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Sara Ferreira
TRABALHANDO GEOMETRIA NA 8' SERlE COM 0 CABRI
GEOMETREII
Monografia apresentada ao Curso de Ensino daMatematica da Faculdade de Cil!ncias Exatas eTecnol6gica da Universidade Tuiuti do Parana,como requisite parcial para a obtencyao do titulo deEspecialista em ensine da Maternatica.
Orientador Professor Dr. Jorge Bernard
2004Curitiba
SUMARIO
1 INTRODUCAO2 DEFINICOES DOS TERM OS OESTE TRABALHO2.1 ANGULO2.2 AREA2.3 CATETO2.4 COMPRIMENTO DA CIRCUNFER~NCIA2.5 CONGRU~NCIA2.6 FIGURAS GEOMETRICAS2.7 HIPOTENUSA2.8 HOMOTETIA2.9 MEDIDA2.10 POLIGONO2.11 PONTO2.12 PROPORCAO2.13 PROPORCIONALIDADE2.14 QUADRADO2.15 RA2Ao2.16 RELACAO2.17 RETA2.18 RETA PARALELA2.19 RETA TRANSVERSAL2.20 SEGMENTO DE RET A2.21 SEMI-RETA2.22 TEOREMA DE PITAGORAS2.23 TEOREMA DE TALES2.24 TRIANGULO2.25 TRIANGULO RETANGULO2.26 TRIANGULOS SEMELHANTES2.27 VERTICE3 UM POUCO DE HISTORIA3.1 UMA MEDIDA PARA A VIDA3.2 0 CORPO COMO UNIDADE3.3 ANGULOS E FIGURAS3.4 PARA MEDIR SUPERFIcIES3.5 NOVAS FIGURAS4 PROGRAMA CABRI-GEOMETRE5 coNlo ADQUIRIR 0 PROGRAMA CABRI GEOMETRE6 ATIVIDADES6.1 ATIVIDADE I: RA2Ao E PROPORCAo6.2 ATIVIDADE II: TEOREMA DE TALES6.3 ATIVIDADE III: TRIANGULOS SEMELHANTES6.4 ATIVIDADE IV: TRIANGULOS SEMELHANTES6.5 ATIVIDADE V: TRIANGULOS SEMELHANTES6.6 ATIVIDADE VI: DILATACAO DE FIGURAS GEOMETRICAS7 PROJETO I7.1 TEOREMA DE PITAGORAS
2233334444455556666777778888899
101011121415161617181920212222
7.1.17.1.1.17.1.1.27.1.27.1.2.17.1.2.27.1.37.1.3.17.1.3.289
Primeira demonstrac;aocriteria de recortedemonstraC;<3oSegunda demonstrac;aocriteria de recortedemonstraC;<3oTerceira demonstrar;:aocriteria de recortedemonstrar;:8IoCONCLUsAoREFERENCIAS BILBIOGRAFICAS
2324242526272829293031
RESUMO
No Trabalho a seguir definimos as termos usados na geometria para a Sa serie do
ensino fundamental e propomos a constru~ao dos conteudos, usanda regua e
compasso, como tambem a construc;:c3o destas formas geometricas utilizando a
programa de geometria Cabri Geometre II. Este material foi sistematizado como urn
elemento de apaio educativ~. Utilizando este programa, que permite aos
professores terem suas aulas rnais dina micas, e as alunos com maior interesse em
aprender geometria ficam beneficiados. Propomos as desenhos de objetos da
geametria estudados nesta serie e tambem a constru~ao de urn projeto: 'sabre tres
demonstrac;:oes do Teorema de Pitagoras.
Palavras-chave: Cabri-Geometre; tecnologia aplicada a geometria; formas
geometricas; Teorema de Pitagoras
INTRODUCAO
o presente trabalho tem par objetivo apresentar urn material didatico de
apoio aos alunos que almejam conhecer outro metoda para aprender geometria, e
aos professores da aa serle que desejam contextualizar suas aulas e torna-Ias rnais
dinamicas. Usamos esta tecnologia para aprender e/au ensinar matematica, rnais
especificamente geometria.
Para a constru9ao de objetos em geometria pensamos logo em regua e
compasso. 0 Cabri-Geometre II e urn programa de geometria que nos oferece
Un§gua e compasso eletr6nic05~, simples de usar e eficiente, pois, e passivel
construir "todas" as formas geometricas conhecidas.
Este Trabalho foi organizado com a ideia de colaborar com todos aqueles
que estao integrados, de uma forma ou outra, a aprendizagem da matematica.
Este material e composto de conteudos de geometria estudados na sa serie,
e sugerimos a construc;ao de cada um no Cabri Geometre.
Trabalhando Geometria na sa Serie com 0 Cabri Geometre II, foi dividido em:
definic;6es de cada termo usado neste trabalho e mais 6 atividades: Na Atividade I,
trabalhamos razao e proporyao e 0 conceito de proporcionalidade; Na Atividade II,
Teorema de Tales e nas Atividades III, IVe V, triangulos semelhantes sendo que na
Atividade VI vemos dilatar;ao de figuras geometricas. No final, apresentamos tres
demonstrar;6es do teorema de Pitagoras.
DEFINICOES DOS TERMOS OESTE TRABALHO
2.1 ANGULO
Angulo (do lalim angulus). Uma das regiaes do plano delerminadas par duas
semi-retas que tern a mesma origem (vertice). (Baratojo, 1997).
2.2 AREA
Para (Giovanni, Bonjorno & Giovanni Jr., 1994), area e urn numeral real,
maior au igual a zero, que representa a medida de urna superficie.
2.3CATETO
Cateta (do grego, khateto, dirigido de cima para baixo, vertical). Nome dado
antigamente a qualquer linha perpendicular a Dutra au a urna superficie. Qualquer
urn dos lados perpendiculares do triangulo. as lados de urn triangulo retfmgulo que
formam a angulo relo. (Baralojo, 1997).
2.4 COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFER~NCIA
Seja a circunferencia da Figura:
oA B
1°) Suponhamos ser passivel adaptar, sabre ela, urn fic qualquer, fechado.
2°) Carta mas esse fic e esticando-o, obtemos 0 segmento AB.
A medida do segmento AS denomina-se medida da circunferencia ou 0 comprimento
de AB e 0 comprimento da circunferencia. (Giovanni, Bonjorno & Giovanni Jr., 1994).
2.5 CONGRUI':NCIA
Segundo (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002) quando dais segmentos
tern a mesma medida, tomada na mesma unidade, dizemos que sao congruentes.
2.6 FIGURAS GEOMETRICAS
As figuras geometricas que estao contidas ern urn plano, ista e , que tern
todos as seus pontcs ern urn mesmo plano, sao chamadas figuras geometricas
planas. (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002).
2.7 HIPOTENUSA
Hipotenusa (do gregG hipo, sob; teinousa, que se estende). Unha sub-
estendida. Lado oposto ao angulo reta, no triangulo retangul0. (Baratojo, 1997)
2.8 HOMOTETIA
Duas figuras sao homoteticas quando sao semelhantes e as lados hom61ogos
sao paralelos dais a dais. E aplicada para ampliar OU reduzir urna figura nurna
determinada razao. Resumindo, temos homotetia = semelhan9a + paralelismo.
2.9 MEDIDA
Grandeza determinada que serve de padrao para a avaliayao de outras
grandezas. Exemplos: metro, metro quadrado, metro cubico, litro, grama, etc.
(Baralaja, 1997).
2.10 POLiGONO
A palavra ~poligono~ e farmada par dais termos 9re905: l2Qfl, que significa
"varies", "muitos~, e Y.Q!]Q que significa "anguto". Assim poligono significa "varios
angulos~
Poligono e a reuniao de uma linha fechada simples formada apenas par
segmentos de reta com a sua regiao interna. (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr.,
2002).
2.11 PONTO
Urn dos entes fundamentais da geometria; considerado como conceito
primitiv~, assim como tambem a reta e 0 plano. (Baratojo, 1997).
2.12 PROPORC;AO
Igualdade entre duas razoes: (a/b)=(cld) au a:b=c:d. Tern como propriedade
fundamental: MEm toda a propor930, a prod uta dos extremos e igual aD produto dos
meies ( a.d = b.c). 0 estudo de proporc;ao deu origem a muitas aplicar;oes praticas,
como: regra de tres, porcentagem, juros Simples, regras de sociedade, semelhan<;a
de paliga nos, etc. (Barataja, 1997).
2.13 PROPORCIONALIDADE
Qualidade ou propriedade de proporcional. Duas grandezas podem ser
diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais; sao diretamente
proporcionais se os valores "a" e "b" correspondentes sao tais que alb = k, onde k e
urn valor constante, positiv~, denorninado de constante de proporcionalidade; sao
inversarnente proporcionais se os valores de "a" e "b" correspondentes sao tais que
a.b ;; k, onde k e urn valor constante positivo, denorninado constante de
proporcionalidade inversa. (Baratojo, 1997).
2.14 QUADRADO
Os quatro angulos e as quatro lad os tern a rnesrna rnedida. (Giovanni,
Castrrucci & Giovanni Jr., 2002).
Segundo (Baratojo, 1997), quadrado e urn quadrilatero cujos lados tern a
mesma medida (congruentes) e cujas angulos sao retos (90°). 0 quadrado e a unico
quadrilatera regular, isto e, ele tern lados congruentes e angulos congruentes.
2.15 RAZAO
Quociente de dais numeros dados numa certa ordem, sendo a segundo
deferente de zero; a razao entre 50 e 10 e 50:10;; 5 (razao); a razao entre 5 e 10 e
5:10 que e igual a 0,5 ou %. Obs.: Esta razao e chamada de razao geometrica.
(Baratojo, 1997).
2.16 RELA<;:AO
Podemos dizer que relac;ao e uma equac;ao em que hi! uma igualdade. Ou
seja, uma f6rmula.
2.17 RETA
Ente geometrico primitiv~ ou intuitivo. (A reta, 0 ponto e plano constituem os
entes geometricos fundamentais). (Baratajo, 1997).
2.18 RETA PARALELA
Linhas au superficies eqOidistantes em tada a extensao. Duas retas sao
paralelas quando situados no mesmo plano, naD tern ponto em comum. Indica~se 0
para lei ism a entre as retas Kr" e ~s" par exemplo par rlls. (Baratojo, 1997).
2.19 RETA TRANSVERSAL
Reta que carta (intercepta) urna Dutra.
2.20 SEGMENTO DE RETA
De acordo com (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002), se
considerarmos urna reta r e sabre ela marcarmos dais pontcs, A e S, distintos, 0
conjunto de pontcs formado pelo ponto A. pel0 ponto B e par todos as pontcs da reta
que estao entre A e B e chamado segmento de reta AB.
2.21 SEMI-RETA
Cad a urna das duas partes em que fica dividida urna reta par urn de seus
pontos. (Baratojo, 1997).
O. --II'-'A __ --OA
2.22 TEOREMA DE PITAGORAS
Teorema pel0 qual, ate hoje, 0 matematico e conhecido, que tern 0 seguinte
enunciado: "Em todo a tri;§.ngulo retangulo a quadrado da medida da hipotenusa eigual a soma dos quadrados das medidas das catetas".
2.23 TEOREMA DE TALES
Teorema que tern 0 seguinte enunciado: "urn feixe de paralelas determina em
duas transversa is (au secantes) quaisquer, segmentos que sao proporcionais.
(Baralojo, 1997).
2.24 TRIANGULO
Os triangulos sao polfgonos de tres lad os.
2.25 TRIANGULO RETANGULO
Triangulo que tern urn angulo reta.
2.26 TRIANGULOS SEMELHANTES
Triangulos que tern, ordenadamente angulos congruentes (mesma medida) e
lados proporcionais. (Baratojo, 1997).
2.27 VERTICE
Para (Giovanni & Parente,1999), cada ponto comum a tres ( au mais)
arestas, au seja, as "cantos" e chamado de vertice.
UM POUCO DE HISTORIA
Urna estranha construc;ao feita pelos antigos persas para estudar 0
movimento dos astros. Urn compasso antigo. Urn vetusto esquadro e, sob ele, a
demonstracyao figurada do teorema de Pitagoras. Urn papiro com desenhos
geometricos e 0 busto do grande Euclides. Sao etapas fundamentais no
desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilac;ao dos conhecimentos
existentes, as homens criavam, ao saber da experiencia, as bases da Geometria. E
realizavam operac;oes mentais que depois seriam concretizadas nas figuras
geometricas.
3.1 UMA MEDIDA PARA A VIDA
As origens da Geometria (do gregG medir a terra) parecem coincidir com as
necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras ferteis as margens dos rios, construir
casas, observar e prever os movimentos dos astros, sao algumas das muitas
atividades humanas que sempre dependeram de opera9Des geometricas.
Documentos sobre as antigas civiliza90es egipcia e babil6nica comprovam bons
conhecimentos do assunto, geralmente ligados a astrologia. Na Grecia, porem, e
que 0 genio de grandes matematicos Ihes deu forma definitiva. Dos gregos
anteriores a Euclides, Arquimedes e Apol6nio, consta apenas 0 fragmento de urn
trabalha de Hip6crates. E a resumo feito par Procla ao comentar os "Elementos" de
Euclides, obra que data do seculo V a.C., refere-se a Tales de Mileto como 0
introdutor da Geornetria na Greeia, por importa9ao do Egito.
Pitagoras deu nome a urn importante teorema sobre 0 triangulo-retangul0,
que inaugurou urn novo eonceito de dernonstrac;ao matematiea. Mas enquanto a
eseola pitag6rica do seeulo VI a.C. eonstituia uma espeeie de seita filos6fiea, que
10
envoi via em misterio seus conhecimentos, as "Elementos" de Euclides representam
a introduyao de urn metoda consistente que contribui ha mais de vinte seculos para
a progresso das ciencias. Trata-se do sistema axiomatico, que parte dos conceitos e
proposi90eS admitidos sem demonstrayao (postulados 0 axiomas) para construir de
maneira 16gica tude 0 mais. Assim, tres conceitos fundamentais - a ponto, a reta e 0
circulo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria
chamada euclidiana, utH ate hoje, apesar da existencia de geometrias nao-
euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contradit6rias) dos de Euclides.
3.2 a CORPO COMO UNIDADE
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao
corpo humano: palmo, pe, passo, braya, cubito. Por volta de 3500 a.C. - quando na
Mesopotamia e no Egito comeyaram a ser construidos os primeiros templos - seus
projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a
longitude das partes do corpo de um unico homem (geralmente 0 rei) e com essas
medidas construiram reguas de madeira e metal, ou cordas com nos, que foram as
primeiras medidas oficiais de comprimento.
3.3 ANGULOS E FIGURAS
Tanto entre os sumerios como entre os egipcios, os campos primitivos tinham
forma retangular. Tambem os edificios possuiam plantas regulares, 0 que obrigava
os arquitetos a construirem muitos angulos retos (de 900). Embora de bagagem
intelectual reduzida, aqueles homens ja resolviam 0 problema como urn desenhista
de hoje. Par meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de
II
reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam a maneira de
compassos: dois areos de circunferencia se cortam e determinam dois pontes que,
unidos, secionam perpendicularmente a Dutra reta, formando as angulos fetas.
o problema rnais comum para urn construtor e trac;:ar, por urn ponto dado, a
perpendicular a uma reta. 0 processo anterior nao resolve este problema, em que 0
vertice do angulo reta jei esta determinado de antemao. Os anti905 geometras, a
solucionavam por meia de tres cordas, colocadas de modo a formar as lados de urn
trizmgulo-retangulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5
unidades respectivamente. 0 teorema de Pitagoras explica porque: em todo
triangulo-retangulo, a soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da
hipotenusa (lado oposto ao angulo reto). Temos 32+42=52, isto e, 9+16=25.
Qualquer trio de numeros inteiros ou nao que respeitem tal relac;a:o definem
triangulos-retangulos, que ja na antigOidade foram padronizados na forma de
esquadros.
3.4 PARA MEDIR SUPERFIcIES
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sabre a terra
provavelmente come9aram a calcular a extensao dos campos por meio de urn
simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com
mosaicos quadrados uma superficie retangular, algum sacerdote deve ter notado
que, para conhecer a total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir
esse numero tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a formula da
area do retangulo: multiplicar a base pela altura.
Ja para descobrir a area do triangulo, os antigos fiscais seguiram urn
raciocinio extremamente geometrica. Para acampanha-Ia, basta tamar urn quadrado
12
ou um retangul0 e dividi-Io em quadradinhos iguais. Suponhamos que 0 quadrado
tenha 9 "casas" e a retangulo 12. Esses numeros exprimem entaD a area dessas
figuras. Cortando 0 quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal,
aparecem dais trifmgulos iguais, cuja area, naturalmente, e a metade da area do
quadrado.
Quando deparavam com uma superficie irregular da terra (nem quadrada,
nem triangular), as primeiros cart6grafos e agrimensores apelavam para 0 artiffcio
conhecido como lriangulac;ao: comegando num angula qualquer, tragavam linhas a
todos as demais angulos visiveis do campo, e assim este ficava completamente
dividido em pOfgoes triangulares, cujas areas somadas davam a area total. Esse
metodo - em uso ate hoje - produzia pequenos erros, quando 0 terreno nao era
plano ou possufa bordos curvos.
3.5 NOVAS FIGURAS
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades foram fundadas na Grecia.
Tales e seu discipulo Pitagoras coligiram todo 0 conhecimento do Egito, da Eturria,
da Babil6nia, e mesmo da India, para desenvolve-Ios e aplica-Ios a matematica,
navegayao e religiao. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito
procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para trayar cfrculos, e
a novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos ge6metras. 0 conhecimento do
Universo aumentava com rapidez e a escola pitag6rica chegou a afirmar que a Terra
era esferica, e nao plana. Surgiam novas construyoes geometricas, e suas areas e
perf metros eram agora faceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada pollgono, do grego polygon, que significa
"muitos angulos". Atualmente ate rotas de navios e avioes sao trayadas par
11
intermedio de avanc;:ados metodos de Geometria, incorporados ao equipamento de
radar e autros aparelhos. 0 que naa e de estranhar" desde as tempos da antiga
Grecia, a Geometria sempre foi uma ci€mcia aplicada, au seja, empregada para
resolver problemas praticos. Dos problemas que as gregos conseguiram solucionar,
dais merecem referenda: a calculo da distancia de urn objeto a urn observador e a
calculo da altura de uma construc;:03o.
No primeiro casa, para calcular, per exemplo, a distancia de urn barco ate a
costa, recorria-se a urn curiosa artificio. Dais observadores se postavam de maneira
que urn deles pudesse ver 0 barco sob urn angulo de 90° com relac;:ao a tinha da
costa e 0 Dutro sob urn angulo de 45°. Isto feito, a nave e as dais observadores
ficavam exatamente nos vertices de um triangulo isosceles, porque os dois angulos
agudos mediam 45° cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a
distancia entre os dois observadores para conhecer a distancia do barco ate a costa.
o calculo da altura de uma construgao, de um monumento ou de uma arvore
e tambem muito simples: crava-se vertical mente uma estaca na terra e espera-se 0
instante em que a extensao de sua sombra seja igual a sua altura. 0 triangulo
formado pel a estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos e
isosceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.
Fonte: Dicionario Enciclopedico Conhecer - Abril Cultural
14
4 PROGRAMA CABRI-GEOMETRE
o CABRI-GEOMI:.TRE e urn programa que permite construir todas as figuras
da geometria elementar que podem ser trayadas com a ajuda de urna ragua e de urn
compasso. Urna vez construidas, as figuras podem se movimentar conservando as
propriedades que Ihes haviam sido atribuidas. Essa possibilidade de deforma9clo
permite 0 acessa rapido e continuo a todos as casas, constituindo-se nurna
ferramenta rica de valida9ao experimental de fatas geometricos.
o Cabri-Geometre tern Qutros aspectos que van muito alem da manipulayao
dinamica e imediata das figuras. Ele permite visualizar lugares geometricos
materializando a trajet6ria de urn ponto escolhido enquanto que urn outro ponto esta
sendo deslocado, respeitando as propriedades particulares da figura. Ele permite
tambem medir distancias, angulos e observar a evolu~ao em tempo real durante as
modificavoes da figura.
Uma verdadeira ferramenta para 0 aluno, 0 Cabri-Geometre tambem e uma
ferramenta para 0 professor que 0 utiliza no ensino. Alguns recursos do programa
podem ser suprimidos, outros podem ser adicionados.
o Cabri-Geometre e um software desenvolvido p~r J. M. Laborde, Franck
Bellemain e Y. Baulac, no Laboratorio de Estruturas Discretas e de Didcitica da
Universidade de Grenoble. Este e urn laboratorio associado ao CNRS, instituivao
francesa equivalente ao CNPq brasileiro.
15
5 COMO ADQUIRIR 0 PROGRAMA CABRI GEOMETRE II:
A PUC e representante oficial do Cabri no Brasil. Informavoes:
Departamento de Matematica - PUC ISP
Rua Marques de Paranagua, 111
CEP 01303-50 - Sao Paulo, SP - Tel. (55-11)-256-1622.
16
6 ATIVIDADES
6.1 ATIVIDADE I: RAZAo E PROPOR<;AO
Construa 0 segmento AS e 0 ponto C sabre 95te segmento. Usanda a calculadora,
estabelec;a a razao entre as segmentos:
• AB e BC AB_ S.SOcmABIAC _ Result 2.66
ABlBC •• Resul:: 1.60ACIBC ••Result: 0.60
• AB e AC A 2.07cm C 3.43crn
• ACeBC
Movimente as pontcs A e Be observe as razOes.
Movimente 0 ponto C e observe as razoes.
Conceituando Proporcionalidade
Podemos perceber, ao movimentarmos as pontes A e B, que as razoes calculadas
se mantem. Ou seja, as segmentos se mantem na mesma propon;ao.
17
6.2 ATIVIDADE II: TEOREMA DE TALES
Construa agora tres retas paralelas r1, r2 e r3. Em seguida, construa uma reta
transversal t.
AC·4_17cmABlBC.~uIt167
~ACJA8 ••Result: 1.60
AClBC_ Res"1: 2.61
"2:~ r2
1_S6C~
c~
• Use a calculadora para determinar a razao entre as segmentos AS e Be: AS e
AC; ACe BC.
• Movimente a reta transversal t e observe 0 que aconteee com as razoes.
Teorema de Tales
Ao movimentarmos a reta transversal t, nae alteramos as razOes calculadas. Ou
seja, segmentos constru[dos a partir de retas paralelas cortadas par uma reta
transversal estao numa mesma razao.
6.3 ATIVIDADE III: TRIANGULOS SEMELHANTES
Construa dais triangulos de tal forma que as medidas dos lados do segundo sejam
e observe a que acontece ao movimentarmos seus vertices.
multiplas das medidas dos lados do primeiro. Calcule as angulos dos dais triangulos
SUGESTAo: Construa 0 primeiro triangulo. Va ao Menu 10/ltem 3 (inclina<;ao)e
digite a numero tatar de relavao entre as lados dos dais triangulos. Calcule a
comprimento dos lados do primeiro trizmgulo e, usand a a calculadora, multiplique
estes nurneros pelo numero escolhido. Va ao Menu 5/1tem 8 (transferencia de
medidas) e construa segmentos correspondentes aos lados do segundo triangulo
triangulo.
(usanda as medidas calculadas). A partir destes segmentos, construa a segundo
r= 1.5AS "'r= Result: 4.74 emBC .•••r'" Result: 6.30cmAC"'r= Result 6.S8cmA·
A
3.16an ~ <.39=
~B 4.20cm C
Triangulos Semelhantes - Caso lLl
Quando construimos triangulos cujos lados estao na mesma proporyao, obtemos
angulos de mesma medida. Oessa forma, construimos triangulos que se parecem,
mais precisamente, triangulos semelhantes.
19
6.4 ATIVIDADE IV: TRIANGULOS SEMELHANTES
Construa dais triangulos de tal forma que as angulos do primeiro sejam congruentes
aos angulos do segundo e que, ao movimentarmos as vertices do primeiro, 0
segundo tambem se modifica, mas mantendo as angulos iguais aos do primeiro.
Calcule a razao entre as lados do primeiro e as lados do segundo e observe 0 que
acontece quando movimentam-se as vertices.
SUGESTAo: Oado 0 primeiro tritmgulo, construa a segundo com lados paralelos ao
primeiro. Com esta constrw;30, as angulos do primeiro sao congruentes aos angulos
do segundo.
A8"3.19cmA'B'= 5.68 emASlA'B'. Result 0.56
BC-3.90cmS'C' ••6.9ScmBGlB'C'· Resut: 0.56
AC-4.01 emA'C'-7.13emAC/A'C'= Result: 0.56
A~C
VB
8'
Triangulos Semelhantes - Casa AAA
Quando construirnos triangulos cujos angulos tern rnesma medida, obtemos lados
numa mesma propon;ao. Oessa forma, construimos tri€mgulos que se parecern,
rnais precisamente, triangulos semelhantes.
6.5 ATIVIDADE V: TRIANGULOS SEMELHANTES
Construa dais triangutos conforme a configurac;ao ao lado
e de tal forma que ao mover-se as vertices lado PO
se mantem sempre paralelo ao lado Be.Que relac;:6es existem entre estes dais triangulos?
20
Triangulos Semelhantes - Caso LAL
Os lados dos triangulos ABC e APQ estao numa mesma propor~ao e seus
angulos possuem mesma medida. Assim, podemos dizer que as triangulos ABC e
APQ sao semelhantes.
21
6.6 ATIVIDADE VI: DILATAC;;AO DE FIGURAS GEOMETRICAS
Nesta atividade vamos trabalhar com 0 Menu 6/1tem 3 (translac;ao), au seja, com a
Homotetia. Este menu dilata urn objeto qualquer a partir de urn ponto e de urn fatar
de dilatac;ao. Vamos trabalhar urn pouco com ele.
• Construa urn triimgulo ABC e urn ponto 0;
• Construa as semi-retas OA, OB e OC;
Construa A', 8' e C' nas semi-retas
razoes OAlOA', OB/OB' e OC/OC' se
OA, OB e OC de tal forma que as
mantenham iguais. Para isso, utilize
a menu de dilatac;ao. (Nao esquec;a
de editar 0 fatar de dilatac;ao.)
Que relac;6es existem entre as lados destes dais triimgulos? E entre as angulos?
Mude 0 fatar de dilatac;ao e observe 0 que acontece.
Dilata~ao
Os dais triangulos construfdos sao semelhantes, pois seus lad os estao na mesma
propon;;ao e seus angulos possuem mesma medida.
22
7 PROJETO I:
7.1 TEOREMA DE PITAGORAS
Como sabemos, 0 Teorema de Pitagoras diz que, em urn triangulo retangulo, 0
quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos catetas. Se construirmos
quadrados sabre as lades a, bee do tri2mgulo retangulo, esses quadrados terao
area a2, b 2 e c2.
Ou seja, podemos enunciar 0 Teorema de Pitagoras da seguinte forma: a area do
quadrado maior (construido sabre a hipotenusa) e igual a soma das areas dos dais
quadrados men ores (construidos sabre as catetas).
Vamos, entaD, trabalhar com tres diferentes demonstra90es do Teorema de
Pitagoras atraves de recortes.
23
7.1.1 Primeira demonstrac;ao
A primeira demonstrac;ao esta representada no desenho abaixo.
Procure identificar com que criterios foram
construfdos as recortes nos quadrados e
confira a demonstrac;ao de porque a quebra-
cabec;a funciona.
TEOREMA DE PITAGORAS
24
7.1.1.1 criteria de recorte
Os criterios de recarte da figura serao nossas hip6teses na demonstrac;:ao.
As diagonais pontilhadas desenhadas na figura \lao auxiliar a visualizac;:ao durante a
demonstrac;:ao.
• considere 0 quadrado medio (de lado AB).
encontrar 0 centro M deste quadrado.
• trace retas paralelas aDs lados do quadrado maior (de lado Be) passando par
M.
• a quadrado media esta, agora, divido em quatro partes.
7.1.1.2 demonstrac;ao
Observe que para montar a quadrado grande basta transladar as pec;as do quadrado
media e completar a centro com a quadrado menor. Os vetores de translac;ao tern
origem no ponto M e extremidades nos vertices do quadrado maior.
A "figura chave" desta demonstrac;ao eo paralelogramo BCOF.
1. as quadrilateros 1, 2, 3 e 4 que comp6em 0 quadrado medio sao congruentes,
pois os lad os DF e EG resultam da rota9ao das diagonais, mantendo, assim,
a area das figuras constante. Tente observar na figura com 0 auxilio das
diagonais pontilhadas.
2. os segmentos OF e CS sao congruentes, assim como os segmentos CD e SF,
pois sao lados opostos de urn paralelogramo. Procure observar na figura.
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3. as segmentos OM, MF, EM e MG sao congruentes (de 1) e portanto, com
comprimento igual a metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2).
4. como as quadrilateros 1, 2, 3 e 4 possuem um angula reto, eles encaixam-se
no quadrado maior.
5. 0 quadrado vermelho restante lem lado AC, pois CD-AD'AC e CD'SF.
7.1.2 Segunda demonstra~ao
Procure identifiear com que criterios foram construidos as recortes nos quadrados e
contira a demonstrac;ao de porque 0 quebra-cabec;a funciona.
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TEOREMA DE PITAGORAS
D'
7.1.2.1 criteria de recorte
Os criterios de recorte apresentados abaixo ser;~o nossas hip6teses na
demonstrac;:ao.
• considere 0 triangulo retangulo ABC.
construa, sabre as lados AS e AG, as quadrados ABDE e ACFG.
"dobre" (reflita) 0 quadrado de lado AS em torna deste lado.
• marque as pontes D', E' e N.
trace uma reta perpendicular ao segmento Be passando par B e Dutra
passando par C.
• chame de H 0 ponto de intersegc30 da segunda reta perpendicular com a
segmento FG.
• construa a retangulo de lados Be e CH e chame-o de BCHI.
• trace uma reta perpendicular ao segmento BG passando par I e chame de J a
intersec;:ao.
27
7.1.2.2 demonstragao
Observe que basta transladar as triangulos celeridos para que as pec;:as se
encaixem.
Porem, para a demonstrac;ao, precisamos enxergar a congruencia dos tri~mgulos
destacados.
1. as triangulos ABC e FHC sao congruentes (ALA). Use soma de angulos para
ver esta congruencia.
2. 0 quadrilcitero BCHI e urn quadrado, pais as lados Be e CH sao congruentes
(de 1).
3. as triangulos amarelos sao congruentes, pais ambos sao congruentes ao
trianguto ABC (procure fazer demonstrac;:ao analoga ao item 1.
4. IJ=AB (de 3) e AB=BD' (lad os do quadrado).
5. as triangulos verdes sao congruentes (LAAo).
6. as angulos dos triangulos verdes sao congruentes aos angulos dos
triangulos vermelhos: ambos tern angulo reto; tern angulos opostos pelo
vertice e 0 terceiro vem do "teorema 180°"
7. os segmentos NC e LH sao congruentes, pois BC=IH e BN=IL.
8. os triangulos vermelhos sao congruentes (ALA).
Assim, vemos que as pe9as destacadas nos quadrados men ores se encaixam no
quadrado maior.
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7.1.3 Terceira demonstrayao
Procure identificar com que criterios foram construidos as recortes nos quadrados e
confira a demonstrayao de porque 0 quebra-cabe9a funciona.
TEOREMA DE PITAGORAS
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7.1.3.1 criteria de recorte
Os criterios de recorte abaixo serao nossas hipoteses na demonstra9ao.
• considere 0 triangulo retangulo ABC.
• construa quadrados sabre as lados deste triangulo.
• considere agora 0 quadrado maior (de lado Be).
• refiita 0 tritlngulo ABC em torna do Lado BC, de modo que 0 triimgulo refletido
fique dentro do quadrado maior.
• construa mais tres triangulos retangulos congruentes ao inicial sabre as lados
do quadrado maior, como sugere a figura.
• divida dais destes triangulos em outros dois triangulos, de modo que urn
destes triangulos seja retangulo isosceles.
• 0 recorte do quadrado maior esta pronto.
7.1.3.2 demonstra,ao
1. as triimgulos isosceles 3 e 5 tern catetos de medida AC por construc;ao.
Logo, encaixam-se no quadrado men or (de lado AC).
2. Os triangulos 1 e 6 possuem um dos catetos com medida AB e outro com
medida AC e sua hipotenusa mede BC, pois sao congruentes ao triangulo
ABC.
3. os triangulos 2 e 4 sao congruentes. Seus lados maiores medem BC. Os
lados menores medem AB-AC (procure ver na figura).
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4. A figura 7 e urn quadrado, pais todos as seus angulos sao retas e seus
lados medem AS-AC (veja na figura).
5. Considerando as afirma90es 2, 3 e 4, concluimos que as figuras 1, 2, 3, 4,
5, 6 e 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, como mostra a figura.
Assim, esta provado que a area do quadrado maior pode ser decomposta na area
dos dais quadrados men ores.
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8. CONCLUsAo
o presente Trabalho seguiu urn embasamento da geometria estudada na sa serie.
Foram abordados diversos conteudos considerados como relevantes, envolvidos
nesta proposta para 0 desenvolvimento do conhecimento. Integrando aluno e a
tecnologia, bern como 0 professor a suas aulas, e tornando-as mais interessantes.
o trabalho aqui apresentado naD e urn modele pr6prio, mas sim, urn complemento
de grande valor que auxiliara alunos e professores. Entendemos que, sera
necessaria uma melhor sistematizag80 e organizagao de estudos com professores e
alunos, para que haja urna melhor interagZlo dos conteudos da geometria dentro
deste meio tecnol6gico.
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9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] BIANCHINI, E. Matematica 5a Serle. 4a edic;ao. Sao Paulo: Editora Modema.
[2] MACHADO, N. J. Vivendo a Matemiltica: Os Poliedros de Platao e as Dedas da
Mao. 701 edic;ao. Sao Paulo: Scipione, 1997.
[3] GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da
Maiematica. 6a serie. Sao Paulo: Editora FTD, 2002.
[4] GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da
Matemiltica. 7' serie. Sao Paulo: Editora FTD, 2002.
[5] BIGODE, A. J. L. Malematica Hoje e Feila Assim. 7a serie. Sao Paulo: Editora
FTD,2000.
[6] BIGODE, A J. L. Matematica Hoje e Feita Assim. 811 serie. Sao Paulo: Editora
FTD,2000.
]7]GIOVANNI, J.R., PARENTE, E. Aprendendo Matemiltica Novo. 8' serie. Sao
Paulo: FlD, 1999.
]8] SILVEIRA, r:':.; MARQUES, C. Malemillica. 8' serie. Sao Paulo: Moderna, 1996.
]9] BARATOJO, J.T.; Dicionario de Matematica para a 1° grau. 2' edi,ao. Porto
Alegre: Sagra Luzzatto,1997.
http://www.cabri.com.br/download/gbbook por.odf (guia do Cabri Geometre)
http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundomaUmalice2/cabri2.htm ( Dowland do Cabri
Demo)
http://proem.puGsp.br/cabrisobr.htm (Informar;oes sabre a Cabri e como e onde
adquiri-Io)