Trabajo - Programacion Digital

7/23/2019 Trabajo - Programacion Digital

1/11

Trabajo de Programacin

FACULTAD: INGENIERIA CIVIL

CUR!: ProgramacinDigital

ECCI!N: "#$%

INGENIER!: &o'e C()*)illan*)i

L+ ALU,N!: !rtega

Ca'a'-Carlo' &e')' oria

Galindo-Darc.

#"%/


2/11

Oscilaciones amortiguadas

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte oun pndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que adems de la fuerzaelsticaF=-kx, acta otra fuerza opuesta a la velocidadFr=-v, donde es una constanteque depende del sistema fsico particular. odo cuerpo que se mueve en el seno de unfluido viscoso en rgimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional ala velocidad ! de sentido contrario a sta.

La ecuaci"n del movimiento se escribe

ma=-kx-v

#xpresamos la ecuaci"n del movimiento en forma de ecuaci"n diferencial, teniendo en

cuenta que la aceleraci"n es la derivada segunda de la posici"nx, ! la velocidad es laderivada primera dex.

d2xdt2+2dxdt+20x=0 20=km 2=m

0es la frecuencia natural o propia del oscilador

es la constante de amortiguamiento,


3/11

t=0 {x0=Bv0=B+Ax=exp(t)(v0+x0sin(t)+x0cos(t))x=A0exp(t)sin(t+)A0=A2+B2=v20+2v0x0+x2020202

tan=BA=x0202v0+x0

La caracterstica esencial de las oscilaciones amortiguadas es que la amplitud de laoscilaci"n disminu!e exponencialmente con el tiempo*ea una oscilaci"n amortiguada de frecuencia angular propia0)+(( rads, ! cu!aconstante de amortiguamiento )-.( s+. *abiendo que la partcula parte de la

posici"nx0)/ con velocidad inicial nula, v0)(, escribir la ecuaci"n de la oscilaci"namortiguada.

La frecuencia angular de la oscilaci"n amortiguada es

=100272=99.75 rad/s

A()/.(+tan)+0.1/

La ecuaci"n de la oscilaci"n amortiguada es

x=/.(+2exp$-t&2sin$33.-/t++./&

*i el amortiguamiento es grande, puede ser ma!or que 0, ! puede llegar a ser cero$oscilaciones crticas& o imaginario $oscilaciones sobreamortiguadas&. #n ambos casos,no ha! oscilaciones ! la partcula se aproxima gradualmente a la posici"n de equilibriotal como veremos ms adelante.

4esolvemos la ecuaci"n diferencial, llamando

5oeficiente de rozamiento, $g&,

6recuencia angular propia, ($w(&,

5reamos el script amortiguadas.m para representar la oscilaci"n ! la amplitud enfunci"n del tiempo.

syms g w0 t x0 v0;

x=dsolve('D2x+2*g*Dx+w0^2*x=0','x(0)=x0','Dx(0)=v0');

xx=subs(x,{g w0 x0 v0},{7 100 0});

!old o"

e#$lot(xx,%0 0&7)

0=st((v0^2+2*v0*g*x0+x0^2*w0^2)(w0^2g^2));

=subs(0,{g w0 x0 v0},{7 100 0});

x$=*ex$(7*t);

e#$lot(x$,%0 0&7)

!=e#$lot(x$,%0 0&7);

set(!,'-olo','')


4/11

!=e#$lot(x$,%0 0&7);

set(!,'-olo','')

yl.m(% )

g.d o"

t.tle('os-.l/-.o"es /mot.gu/d/s')

!old o

La energa del oscilador amortiguado

La energa de la partcula que describe una oscilaci"n amortiguada es la suma de laenerga cintica de la partcula ! de la energa potencial del muelle elstico deformado.

E=12mv2+12kx2=12mv2+12m20x2

7ntroducimos las expresiones de la posici"nx! de la velocidad vde la partcula enfunci"n del tiempo t.

E=12m20A2e2t12mA2e2tsin(2(t+))

*i la constante de amortiguamiento es peque8a, como hemos visto en el e9emplo delapartado anterior 0

E=12

m20A2e2t

(10sin(2(

0t+)))


5/11

La energa decrece exponencialmente con el tiempo, pero con una peque8a ondulaci"ndebida al segundo trmino entre parntesis.

:8adimos al script amortiguadas.m las siguientes lneas para representar la energa deloscilador amortiguado en funci"n del tiempo. La energa del oscilador decrece

rpidamente con el tiempo.

e"eg/

v=d.(x,t);

e=0&*v^2+0&*100^2*x^2; l/ m/s/ m es u" /-to de es-/l/ m=1

ee=subs(e,{g w0 x0 v0},{7 100 0})

.gue

e#$lot(ee,%0 0&7)

g.d o"

t.tle('3"eg/')

La energa perdida hasta el instante ta causa de la fuerza de rozamiento se calculamediante la integral

0t(v)vdt=2m0tv2dt

que ser igual a la diferencia entre la energa del oscilador en el instante t ! la energainicial del oscilador en el instante t)(


6/11

5omprobamos con ;:L:

Documents

Trabajo - Programacion Digital