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Probabilidad
Instituto Tecnologico de Campeche
Alumno: Adrian Montero Rangel
Ingeniería industrial
Probabilidad
Prof. Ramón Bocos Patrón
Trabajo: Conseptos de fundamentos de probabilidad
II semestre
Fecha de entrega ________
Trabajo Núm._______
Instituto Tecnológico de Campeche página 1
Probabilidad
Índice
Definición de conjunto………………………………………………………………………………………3
Notación de conjuntos……………………………………………………………………………………………3
Conjuntos explícitos e implícitos……………………………………………………………………………4
Conjuntos finitos e infinitos………………………………………………………………………………….4
El conjunto universal……………………………………………………………………………………………..4
Conjuntos vacio…………………………………………………………………………………………………….4
Subconjunto…………………………………………………………………………………………………………4
Diagrama de ven…………………………………………………………………………………………………..5
Operaciones con conjuntos……………………………………………………………………………………5
-Unión …………………………………………………………………………………………………………………..6
-Intersección………………………………………………………………………………………………………….6
-Diferencia…………………………………………………………………………………………………………….6
-Complemento……………………………………………………………………………………………………..6
Leyes o propiedades de las operaciones con conjuntos…………………………………………7
Cardinal de un conjunto……………………………………………………………………………………….7
-Propiedades………………………………………………………………………………………………………..7
Propociciones……………………………………………………………………………………………………….8
Necesidada de contar……………………………………………………………………………………………8
Metodos para realizar un conteo………………………………………………………………………….9
a)diagramas de Venn …………………………………………………………………………………………..9
b)Diagramas de árbol……………………………………………………………………………………………9
c)Caja o rayitas…………………………………………………………………………………………………….10
d)Atraves de formulas o reglas de conteo…………………………………………………………….11
-k eventos en n intentos……………………………………………………………………………………….11
-Para K,..kn eventos………………………………………………………………………………………………11
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-N objetos tomados todos a la vez……………………………………………………………………………12
-Permutaciones…………………………………………………………………………………………………………12
-Combinaciones………………………………………………………………………………………………………..12
Introducción a la probabilidad…………………………………………………………………………………..13
Conceptos básicos de probabilidad…………………………………………………………………………….14
-Experimento aleatorio……………………………………………………………………………………………….15
-Espacio muestral…………………………………………………………………………………………………………15
Definiciones de probabilidad……………………………………………………………………………………….16
-Enfoque clásico………………………………………………………………………………………………………….16
-Enfoque empírico……………………………………………………………………………………………………….17
-Axiomas básicos………………………………………………………………………………………………………….17
-Probabilidad subjetiva…………………………………………………………………………………………………18
Tipos de eventos……………………………………………………………………………………………………..…..18
Calculo de probabilidades…………………………………………………………………………………………….19
-Tablas de contingencia…………………………………………………………………………………………………20
-Probabilidad simple……………………………………………………………………………………………………..21
-Probabilidad conjunta………………………………………………………………………………………………….21
--Regla de la adición……………………………………………………………………………………………………….21
-Probabilidad condicional………………………………………………………………………………………………22
-Regla de la multiplicación ……………………………………………………………………………………………23
Teorema de bayes………………………………………………………………………………………………………….24
Bibliografia……………………………………………………………………………………………………………………..25
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Introducción
En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz.. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre.
En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo del presente tema.
Comenzamos con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con los enfoques más tradicionales para asignar probabilidades.
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Fundamentos de probabilidad
Definición de conjuntosEn matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y no se da una definición de este, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse lógicamente como un término no definido.
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.
Notacion de conjuntos Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.
Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:
El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).
Ejemplo:
A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=5
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)= 8
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Conjuntos finitos e infinitos
Conjunto finito: Es el conjunto con limitado número de elementos.
Conjunto infinito: Es el conjunto con ilimitado número de elementos.
Conjunto universalEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U
Conjunto vacioEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }
Ejemplo
A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “
M = { números mayores que 9 y menores que 5 }
P = { x / }
SubconjuntoConjunto que forma parte de otro conjunto dado.
Por ejemplo, el conjunto de los números c, {1, 2, 3, 4, ...}, es un subconjunto de los enteros I, {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}, y se escribe como c I.
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Diagrama de ven-el concepto grafico de conjuntos
Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de las matemáticas conocida
como teoría de conjuntos.
Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre
diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o
círculo.
La forma en que esos círculos se sobreponen entre sí muestra todas las posibles relaciones
lógicas entre los conjuntos que representan. Por ejemplo, cuando los círculos se
superponen, indican la existencia de subconjuntos con algunas características comunes.
Operaciones con conjuntos
Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal U. Definimos las siguientes operacionesentre conjuntos:
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Propiedades de la unión de conjuntos
1. Propiedad idempotente. Puede exponerse mediante la siguiente expresión, que por ser tan lógica, no necesita más explicación:
VA => A = A
2. Propiedad conmutativa. Es también evidente:
AUB = BUA
3. Propiedad asociativa. Dados tres conjuntos A, B y C se verifica que:
(AUB)UC = AU(BUC) = AUBUC
Se puede demostrar mediante un ejemplo sencillo. Sean: A = {m, n, p}, B ={j, k, l}, C = {r, p, l}.
El nuevo conjunto y éste unido con el conjunto C, dará como resultado el conjunto: (AUB)UC = {m, n, p,j,k,l,r}
ahora bien, si hacemos antes la unión de B con C tendremos: BUC = {j,k,l,r,p} que unido con el conjunto A nos da: AU(BUC) = {m, n, p, j,k,l,r,p}
Luego, los conjuntos (AUB)UC y AU(BUC) son iguales por estar formados por los mismos elementos.
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Cardinal de un conjunto
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinito.
Propiedades
Los conjuntos pueden no ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos A,B con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:
La relación excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.Es posible demostrar que si
y esto implica que
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío.El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ω. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos,
tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el -orden en
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los cardinales). Esta función, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.
Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:
El cardinal de los números reales: ;
El cardinal de los números naturales: (Alef-0). El cardinal inmediatamente superior a :
Usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen . La hipótesis del continuo afirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "teorías de conjuntos no cantorianas" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la de las geometrías no euclídeas.
Necesidad de contarse comenzó a formar, desde que el hombre vio la necesidad de contar objetos, esta necesidad lo llevó a la creación de sistemas de numeración que inicialmente se componían con la utilización de los dedos, piernas, o piedras. De nuevo, por la necesidad, se hizo forzosa la implementación de sistemas más avanzados y que pudieran resolver la mayoría de los problemas que se presentaban con continuidad.
Métodos para realizar un conteo
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Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de
una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.
Construcción Del Diagrama De Árbol
Sean: A={2,6,0} y B={3,7}
a) Fijar un nodo inicial (Un punto situado a la izquierda, representa la raíz del árbol);
b) Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el conjunto A;
c) Abrir a partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B;
d) Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.
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Diagrama de caja
Un diagrama de caja es un gráfico, basado en cuartiles, mediante el cual se visualiza un conjunto de datos. Está compuesto por un rectángulo, la "caja", y dos brazos, los "bigotes".
Es un gráfico que suministra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles Q1, Q2 o mediana y Q3, y sobre la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución.
Ordenar los datos y obtener el valor mínimo, el máximo, los cuartiles Q1, Q2 y Q3 y el intervalo intercuartil (IQR)
Dibujar un rectángulo con Q1 y Q3 como extremos e indicar la posición de la mediana (Q2) mediante una línea.
Para dibujar los bigotes, las líneas que se extienden desde la caja, hay que calcular los límites superior e inferior, Li y Ls, que identifiquen a los valores atípicos.
Para ello se calcula cuándo se consideran atípicos los valores. Son aquellos inferiores a Q1-1.5*IQR o superiores a Q3+1.5*IQR.
Ahora se buscan los últimos valores que NO son atípicos, que serán los extremos de los bigotes.
Marcar como atípicos todos los datos que están fuera del intervalo (Li, Ls).
Además, se pueden considerar valores extremadamente atípicos aquellos que exceden Q1-3*IQR o Q3+3*IQR.
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“k” eventos en “n” intento
Se define como la posibilidad repetida N veces por lo tanto es P=K elevado a la n
Para K……kn
Se consideran como P=K*K*K*K..n
N objetos tomados todos ala vez
Se define como P=N!
Permutaciones
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso las representaremos como ORn
r ó nORr.
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones con repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n
A diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será Pn
r ó nPr.
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr =
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Combinaciones
Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos. Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a partir de un conjuntOinicial de n elementos. La denotaremos con
Cnr, nCr ó .
En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una, el número de combinaciones obtenidas son:
Cnr = nCr =
o, que es lo mismo,
Cnr = nCr =
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Introducción a la probabilidad
El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática.
La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos probabilísticos en regulación ambiental donde se les llama "análisis de vías de dispersión", y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requieren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. "la probabilidad de otro 11-S". Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elecciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político.
Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para calcular y combinar los cálculos de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. Por consiguiente, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se cálculan los pronósticos y las probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.
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Conceptos básicos de probabilidad
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
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Experimento aleatorio.
Cuando en un experimento no se puede predecir el resultado final, hablamos de experimento aleatorio. Este es el caso cuando lanzamos un dado y observamos su resultado.
En los experimentos aleatorios se observa que cuando el número de experimentos aumenta, las frecuencias relativas con las que ocurre cierto suceso e, fn(e),
tiende a converger hacia cierta cantidad que denominamos probabilidad de e.
Espacio muestral
En estadística se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. Se suele representar por Ω.
Sus elementos se representan por letras minúsculas (w1,w2,...) y se denominan eventos o sucesos elementales. Los subconjuntos de Ω se designan por medio de letras mayúsculas (A,B,C,D,...) y se denominan eventos o sucesos. Los sucesos representan los posibles resultados del experimento aleatorio.
Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales:
Discretos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es finito o infinito contable(numerable).
Continuos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es infinito incontable.
Evento
Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.
Formalmente, sea Ω un espacio muestral, entonces un evento es un subconjunto
, donde (w1,w2,...) son una serie de posibles resultados.
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Probabilidad
Se dice que un evento A ocurre, si el resultado del experimento aleatorio es un elemento de A.
Ejemplos de espacios muestrales y sucesos elementales:
Si se trata de contar objetos y el espacio muestral S = {0, 1, 2, 3, ...} (los números naturales), entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {k}, donde k ∈ N.
Si se lanza una moneda dos veces, S = {cc, cs, sc, ss}, donde (c representa "sale cara" y s, "sale cruz"), los sucesos elementales son {cc}, {cs}, {sc} y {ss}.
Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida, S = (-∞, +∞), los números reales, los sucesos elementales son todos los conjuntos {x}, donde x ∈ .
Los sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores que cero, cero, no definidas o cualquier combinación de estas. Por ejemplo, la probabilidad de cualquier variable aleatoria discreta está determinada por las probabilidades asignadas a los sucesos elementales del experimento que determina la variable. Por otra parte, cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier variable aleatoria continua. Existen distribuciones mixtas que no son completamente continuas, ni completamente discretas, entre las que pueden darse ambas situaciones.
Definiciones de probabilidad
a)Enfoque clasico
Probabilidad Clásica y Probabilidad Subjetiva.La probabilidad clásica es aquella que se toma demanera objetiva y que puede considerarse de dos maneras: a priori y a posteriori.
Probabilidad a Priori. La probabilidad de un evento A,P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra.
En este caso los resultados del experimento son igualmente probables. Este método fue desarrollado por Laplace.
# de maneras que A puede ocurrirP(A) = ------------------------------------------------- # total de resultados posibles
A (eventos que corresponden a A )P(A) = ---------------------------------------------------------- S (eventos totales en el espacio muestral S )
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Probabilidad
Ejemplo. Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean cara (H)?S = { HH, HT, TH, TT } P ( HH ) = _
b) Enfoque empírico o frecuencial
Probabilidad a posteriori. En el caso que los eventos noposeen igual posibilidad de ocurrencia, el problema deasignar las probabilidades ocurre a posteriori.El concepto de probabilidad a posteriori lo desarrolla Richard Von Mises y está basado en el principiosiguiente:Si un experimento se realiza un número grande de veces, N por ejemplo, y sea n el número de veces que ocurre un evento E. Entonces, se observa experimentalmente el hecho de que a medida N aumenta la relación n / M tiende a un valor estable p.Ese valor p se llama la probabilidad de E y se escribe p(E).
Axiomas basicos.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.
Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas que a continuación se enumeran. 1)La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.
0 £ p(A) ³ 1
2)La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.
p(d) = 1 3)Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la p(AÈB) = p(A) + p(B)
Generalizando: Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces; p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)
En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los subconjuntos miembros de la σ-álgebra los
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Probabilidad
sucesos y definida de tal manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).
Probabilidad subjetiva
La probabilidad subjetiva de un evento se la asigna la persona que hace el estudio, y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comúnes que se utilizan al no apoyarse más que en el sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.
Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los Salgado de Salta ganen la Lotería el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Angeles este año.
Tipos de eventos
Evento elemental o simple: consiste de un único resultado individual.
Evento compuesto: consiste de más de un evento elemental.
Eventos complementarios. seda en los que cuando dos eventos y su unión da el espacio muestral y su intersección es vacía. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.
Exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son exhaustivos si se consideran todos los posibles resultados.
No exhaustivos.- Se dice que dos o más eventos son no exhaustivos si no agotan todos los posibles resultados.
Mutuamente exclusivos.- Eventos que no pueden ocurrir en forma simultánea.
No mutuamente exclusivos.- Eventos que pueden ocurrir en forma simultánea.
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Calculo de contingencia
Tabla de contingencia
Las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relación entre dos o más variables, habitualmente de naturaleza cualitativa (nominales u ordinales).
Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre de frecuencias marginales y la cifra situada en la esquina inferior derecha es el gran total.
La tabla nos permite ver de un vistazo que la proporción de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporción de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idénticas y la significación estadística de la diferencia entre ellas puede ser evaluada con la prueba χ² de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una población. Si la proporción de individuos en cada columna varía entre las diversas filas y viceversa, se dice que existe asociación entre las dos variables. Si no existe asociación se dice que ambas variables son independientes.
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Probabilidad
Probabilidad simple
Si quisiéramos saber cuál es la probabilidad de sacar un dos o un cinco al tirar un dado, estamos hablando de sucesos mutuamente excluyentes; pues sólo al tirar el dado puedes sacar uno de ellos dos, es decir, un evento (sacar dos) imposibilita el otro (sacar un cinco) ya que no puedes sacar los dos al mismo tiempo.
Para sacar la probabilidad total de dos o más sucesos mutuamente excluyentes se suman las probabilidades de cada uno de los sucesos.
Primero calculemos la probabilidad de obtener una vela. 150 invitados es el número de casos posibles, mientras que 50 es el número de casos favorables pues son 50 velas.
La probabilidad de obtener un centro de mesa es exactamente la misma pues hay el mismo número de centros de mesa.
La probabilidad total será la suma de cada una de las probabilidades obtenidas, es decir:
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Probabilidad
Probabilidad conjunta
Si quisiéramos conocer cuál es la probabilidad de sacar 5 al tirar dos veces un dado, estamos hablando de sucesos independientes; pues los tiros son distintos.
Para estos casos la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos simultáneamente será igual al producto de las probabilidades individuales.
Nota: Aplicamos la misma fórmula para eventos dependientes siempre y cuando estemos buscando la probabilidad simultánea de los sucesos. Por ejemplo al buscar la probabilidad de sacar dos reinas en una baraja de 52 cartas sin devolver la primera carta, se tomará en cuenta para la segunda extracción que ya hay 51 cartas y sólo 3 reinas. Es decir:
Regla general de adicion.
Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces
P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:
P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B –
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Probabilidad condicional e independencia estadística
Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;
)E(p
)EA(p)E|A(p
Donde: p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrióp(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempop(E) = probabilidad de que ocurra E Luego;
d
EA)EA(P
dE
)E(P
Por tanto:
E
EA)E|A(P
Donde: ½AE½= número de elementos comunes a los eventos A y E½E½= número de elementos del evento ELuego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.
En teoría de probabilidades, se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entre sí cuando la probabilidad de cada uno de ellos no está influida por que el otro suceso ocurra o no, es decir, cuando ambos sucesos no están correlacionados.
Instituto Tecnológico de Campeche página 24
Probabilidad
Dos sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es igual al producto de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos, es decir, si A y B son dos sucesos, y P(A) y P(B) son las probabilidades de que ocurran respectivamente entonces:
A y B son independientes si y solo si
Sean A y B dos sucesos tales que P(B) > 0, intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:
De la propia definición de probabilidad condicionada:
se deduce que y dado que
deducimos trivialmente que .
Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.
Regla de la multiplicación e independencia de la estadística
Un frecuente objeto de estudio en la estadística es si los diferentes sucesos son dependientes o independientes uno del otro, es decir si favorece a la realización de un suceso a través de otro. Se analizan ejemplos en la investigación de mercados, si influyen el estatus y la educación de un consumidor la compra de un determinado periódico.
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Probabilidad
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple
Aplicaciones
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.
Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.
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Probabilidad
Bibliografía
http://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-estadistica2.shtml
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html
http://nutriserver.com/Cursos/Bioestadistica/Probabilidad.html
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Instituto Tecnológico de Campeche página 27
