PROBABILIDAD

ESTUDIO DE CASO 1

Para una población grande de personas sin hogar, Wong y Piliavin (2001) examinaron factores de estrés, recursos y agotamiento psicológico empleando la Escala de Depresión del Centro de Estudios Epidemiológicos (CESD), un cuestionario de evaluación comunitario.

Entre las personas sin hogar, la puntuación media del cuestionario CESD es 23,5 con una desviación estándar de 7.5 y se considera que para la Variable X = puntuación del CESD, la distribución es normal. Como trabajador en el área de admisiones en un refugio para personas sin hogar, usted es el encargado de aplicar el CESD y debe evaluar los resultados para las nuevas personas que lleguen al centro.

Dentro de las políticas del refugio se encuentra que cualquier persona cuya puntuación sea de 20 o más puntos en el CESD debe enviarse a ver a un doctor.

INFORME A PRESENTAR:

Prepare un informe en el que como mínimo, incluya:

1. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor.

Para este ejemplo tenemos que 23,5 de desviación estándar y 3,5 para variable x

X=20/3,5=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad:

P)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que llegue al refugio sea enviado a ver al doctor.

2. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntación de 10 o menos puntos

En particular, hay 10 personas, por lo tanto son 12 los casos favorables a dicha selección. Pero ella se hará de un total de 20 + 12 = 32 personas sumamos la cantidad de las políticas y que forman parte de la selección y por tanto, los casos posibles o totales.

Así, la probabilidad pedida es

P= 12/32

3. La probabilidad de que una persona que llegue al refugio tenga una puntuación entre 16 y 20 puntos

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 16/casos totales de la muestra 20

P= 16/20

4. Si las personas sin hogar con puntuación en el 15% más alto deben ser enviadas a los servicios de prevención de suicidios, ¿Qué puntuación hace calificar a una persona que llega al refugio para este servicio?

P=casos favorables a la selección 15/casos totales de la muestra planteada en el ejercicio 20

P=15/20 la puntuación es de 15/20

5. Las personas sin hogar con puntación en el 25% más bajo, se les envía a un servicio de orientación laboral para mejorar sus recursos. ¿Qué puntuación permite calificar a una persona para acceder a este servicio?

P=(25 + 5)/(8 +12 +7 + 5)

P=12/32 8

P=3/8 la puntuación es de 3/8

ESTUDIO DE CASO 2

Si usted fuera el jefe, ¿habría considerado la estatura como criterio en su selección del sucesor para su trabajo?

Daniel Seligman analizó en su columna de la revista “Fortuned” sus ideas acerca de la estatura como un factor en la decisión de Deng Xiaoping para elegir a Hu Yaobang como su sucesor en la presidencia del Partido Comunista Chino. Como afirma Seligman, los hechos que rodean el caso despiertan sospechas al examinarlo a la luz de la estadística.

Deng, según parece tenía como estatura 154 cm de alto, una estatura baja incluso en China. Por consiguiente al escoger a Hu Yaobang, que también tenía 154 cm de estatura, motivo algunos gestos de desaprobación porque como afirma Seligman “las probabilidades en contra de una decisión ajena a la estatura que dan lugar a un presidente tan bajo como Deng son aproximadamente de 40 a 1”. En otras palabras, si

tuviéramos la distribución de frecuencias relativas de las estaturas de todos los varones chinos, solo 1 en 40 es decir 2,5% tendrían 154 cm de estatura o menos.

Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china. Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final” y que en la China la longitud media de un niño al nacer era de 47,6 cm. De esto Seligman deduce que la estatura promedio de los varones adultos chinos es: 47,6 / 28.6 * 100 = 166,3 cm.

El periodista asume entonces que la distribución de las estaturas en China sigue una distribución normal “al igual que en países como estados Unidos” con una media de 166,3 cm y una desviación estándar de 3,7 cm.

INFORME A PRESENTAR:

Prepare un informe en el que como mínimo, incluya:

1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm

Población masculina en china= 703.497.681

Suposición de Seligman “

Solo 1 en 40 es decir 2,5% tendrían menos 154 cm de estatura o menos.

(703497681x1)/40

Número de personas menores de 154 cm en china= 17587442.03

2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman?

Si, los cálculos del punto 1 coinciden con las probabilidades de Seligman

3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento?

Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china.

Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final” Esta afirmación debe tener un margen de error muy alto puesto que no es una medida exacta sino una suposición.

4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que Deng Xiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor.

No considero que Deng Xiaping utilizara la estatura como criterio en la elección de su sucesor puesto que el 44% de la población tiende a tener esta estatura según los cálculos realizados con base a los estudios de Seligman. En lo que se puede deducir que casi la mitad de la población hubiera podido ser escogida por este criterio.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

La realización de un experimento genera más atención  en la función del resultado más que en el resultado en sí mismo. Así, por ejemplo, al arrojar un dado dos veces podríamos estar interesados sólo en la suma de los puntos obtenidos y no en el par de valores que dio origen a ese valor de la suma. En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. Esa cantidad de interés, o más formalmente esa función a valores reales definida sobre el espacio muestral se denomina variable aleatoria. Variable porque toma distintos valores y aleatoria porque el valor observado no puede ser predicho antes de la realización del experimento, aunque sí se sabe cuáles son sus posibles valores. Dado que el valor de una variable aleatoria es determinado por el resultado de un experimento, se pueden asignar probabilidades a los posibles valores o conjuntos de valores de la variable.

 Definición:

Sea S un espacio muestral asociado con un experimento aleatorio. Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada elemento w∈ S un   número real X(w)=x, es decir

Como se observa, en general representaremos a las variables aleatorias con letras mayúsculas: X, Y, Z,etc. y sus valores con letras minúsculas, es decir X(w)=x significa que x es el número real asociado al resultado w ∈ S a través de X.

 

Ejemplo: Se arroja dos veces un dado equilibrado. Un espacio muestral asociado es:

 

Posibles variables aleatorias asociadas con este experimento son:

X: ”número de caras pares”

Y: “máximo puntaje”

Z: “suma de puntos”

 

 La función de distribución de una variable aleatoria discreta tiene forma de escalera como se ve en la figura:

 

 

 

Parámetros de una variable aleatoria discreta

  

Esperanza matemática

 

  

Varianza

 Desviación

típica

 

 Ejemplo[1]

 

Aplicar los conceptos anteriores a la siguiente variable aleatoria:

X= “Numero de caras obtenidas en tres lanzamientos de una moneda”

La variable discreta X puede tomar los valores 0,1,2,y 3. Los ocho posibles resultados de los tres lanzamientos tienen probabilidad 1/8 de ocurrir. La función que  constituye la variable aleatoria es la siguiente:

 

La función de masa de esta variable aleatoria es:

 

La función de distribución se puede ver en la siguiente figura:

 

Media o esperanza:

 

 

Varianza:

Mediana: cualquier punto del intervalo (1,2).

  

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. Por ejemplo la altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.

 Una variable aleatoria X es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo (finito o infinito). La función de probabilidad de una variable aleatoria continua queda caracterizada por su función de densidad, que es una función:

 

Verificando:

a)   f(x) ≥0, para todo x Є R

b)   ∫R  f(x)dx = 1

 

A partir de la función de densidad, calculamos la probabilidad de un suceso relativo a la variable aleatoria de la siguiente forma:

Por lo tanto, la función de densidad nos indica como es el reparto de la probabilidad sobre R, y nos permite calcular la probabilidad precisa de un suceso A.

 

Conviene resaltar que el valor de la función de densidad f(x) en un punto x, no es la probabilidad de aparición de ese valor x, ya que:

Por tanto cuando se trabaja con variables aleatorias continuas, la probabilidad de cualquier conjunto unitario es cero y, como consecuencia la función de distribución es continúa.

 La función de distribución se puede obtener a partir de la función de densidad:

Recíprocamente, en los puntos en que F es derivable:

 

Parámetros de una variable aleatoria continúa

  

Esperanza matemática

 

Varianza 

 

 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es una descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. Esta distribución bien puede ser una gráfica, una tabla o una ecuación que da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria y se considera como el resumen más útil de un experimento aleatorio.

 

Toda distribución de probabilidad debe satisfacer cada uno de los dos requisitos siguientes:

 

 

EJEMPLO 1.3

 

Determine si la siguiente tabla describe una distribución de probabilidad

 

x 0 1 2P(X=x) 0,04 0,32 0,64

 

Para ser una distribución de probabilidad, P(X=x) debe satisfacer los dos requisitos.

 

 

De manera que la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X satisface el primer requisito. Observe, además, que cada uno de los valores de P(X=x) se encuentran entre 0 y 1. Como ambos requisitos se satisfacen, la tabla de probabilidades de la variable aleatoria X es una distribución de probabilidad de X.

Cuando la distribución de probabilidad se describe a partir de una ecuación, se le

denomina función de probabilidad. Esta función   va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X (denominado rango de X) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:

Ejemplo 1.4

Determine si la función   (donde x puede ser 0, 1 ó 2) es una función de probabilidad.

 

En la siguiente tabla se resumen los posibles valores de la variable aleatoria X.

 

X 0 1 2f(x

)=P(X=x)0 1/3 2/3

 

Observe que todos los valores de f(x) son todos positivos, esto es Además se cumple el segundo requisito:

 

Por lo tanto, la función f(x) es una función de probabilidad.

DISTRIBUCIONES CONTINÚAS DE PROBABILIDAD

Ahora estudiaremos algunas de las distribuciones probabilísticas de tipo continuo como:

Distribución uniforme continua

Distribución normal

Distribución exponencial.

Se dice que una variable X posee una distribución uniforme en el intervalo [a,b], si su función de densidad es la siguiente:

Con esta ley de probabilidad, la probabilidad de que al hacer un experimento aleatorio, el valor de X este comprendido en cierto subintervalo de [a,b] depende únicamente de la longitud del mismo, no de su posición.

Distribución normal es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.

Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución.

La distribución gaussiana, recibe también el nombre de distribución normal, ya que una gran mayoría de las variables aleatorias continuas de la naturaleza siguen esta distribución.

Var(x) = S2

µ: es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

s2 : es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy alejados de ella. Se representa por s2 porque su raíz cuadrada, s, es la denominada desviación estándar.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/moduloexe/mdulo.html