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INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
Trabajo Practico Guiado
Objetivo:
Que el estudiante de introducciΓ³n al algebra lineal incorpore los conceptos de matrices,
tanto a travΓ©s del aprendizaje y aplicaciΓ³n de la definiciΓ³n de matrices, comprender la
manera de clasificarlas, ademΓ‘s mediante el uso de mΓ©todos y reglas incorporar los
procesos de las operaciones con matrices, siendo estos la suma, resta y multiplicaciΓ³n
por un escalar. Que comprenda la relaciΓ³n entre las operaciones elementales que se
pueden hacer entre filas y/o columnas dentro de una matriz a fin de resolver dichos
procesos. Que aprenda a aplicarlas para resolver los productos entre matrices. Una vez
asociados los conceptos anteriores y mediante la utilizaciΓ³n del MΓ©todo de Gauss y
Gauss- JordΓ‘n le permita obtener la inversa de una matriz. Aprender el concepto de
determinante de una matriz, cuΓ‘les son sus propiedades y como obtengo la inversa de
una matriz a travΓ©s del uso del determinante.
ClasificaciΓ³n y operaciones con matrices
Ejercicio 1. Una compaΓ±Γa de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y cada una de ellas
de tres modelos: E(econΓ³mico), M (medio) y L (lujo). Cada mes produce 20 modelos E, 15
modelos M y 10 modelos L de butacas; 12 modelos E, 8 modelos M y 5 modelos L de
mecedoras; y 18 modelos E, 20 modelos M y 12 modelos L de sillas. Representa esta
informaciΓ³n en una matriz.
SoluciΓ³n
Para poder resolver este ejercicio y construir una matriz con los datos debemos hacer
un anΓ‘lisis y ser capaces de cruzar los mismos entre sΓ.
Sabemos que:
De Butacas (B) tenemos por mes: 20 E;15 M; y 10 L.
De Mecedoras (Me) tenemos por mes: 12E; 8 M y 5 L.
De Sillas (S) tenemos por mes : 18 E; 20 M y 12 L.
Ahora escribamos esto en formato matricial:
πΈ π πΏ
π΅πππ
[20 15 1012 8 518 20 12
]
NΓ³tese que se colocΓ³ como columnas de la matriz los modelos de cada producto que se
producen mensualmente y como filas los productos realizados por la compaΓ±Γa.
Ejercicio 2. Obtiene la forma general de una matriz de orden 2 que sea antisimΓ©trica. GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en la definiciΓ³n de matriz antisimetrica.
Ejercicio 3. Propone un ejemplo de una matriz de orden 4 que sea diagonal. GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en la definiciΓ³n de matriz diagonal.
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes Ejercicio 4. Coloca V o F segΓΊn corresponde: GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en las definiciones de los diferentes tipos de matrices y las operaciones simples. Ejercicio 5. Sea las matrices
π΄ = [2 β13 01 β3
] π΅ = [4 0 01 2 35 β1 1
] πΆ = [1 β2 10 2 β43 β1 6
] π· = [3 β40 02 β1
]
EfectΓΊa cuando sean posible los siguientes cΓ‘lculos:
a. B+C b. A+(-C)
c. π΅π + πΆπ d. π΄ + π΅ e. π΄π + (βπ·) f. D+(-D) g. B+D
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos en la clasificaciΓ³n de matrices y en operaciones con matrices, resolveremos los ejercicios 5.c y 5.e a modo de ejemplo y el resto de los ejercicios los resolverΓ‘ usted solo. Que necesitamos previamente para poder resolver la operaciΓ³n:
Matriz opuesta: DefiniciΓ³n de matriz opuesta.
DefiniciΓ³n de matriz transpuesta. Como primer punto a tener en cuanta debo saber que para poder realizar cualquier operaciΓ³n
entre matrices estas deben tener el mismo orden, caso contrario la operaciΓ³n no puede ser
realizada.
Ejercicio 5c
Debo calcular primero la transpuesta de ambas matrices, para calcular la matriz transpuesta se
tendrΓ‘ en cuenta que se intercambiaran los elementos de las filas que pasaran a ser elementos
de las columnas, es decir el elemento πππ se convertirΓ‘ en el elemento πππ.
1. CΓ‘lculo de π΅π
π΅ = [4 0 01 2 35 β1 1
] β π΅π = [4 1 50 2 β10 3 1
]
2. Calculo de πΆπ
πΆ = [1 β2 10 2 β43 β1 6
] β πΆπ = [1 0 3
β2 2 β11 β4 6
]
Para realizar la operaciΓ³n de suma de dos o mΓ‘s matrices (A; Bβ¦) se deben sumar los elementos de las mismas que se encuentren en la misma posiciΓ³n, y se obtendrΓ‘ una matriz C cuyas componentes serΓ‘n los elementos sumados de las matrices correspondientes, en nuestro caso π΅ππ¦ πΆπ . π΄π Γ:
πππ + πππ = πππ
3. Calculo de π΅π + πΆπ
[4 1 50 2 β10 3 1
] + [1 0 3
β2 2 β11 β4 6
] = [
4 + 1 1 + 0 5 + 30 + (β2) 2 + 2 (β1) + (β1)
0 + 1 3 + (β4) 1 + 6]
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
= [5 1 8
β2 4 β21 β1 7
] = π΅π + πΆπ
Ejercicio 5e
Debo calcular la matriz opuesta de C, para calcularla se realiza la operaciΓ³n previa de multiplicar la matriz C por el escalar (-1). Y como sabemos esta operaciΓ³n implica multiplicar cada elemento de la matriz por dicho escalar.
1. Calculo de (-C)
βπΆ = (β1) β [3 β40 02 β1
] = [
(β1) β 3 (β1) β β4(β1) β 0 (β1) β 0(β1) β 2 (β1) β β1
] = [β3 40 0
β2 1]
2. CΓ‘lculo de A+(-C)
π΄ + (βπΆ) = [2 β10 31 β3
] + [3 β40 02 β1
] = [2 β 3 β1 + 40 + 0 3 + 0
1 + (β2) β3 + 1]
= [β1 30 3
β1 β2]
Ejercicio 6. Sean las matrices
π΄ = [3 β2 01 1 β42 β1 0
] π΅ = [β2 0 00 1 00 0 3
] πΆ = [4 β62 1
] π· = [2 5
β3 0]
EfectuΓ© los siguientes cΓ‘lculos:
a. D*C
b. C*I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
c. π΅π β π΄
d. πΆπ β π· e. A*0, siendo 0 la matriz nula de orden 3.
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos en la clasificaciΓ³n de matrices y en operaciones con
matrices, resolvemos los ejercicios 6.a y 6.c.; a modo de ejemplo y el resto de los ejercicios los
resolverΓ‘ usted solo.
Que necesitamos previamente para poder resolver la operaciΓ³n:
Matriz transpuesta. DefiniciΓ³n.
Matriz identidad.
Matriz nula.
Como primer punto a tener en cuanta debo saber que para poder realizar una multiplicaciΓ³n
de matrices debe cumplirse la siguiente condiciΓ³n: Sea A una matriz de orden m*n y B una
matriz de orden n*k. Se define el producto A*B como una matriz C, que tendrΓ‘ orden m*k;
para obtener los elementos componentes de la matriz respuesta, se realizan estas
operaciones.
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes Ejemplo (propuesto):
π΄ = [2 1 34 0 1
] π¦ π΅ = [1 22 11 0
]
NΓ³tese que el orden de A es 2*3 (fila- columna) y el orden de B es 3*2, al realizar el producto
la respuesta deberΓa ser una matriz cuyo orden sea dado por el numero de filas de A y el de
columnas de B, luego el orden serΓ‘ 2*2.
[π11 π12 π13
π21 π22 π23] β [
π11 π12
π21 π22
π31 π32
] = [π11 π12
π21 π22]
Los elementos de la matriz C serΓ‘n calculados de la siguiente forma:
π11 = π11 β π11 + π12 β π12 + π13 β π13 =
Y asΓ repetir la formula con cada elemento de C
π΄ β π΅ = [2 1 34 0 1
] β [1 22 11 0
] =
Luego los elementos de nuestra matriz ejemplo serΓ‘n:
π11 = 2 β 1 + 1 β 2 + 3 β 1 = 7
π12 = 2 β 2 + 1 β 1 + 3 β 0 = 5
π21 = 4 β 1 + 0 β 2 + 1 β 1 = 5
π22 = 4 β 2 + 0 β 1 + 1 β 0 = 8
Reemplazando:
π΄ β π΅ = [2 1 34 0 1
] β [1 22 11 0
] = [7 55 8
]
Primero debemos verificar si es posible resolver el producto, entonces la matriz D es de orden
2*2 y el orden de C es 2*2, de lo antes explicado si debe deducir que para poder realizar el
producto la cantidad de columnas de D debe ser igual que la cantidad de filas de C, como esto
sucede procedemos a hacer la multiplicaciΓ³n.
La matriz respuesta por lo dicho tendrΓ‘ un orden 2*2
π· β πΆ =β [2 5
β3 0] β [
4 β62 1
] = [π11 π12
π21 π22]
1. Calculo πππ
π11 = 2 β 4 + 5 β 2 = 18
π12 = 2 β (β6) + 5 β 1 = β7
π21 =β 4 + 0 β 2 = β12
π22 = (β3) β (β6) + 0 β 1 = 18
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
2. Resolvemos el producto
Una vez resuelto los coeficientes πππ reemplazamos en la posiciΓ³n que corresponda:
β πΆ = [4 β62 1
] β [2 5
β3 0] = [
18 β712 18
]
Ejercicio 6c
Para poder calcular este producto primero debemos calcular la transpuesta de B
1. CΓ‘lculo de π΅π
π΅ = [β2 0 00 1 00 0 3
] β π΅π = [β2 0 00 1 00 0 3
]
Por tratarse de una matriz diagonal su transpuesta es igual a la matriz original.
NOTA: Se coloco este calculo en le proceso a fin de que se entienda que todas estas
operaciones deben resolverse previo a realizar el producto.
2. VerificaciΓ³n de los Γ³rdenes de las matrices
El orden de π΅π es 3*3 y el orden de A es 3*3, la matriz resultante serΓ‘ entonces de
3*3.
π΅π β π΄ = [β2 0 00 1 00 0 3
] β [3 β2 01 1 β42 β1 0
] = [
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
]
3. CΓ‘lculo de los coeficientes πππ
π11 = (β2) β 3 + 0 β 1 + 0 β 2 = β6
π12 = (β2) β (β2) + 0 β 1 + 0 β (β1) = 4
π13 = (β2) β 0 + 0 β (β4) + 0 β 0 =
π21 = 0 β 3 + 1 β 1 + 0 β 2 = 1
π22 = 0 β (β2) + 1 β 1 + 0 β (β1) = 1
π23 = 0 β 0 + 1 β (β4) + 0 β 0 = β4
π31 = 0 β 3 + 0 β 1 + 3 β 2 = 6
π32 = 0 β (β2) + 0 β 1 + 3 β (β1) = β3
π33 = 0 β 0 + 0 β (β4) + 3 β 0 = 0
4. Resolvemos el producto
π΅π β π΄ = [β2 0 00 1 00 0 3
] β [3 β2 01 1 β42 β1 0
] = [β6 4 01 1 β46 β3 0
]
Ejercicio 7. Dadas las siguientes matrices, M y P; compruebe que
π = [3 β24 1
] π¦ π = [β1 β35 0
]
a. (π + π)π = ππ + ππ .
b. (3π)π = 3 β ππ .
c. (π β π)π = ππ β ππ
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en las definiciones de los diferentes tipos de matrices y las
operaciones simples
Ejercicio 8. Hallar las matrices X e Y que verifican el siguiente sistema:
{2π + π = [
1 42 0
]
π + π = [1 β11 0
]
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos en la clasificaciΓ³n de matrices y en operacione con
matrices, para poder resolver este sistema vamos a plantear el sistema de ecuaciones con las
correspondientes operaciones matriciales. Para resolver este ejercicio existen dos maneras de
plantear la soluciΓ³n:
Primera forma de planteo
1. Resolvemos la primera ecuaciΓ³n Para resolver esta primera ecuaciΓ³n realizamos las operaciones matriciales correspondientes:
Producto de una matriz por un escalar.
Suma de matrices
2π + π = [1 42 0
]
a. Definimos las matrices X e Y
π = [π₯1 π₯2
π₯3 π₯4] π¦ π = [
π¦1 π¦2
π¦3 π¦4]
b. Reemplazamos en la ecuaciΓ³n
2 β [π₯1 π₯2
π₯3 π₯4] + [
π¦1 π¦2
π¦3 π¦4] = [
1 42 0
]
c. Realizamos las operaciones
[2π₯1 + π¦1 2π₯2 + π¦2
2π₯3 + π¦3 2π₯4 + π¦4] = [
1 42 0
]
De allΓ se forman 4 expresiones 2π₯1 + π¦1 = 1 2π₯2 + π¦2 = 4 2π₯3 + π¦3 = 2 2π₯4 + π¦4 = 0
2. Resolvemos la segunda ecuaciΓ³n
π₯1 + π¦1 = 1 π₯2 + π¦2 = β1 π₯3 + π¦3 = 1 π₯4 + π¦4 = 0
3. Planteamos cada sistema resoluciΓ³n
{2π₯1 + π¦1 = 1π₯1 + π¦1 = 1
{2π₯2 + π¦2 = 4π₯2 + π¦2 = β1
{2π₯3 + π¦3 = 2π₯3 + π¦3 = 1
{2π₯4 + π¦4 = 0π₯4 + π¦4 = 0
π₯4 = βπ¦4 β 2 β (βπ¦4) + π¦4 = 0 β βπ¦4 = 0 β π¦4 = 0 β π₯4 = 0
π₯3 = 1 β π¦3 β 2 β (1 β π¦3) + π¦3 = 2 β 2 β 2π¦3 + π¦3 = 2 β 2 β π¦3 = 2 β βπ¦3 = 0 β
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes π¦3 = 0 β π₯3 = 1
π₯2 = β1 β π¦2 β 2 β (β1 β π¦2) + π¦2 = 4 β β2 β 2π¦2 + π¦2 = 4 β β2 β π¦2 = 4 β
βπ¦2 = 4 + 2 β π¦2 = β6 β π₯2 = 5
π₯1 = 1 β π¦1 β 2(1 β π¦1) + π¦1 = 1 β 2 β 2π¦1 + π¦1 = 1 β 2 β π¦1 = 1 β
βπ¦1 = β1 β π¦1 = 1 β π₯1 = 0
4. Reemplacemos los valores obtenidos
π = [0 51 0
] π π = [1 β60 0
]
Segunda forma de planteo
{2π + π = [
1 42 0
]
π + π = [1 β11 0
]β {
2π + π = π΅π + π = π΄
1. Resolvemos el sistema de ecuaciones
Para resolver el sistema:
Tomamos la segunda expresiΓ³n y despejamos Y
π = π΄ β π
Sustituimos Y en la primera expresiΓ³n:
2π + (π΄ β π) = π΅
2π + π΄ β π = π΅
2π β π = π΅ β π΄
π = π΅ β π΄
Realizamos la operaciΓ³n entre las matrices A y B
π = π΅ β π΄ = [1 42 0
] β [1 β11 0
] = [0 51 0
]
Reemplazamos la matriz obtenida en la ecuaciΓ³n de Y, y operamos
π = π΄ β π = [1 42 0
] β [0 51 0
] = [1 β60 0
]
Ejercicio 9. Aplicando la definiciΓ³n de matriz inversa, encuentra, si es posible, la inversa de cada una de las siguientes matrices.
π΄ = [1 22 3
] π΅ = [2 3
β1 β3
2
] πΆ = [β1 1 2β3 0 3
] π· = [0 β2 3
β2 1 42 β1 β4
]
πΈ = [1 2 1
β3 β5 09 15 2
]
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos en operaciones con matrices y partiendo de la
definiciΓ³n de la matriz inversa, podemos resolver el ejercicio planteado. A modo de ejemplo se
resolverΓ‘ la matriz inversa de la matriz E.
Que necesitamos previamente para poder resolver la operaciΓ³n:}
DefiniciΓ³n de matriz identidad.
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
MultiplicaciΓ³n entre matrices.
DefiniciΓ³n de matriz inversa.
Para poder resolver el ejercicio propuesto debemos recordar la definiciΓ³n de matriz inversa,
sea:
π΄ β π΅ = π΅ β π΄ = πΌ
π΄ β π΄β1 = π΄β1 β π΄ = πΌ
Como ya sabemos multiplicar matrices, el procedimiento que debemos realizar es encontrar
una matriz tal que el producto entre esta y nuestra matriz dato (en nuestro caso E), de como
resultado la matriz identidad correspondiente. A partir de ahora llamaremos a la matriz
incΓ³gnita πΈβ1.
πΈ β πΈβ1 = πΈβ1 β πΈ = πΌ
Para poder realizar el producto habrΓ‘ que revisar los nΓΊmeros de orden de las matrices
intervinientes. El orden de E es 3*3, el orden de la matriz identidad debe ser 3*3, por ello y por
lo que sabemos del producto del orden de πΈβ1 debe ser 3*3.
Llamaremos a
πΈβ1 = [
π π ππ π ππ β π
]
πΈ β πΈβ1 = [1 2 1
β3 β5 09 15 2
] β [
π π ππ π ππ β π
] = [1 0 00 1 00 0 1
]
Cuando realicemos las operaciones; encontraremos un conjunto de expresiones algebraicas
que al resolverse nos irΓ‘n respondiendo los coeficientes dentro de la matriz πΈβ1.
Para simplificar el proceso, y como el alumno ya sabe multiplicar solo plantearemos los
siguientes sistemas de ecuaciones:
{π + 2π + π = 1
9π + 15π + 2π = 0β3π β 5π = 0
{π + 2π + β = 0
9π + 15π + 2β = 0β3π β 5π = 1
{
π + 2π + π = 09π + 15π + 2π = 1
β3π β 5π = 0
1. Resolvamos el primer sistema
{π + 2π + π = 1
9π + 15π + 2π = 0β3π β 5π = 0
β3π β 5π = 0 β β5π = 3π β π = β3
5π
9π + 15(β3
5π) + 2π = 0 β 9π + 3(β3π) + 2π = 0 β
9π + (β9π) + 2π = 0 β 2π = 0 β π = 0
π + 2π + π = 1 β π + 2(β3
5π) + 0 = 1 β π + (β
6
5π) = 1 β (β
1
5π) = 1 β
π = β5 β π = β3
5(β5) β π = 3
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
2. Resolvamos el segundo sistema
{π + 2π + β = 0
9π + 15π + 2β = 0β3π β 5π = 1
β3π β 5π = 1 β β3π = 1 + 5π β π = β1
3β
5
3π
9 (β1
3β
5
3π) + 15π + 2β = 0 β β3 β 15π + 15π + 2β = 0 β β3 + 2β = 0 β
2β = β3 β β = β3
2
π + 2π + β = 0 β (β1
3β
5
3π) + 2π Β±
3
2= 0 β
1
3π β
11
6= 0 β
1
3π =
11
6β
π =11
2
π = β1
3β
5
3(11
2) β π = β
19
2
3. Resolvamos el tercer sistema
{
π + 2π + π = 09π + 15π + 2π = 1
β3π β 5π = 0
β3π β 5π = 0 β β5π = 3π β π = β3
5π
9π + 15(β3
5π) + 2π = 1 β 9π + (β9π) + 2π = 1 β π =
1
2
π + 2(β3
5π) +
1
2= 0 β π + (β
6
5π) +
1
2= 0 β (β
1
5π) +
1
2= 0
(β1
5π) +
1
2= 0 β (β
1
5π) = β
1
2β π =
5
2
π = β3
5π β π = β
3
5(5
2) β π = β
3
2
4. ReconstrucciΓ³n de πΈβ1
πΈβ1 = [
π π ππ π ππ β π
] =
[ β5 β
19
2
5
2
311
2β
3
2
0 β3
2
1
2 ]
Ejercicio 10. Analice, en cada caso, si la matriz A es ortogonal:
GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en las definiciones de matriz ortogonal. π΄β1 = π΄π
a. π΄ = [2 0
5 β3
2
]
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
b. π΄ = [1 6 00 β3 80 8 4
]
c. π΄ = [
1
β2β
1
β21
β2
1
β2
]
d. π΄ = [
1
2
β3
2
ββ3
2
1
2
]
Ejercicio 11 En cada uno de los siguientes Γtems, determina todas las matrices B que verifican
la ecuaciΓ³n dada.
a. [1 2 34 5 6
β1 2 β3] β π΅ = [
36
β3]
b. [1 1
β2 β2] β π΅ = [
1 00 1
]
c. [1 1 0
β1 β1 β10 2 3
] β π΅ = [2 β13 01 2
]
Ejercicio 12. Determina cuales de las siguientes matrices son inversibles, y en caso afirmativo
calcula su inversa aplicando mΓ©todo de Gauss- JordΓ‘n
a. π΄ = [3 00 3
]
b. π΅ = [1 20 β1
]
c. πΆ = [1 β2
β3 6]
d. π· = [2 1 10 1 13 1 β1
]
e. πΈ = [2 1 10 1 12 0 0
]
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos anteriormente, podemos resolver el ejercicio planteado. A modo de ejemplo se resolverΓ‘ el Ejercicio 12 d. Que necesitamos previamente para poder resolver la operaciΓ³n:
DefiniciΓ³n de matriz identidad.
Operaciones elementales
MΓ©todo de Gauss- JordΓ‘n Las operaciones elementales que se realizan entre filas dentro de una matriz, para obtener
matrices equivalentes son 3:
1) Se permite permutar o intercambiar dos filas entre si
2) Se permite multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar π β 0
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
3) Se permite sumar los elementos de una fila a otra paralela a ella, previamente
multiplicadas por un escalar π β 0
Dada la matriz D, hallaremos la matriz inversa por el mΓ©todo de Gauss- JordΓ‘n; dicho mΓ©todo
implica que a travΓ©s de operaciones elementales trabajar con la matriz D y la matriz identidad
y asΓ obtener la inversa de D.
π· = [2 1 10 1 13 1 β1
]
[2 1 10 1 13 1 β1
|1 0 00 1 00 0 1
]
Pasos
1. Elegimos el primer elemento de la fila πΉ1 como elemento PIVOTE. Y dividimos todos los
elementos de la fila por el conjugado del elemento pivote, y obtenemos una nueva fila
πΉ1β. πΉ1
β =1
2β πΉ1
[
2
2
1
2
1
20 1 13 1 β1
|
1
20 0
0 1 00 0 1
]~ [1
1
2
1
20 1 13 1 β1
|
1
20 0
0 1 00 0 1
]
2. Multiplicamos la πΉ1β. por 3. Y se la restamos a πΉ3. πΉ3
β = πΉ3 β 3 β πΉ1β
πβ31 = π31 β 3 β πβ
11 = 3 β (3 β 1) = 0 πβ31 = π31 β 3 β πβ11 = 0 β (3 β1
2) = β
3
2
πβ32 = π32 β 3 β πβ
12 = 1 β (3 β1
2) = β
1
2 πβ32 = π32 β 3 β πβ12 = 0 β (3 β 0) = 0
πβ33 = π33 β 3 β πβ
13 = β1 β (3 β1
2) = β
5
2 πβ33 = π33 β 3 β πβ13 = 1 β (3 β 0)
= 1
[1
1
2
1
20 1 13 1 β1
|
1
20 0
0 1 00 0 1
]~
[ 1
1
2
1
20 1 1
0 β1
2β
5
2
||
1
20 0
0 1 0
β3
20 1]
3. A la fila πΉ1βle sumaremos la πΉ3
β y esta serΓ‘ mi πΉ1ββ. πΉ1
ββ = πΉ1β + πΉ3
β
πββ11 = πβ
11 + πβ31 = 1 + 0 = 1 πββ11 = πβ11 + πβ31 =
1
2+ (β
3
2) = β1
πββ12 = πβ
12 + πβ32 =
1
2β (
1
2) = 0 πββ12 = πβ12 + πβ32 = 0 + 0 = 0
πββ13 = πβ
13 + πβ33 =
1
2+ (β
5
2) = β2 πββ13 = πβ13 + πβ33 = 0 + 1 = 1
[ 1
1
2
1
20 1 1
0 β1
2β
5
2
||
1
20 0
0 1 0
β3
20 1]
~ [
1 0 β20 1 1
0 β1
2β
5
2
|
β1 0 10 1 0
β3
20 1
]
4. A la fila πΉ3β le sumamos
1
2β πΉ2 y obtenemos una nueva fila. πΉ3
ββ = πΉ3β +
1
2πΉ2
πββ31 = πβ
31 +1
2π21 = 0 +
1
20 = 0 πββ31 = πβ31 +
1
2π21 = β
3
2+ (
1
2β 0) = β
3
2
Nota: De ahora en adelante
denominaremos a las filas de la
matriz πΉπ
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
πββ32 = πβ
32 +1
2π32 = β
1
2+ (
1
2) = 0 πββ32 = πβ32 +
1
2π32 = 0 +
1
21 =
1
2
πββ33 = πβ
33 +1
2π23 = β
5
2+ (
1
2β 1) = β2 πββ33 = πβ33 +
1
2π23 = 1 +
1
20 = 1
[
1 0 β20 1 1
0 β1
2β
5
2
|
β1 0 10 1 0
β3
20 1
]~ [1 0 β20 1 10 0 β2
|
β1 0 10 1 0
β3
2
1
21]
5. A πΉ1ββ le restamos πΉ3
ββ y obtenemos una nueva fila. πΉ1βββ = πΉ1
ββ β πΉ3ββ .
πβββ11 = πββ
11 β πββ31 = 1 β 0 = 1 πβββ11 = πββ11 β πββ31 = (β1) β (β
3
2) =
1
2
πβββ12 = πββ
12 β πββ32 = 0 β 0 = 0 πβββ12 = πββ12 β πββ32 = 0 β
1
2= β
1
2
πβββ13 = πββ
13 β πββ33 = (β2) β (β2) = 0 πβββ13 = πββ13 β πββ33 = 1 β 1 = 0
[1 0 β20 1 10 0 β2
|
β1 0 10 1 0
β3
2
1
21]~
[ 1 0 00 1 10 0 β2
||
1
2β
1
20
0 1 0
β3
2
1
21]
6. Multiplicamos πΉ3ββ por β
1
2 y tendremos πΉ3
βββ = β1
2β πΉ3
ββ
πβββ31 = (β
1
2) β πββ
31= β
1
2β 0 = 0 πβββ31 = (β
1
2) πββ31 = (β
1
2) β (β
3
2) =
3
4
πβββ32 = (β
1
2) β πββ
32 = β1
2β 0 = 0 πβββ32 = (β
1
2) β πββ32 = (β
1
2) β
1
2= β
1
4
πβββ33 = (β
1
2) β πββ
33 = (β1
2) β (β2) = 1 πβββ33 = (β
1
2) β πββ33 = (β
1
2) β 1
= β1
2
[ 1 0 00 1 10 0 β2
||
1
2β
1
20
0 1 0
β3
2
1
21]
~
[ 1 0 00 1 10 0 1
||
1
2β
1
20
0 1 03
4β
1
4β
1
2]
7. A la πΉ2 le restamos la πΉ3βββ y obtenemos πΉ2
β. πΉ2β = πΉ2 β πΉ3
βββ
πβ21 = π21 β πβββ
31 = 0 β 0 = 0 πβ21 = π21 β πβββ31 = 0 β3
4= β
3
4
πβ22 = π22 β πβββ
32 = 1 β 0 = 1 πβ22 = π22 β πβββ32 = 1 β (β1
4) =
5
4
πβ23 = π23 β πββ
33 = 1 β 1 = 0 πβ23 = π23 β πβββ33 = 0 β (β1
2) =
1
2
[ 1 0 00 1 10 0 1
||
1
2β
1
20
0 1 03
4β
1
4β
1
2]
~
[ 1 0 00 1 00 0 1 |
|β
1
2β
1
20
3
4
5
4
1
23
4β
1
4β
1
2]
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
π·β1 =
[
β
1
2β
1
20
3
4
5
4
1
23
4β
1
4β
1
2]
Ejercicio 13. Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que π¨π + π¨ + π° = π. Demuestre que A
es inversible y que π¨ β π° = βπ¨ β π°.
GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en los conceptos de operaciones con matrices y matriz inversa
Ejercicio 14. Demuestre que si A y B son matrices cuadradas del mismo orden n, entonces
(π¨ + π©)π = π¨π + ππ©π¨ + π©π = si y solo si π¨π© = π©π¨.
GuΓas de resoluciΓ³n: BasΓ‘ndonos en los conceptos de operaciones con matrices y matriz inversa
Ejercicio 15. Calcule el determinante para cada matriz dada:
a) π΄ = [2 4
β1 3].
b) π΅ = [3 5 10 6 β22 5 1
]
c) πΆ = [3 0 00 6 02 β5 1
]
SoluciΓ³n
BasΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos anteriormente, podemos resolver el ejercicio
planteado. Para poder resolver el determinante de una matriz, debemos tener en cuenta los
siguientes conceptos.
DefiniciΓ³n de determinantes y sus propiedades.}
MΓ©todo de Laplace.
MΓ©todo de Laplace simplificado.
Regla de Sarrus
Regla de Chio.
Dependiendo de ante que matriz nos encontramos (numero de orden) el mΓ©todo que aplicaremos para resolver el determinante. Es importante destacar que para calcular el determinante de una matriz esta debe SER CUADRADA, o sea de orden n*n. A modo de ejemplo resolveremos el ejercicio 15b:
π΅ = [3 5 10 6 β22 5 1
]
Para resolver dicho determinante aplicaremos la regla de Sarrus:
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes Regla de Sarrus. Pasos
Dada una matriz A de orden 3.
π΄ = [
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
]
El determinante de A serΓ‘:
π·ππ‘(π΄) = |
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
|
π·ππ‘(π΄) = |
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
| =
= π11 β π22 β π33 + π32 β π21 β π13 + π12 β π23 β π31 β π13 β π22 β π31 β π32 β π23 β π11
β π12 β π21 β π33 = Regla memotΓ©cnica grafica
Producto positivo
π·ππ‘(π΄) = |
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
π11 π12
π21 π22
π31 π32
|
πππππ’ππ‘π πππ ππ‘ππ£π = π11 β π22 β π33 + π32 β π21 β π13 + π12 β π23 β π31
Producto negativo
π·ππ‘(π΄) = |
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
π11 π12
π21 π22
π31 π32
|
πππππ’ππ‘π πππππ‘ππ£π = π13 β π22 β π31 + π32 β π23 β π11 + π12 β π21 β π33 =
SoluciΓ³n
De lo antes visto procedemos a la resoluciΓ³n del ejercicio
det(π΅) = |3 5 10 6 β22 5 1
| =
Nota: NΓ³tese que al calcular el determinante. Cambia la forma de escribir la matriz, se deja de usar corchete y se pasa a utilizar dos lΓneas. Esto no es un capricho es la nomenclatura correcta
Producto Positivo Producto Negativo
Nota: las fechas indican los productos que se debe realizar
La zona sombreada representa los factores que interviene en el producto
La zona sombreada representa los factores que interviene en el producto
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
1. CΓ‘lculo del producto positivo
= π11 β π22 β π33 + π32 β π21 β π13 + π12 β π23 β π31 =
3 β 6 β 1 + 5 β (β2) β 2 + 5 β 0 β 1 = 18 + (β20) + 0 = β2
2. CΓ‘lculo del producto negativo
= π13 β π22 β π31 + π32 β π23 β π11 + π12 β π21 β π33 =
= 1 β 6 β 2 + 5 β 0 β 1 + 5 β (β2) β 3 = β18
3. CΓ‘lculo de determinante
det(π΅) = (β2) β (β18) = 16
Ejercicio 16. Calcule el valor de x en la siguiente ecuaciΓ³n
|π₯ β 2 β3
2 1| = 2
GuΓas de resoluciΓ³n: nos valdremos de los conceptos aprendidos en determinantes
Ejercicio 17. Partiendo de la siguiente matriz, calcula el determinante de la matriz A por el
desarrollo de Laplace:
3π΄ = [3 β30 2415 6 02 β5 1
]
a. SegΓΊn la segunda fila.
b. SegΓΊn la tercera columna
SoluciΓ³n
ApoyΓ‘ndonos en los conceptos aprendidos con anterioridad, podemos resolver el ejercicio planteado. Para poder resolver los determinantes de una matriz, debemos tener en cuenta los siguientes conceptos.
DefiniciΓ³n de determinantes y sus propiedades.
MΓ©todo de Laplace. Para resolver el mΓ©todo de Laplace se procede de la siguiente forma:
Dada una matriz de orden n. tomamos un elemento PIVOTE y eliminando la fila y la columna a la que pertenecen realizamos el siguiente procedimiento; a modo de ejemplo utilizaremos una matriz de orden 3:
I. ElecciΓ³n del elemento PIVOTE.
π·ππ‘(π΄) = |
π11 π12 π13
π21 π22 π23
π31 π32 π33
| =
= (β1)π+π β π11 β π΄11 + (β1)π+π β π21 β π΄21 + (β1)π+π β π31 β π΄31 Nosotros elegimos elementos PIVOTES los correspondientes a la columna πΆ1.
II. CΓ‘lculo de las potencias (β1)π+π El exponente π + π del factor dependerΓ‘ de la posiciΓ³n del elemento pivotante dentro del determinante.
= (β1)1+1 β π11 β π΄11 + (β1)2+1 β π21 β π΄21 + (β1)3+1 β π31 β π΄31 =
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
= (β1)2 β π11 β π΄11 + (β1)3 β π21 β π΄21 + (β1)4 β π31 β π΄31 = = 1 β π11 β π΄11 + (β1) β π21 β π΄21 + 1 β π31 β π΄31 =
III. CΓ‘lculo de los determinantes π΄ππ
= 1 β π11 β |π22 π23
π32 π33| + (β1) β π21 β |
π12 π13
π32 π33| + 1 β π31 β |
π12 π13
π22 π23|
ππππ ππππππππππππππππ πππ ππ ππππππ π‘ππππππ π΄11 = 1 β π11 β (π22 β π33 β π32 β π23) =
1. ResoluciΓ³n del ejercicio. A modo de ejemplo resolveremos el ejercicio 17a
π·ππ‘(3π΄) = |3 β30 2415 6 02 β5 1
|
I. Planteo del mΓ©todo
= (β1)2+1 β π21 β π΄21 + (β1)2+2 β π22 β π΄22 + (β1)2+3 β π23 β π΄23 =
= (β1)2+1 β π21 β |π12 π13
π32 π33| + (β1)2+2 β π22 β |
π11 π13
π31 π33| + (β1)2+3 β π23 β |
π11 π12
π31 π33| =
II. Reemplazo de los tΓ©rminos
= (β1)2+1 β 15 β |β30 24β5 1
| + (β1)2+2 β 6 β |3 242 1
| + (β1)2+3 β 0 β |3 β302 β5
| =
III. Calculo de las potencias
= (β1)3 β 15 β |β30 24β5 1
| + (β1)4 β 6 β |3 242 1
| + (β1)5 β 0 β |3 β302 β5
| =
= (β1) β 15 β |β30 24β5 1
| + 1 β 6 β |3 242 1
| + (β1) β 0 β |3 β302 β5
| =
IV. CΓ‘lculo de los determinantes = (β1) β 15 β ((β30 β 1 β 24 β (β5)) + 1 β 6 β (3 β 1 β 2 β 24) + (β1) β 0 β (3 β (β5) β 2
β (β30)) = = (β1) β 15 β ((β30) β (β120)) + 1 β 6 β (3 β 48) + (β1) β 0 β ((β15) β (β60)) =
= (β1) β 15 β (90) + 1 β 6 β (β45) + (β1) β 0 β (45) =
2. Resultado del ejercicio
π·ππ‘(3π΄) == (β1) β 15 β (90) + 1 β 6 β (β45) + (β1) β 0 β (45) = = (β1350) + (β270) + 0 = β1620
3. MultiplicaciΓ³n por un escalar Por propiedades de los determinantes se sabe que dada una matriz A cuadrada de
orden n, y un escalar k β π β β, se cumple que π·ππ‘(π β π΄) = ππ β det(π΄). Donde n es
el nΓΊmero de orden de la matriz A.
π·ππ‘(3π΄) = 3π β det(π΄) β πππ‘(3π΄) = 33 β det(π΄) =
33 β det(π΄) = β1620 β 27 β det(π΄) = β1620
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
β΄ det(π΄) =β1620
27= β60
Ejercicio 18. En cada uno de los siguientes Γtems halla todos los valores de k reales, tales que
se cumpla det(A)=0
a) π΄ = [2 π + 4
π β 2 β4]
b) π΄ = [π 2 10 π2 β 1 20 0 π β 2
]
GuΓas de resoluciΓ³n: Nos valdremos de los conceptos aprendidos en determinantes
Ejercicio 19 Sean las matrices A y B, aplicando las propiedades de los determinantes, Calcule:
π΄ = [1 0 32 6 β1
β1 0 1] π΅ = [
2 1 β100 6 40 0 1
]
a) det(π΄ β π΅).
b) det(π΄ + π΅).
c) det(π΄10)
d) det(π΄5 β π΅ β π΄5)
GuΓas de resoluciΓ³n: Nos valdremos de los conceptos aprendidos en determinantes y
de las propiedades de los determinantes.
Ejercicio 20. Determina todos los valores de x, siendo x un numero real, para los cuales la
siguiente matriz es inversible.
π΄ = [2 3 2
β1 2 41 π₯ π₯ + 1
]
GuΓas de resoluciΓ³n: Nos valdremos de los conceptos de definiciΓ³n de matriz inversa.
Ejercicio 21. Sea la matriz
π΄ = [1 β2 33 β4 55 6 β1
]
a) Calcula el det(A) segΓΊn la primera columna ΒΏEs posible hallar la inversa de A?
b) Halla la matriz π΄β1, inversa de A, y calcula se determinante segΓΊn la segunda fila.
c) Verifica que det(π΄β1) =1
det(π΄).
GuΓas de resoluciΓ³n: Tomaremos lo aprendido en calculo del determinante de una matriz y lo aprendido en calculo de la matriz inversa
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes Ejercicio 22. Sean las matrices
π΄ = [3 2 10 1 21 2 0
] π΅ = [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
] πΆ = [β4 2 11 1 21 2 3
]
a) Calcula el determinante de A,B y C por regla de ChΓo.
b) Encuentra la matriz de cofactores de A, B y C.
c) Determina la matriz adjunta de cada una de ellas.
d) Calcula la matriz inversa de A, B y C.
SoluciΓ³n
Para explicar el proceso de resoluciΓ³n de este ejercicio, resolveremos a modo de ejemplo la matriz B.
1. ResoluciΓ³n del inciso a (Calcula el determinante de A,B y C por regla de ChΓo) Partiendo de los conceptos aprendidos con anterioridad, podemos resolver el ejercicio. Para poder resolver los determinantes de una matriz, debemos tener en cuenta los siguientes conceptos:
DefiniciΓ³n de determinante y sus propiedades.}
Operaciones elementales.
MΓ©todo de Laplace.
Regla de Chio.
Regla de Chio
Se fundamenta en operaciones elementales de filas o columnas y un pivote que por rapidez en la operaciΓ³n matemΓ‘tica ( suma, resta y multiplicaciΓ³n) escogemos un elemento identificado con el valor numerico uno (1); si en los elementos del determinante de la matriz no se tiene un elemento identificado con este mumero, se busaca este elemento sacando un factor comΓΊn a todos los elementos de una fila o columna o se aplican operaciones elementales de filas o columnas. El objetivo es transformar el determinante de una matriz cuadrada de orden n en una de orden n-1 y asΓ sucesivamente hasta llegar a un determinante de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la contradiagonal (det de una matriz de orden 2)
π΅ = [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
]
I. Primero elegimos una fila Γ³ columna que tenga al menos un elemento
cero (0) y un uno(1). En nuestro caso πΆ1. II. El resto de los elementos de πΆ1 deben ser convertidos en ceros a
travΓ©s de operaciones elementales
Operaciones realizadas. πΉ3
β = πΉ3 β 3 β πΉ1 πΉ4
β = πΉ4 + 2 β πΉ1
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
π΅ = [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
]~ [
1 3 β2 30 1 20 β8 30 11 β3
β1β88
]
III. Aplicado estu usamos el metodo de Laplace, para calcular de
determinante de b, por la πΆ1. Como el resto de los elementos de πΆ1 son ceros y 0 β π = 0 ππ’ππππ π ππ ππ’ππππ’πππ πππππππ‘π; en nuestro caso. Solo debemos calcular el primer PIVOTE.
det(π΅) = |π΅| = |
1 3 β2 30 1 20 β8 30 11 β3
β1β88
| =
= (β1)1+1 β π11 β π΄11 = (β1)2 β 1 β |1 2 β1
β8 3 β811 β3 8
| = 1 β |1 2 β1
β8 3 β811 β3 8
|
IV. Repetimos los pasos I;II y III. Con lo obtenido. Ahora elegiremos laπΉ1, de esta matriz resultante hallando |π΅β|
|π΅| = |1 2 β1
β8 3 β811 β3 8
|
V. Aplicando la regla de Chio
π΅β = [1 2 β1
β8 3 β811 β3 8
]
[1 2 β1
β8 3 β811 β3 8
]~ [1 0 0
β8 19 β1611 β25 19
]
VI. Aplicamos Laplace
|π΅β| = |1 0 0
β8 19 β1611 β25 19
| = (β1)1+1 β π11 β π΄11 =
= (β1)2 β 1 β |19 β16
β25 19| = 1 β (19 β 19 β ((β25) β (β16)) =
1 β (361 β (400)) = β39
2. ResoluciΓ³n del inciso b (Encuentra la matriz de cofactores de A, B y C) Para poder resolver el inciso b debemos hacer un resapo, ya que utilizaremos los siguintes conocimientos:
DefiniciΓ³n de determinantes y sus propiedades.
Operacimen elementales.
Calculo de los cofactores. El calculo de kos cofactores de una matriz se obtiene a travΓ©s de la siguiente operaciΓ³n.
Tomamos la matriz B.
π΅ = [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
]
Operaciones realizadas. πΆ3
β = πΆ3 + πΆ1 πΆ2
β = πΆ2 β 2 β πΆ1
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
Eliminamos la fila y columna a la que pertenece el cofactor a calcular y realizamos la siguiente operaciΓ³n:
π΅ππππ πΆ11= [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
] π΅ππππ πΆ21= [
1 3 β2 30 1 23 1 β3
β2 5 1
β112
]
πΆππ = (β1)π+π β π΄ππ
El exponente de (β1)π+π depende de la posiciΓ³n del elemento dentro de la matriz y π΄ππ es el determinante que resulta de eliminar la fila y la columna a la que pertenece dicho
elemento.
πΆ11 = (β1)1+1 β |1 2 β11 β3 15 1 2
| = (β1)2 β (β17) = β17
πΆ21 = (β1)1+2 β |3 β2 31 β3 15 1 2
| = (β1)3 β (21) = β21
πΆ13 = (β1)4 β (β25) = β25 πΆ12 = (β1)3 β (β13) = 13 πΆ14 = (β1)5 β 37 = β37 πΆ22 = (β1)4 β 0 = 0 πΆ23 = (β1)5 β 24 = β24 πΆ24 = (β1)6 β (β9) = β9 πΆ31 = (β1)4 β 2 = 2 πΆ32 = (β1)5 β (19) = β19 πΆ33 = (β1)6 β 19 = 19 πΆ34 = (β1)7 β (β25) = 25
πΆ41 = (β1)5 β (β14) = 14 πΆ24 = (β1)6 β (β13) = β13 πΆ43 = (β1)7 β (β16) = 16 πΆ44 = (β1)8 β (19) = 19
πΆπππππ‘ππππ ππ π΅ = [
πΆ11 πΆ12 πΆ13 πΆ14
πΆ21 πΆ22 πΆ23
πΆ31 πΆ32 πΆ33
πΆ41 πΆ42 πΆ43
πΆ24
πΆ34
πΆ44
]
πΆπππππ‘ππππ ππ π΅ = [
β17 13 β25 β37β21 0 β242 β19 1914 β13 16
β92519
]
3. ResoluciΓ³n del inciso c. (Determina la matriz adjunta de cada una de ellas)
Para poder resolver el inciso c debemos hacer un repaso , ya que utilizaremos los
siguientes conocimientos:
DefiniciΓ³n de matriz traspuesta.
Definicio de determinate y sus propiedades.
Operaciones elementales.
DefiniciΓ³n de matriz adjunta.
Matriz adjunta
Si π΄ = [πππ]es una matriz cuadrada y πΆππ es el cofactor de πππ, se define la matriz
adjunta de A, denotada π΄ππ(π΄) , como la matriz de cofactores traspuesta
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL AΓ±o 2020 Practico 2: Matrices y Determinantes
πΆππ (π΅) = [
πΆ11 πΆ12 πΆ13 πΆ14
πΆ21 πΆ22 πΆ23
πΆ31 πΆ32 πΆ33
πΆ41 πΆ42 πΆ43
πΆ24
πΆ34
πΆ44
]
π΄ππ(π΅) = πΆπππ (π΅) = [
πΆ11 πΆ21 πΆ31 πΆ41
πΆ12 πΆ22 πΆ32
πΆ13 πΆ23 πΆ33
πΆ14 πΆ24 πΆ34
πΆ42
πΆ43
πΆ44
] = [
π΄11 π΄12 π΄13 π΄14
π΄21 π΄22 π΄23
π΄31 π΄32 π΄33
π΄41 π΄42 π΄43
π΄24
π΄34
π΄44
]
Luego la adjunta de B serΓ‘
π΄ππ(π΅) = πΆπππ (π΅) = [
β17 β21 2 1413 0 β13
β25 β24 19β37 β9 25
β131619
] = π΄ππ(π΅)
4. ResoluciΓ³n del inciso d (Calcula la matriz inversa de A, B y C.)
Para poder resolver el inciso d debemos hacer un repaso, ya que utilizaremos los
siguientes conocimientos:
DefiniciΓ³n de matriz transpuesta.}
DefiniciΓ³n de determinante y sus propiedades.
Operaciones elementales.
DefiniciΓ³n de adjunta.
Matriz inversa por el mΓ©todo de la adjunta
En el algebra matricial, la divisiΓ³n no esta definida. La inversiΓ³n de matrices es la contraparte de la divisiΓ³n en el algebra. La inversa de una matriz esta definida como aquella matriz, que multiplicada por la original da por resultado la matriz identidad, se denota como π΄β1; esto se cumple siempre y cuando det (π΄) β 0. La matriz inversa se obtiene en su forma clΓ‘sica, de la siguiente manera:
π΄β1 =1
det (π΄)β π΄ππ(π΄)
π΄β1 =1
det (π΄)β [
π΄11 π΄12 π΄13
π΄21 π΄22 π΄23
π΄31 π΄32 π΄33
]
π΄β1 =1
β39β [
β17 β21 2 1413 0 β13
β25 β24 19β37 β9 25
β131619
] =
π΄β1 =
[
17
39
21
39β
2
9β
14
391
30
1
325
39
8
13β
19
3937
39β
3
13β
25
39
1
3
β16
39
β19
39]
=