Trabajo microeconomia avanzada - Problema del consumidor

TEORIA DEL CONSUMIDOR AVANZADAProf. Luis Gracia1

INTEGRANTES:

Tolentino Raymondi, Edinson Edu

Zenon Armando, Gonzales Medina

1Profesor a cargo del curso de Microeconomia Avanzada

PONTIFICA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU

1. PARTE I

1) Determinar cuales de los conjuntos siguientes son convexos, dibujando cada uno en el plano xy.

a. Sea el conjunto A = {(x, y) : x2 + y2 < 2}El grafica N◦01 muestra el conjunto corresponde a una circunferencia de radio

√2 y de

centro (0, 0), deduciendo que el conjunto es abierto en todo el espacio de la circunferencia.La combinacion λX + (1− λ)Y ε A entonces se concluye que el conjunto A es convexo

Grafico N◦1

b. Sea el conjunto B = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}El grafica N◦02 muestra el conjunto corresponde al conjunto de puntos que ε a R2

+, es decirel cuadrante positivo, entonces el conjunto B es cerrado. La combinacion λX + (1− λ)Yε B entonces el conjunto B es convexo.

Grafico N◦2

2

Maestrıa en economıa: microeconomıa avanzada

c. Sea el conjunto C = {(x, y) : x2 + y2 > 8}El grafica N◦03 muestra el conjunto corresponde a una circunferencia de radio

√8 y de

centro (0, 0), el conjunto es abierto en todo el espacio de la circunferencia, es decir losvalores del conjunto son mayores al radio. La combinacion λX+(1−λ)Y ε A toma puntosque no pertenecen al conjunto C entonces el conjunto C es no convexo.

Grafico N◦3

d. Sea el conjunto D = {(x, y) : xy ≤ 1}El grafica N◦04 muestra la hiperbola, el conjunto es cerrado en todo el espacio de lahiperbola, toma valores menores a 1,es decir el conjunto por debajo de la hiperbola yla frontera.La combinacion λX + (1 − λ)Y toma puntos que no pertencen al conunto Dentonces el conjunto D es no es convexo.

Grafico N◦4

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2) Encontrar que si la funcion CES denotada como U(x1, x2) = (xρ1 + xρ2)1/ρ

, es concava. ¿Estambien cuasiconcava?

Aplicando la matriz Hessiana Orlada la funcion CES tenemos:

B =

0 U1 U2

U1 U11 U12

U2 U21 U22

Solucion: las derivadas parciales

U1 = 1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ ρxρ−1

1

U2 = 1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ ρxρ−1

2

U11 = 1−ρρ2

(xρ1 + xρ2)1−2ρρ

(ρxρ−1

1

)2+ 1

ρ (xρ1 + xρ2)1−ρρ ρ(ρ− 1)xρ−2

2

U12 = 1−ρρ2

(xρ1 + xρ2)1−2ρρ

(ρxρ−1

1

) (ρxρ−1

2

)U21 = 1−ρ

ρ2(xρ1 + xρ2)

1−2ρρ

(ρxρ−1

1

) (ρxρ−1

2

)U22 = 1−ρ

ρ2(xρ1 + xρ2)

1−2ρρ

(ρxρ−1

1

)2+ 1

ρ (xρ1 + xρ2)1−ρρ ρ(ρ− 1)xρ−2

2

Evaluando los menores principales, tenemos:

| B1 |=[

0 U1

U1 U11

]= −U2

1 = −[

1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ

(ρxρ−1

1

)]2

< 0

| B1 |=

0 U1 U2

U1 U11 U12

U1 U21 U21

= 0 + U1U12U2 + U2U1U21 − U21U22 − 0− U2

2U11

| B1 |= 2U1U12U2 − U21U22 − U2

2U11

| B1 |= 2

[1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ

(ρxρ−1

1

)] [1−ρρ2

(xρ1 + xρ2)1−2ρρ

(ρxρ−1

1

) (ρxρ−1

2

)] [1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ

(ρxρ−1

2

)]−[

1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ

(ρxρ−1

1

)]2 [1−ρρ2

(xρ1 + xρ2)1−2ρρ

(ρxρ−1

2

)2+ 1

ρ (xρ1 + xρ2)1−ρρ ρ (ρ− 1)xρ−2

2

]−[

1ρ (xρ1 + xρ2)

1−ρρ

(ρxρ−1

2

)]2 [1−ρρ2

(xρ1 + xρ2)1−2ρρ

(ρxρ−1

1

)2+ 1

ρ (xρ1 + xρ2)1−ρρ ρ (ρ− 1)xρ−2

2

]> 0

Entonces podemos concluir que la funcion CES es estrictamente cuasiconcava.

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2. PARTE II

3) Dada la siguiente funcion de utilidad U(X1, X2) =√X1 + X2, si el consumidor enfrenta los

precios P1 y P2 con el ingreso W , obtenga las demandas marshalianas usando las condicionesde primer orden de Kuhn - Tucker.

maxU(X1, X2) =√X1 +X2

P1X1 + P2X2 ≤W

L(X1, X2,W ) =√X1 +X2 + λ{W − P1X1 − P2X2}

Condiciones de primero orden (C.P.O)

∂L∂X1

= 0⇒ X−1/212 − λP1 ≤ 0;X1 ≥ 0;

(X

−1/212 − λP1

)X1 = 0

∂L∂X2

= 0⇒ 1− λP2 ≤ 0;X2 ≥ 0;(1− λP2)X2 = 0

∂L∂λ = 0⇒W − P1X1 − P2X2 ≥ 0;λ ≥ 0;(W − P1X1 − P2X2)λ = 0

Caso 1:λ = 0Para este primer caso tenemos, λ = 0⇒ 1

2√X1≤ 0. Donde tenemos ∞ ≤ 0

Caso 2:X1 > 0 y X2 > 0 Tenemos una solucion interiorPara este segundo caso tenemos,

12√X1

= λP1

λ = 12P1√X1

Asu vez se deduce que

1 = λP2

λ = 1P2

Reemplazando tenemos:

X∗1 =P 22

4P 21

Con este valor reemplazandolo enla restricicion presupuestaria:

W = P1

(P 22

4P 21

)+ P2X2

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W − P 22

4P1= P2X2

X∗2 =W

P2− P2

4P1

Reemplazando en la funciond e utilidad , tendremos la funcion de utilidad indirecta:

maxU(X1, X2) =√X1 +X2

U(X1, X2) =√X1 +X2

U(X1, X2) =

√P 22

4P 21

+ WP2− P2

4P1

U(X1, X2) =W

P2− P2

4P1

Caso 3:

λ > 0 ; X1 > 0; X2 = 0

12√X1

= λP1

λ = 12P1√X1

Por otro lado, tenemos:

(W − P1X1 − P2X2)λ = 0

W = P1X1

Posible solucion:

X∗1 =W

P1

X∗2 = 0

Caso 4:

λ > 0 ; X1 = 0; X2 > 0

Para este cuarto caso, tenemos:

1− λP1 = 0

λ =1

P1

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Asi mismo, tenemos:

W − P2X2 = 0

W = P2X2

Enronces tenemos como posible solucion:

X∗1 = 0 y ademas X∗2 = WP2

Dada la funcion de utilidad indirecta V (P1, P2,W ) = WP1+P2

, obtenga la funcion de gasto y lasdemandas compensadas hicksianas. Obtenga tambien la funcion de demanda marshaliana de cadabien.Identidad de Roy:

X1(P1, P2,W ) = −∂V∂P1

∂V∂W

= −(−W (P1 + P2)−2

(P1 + P2)−1

)Por lo tanto las demandas marshelianas, son:

X∗1 =W

P1 + P2

X∗2 =W

P1 + P2

Entre las relaciones de la funcion de utilidad y la funcion de gasto, tenemos:

U =e(P1, P2, U)

P1 + P2

Entonces la funcion de gastos sera:

e (P1, P2, U) = U (P1 + P2)

Las demandas hicksianas a traves del lema de sheppard,son:

Xh1 = U

y para la segunda

Xh2 = U

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3. PARTE III

5) Funcion de utilidad con individuos con preferencias sobre el consumo c y ocio l.

Definimos la funcion de utilidad como:

U(c, l) = αln(c) + (1− α)ln(l)

s.a c ≤ w(1− l) + y

a. Dibuje la restriccion presupuestaria de este consumidor

Grafico N◦5

b. Resolviendo y usando KKT

L = αln(c) + (1− α)ln(l) + λ (w + y − c+ wl)

∂L∂c = α

c − λ ≤ 0 ; c ≥ 0 ;(αc − λ

)c = 0

∂L∂l = 1−α

l − λw ≤ 0 ; l ≥ 0 ;(

1−αl − λw

)l = 0

∂L∂λ = w + y − (c+ wl) ≥ 0 ; λ ≥ 0 ; (w + y − (c+ wl))λ = 0

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Sea la solucion interna:

c > 0; l > 0 y λ > 0

Entonces tenemos:α

c− λ = 0

λ = αc (1)

Asi mismo:

1− αl− = 0

λ = 1−αlw (2)

De la ecuacion (1) y (2), tenemos:α

c=

1− αlw

Despejando c, tenemos:

c = α1−α lw

Reemplazando esta ultima ecuacion en la restriccion presupuestaria, tenemos:[w + y −

(α

1− αlw + wl

)](1− α)

α= 0

[w + y −

(1

1− αlw

)](1− α) = 0

(w + y)(1− α)− lw = 0

α = 1− lw

w + y

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Donde el valor de l = 1, se debe cumplir que:

α = 1− w

w + y

De esta afirmacion se deduce que el consumidor decide no trabajar.

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c. ¿Si el gobierno decide aplicar un impuesto al salario si el ingreso total supera cierto nivel y∗

?. Dibuje la nueva recta de presupeusto. Discuta graficamente que nuevas soluciones podrıandarse.

Si se aplica un impuesto al exceso de salario, entonces el ingreso total serıa:

t =

{w(1− l) + y w(1− l) + y ≤ y∗

w(1− τ)(1− l) + y w(1− l) + y > y∗

Recta de presupuesto

c = yT

c = w(1− l) + y si w(1− l) + y ≤ y∗

c = w(1− τ)(1− l) + y si w(1− l) + y > y∗

Por lo tanto, tenemos:

c+ wl = w + y , w ≤ y∗ − y + wl entonces l ≥ w−y∗+yw

c+ w(1− τ)l = w(1− τ) + y , w > y∗ − y + wl entonces l ≥ w−y∗+yw

Grafico N◦6

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