UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚFACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA

Ingeniero : Guevara Yanqui, Víctor

Cátedra : Simulación de procesos Químicos

Alumno : Mendoza Vargas, Eder

Semestre : IX

Fecha : 27 – set.

Modelo matemático de vaciado de tanques

RESUMEN

La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las practicas más

utilizadas en la industria. Todo proceso que se lleva a cabo en un tanque incluye un

proceso de vaciado del mismo. Es por ello la gran importancia de esta operación y su

estudio.

Para el presente informe se elaboro un modulo con una altura de 0.215m y un diámetro

de 0.162m el cual tiene un diámetro de descarga del fluido en la parte central de la base

de un diámetro de 0.0047625 m

Partiendo de la energía potencial determinamos el modelo matemático que

describe el vaciado de un tanque cilíndrico con un orificio en el centro de la base, con

un tiempo de descarga real de 322.41seg, y así se determino el coeficiente de descarga

del tanque usando para ello el caudal real ( ) y el teórico (

), determinando un Cd igual a 0.4769.

El modelo matematice que describe el tiempo de vaciado del tanque elaborado es

Simulando este modelo matemático can matlab se obtuvo un tiempo de descarga de

337.41 segundos, cual no está muy lejos del valor obtenido experimentalmente

OBJETIVO

Simular un modelo matemático que describe el vaciado de un tanque cilíndrico vertical

y comprobar los resultados de manera experimental, confrontados en una grafica.

OBJETIVO ESPECIFICO:

1. Resolver el modelo matemático que describe el vaciado de un tanque cilíndrico

vertical.

2. Elaborar el modulo (tanque cilíndrico vertical, con una agujero en el centro de la

base) para obtener datos experimentales.

3. Determinar el tiempo de descarga de forma experimental

4. Determinar el Coeficiente de Descarga.

5. Determinar el modelo matemático que describe el tiempo de vaciado del modulo

elaborado.

6. Simular modelo matemático obtenido usando el matlab.

MARCO TEÓRICO

Para el diagrama siguiente, consideremos un sistema isotérmico con un fluido

newtoniano, incomprensible, con densidad, viscosidad y composición constantes.

VACIADO DE TANQUES

Considerando que la salida de agua a través de un agujero de bordes agudos en le fondo

de un tanque lleno de agua hasta un altura h es igual a la velocidad del agua que cae

libremente desde una altura h

Conociendo esto igualaremos la energía cinética con la energía potencial:

(1)

De aquí despejamos v tenemos:

(2)

Donde:

g = aceleración de la gravedad

v = velocidad del agua que sale

h = altura

Observaciones:

En la práctica trabajaremos con un cilindro. Del cual determinaremos la altura de agua

(h) que queda en el tanque a un tiempo t (en segundos).

Datos:

h = altura del cilindro

V = Volumen de agua

R = radio mayor del cilindro

r = radio del agujero en el fondo del cilindro

A0 = Área perteneciente al agujero en el fondo del cilindro

Luego el área de escape del agua será:

Hallando la ecuación diferencial

El volumen de agua que sale del cilindro por unidad de tiempo (velocidad de agua que

sale del cono) es:

(3)

Pero debido al rozamiento existe un gasto K de agua que queda en el cono circular

entonces la ecua. (1) queda

(4)

Luego:

(5)

Despejando las diferenciales tenemos:

(6)

El volumen será:

Si :

(7)

Igualando la ecuación (6) y la (7)

(8)

Despejando las integrales tenemos:

(9)

Integrando (4)

Solución General

(10)

Hallando la cte. C teniendo los valores iniciales

Para:

t = 0 tenemos un h = h0

Reemplazando en la solución general tenemos:

Reemplazando en la Solución General tenemos:

(11)

Despejando:

(12)

Si:

Entonces, el tiempo de vaciado del tanque en cualquier instante es:

(13)

Finalmente el tiempo de vaciado del tanque será:

(14)

Donde:

La constante k es el Coeficiente de Descarga, depende de la forma del oricio:

Si el oricio es de forma rectangular, la constante k = 0.8

Si el oricio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0.75

Si el oricio es de forma circular, la constante k = 0.6

Calculo del Coeficiente de descarga

Caudal Real (QR)

QR = V / tDonde:QR : Caudal real (m3/s ).V: volumen (m3).t: tiempo (s).

Caudal Teórico (QT)

QT = Ao ( 2g * h ) ½

Donde:QT: Caudal teórico (m3/s ).A: Area (m2).g: gravedad (m/s2).h: Altura (m).

Coeficiente De Descarga (CD)

Cd = QR /QT

Donde:CD : Coeficiente de descargaQR : Caudal real (m3).QT : Caudal teórico (m3).

PARTE EXPERIMENTAL

Materiales

Modulo

o cilindro vertical con agujero de área Ao

o soporte

cubeta

cronometro

agua

regla

Procedimiento:

Montar el modulo con en la grafica

Llenar en cilindro previamente marcado con la altura inicial h0, tapando el agujero de la

base.

Tomar el tiempo desde el momento que se abre el agujero considerando como el tiempo

t0, y anotar el tiempo cada vez que desciende un centímetro desde la altura inicial.

Elaborar una grafica con los resultados obtenidos

Simular el modelo matemático obtenido para el vaciado de tanque usando el matlab

RESULTADOS OBTENIDOS

Datos del modulo

h = 0.215 m

D = 0.162 m

D0 = 3/16 pulg = 0.0047625 m

Calculo de A0

Pruebas realizadas

Altura de trabajo h0 = 0.15 m

TablaN°1 Datos experimental

PRUEBAS

N°Distancia

cmTiempo (seg)

Tiempo (seg)

Tiempo (seg)

1 15 0 0 02 14 12.25 11.94 12.973 13 25.54 24.41 24.724 12 38.93 34.91 37.495 11 53.66 47.58 50.6766 10 68.9 60.25 64.687 9 85.07 73.95 79.318 8 101.66 88.47 94.869 7 120.4 105.16 110.82

10 6 139.87 120.4 128.7511 5 161.09 137.09 148.5212 4 183.4 157.79 171.0813 3 210.32 180.04 194.9714 2 243.9 207.13 226.3915 1 295.3 239.88 268.7216 0 350.85 304.96 311.41

Tiempo de vaciado del tanque:

t1 = 350.85 seg

t2 = 304.96 seg

t3 = 311.41 seg

Promedio = 322.41 seg

Grafica de las 3 pruebas

Calculo del Coeficiente de descarga

CAUDAL REAL (QR)

QR = V / t

t = 322.41 seg

CAUDAL TEORICO (QT)

QT = Ao ( 2g * h ) ½

COEFICIENTE DE DESCARGA (Cd)

Cd = QR /QT

Reemplazando en la ecuacion (14) se tiene:

(15)

Que es el modelo matemático que describe el vaciado del tanque

Ajuste Lineal de la prueba 2 (Polinomio de grado 6)

La ecuacion del Grafico 2 es:

Prueba de los resultados con el modelo matemático, para h = 0.150 m

distancia pruebasm seg

0 0.000.01 87.120.02 123.200.03 150.890.04 174.240.05 194.800.06 213.400.07 230.490.08 246.410.09 261.36

0.1 275.490.11 288.940.12 301.790.13 314.110.14 325.97

Tiempo de Vaciado del tanque 0.15 337.41

CODIGO DE MATLAB UTILIZADO.% inicio del archivo tanque.m%================function tanque2%================%clc; clear all; format compact;global D2 Qe D1 mu rho E L Ke Ks g gc% caracteristicas f\'isicas del agua

mu = 0.001; % kg /(m s)rho = 1000;% kg/m^3%tanqueD1 = 0.14; %m% Valores a cambiar dependiendo del tubo utilizado (2,3, \'o 4)L =32/100%tuboD2 = 0.355/100; %m% Tubo descarga:% Diametro ext 0.162 m% Diametro int 0.0047625 mKe =0.05; % K de entradaKs =0.1; % K de salidag = 9.81;% m/s^2gc = 9.81; % (kg m /s^2)/kgfQe = 0; % flujo volumetrico a la entraD1 del tanquez0 = za;% altura inicial en la superficie del tanqueE=4.5E-6 %m% ========================================ts = [0,300];% segundos% ==========================================[t,z] = ode15s(@bmasa2,ts,z0); % solucion de la ec. dif.% interpolando la altura z=34 m% td = interp1(z,t,L);% fprintf('tiempo de descarga: %8.2f seg\n',td)% Tubo extra% Diametro 4.5 cm% Altura 154.2 cm con todo y tubo de descarga% Tubo descarga 21.5 cmt1=tz1=(z*100-L*100)figure(1), plot(t,z1), xlabel('t [s]'), ylabel('z [cm]')title('Perfil te\'orico del altura en el tiempo, Tubo 1')grid%inicio del balance de masa%==========================function dzdt = bmasa2(t,z)%==========================%global D1 D2 Qe% Estimados iniciales para el factor de fricci\'on y la velocidadf0 = 0.02;v20 = 1; % m/sza = z; options= optimset('Display','off');[var,fun,flag]=fsolve(@bem,[f0,v20],options,za);if ( flag~=1 )fprintf('no convergio\n')endv2 = var(2);Qs = pi/4*D2^2*v2;dzdt = 4*(Qe-Qs)/(pi*D1^2);%balance de energ\'ia mec\'anica%==========================function fun = bem(varin,za)%==========================%global mu rho D2 E L Ke Ks g gcf = varin(1);v2 = varin(2);

Re = D2*rho*v2/mu;fun(1) = 1/sqrt(f) + 2*log10( E/(3.7*D2 ) + ...2.51/( Re*sqrt(f) ) );fun(2) = -za*g/gc + v2^2/(2*gc) + ...v2^2/(2*gc)*( f*L/D2 + Ke + Ks );RESULTADO DEL PROGRAMA

Altura (m) Tiempo (s)0.15 337.410.14 281.860.13 230.460.12 196.880.11 169.960.10 147.650.09 126.430.08 106.960.07 88.220.06 71.630.05 55.460.04 40.220.03 25.490.02 12.10.01 1.190.00 0

Tiempo de Descarga es de t = 337.41 seg

CONCLUSIONES

1. Se determino en siguiente modelo matemático:

El cual se determino igualando la energía cinética con la energía potencial.

2. Se elaboró un modulo con los siguientes datos

Altura = 0.215 m, diámetro mayor = 0.162 m, diámetro menor (D0) =

0.0047625 m, el cual se puede ver en los anexos y el plano del modulo.

3. El tiempo de vaciado del tanque de forma experimental es de 322.41 segundos

4. El coeficiente de Descarga determinado es de .

5. El modelo matemático que describe el tiempo de vaciado del modulo elaborado

es

6. Simulando el modelo matematico con matlab se determino un tiempo de

descarga de 337.41 segundos

DISCUSIÓN DE RESULTADOS

Con base en los resultados obtenidos para la descarga de tanque se puede a estimar que

la práctica se llevo a cabo de forma exitosa. Si bien los resultados para la columna no

resultan como esperados, más allá de desalentarnos representan un interés y motivación

en volver a estudiar.

El coeficiente de descarga calculado es de , el cual no está muy lejos del

valor teórico:

La constante Cd es el Coeficiente de Descarga, depende de la forma del oricio:

Si el oricio es de forma rectangular, la constante k = 0.8

Si el oricio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0.75

Si el oricio es de forma circular, la constante k = 0.6

Esto se debe a que no se considera la fricción que ejerce el líquido sobre las paredes del

cilindro, que es una fuerza que reduce la velocidad de caída del fluido.

El coeficiente de descarga de este modelo se determino considerando un tanque

cilíndrico cuyo flujo era laminar y con un orifico en el centro de la base del cilindro a

diferencia de otros módulos que usaron una salida lateral en el cual el coeficiente de

descarga varia entre 0.4 y 0.5

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Ecuaciones Diferenciales – Becerril Espinoza Jose Ventura – Tecnicas de

Solucions y Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales – Primera Edición 2004

2. Ecuaciones Diferenciales – Zill D. G. – Sexta Edición 1997

3. Solución de Problemas de Ingeniería con Matlab – Dolores M. Etter - Segunda

Edicion-2005

ANEXOS

Taladro broca de 3/16 pulg

Perforando el cilindro

Modulo armado

Nivel de agua de 15 cm

Controlando el tiempo de vaciado

Chorro de agua del cilindro