DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

1.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.

La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.

a) Sea X=1, si anota el tiro, si no lo hace, X=0. Determine la media y la varianza de X.

p(X=1)=0.55 por tanto X~Bernoulli (0.55)

MEDIA VARIANZA μX= p σx= p(1-p) μX= 0.55 σx= 0.55(1-0.55) σx= 0.55 (0.45) σx= 0.2475

b) Si anota el tiro, su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.

Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es así,

encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.

No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y

1. Y los valores posibles de Y son 0 y 2.

c) Determine la media y la varianza de Y.

MEDIA VARIANZA μX= 2(p)+0(1-p) σx= (2-1.1)20.55+ (0-1.1)20.45 μX= 2(0.55)+0(1-0.55) σx= (0.9)20.55+ (-1.1)20.45 μX= 1.1+0(0.45) σx= (0.81)0.55+ (1.21)0.45 μX=1.10 σx= 0.4455+0.5445 σx= 0.99

2.- En un restaurante de comida rápida. 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña. 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden de bebida es pequeña o mediana y Z=0 en cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de p(X=1)=0.25 por lo tanto X~Bernoulli (.25)

b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de p (Y=1)=0.35 por lo tanto Y~Bernoulli (.35)

c) Sea Pz la probabilidad de éxito Z. determine Pz. La probabilidad de p (Z=1)=0.60 por lo tanto Z~Bernoulli (.60)

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separado

e) ¿Es Pz=Px+Py? Si

3.- Cuando se aplica cierto barniz a una superficie de cerámica, 5% es la probabilidad de que se decolore, 20% de que se agriete, y 23% de que se decolore o no se agriete, o ambas. Sea X=1 si se produce una decoloración y X=0 en cualquier otro caso. Y=1 si hay alguna grieta y Y=0 en cualquier otro caso; Z=1 si hay decoloración o grieta, o ambas, y Z=0 en cualquier otro caso. a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. determine Px. La probabilidad de éxito p(X=1)=0.05 por lo tanto X~Bernoulli (.05)

b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. determine Py. La probabilidad de éxito p (Y=1)=0.20 por lo tanto Y~Bernoulli (.20)

c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. determine Pz. La probabilidad de éxito p (Z=1)=0.23 por lo tanto Z~Bernoulli (.23)

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si, solamente por separado

e) ¿Es Pz=Px+Py? Si

4.- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z=XY. a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli Puesto que los valores posibles de Xy Y son 0 y 1, los valores posibles del producto Z=XY son también 0 y 1. Por tanto, Z es una variable aleatoria de Bernoulli.

b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz=PxPy. Pz=P(Z=1)=P(XY=1)=P(X=1 y Y=1)=P(Z=1)P(Y=1)=PxPy

5.- Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero.

La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.

a) Si anota el tiro, su equipo obtiene tres puntos; si lo falla, su equipo no recibe puntos.

Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de Bernoulli? Si es asi,

encuentre la probabilidad de éxito. Si no explique por qué.

No, porque una variable aleatoria de Bernoulli solo tiene valores posibles de 0 y

1. Y los valores posibles de Y son 0 y 3

b) Determine la media y la varianza de Y.

MEDIA VARIANZA μX= 3(p)+0(1-p) σx= (3-1.65)20.55+(0-1.65)20.45 μX= 3(0.55)+0(1-0.55) σx= (1.35)20.55+(-165)20.45 μX= 1.65+0(0.45) σx= (1.8225)0.55+(2.7225)0.45 μX= 1.65 σx= 1.002375+1.225125 σx= 2.2275

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1.- Se lanza al aire una moneda diez veces a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?

P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)10-3=0.1172

b) determine la media del número de caras obtenidas μX=10(0.5)= 5

c) determine la varianza del número de caras obtenidas. σ2

x= 10(0.5) (1-0.5)=2.5

d) determine la desviación estándar del número de caras obtenidas

σx= = 1.58

2.- En un patrón aleatorio de ocho bits utilizado para probar un microcircuito, cada bit tiene la misma probabilidad de ser 0 o 1. Suponga que los valores de los bits son independientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los bits sean 1?

P(X=8)= (0.5)8(1-0.5)8-8=0.0039

b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de los bits sean 1?

P(X=3)= (0.5)3(1-0.5)8-3=0.2188

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos seis de los bits sean 1) P (X≥6)= P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)

= (0.5)6(1-0.5)8-6+ (0.5)7(1-0.5)8-7+ (0.5)8(1-0.5)8-8

= 0.10938+0.03125+0.00391 = 0.1445

d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de los bits sean 1? P (X≥2)= 1-P(X<2) = 1-P(X=0)-P(X=1)

=1- (0.5)0(1-0.5)8-0- (0.5)1(1-0.5)8-1

=1-0.00391-0.03125 = 0.9648

3.- De los pernos manufacturados por cierta aplicación, 90% satisface la longitud especificada y se puede utilizar inmediatamente, 6% está demasiado largo y solo se puede usar después que sea cortado, y 4% está demasiado corto y debe deshacerse. a) Determine la probabilidad de que un perno seleccionado aleatoriamente se pueda utilizar (inmediatamente o después de ser cortados) P (se puedan usar)= P (usar inmediatamente)+P (largo)= 0.90+0.06=0.96

4.-Sea X ~ Bin (8,0.4) Determine

a) P(X=2)

n=8

P(x=2)= )

P(x=2)= 28 (0.16)

P(x=2)= 28(0.16) (0.046656)

P(x=2)= 0.20901888

b) P(X=4)

n=8

P(x=4)= )

P(x=4)= 70 (0.0256)

P(x=4)= 70(0.0256) (

P(x=4)=0.2322432

c) P(X<2)

n=8

P(X<0)= )

P(X<0)= 1 (1)

P(X<0)= 1(1) (

P(x<0)=0.1679616

n=8

P(X<1)= )

P(X<1)= 8 (0.4)

P(X<1)= 8(0.4) (

P(x<1)=0.08957952

d) P(X>6)

n=8

P(X=7)= )

P(X=7) = 8 ( )

P(X=7) =8( )(0.6)

P(X=7) =7.86432

P(X=8) = )

P(X=7) = 1 ( )

P(X=7) = 1( ) (1)

P(X=7) =6.5536

5.-Sea X ~ Bin (5, 0.35)

a) P(X=0)

N=5

P(X=0) = )

P(X=0) =1 (1)

P(X=0) = 1(1) (0.1160290625)

P(X=0) =0.1160290625

b) P(X=1)

N=5

P(X=1) = )

P(X=1) =5(0.35)

P(X=1) =5(0.35) (0.17850626)

P(X=1) =0.3123859375

c) P(X=2)

N=5

P(X=2) = )

P(X=2) =10(0.1225)

P(X=2) =10(0.1225) (0.274625)

P(X=2) =0.336415625

d) P(X=3)

N=5

P(X=3) = )

P(X=3) =10(0.042875)

P(X=3) =10(0.042875) (0.4225)

P(X=3) =0.181146875

e) P(X=4)

N=5

P(X=4) = )

P(X=4) =5(0.0150625)

P(X=4) =5(0.150625) (0.65)

P(X=4) =0.487703125

f) P(X=5)

N=5

P(X=5) = )

P(X=5) =1(5.252187x )

P(X=5) =1(5.252187x ) (1)

P(X=5) =5.252187x

DISTRIBUCIÓN POISSON 1.- Sea X ~ Poisson(4). Determine

a) P(X=1)= e-4 *

P(X=1)= 0.018315638 * P(X=1)= 0.018315638 * 4 P(X=1)= 0.073262555

b) P(X=0) = e-4 *

P(X=0)= 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 * 1 P(X=0)= 0.018315638 c) P(X<2)

P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *

P(X=1) = 0.018315638 * P(X=0)= 0.018315638 * P(X=1) = 0.018315638 * 4 P(X=0)= 0.018315638 * 1 P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638 P(X<2) =P(X=1)+P(X=0) P(X<2) =0.07326255+0.018315638 P(X<2) =0.091578193 d) P(X>1)

P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *

P(X=2)= 0.018315638 * P(X=3)= 0.018315638 *

P(X=2)= 0.018315638 * 8 P(X=3)= 0.018315638 * 10.66666667 P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814

P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)

P(X=4)= 0.018315638 * P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+

0.195366814 P(X=4)= 0.018315638 * 10.66666667 P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739

e) μX

μX= 4

f) σx

σx=

σx= 2

2.- Suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el número de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen este defecto. Determine:

a) P(X=3)= e-3*

P(X=3)= 0.049787068 * P(X=3)= 0.049787068 * 4.5 P(X=3)= 0.0224041807 b) P(X≤2)

P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *

P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *

P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205

P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+ 0.149361205 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5 P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008 c) P(X<2)

P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*

P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5

P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807

P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+ 0.224041807 P(X=3)= 0.049787068 * 4.5 P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819

d) μX

μX= 3

e) σx

σx=

σx= 1.732030808

3.- El número de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una hora?

P(X=3)= e-8*

P(X=3)= 3.354626279x10-4 * P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667 P(X=3)= 0.09160366

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

P(X=10)= e-12*

P(X=10)= 6.144212353x10-6 * P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571 P(X=10)= 0.104837255

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en 11/2 horas?

P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *

P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12 P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5

P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 +

7.373054824x10-5 +

P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 = P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4

4.- Una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y tiene una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3. ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza más grande? Elija una de las siguientes respuestas: i) Sí, X tiene la varianza más grande. ii) Sí, Y tiene la varianza más grande iii) No, se necesita conocer el número de ensayos, n, para X. iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X. v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y. Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:

σ2x= (1-p)

σ2x= (1-3)

σ2x= -2

Fórmula para determinar la varianza en una distribución Poisson:

σ2y= λ

σ2y= 3

Respuesta:

ii) Sí, Y tiene la varianza más grande

5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el número de partículas que son retiradas. Determine.

a) P(X=5)= e-6 *

P(X=5)= 2.478752177x10-3 * P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8 P(X=5)= 0.160623141

b) P(X≤2)

P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *

P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6 P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513

P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+

0.044617539 P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18

P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804

c) μX

μX= 6

d) σx

σx=

σx= 2.449489743

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.-Determine el área bajo la curva normal

a) Ala derecha de z= -0.85.

b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.

c) Entre z =0.30 y z = 0.90.

d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas

A – 1 – 0.1977 = 0.8023

B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478

C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338

D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con

media de 480 y desviación estándar de 90.

a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?

b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?

c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En qué percentil se encuentra?

d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?

µ = 480 σ = 90

A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073

B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67

El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7

C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082

Por lo que una puntuación de 600 está en el percentil 91

D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67

Z = (520 – 480)/90 = 0.44

El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.418

3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media

de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga

resistencia mayor a 12 GPa?

b) Determine el primer cuartilde la resistencia de esta aleación.

c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.

RESULTADOS

µ = 10 σ = 1.4

A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =

0.0764

B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67

El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.

C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645

El 25 º percentil es entonces 10 +1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un

caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La

concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración

excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo

el día.

a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye

normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6

mg/mL en qué proporción de días se suspenderá el proceso?

b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de

azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL

y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos

con menos días de producción perdida?

RESULTADOS

A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336

B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228

Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con

media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas.

a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?

b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En qué valor

debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o

mas?

c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En qué valor debe

fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o más?

RESULTADOS

A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas

C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

DISTRIBUCIÓN GAMMA

1.-El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución

de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra

menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la

llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).

Solución:

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)

a : Escala 60000

p : Forma 20000

Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo

paciente es 0,98.

2.-Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son

sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución

Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

1.-Sea T ~ t(4,0.5)

a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P T

P (T

= 1- e – (0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)

=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636

=0.000175

d) Determinar P(T

P(T

= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)

=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551

=0.9344

2.-Sea T ~ Weibull (0.5,3)

a) Determinar

b) Determinar

c) Determinar P(T

P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-

3.-En el articulo “Parameter Estimation with OnlyOne Complete Failure

Observation”se modela la duración en horas, de cierto tipo de cojinete con la

distribución de Weibull con parámetros

a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure más de 1000

horas

b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000

horas

P(T<2000)= P(T

c) La función de riesgo se definió en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en

T=2000 horas?

h(t) =

4.-La duración de un ventilador, en horas, que se usa en un sistema computacional

tiene una distribución de Weibull con

a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure más de 10 000

horas?

P (T>10 000) =1 – (1- =0.3679

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000

horas?

P (t<5000) =P (T

5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara

cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla.

Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son

independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2

a) Determine P(

P(

b) Determine P(T 5)

P(T =0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Asi ¿Cuáles son sus

parámetros?

Si, T~ Weibull (2,