Trabajo monográfico Trabajo monográfico de límitesde límites

Jose Alberto Gil DuranJose Alberto Gil Duran

1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen infinitamente pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como límites y se suelen considerar como números en la estrictamente como límites y se suelen considerar como números en la práctica. El cálculo infinitesimal fue creado para resolver los principales práctica. El cálculo infinitesimal fue creado para resolver los principales problemas científicos del siglo XVII. Constituye una parte muy importante de problemas científicos del siglo XVII. Constituye una parte muy importante de la matemática moderna. El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo la matemática moderna. El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y de la matemática, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las series infinitas, y constituye una gran parte de la educación de las universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el universidades modernas. Más concretamente, el cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del estudio del cambio, en la misma manera que la geometría es el estudio del espacio. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la espacio. El cálculo infinitesimal tiene amplias aplicaciones en la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la sola es insuficiente. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.

2.- ¿Qué matemático desarrolló el concepto 2.- ¿Qué matemático desarrolló el concepto

de límite de función en el siglo XVII?de límite de función en el siglo XVII?

Los matemáticos que desarrollaron el concepto de límite de función en el siglo Los matemáticos que desarrollaron el concepto de límite de función en el siglo XVII fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibnitz. Se coronó así un XVII fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibnitz. Se coronó así un enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos, enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos, muchos y muy destacados matemáticos, y cuyos inicios se remontan a los muchos y muy destacados matemáticos, y cuyos inicios se remontan a los métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Sin métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Sin embargo, no fue sino hasta principios del siglo XIX que Augustin-Louis embargo, no fue sino hasta principios del siglo XIX que Augustin-Louis Cauchy dio una sólida base matemática a la noción de límite, introduciendo Cauchy dio una sólida base matemática a la noción de límite, introduciendo de esa manera la «exactitud» en el análisis matemático. A lo largo de los casi de esa manera la «exactitud» en el análisis matemático. A lo largo de los casi 200 años que van desde Newton y Leibnitz hasta Cauchy, se produjeron 200 años que van desde Newton y Leibnitz hasta Cauchy, se produjeron extraordinarios avances en el análisis matemático y en sus aplicaciones a la extraordinarios avances en el análisis matemático y en sus aplicaciones a la física y la geometría, pero en un lenguaje que, a falta de rigor matemático, física y la geometría, pero en un lenguaje que, a falta de rigor matemático, recurría a menudo a la intuición y se prestaba a interpretaciones confusas o recurría a menudo a la intuición y se prestaba a interpretaciones confusas o erróneas. El concepto vago de “infinitamente pequeño”, derivado por erróneas. El concepto vago de “infinitamente pequeño”, derivado por Leibnitz, ha sido sustituido por el concepto preciso de límite, dado por Leibnitz, ha sido sustituido por el concepto preciso de límite, dado por Cauchy.Cauchy.

3.- Idea intuitiva de límite. 3.- Idea intuitiva de límite. Idea formal de límiteIdea formal de límite

Se dice que el límite de una función y = f(x) en un punto X=0 es el valor al Se dice que el límite de una función y = f(x) en un punto X=0 es el valor al que tiende la función en puntos muy próximos a X=0. Ej.: xque tiende la función en puntos muy próximos a X=0. Ej.: x0 = 0.01, 0.001, 0 = 0.01, 0.001, 0.001, 0.0001… Es el número al cual se van aproximando los términos de una 0.001, 0.0001… Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión.sucesión.

Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que estéesté tan cerca tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice: el límite de una de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice: el límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .para todo número real x en el dominio de la función .

4.-4.- Propiedades de los límites de Propiedades de los límites de

funcionesfunciones Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el

infinito. Entonces:infinito. Entonces:

En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:siguientes:

5.- Límites de funciones en un punto. 5.- Límites de funciones en un punto.

Cálculo de límitesCálculo de límites Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos calcular porque el dominio de definición está en el No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular aunque 3 no pertenezca al Sin embargo si podemos calcular aunque 3 no pertenezca al dominio, Domf(x)=dominio, Domf(x)=R R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos. Ej.: 2.9, 2.99, 2.999… 3.01, 3.001, 3.0001próximos a 3 como queramos. Ej.: 2.9, 2.99, 2.999… 3.01, 3.001, 3.0001……

6.- ¿Qué es una indeterminación? 6.- ¿Qué es una indeterminación? ¿Cuántas existen? ¿Cuántas existen?

Una indeterminación es una cifra que no puedes decir "esta cifra existe", es Una indeterminación es una cifra que no puedes decir "esta cifra existe", es decir, una forma de indeterminación es 0/0 "cero partido de cero", es como decir, una forma de indeterminación es 0/0 "cero partido de cero", es como decir tengo nada entre nada en matemática eso es una indeterminación. Se decir tengo nada entre nada en matemática eso es una indeterminación. Se expresan como una cantidad inexacta. expresan como una cantidad inexacta.

Indeterminación del tipo 0 / 0Indeterminación del tipo 0 / 0

Indeterminación del tipo infinito / infinitoIndeterminación del tipo infinito / infinito

Indeterminación del tipo 0 · infinitoIndeterminación del tipo 0 · infinito

7.- Calculo de límites con 7.- Calculo de límites con

indeterminacionesindeterminaciones Indeterminación del tipo 0 / 0Indeterminación del tipo 0 / 0

lim = lim = -2x2 + 5x - 2-2x2 + 5x - 2 = = 0 0 = Ind. = Ind. xx2 3x2 - 2x - 8 02 3x2 - 2x - 8 0

· Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y · Para resolverlo, expresamos cada polinomio como un producto y simplificamos los factores comunes. Para ello, factorizamos cada simplificamos los factores comunes. Para ello, factorizamos cada polinomio por Ruffini.polinomio por Ruffini.

-2x2 + 5x - 2 = (x - 2)(-2x + 1) // x2 - 2x - 8 = (x - 2)(3x + 4) [Ruffini]

Lim = Lim = (x - 2)(-2x + 1)(x - 2)(-2x + 1) = = -3-3xx2 2 (x - 2)(3x + 4)(x - 2)(3x + 4) 10 10

Indeterminación del tipo infinito / infinitoIndeterminación del tipo infinito / infinito

Indeterminación del tipo 0 · infinitoIndeterminación del tipo 0 · infinito

Se transforma a ó a Se transforma a ó a

Ej.: Ej.: Introducimos el 1º factor en la raíz Introducimos el 1º factor en la raíz

8.- ¿Qué es la derivada de una 8.- ¿Qué es la derivada de una función? Demostración gráficafunción? Demostración gráfica

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Se valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. Se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.derivada de una cierta función en un punto dado.

Trabajo realizado por…Trabajo realizado por…

José Alberto Gil Durán José Alberto Gil Durán

@Albertxzr on Twitter@Albertxzr on Twitter