la forma de igualdades en el espacio producto tensor:

Cada elemento del producto tensorial es una suma finita de tensores: más de un tensor se requiere generalmente para hacer eso. Se muestra simplemente cómo construir una base de los V ⊗ W. Dadas bases para V y W, el conjunto de productos tensoriales de los vectores de base, uno de V y uno de W, forman una base para V ⊗ W. La dimensión del espacio por lo tanto está dada por el producto mn de las dimensiones de V y de W.

BIBLIOGRAFIA:



I. Borisenko, I. E. Tarapov (1979), Vector and Tensor Analysis With Applications, Worth Publishers, ISBN 9780486638331 K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, ISBN 9780521861533 Tai L. Chow (2000), Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521652278


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