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1. IDENTIDADES VECTORIALES:

Reglas para el producto de tres vectores:Sean A, B y C tres vectores cualesquiera. Se verifica que:

Reglas de derivacin y suma de productos:Existe un conjunto de identidades de uso frecuente en el clculo diferencial vectorial como las mostradas en la siguiente tabla:

TABLA I

FISICA III 1 TRABAJO DE INVESTIGACION

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUIFACULTAD DE INGENIERIASCARRERA PROFESIONAL DE ING. CIVILMAMANI FERNANDEZ MARGOT ELIZABETH

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Tabla I: Identidades vectoriales, siendo f y g campos escalares y, F, G y H campos vectoriales.

En particular, la identidad 9 indica que si G es un campo vectorial para el que: entonces existe un campo vectorial F tal que .El campo vectorial G es llamado solenoidal.De igual manera, la identidad 13 seala que si F es un campo vectorial para el que entonces existe un campo escalar f, tal que .El campo vectorial F es llamado irrotacional.

2. OPERADORES DIFERENCIALES: 2.1. OPERADOR GRADIENTE:Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presin P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genrico del espacio indicar la direccin en la cual la presin cambiar ms rpidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de lneas de nivel de una montaa como campo escalar que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genrico indicar la direccin de mxima inclinacin de la montaa. Ntese que el vector gradiente ser perpendicular a las lneas de contorno (lneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definicin se basa en que el gradiente permite calcular fcilmente las derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional segn un vector:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico vector que, multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca. El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

2.1.1. PROPIEDADES DEL OPERADOR GRADIENTE: Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte. Apunta en la direccin en que la derivada direccional es mxima. Su mdulo es igual a esta derivada direccional mxima. Se anula en los puntos estacionarios (mximos, mnimos y puntos de silla). El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es:

2.1.2. APLICACIONES EN FSICA:La interpretacin fsica del gradiente es la siguiente: Mide la rapidez de variacin de una magnitud fsica al desplazarse una cierta distancia. Un gradiente alto significa que de un punto a otro cercano la magnitud puede presentar variaciones importantes (aqu se entiende por gradiente alto o grande uno tal que su mdulo es grande). Un gradiente de una magnitud pequeo o nulo implica que dicha magnitud apenas vara de un punto a otro.El gradiente de una magnitud fsica posee innumerables aplicaciones en fsica, especialmente en electromagnetismo y mecnica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar.2.2. OPERADOR DIVERGENCIA:La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia ser positiva y "sumideros" la divergencia ser negativa.La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el lmite. El smbolo representa el operador nabla.Esta definicin est directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo ms caracterstico lo dan las cargas elctricas, que dan la divergencia del campo elctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo elctrico.Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a travs del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

2.3. OPERADOR ROTACIONAL:En el clculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotacin alrededor de un punto.Matemticamente, esta idea se expresa como el lmite de la circulacin del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aqu, es el rea de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este lmite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente segn la direccin normal a y orientada segn la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo debern calcularse tres lmites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

2.3.1. PROPIEDADES DEL ROTACIONAL: Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente slo de la distancia al centro) es irrotacional.

En particular, el campo electrosttico de una carga puntual (y por superposicin, cualquier campo electrosttico) es irrotacional. El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal, esto es, su divergencia siempre es nula:

2.4. OPERADOR LAPLACIANO:En clculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elptico de segundo orden, denotado como , relacionado con ciertos problemas de minimizacin de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudi soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que apareca dicho operador.Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Corresponde a div(grad ), de donde el uso del smbolo delta () o nabla cuadrado () para representarlo. Si, A, son un campo escalar y un campo vectorial respectivamente, el laplaciano de ambos puede escribirse en trminos del operador nabla como:

2.4.1. PROPIEDADES DEL OPERADOR LAPLACIANO: El laplaciano es lineal:

La siguiente afirmacin tambin es cierta:

2.5. OPERADOR DALEMBERTIANO:El operador D'Alembertiano es la generalizacin del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, ms en general, a un espacio de dimensin y mtrica arbitraria. Se suele representar como , o simplemente como. Tcnicamente el D'Alembertiano de una funcin escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la mtrica de dicho espacio, operando sobre dicha funcin.Su definicin es, por analoga con el operador nabla ordinario de , el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuacin de onda electromagntica.2.6. OPERADOR WROSQUIANO:Dadas las funciones se define Wronskiano como el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer rengln (o fila), la primera derivada de cada funcin en el segundo rengln, y as hasta la derivada n-1, formando as una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora ms fcilmente por la identidad de AbelEl Wronskiano de un conjunto de funciones de la variable independiente x es, una vez desarrollado, una funcin de la misms variable x.

2.7. OPERADOR JACOBIANO:En clculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemtico Carl Gustav Jacobi.En geometra algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una funcin. Una de las aplicaciones ms interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la funcin en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una funcin multivariable.

Supongamos es una funcin que va del espacio eucldeo n-dimensional a otro espacio eucldeo m-dimensional. Esta funcin est determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la funcin anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

3. EN COORDENADAS CARTESIANAS: Coordenadas cartesianas bidimensionales:Un par ordenado de nmeros reales lo podemos representar en el plano en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano XY. Este sistema est constituido por dos rectas perpendiculares orientadas, llamados ejes coordenados y la interseccin de estos se llama origen. En la figura del eje horizo