UNIVERSIDAD RICARDO PALMAHIDROLOGA

OBJETIVO Determinar los caudales extremos por el mtodo de GUMBEL y el LOG PEARSON III.

MARCO TEORICOMTODO DE LA DISTRIBUCION DE GUMBELLlamada as en honor de Emil Julius Gumbel (1891-1966) utilizada para modelar la distribucin del mximo (o el mnimo), por lo que se usa para calcular valores extremos.La aplicabilidad potencial de la distribucin de Gumbel para representar los mximos se debe a la TEORIA DE VALORES EXTREMOS que indica que es probable que sea til si la muestra de datos tiene una distribucin normal o exponencial.La distribucin de Gumbel o distribucin generalizada exponencial gamma se utiliza habitualmente en el clculo de los caudales de avenida para el dimensionamiento y diseo de los aliviaderos de las grandes presas hidralicas. Se trata de una herramienta de clculo de probabilidades de contrastada validez en el estudio de mximos de una serie. Tambin es usada en ingeniera martima y en general en el diseo de construcciones civiles que puedan estar sometidas a condiciones climatolgicas extremas.Lo que se pretende con esta distribucin es obtener la probabilidad de que en una determinada serie se den nuevos mximos dadas unas condiciones iniciales. Por ello, aplicando la distribucin de Gumbel a las series temporales de cualquier activo financiero podemos construir un indicador, cuya principal ventaja es la medicin de la inestabilidad en las zonas de mximos.

MTODO DE LOG PEARSON IIIEl sistema Pearson fue originalmente ideado en un esfuerzo para modelar observaciones visiblemente asimtricas. Era bien conocido en aquel tiempo cmo ajustar un modelo terico para acomodar los primeros dos cumulantes o los momentos de observados datos: Cualquier distribucin de probabilidad puede estar extendida directamente para formar una familia de escala de posicin. Excepto en los casos patolgicos, una familia de escala de posicin puede estar hecha para acomodar la media (primer cumulante) y la varianza (segundo cumulante) arbitrariamente bien. Sin embargo, no era conocido cmo construir distribuciones de probabilidad en las cuales la asimetra (tercer cumulante estndar) y la curtosis (cuarto cumulante estndar) pudieron estar ajustados igualmente. Esta necesidad surgi al intentar acomodar modelos tericos conocidos a datos observados que exhibieron asimetra. Los ejemplos de Pearson incluyen datos de supervivencia, cules son usualmente asimtricos. En su escrito original, Pearson (1895, p. 360) identific cuatro tipos de distribuciones (numeradas del I al IV) adems de la distribucin normal (la cual era originalmente conocida como tipo V). La clasificacin dependi en si las distribuciones estaban definidas en un intervalo definido, en una semirrecta, o en los reales y si estaban potencialmente asimtricas o necesariamente simtricas. Un segundo escrito (Pearson 1901) arregl dos omisiones: Redefini la distribucin de tipo V (originalmente inclua la distribucin normal, ahora incorporaba la distribucin gamma inversa) e introdujo la distribucin de tipo VI. Conjuntamente los primeros dos documentos de identificacin cubren los cinco tipos principales del sistema Pearson (I, III, VI, V y IV). En un tercer escrito, Pearson (1916) introdujo an ms casos especiales y subtipos (del VII al XII).

Rhind (1909, pp. 430432) ide una forma sencilla de visualizar el espacio de parmetros del sistema Pearson, el cual fue adoptado por Pearson (1916, plate 1 and pp. 430ff., 448ff.). Los tipos de Pearson son caracterizados por dos cantidades, comnmente referidas como 1 y 2. El primero es el cuadrado de la asimetra: \beta_1 = \gamma_1^2 donde 1 es la asimetra o el tercer momento estandarizado. El segundo es el curtosis tradicional o cuarto momento estandarizado: 2 = 2 + 3. Tratamientos modernos definen kurtosis 2 en trminos de cumunlant en vez de momentos, por lo tanto una distribucin normal tenemos 2 = 0 y 2 = 3. Aqu seguimos el precedente histrico y usamos 2. EL diagrama a la derecha muestra dada una distribucin concreta a qu tipo de Pearson pertenece (identificado por el punto (1, 2)). Muchas de las distribuciones asimtricas y no mesocrtica que hoy nos son familiares, no eran conocidas a principios de 1890. Lo que hoy se conoce como distribucin beta haba sido usada por Thomas Bayes como la Probabilidad a posteriori del parmetro de la distribucin de Bernoulli en su trabajo de 1763 sobre la probabilidad inversa. La distribucin beta gan prominencia debido a su pertenencia al sistema Pearson y era conocida hasta los aos 1940 como la distribucin Pearson tipo I. (La distribucin de Pearson tipo II es un caso especial derivada del tipo I, pero ya no es tratada por separado.) La distribucin gamma originada como resultado del trabajo de Pearson (Pearson 1893, p. 331; Pearson 1895, pp. 357, 360, 373376) y era conocida como la distribucin de Pearson tipo III, antes de adquirir su nombre moderno en 1930s y 1940s. .2 El artculo de Pearson escrito en 1895 introdujo la distribucin de tipo IV, la cual contiene la distribucin t-Student como caso especial, precediendo por varios aos a William Sealy Gosset. En su artculo de 1901 introdujo la distribucin gamma inversa (tipo V) y la distribucin beta prima (tipo VI).

CLCULOSMTODO DE GUMBEL, PARA VALORES EXTREMOSPara la serie de caudales mximos anuales, siguiente, obtener los caudales de periodo de retorno de 25, 50, 100, 200 y 500 aos. AOSQ, m3/s

1990209

1991113

1992102

1993166

1994188

1995181

199683

1997179

1998136

1999135

2000101

2001110

2002203

200331

2004136

2005125

2006192

2007114

2008241

200987

n= 20Media de Qi141.6

Desviacin Estndar51.94S

El valor extremo viene dado por:

yn =0.5236

n =1.0628

Donde el valor de K se obtiene de y la tabla de valores de yn y n en funcin de n que para nuestro caso es:

De la frmula de Gumbel:-

Cdigo: 201121487CdigoOrdenandoT(aos)

2130

1260

44120

87210

78240

T(aos)Caudal(m3/s)

30281.40

60315.69

120349.77

210377.21

240383.75

MTODO DE LOG PEARSON IIIPara la serie de caudales mximos anuales, siguiente, obtener los caudales de periodo de retorno de 25, 50, 100, 200 y 500 aos.AOSQ, m3/sy= log(Qi)(y - yprom)( y - Yprom)^3

19902092.3200.2050.00859

19911132.053-0.062-0.00024

19921022.009-0.107-0.00122

19931662.2200.1050.00115

19941882.2740.1590.00401

19951812.2580.1420.00289

1996831.919-0.196-0.00756

19971792.2530.1380.00260

19981362.1340.0180.00001

19991352.1300.0150.00000

20001012.004-0.111-0.00137

20011102.041-0.074-0.00040

20022032.3070.1920.00710

2003311.491-0.624-0.24292

20041362.1340.0180.00001

20051252.097-0.018-0.00001

20061922.2830.1680.00474

20071142.057-0.058-0.00020

20082412.3820.2670.01897

2009871.940-0.176-0.00543

n = 20Promedio de y = log(Qi) = 2.115

Desviacin Estndar y = log(Qi) S = 0.199Suma de Qi Qi = 2832 m3/sSuma de ( y - Yprom)^3 ( y - Yprom)^3 = -0.2093Momento de tercer ordenM3 = -0.0122Coeficiente de Sesgo Coeficiente de Asimetra = -1.56Para obtener el valor de KT para la distribucin de Pearson III el coeficiente de asimetra es negativo por ende se usara la siguiente tabla para la interpolacin:

Coeficiente de Asimetra = -1.56Entonces se tendr que interpolar -1.56 con -1.5 y -1.6. Cs (para 25 aos) KT = (-1)*(((1.5-1.56)/(1.5-1.6)*(1.157-1.116))-1.157) KT (25 aos) = 1.132 Cs (para 50 aos) KT = (-1)*(((1.5-1.56)/(1.5-1.6)*(1.217-1.166))-1.217) KT (50 aos) = 1.186 Cs (para 100 aos) KT = (-1)*(((1.5-1.56)/(1.5-1.6)*(1.256-1.197))-1.256) KT = (100 aos) = 1.221 Cs (para 200 aos) KT = (-1)*(((1.5-1.56)/(1.5-1.6)*(1.282-1.216))-1.282) KT (200 aos) = 1.242

Cs = -1.56

KT 25 aos

1.132

KT 50 aos

1.186

KT 100 aos

1.221

KT 200 aos

1.242

INTERPOLANDO KT PARA 30 AOS, 60 AOS, 120 AOS, 210 AOS, 240 AOS.

CdigoOrdenandoT(aos)

2130

1260

44120

87210

78240

KT para 30 aos KT = (-1)*((((25-30) / (25-50))*(1.132-1.186))-1.132) KT =1.143 KT para 60 aos KT = (-1)*((((50-60) / (50-100))*(1.186-1.221))-1.186) KT = 1.193 KT para 120 aos KT = (-1)*((((100-120) / (100-200))*(1.221-1.242))-1.221) KT = 1.225 KT para 210 aos KT = (-1)*((((100-210) / (100-200))*(1.221-1.242))-1.221) KT = 1.245 KT para 240 aos KT = (-1)*((((100-240) / (100-200))*(1.221-1.242))-1.221) KT = 1.251KT

Para 30 aos1.143

Para 60 aos1.193

Para 120 aos1.225

Para 210 aos1.245

Para 240 aos1.251

CAUDALES EXTREMOS T (aos)P = 1/T%K (Tabla)logQt = logQt prom+ KSCaudales Extremos (m3/s)

300.03333.331.1432.34220.0

600.01671.671.1932.35225.1

1200.00830.831.2252.36228.4

2100.00480.561.2452.36230.5

2400.00420.421.2512.36231.2

CONCLUSIONESSe obtuvieron los caudales extremos por ambos mtodos.MTODO DE GUMBELT(aos)Caudal Extremos(m3/s)

30281.40

60315.69

120349.77

210377.21

240383.75

MTODO DE LOG PEARSON IIIT (aos)Caudales Extremos (m3/s)

30220.0

60225.1

120228.4

210230.5

240231.2

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