Engenharia de Produção

3° Período

Estatística Aplicada II

UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA

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UNIVERSIDADE SALGADO DE OLIVEIRA

TRABALHO DE ESTATÍSTICA APLICADA II

Curso de Graduação em Engenharia de Produção

DLAYTON AUGUSTO ARAÚJO DE SABÓIA - 600187611

HENRIQUE SOARES NUNES - 600258396

RENAN MOURA DA COSTA - 600287388

THIAGO DE PAIVA CARDOZO - 600297742

DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE

PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS

ALEATÓRIAS DISCRETAS

Orientador: Boris

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SUMÁRIO

1 - Distribuição de Bernoulli...........................................................................................4

2- Distribuição Hipergeométrica....................................................................................4

3 - Distribuição Binomial................................................................................................6

4 - Função da probabilidade...........................................................................................6

5 - Distribuição de Poison...............................................................................................8

EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS:................9

  

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DISTRIBUIÇÃO TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

1 - Distribuição de Bernoulli

A Distribuição de Bernoulli é a distribuição discreta de espaço amostral {0, 1},

com probabilidades P(0) = 1 - p e P(1) = p. O nome da distribuição se refere ao

cientista suíço Jakob Bernoulli.

Sempre que uma experiência aleatória só tem dois resultados possíveis pode ser

descrita por uma variável aleatória de Bernoulli. Por convenção utilizam-se os

valores 0 e 1 (0 → insucesso, 1 → sucesso) e designa-se por p a probabilidade da

variável assumir o valor 1.

Exemplos de aplicação:

O sexo de um indivíduo;

Pretende-se estudar a incidência de uma certa doença numa certa

população. X pode indicar se a doença está presente (X=1) ou ausente (X=0)

num indivíduo da população (selecionado ao acaso).

O fator Rh do sangue das pessoa (ou é positivo ou é negativo).

2- Distribuição Hipergeométrica 

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição hipergeométrica é uma

distribuição de probabilidade discreta que descreve a probabilidade de se

retirar x elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população

finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo B, sem

reposição.

Seja N um conjunto tal que existem K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo

B. Um conjunto de n elementos é selecionado, aleatoriamente e sem reposição, do

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conjunto de N elementos. A variável aleatória X denota o número de elementos

tipo A. Então, X tem distribuição hipergeométrica e

onde x= 0,1,2,...,min(K,n) e onde   refere-se ao coeficiente binomial, o número

de combinações possíveis ao selecionar b elementos de um total a.

Quando o tamanho da população é muito maior do que a amostra (isto é, N é

muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é razoavelmente bem

aproximada pela distribuição binomial com parâmetros n (número de tentativas)

e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentativa única).

Um jogo de loteria consiste em selecionar seis dezenas do conjunto de cem dezenas

de 00 a 99, com uma bola para cada dezena e sem reposição. Num volante (cartão

aposta) o jogador pode escolher de 6 a 12 dezenas. Qual é a probabilidade de

acertar-se a quina (5 dezenas) marcando-se 10 dezenas no volante?

Temos:

N: total de dezenas, N = 100

n: total de dezenas sorteadas, n = 6

K: total de dezenas escolhidas, K = 10

X: total de sucessos, queremos X = 5

A probabilidade de se acertar a quina é de aproximadamente 0,0019%.

O interessante é que o mesmo problema pode ser resolvido de outra forma.

Podemos pensar que a escolha aleatória é feita pelo jogador, e que as dezenas

"premiadas" já estão definidas a priori (sem o jogador saber, é claro). Isto é,

existem 2 tipos de dezenas, as "premiadas" e as "não premiadas", e o jogador

escolhe aleatoriamente (ou não, desde que o seu critério de escolha seja

independente das dezenas "premiadas") as 10 dezenas do seu jogo. Assim

N: total de dezenas, N = 100

n: total de dezenas sorteadas/escolhidas pelo jogador), n = 10

K: total de dezenas premiadas, K = 6

6

X: total de sucessos, queremos X = 5

O resultado é o mesmo!

3 - Distribuição Binomial

Em teoria   das   probabilidades e estatística,   a distribuição   binomial é   a   distribuição   de 

probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que as 

tentativas são independentes; cada tentativa resulta apenas em duas possibilidades, sucesso 

ou fracasso (a que se chama de tentativa de Bernoulli); a probabilidade de cada tentativa, p, 

permanece constante.

( x+a )n=∑k=0

n

(nk )xk an−k

4 - Função da probabilidade

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em

sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e prescrevemos X ~

B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de

probabilidade:

para   e onde   é uma combinação.

Exemplo:

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o

número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2

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vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição

binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

Assim, a resposta é:

8

5 - Distribuição de Poison

Função de probabilidade da distribuição de Poison para vários valores de λ.

Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma

distribuição de probabilidade discreta. Ela expressa, por exemplo, a probabilidade

de um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo, caso estes

ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento seja independente do

tempo decorrido desde o último evento. A distribuição foi descoberta por Siméon-

Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da

probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements

en matières criminelles et matière civile ("Inquérito sobre a probabilidade em

julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas

variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências

discretas (por vezes chamadas de "chegadas") que tinham lugar durante um

intervalo de tempo de determinado comprimento. A probabilidade de que existam

exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,) é

onde

e é base do logaritmo natural (e = 2.71828...),

k! é o factorial de k,

λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem

num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma

média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que

9

ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a

distribuição de Poisson com λ = 10/4 = 2.5.

Como função de k, esta é a função de probabilidade. A distribuição de Poisson

pode ser derivada como um caso limite da distribuição binomial.

A sua média e a sua variância são iguais a λ.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM RESOLUÇÃO E COMENTADOS:

4.9.1 Seja X:B(10 , 25 ).Calcular:

Para todas as questões da letra A até G, será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1

X: B (10 , 2/5)

n = 10 , p = 0,40 , q = 0,60

A) P (X = 3)

10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990 = 0,21499

B) P (X < 2) = P ( x = 0) + P ( x = 1) + P ( x = 2)

100 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046

10 1 . (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729

102 . (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932

C) P (X > 4) = 1 – P(x < 4) = 1 – (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3))

10

10

0 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046

10 1 . (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310

1 – 0,382278 = 0,61772102 . (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932

10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990

D) P (X – 2 < 1) = P(x < 1 + 2) = P(X < 3)

100 . (0,40)0 . (0,60)10 = 0,006046

101 .(0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729

102 .(0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932

E) P(│X - 2 <1) = P( 3 > x >1) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) X – 2 < 1 X – 2 > -1X <3 X >1

10 1 (0,40)1 . (0,60)9 = 0,040310

102 (0,40)2 . (0,60)8 = 0,120932 = 0,37623

103 (0,40)3 . (0,60)7 = 0,214990

F) P(3 < X< 5) = P(x = 4) + P(x = 5)

104 . (0,40)4 . (0,60)6 = 0,250822

11

= 0,4514810 5 . (0,40)5 . (0,60)5 = 0,200658

G) P(│X - 3│ > 1) = P( 4 < x < 2) = P(x = 3)X – 3 > 1 X – 3 < -1X > 4 X < 2

10 3 . (0,40)3 . (0,60)7 = 0,2150

4.9.3- Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote.Qual a probabilidade de o lote ser aceito?

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de “p” será o percentual da quantidade de defeituosos com o total da remessa. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100%. O n é quantidade selecionada que são 20 aparelhos, e desses 20, será aceito o lote se no máximo estiver 1 aparelho defeituoso, ou seja, temos que calcular o P(0) + o P(1), na distribuição binomial.

X: B (20 , 80/800)

n = 20 p = 0,10 p = q = 0,90

P(x = 0) + P(x = 1)

20 0 . (0,10)0 . (0,90)20 = 0,121576

= 0,3917520 1 . (0,10)1 . (0,90)29 = 0,270170

4.9.4- Numa cidade, é selecionada uma amostra de 60 adultos e a esses indivíduos é pedido para opinarem se são a favor ou contra determinado projeto. Como

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resultado obtido observou-se 40 a favor. Se na realidade as opiniões pró e contra são igualmente divididas, qual é a probabilidade de ter obtido tal resultado?

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de”p” será o percentual da quantidade de opiniões pró e contras igualmente divididas, ou seja, ½ para “p” e “q”.A soma de ambos será 1 ou 100%. O valor de n será o 40, em que será aplicada na distribuição binomial.

X:B(60;0,5)

n = 60p = 0,50 q = 0,50p(x = 40)

6040 . (0,50)40 . (0,50)20 = 0,003635 = 0,00364

4.9.5 – Um Órgão Governamental credencia a firma A para fazer vistorias em carros recuperados ou construídos particularmente e dar a aprovação ou para que determinado carro possa ser lacrado no DETRAN. Resolve testar se a firma A está trabalhando de acordo com suas especificações. De um lote de 250 carros vistoriados e aprovados por A, escolhe 50 e faz novas vistorias. Se encontrar no mínimo 2 que não mereçam aprovação, descredencia A. Sabendo-se que no lote de 250 carros há 8 carros que foram aprovados irregularmente, qual a probabilidade do descredenciamento?

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual da quantidade de carros irregulares com o total de carros vistoriados. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 50 selecionados, e aplicando 1 – ( p(0)+P(1) ),o número mínimo para o descredenciamento em que será aplicada na distribuição binomial.

n = 50 selecionados

X:B(50;8/250)

p = 0,03 q = 0,97

P (x > 2) = 1 – (P(x<2) = 1 – (P(x=0) + P(x=1))

50 0 . (0,03)0 . (0,97)10 = 0,218065

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50 1 . (0,03)0 . (0,97)10 = 0,337214 1 – 0,555279 = 0,444721

4.9.6-O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com λ=3 ,0. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de quatro partículas por segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado segundo?

Aplicamos a Distribuição de Poison por ser uma distribuição de probabilidade discreta e expressa em um certo número de eventos ocorrerem num dado período tempo, caso estes ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento seja independente do tempo decorrido desde o último evento. O Lambida é uma constante, em que é dada a média de 3 partículas por segundo. E acima de 4 particulas por segundo, se torna inoperante que significa a função da probabilidade. Quando sinalizado o termo MAIS DE QUATRO, teremos que deduzir 100% menos as distribuições de Poison do P(0) até P(4).

λ=3,0.

P(x > 4) = 1 – P(x < 4) = 1 - (P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4))

P(X=0) = e−3 .30

0 ! = 0,049787

P(X=1) = e−3 .31

1 ! = 0,149361

P(X=2) = e−3 .32

2 ! = 0,224041 1 – 0,815261= 0,184737

P(X=3) = e−3 .33

3 ! = 0,224041

P(X=4) = e−3 .34

4 ! = 0,168031

4.9.7- Uma máquina produz determinado artigo; no fim de cada dia de trabalho ela é inspecionada com a finalidade de se verificar a necessidade, ou não, de ser submetida a ajuste ou reparo.Para tal fim, um inspetor toma uma amostra de 10 itens produzidos pela máquina decidindo por ajuste ao assinalar de um a cinco itens defeituosos, e por reparo, no caso de mas de cinco itens defeituosos . Se a

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máquina está produzindo, em média , 1% de itens defeituosos, determinar a probabilidade , após uma inspeção:

Ajuste – menos que 5 c/ defeito P(x<5)

Reparo – mais que 5 c/ defeito P(x>5)

Media = 1% c/ defeito p = 0,01 q = 0,99

n = 10 itens selecionados

A) De não ser necessário ajuste ou reparo;

P(x=0) =

10 0 . (0,01)0 . (0,99)10 = 0,904382

B) De ser necessário apenas ajuste;

P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5)

10 1 . (0,01)1 . (0,99)9 = 0,091351

10 2 . (0,01)2 . (0,99)8 = 0,004152

10 3 . (0,01)3 . (0,99)7 = 0,000111 = 0,09562

10 4 . (0,01)4 . (0,99)6 = 0,000001

102 . (0,01)5 . (0,99)5 = 0,904382

C) De ser necessário reparo.

P(x=5)

10 5 . (0,01)5 . (0,99)5 = 0,00000002 = 0

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4.9.9- Em um pronto-socorro o número de atendimentos de emergência segue uma distribuição de Poisson com média de 60 atendimentos por hora.Calcular:

A) A probabilidade do pronto-socorro não efetuar nem um atendimento num intervalo de cinco minutos.

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar quantos atendimentos em 60 minutos, ou seja, 1 atendimento pra cada minuto. Modificaremos a probabilidade para zero atendimento em 5 minutos, ou seja, λ=5 ,0 e 0 é a função da probabilidade

P(X=0) e−5 .50

0 !=0 ,0067379=0 ,006738

B) A probabilidade do pronto-socorro efetuar pelo menos 2 atendimentos num intervalo de 10 minutos.

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar quantos atendimentos em 60 minutos, ou seja, 1 atendimento pra cada minuto. Modificaremos a probabilidade para maior e igual a 2 atendimentos em 10 minutos, ou seja, λ=10,0 e 1- (p(0) + p(1) é a função da probabilidade.

P(X ≥2¿ = 1 – P(X < 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1))

P(X=0) = e−10¿. 100

0 !¿ = 0,00004539

P(X=1) = e−10¿. 101

1 !¿ = 0,0004539

1 – 0,0004992 = 0,999501

4.9.10- Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar seus carros na pista de prova há, em média, um estouro de pneu em cada 300 Km, e que o número de pneus estourados segue razoavelmente uma distribuição de Poisson.Qual a probabilidade de que:

A) Num teste de 900 Km haja no máximo um pneu estourado?

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Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 300/900. Aplicaremos no máximo 1 pneu estourado dentro da média prevista, onde, λ=3,0 e p(0) + p(1) é a função da probabilidade.

300900

1x→x=3

P(X ≤1¿ = P(X=0) + P(X=1)

P(X=0) = e−3 .30

0 ! = 0,049787 ;

P(X=1) = e−3¿.31

1 !¿ = 0,149361 = 0,199148

B) Um carro ande 450 Km na pista sem estourar nenhum pneu?

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 300/450. Aplicaremos 0 pneu estourado dentro da média prevista, onde, λ=1,5 e p(0) é a função da probabilidade.

300450

1x→ x=1,5

P(X=0) = e−1,5 .1,50

0 ! = 0,223130

4.9.11 -Uma fábrica produz isoladores de alta tensão que são classificados como bons e ruins de acordo com um teste padrão. Da produção de um retiram-se 10 isoladores, que no laboratório apresentam-se como sendo 8 bons e 2 ruins.Pede-se calcular a probabilidade deste resultado, admitindo que a máquina produza em média:

A) 95% de bons e 5% de ruins

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual de isoladores bons. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100% de isoladores ruins. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 10 isoladores. O 0,958 é a porcentagem de isoladores bons e 0,052 é a porcentagem de isoladores ruins.

10

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8 . (0, 95)8 . (0, 05)2 = 0,074634 = 0,07463

B)90% de bons e 10% de ruins

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). O valor de “p” será o percentual de isoladores bons. O valor de “q” será o percentual restante até chegar ao valor de 1 ou 100% de isoladores ruins. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 10 isoladores. O 0,908 é a porcentagem de isoladores bons e 0,102 é a porcentagem de isoladores ruins.

10 8 . (0, 90)8 . (0, 10)2 = 0,193710 = 0,19371

4.9.12-Oito dados são lançados simultaneamente.Seja X o número de vezes que ocorre a face 3, calcule:

p = 1/6.

X:B (8 ; 16

)

A) P(1<X ≤4 )=P(X=2)+P(X=3)+P (X=4)

8 2 . (0, 16)2 . (0, 84)6 = 0,251810 8 3 . (0, 16)3 . (0, 0,84)5 = 0,095927 ¿0 ,370576 83 . (0, 16)4 . (0, 84)4 = 0,022839

B) P(X ≥3¿=1−P (X=0)+P (X=1)+P(X=2)

8 0 . (0, 16)0 . (0, 84)8 = 0,247875 8 1 . (0, 16)1 . (0, 0,84)7 = 0,37771 1 – 0,877456 = 0,1226058 2 . (0, 16)2 . (0, 84)6 = 0,251810

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C)E(X) = n*p

8 . 16

= 86

= 43

D)VAR(X)

43

. 56

= 2018

= 109

4.9.13- Calcular em 9 lances de uma moeda não viciada a probabilidade que se tenha:

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando ( p(0)+P(1) + P(2) ),o número menor que 3 caras.

p = 1/2

X:B (9 ;12

)

A) Menos de 3 caras

P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

90 . (0, 5)0 . (0, 5)9 = 0,001953

9 = 0,089841 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578

92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312

B) Pelo menos 4 caras

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Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando 1- ( p(0)+P(1) + P(2)+ P(3) ).

P(X ≥4¿=1−P (X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P (X=3)

90 . (0, 5)0 . (0, 5)9 = 0,001953

91 . (0, 5)1 . (0, 5)8 = 0,017578

92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312 1– 0,253905 = 0,7461

93 . (0, 5)3 . (0, 5)6 = 0,164062

C) Exatamente 2 caras

Será utilizada a distribuição Binomial, onde a variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, indicada pela notação X:B (n,p). A moeda por ser honesta, aplicaremos 50% de chance para os dois lados da moeda, ou seja, p= ½ . O valor de “q”também será o mesmo percentual de p, somados serão 100%. A soma de ”p” e “q” tem que dar 1. O valor de n será os 9 lançamentos, e aplicando P(2).P(X=2)

92 . (0, 5)2 . (0, 5)7 = 0,070312 = 0,070312

4.9.14- Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:

A) Nenhum cliente em 4 minutos

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 150/60. Aplicaremos 0 atendimentos em 4 minutos, onde, λ=10,0 e p(0) é a função da probabilidade.

150x60min4min

→ x=10

20

P(X=0) = e−10¿. 100

0 !¿ = 0,000045

B) No máximo dois clientes em 2 minutos

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 150/60. Aplicaremos 0 atendimentos em 4 minutos, onde, λ=10,0 e a soma de p(0) até p(2) é a função da probabilidade.

150x60min2min

→ x=5

P(X ≤2¿ = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = e−5¿.50

0 !¿ = 0,006737

P(X=1) = e−5¿.51

1 !¿ = 0,033689 = 0,124652

P(X=2) = e−5¿.52

2 !¿ = 0,084224

4.9.16 -Na fabricação de peças de determinado tecido aparecem defeitos ao acaso, um a cada 250 m. Supondo-se a distribuição de Poisson para os defeitos, qual a probabilidade de que na produção de 1000 m:

Descobrir o Lambida utilizando-se a regra de três, para achar a proporção de 250/1000. Aplicaremos 0 defeitos, onde, λ=4,0 e p(0) é a função da probabilidade.

1x250m1000m

→x=4

A) Não haja defeito

P(X=0) = e−4¿. 40

0!¿ = 0,018316

21

B) Aconteçam pelo menos 3 defeitos num período de 80 dias de trabalho a produção diária é de 625 m. Em quantos dias haverá uma produção sem defeito?

P(X ≥3¿ →1 – p(X<3) 1 - P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=1) = e−4¿. 41

1!¿ = 0,073263

P(X=2) = e−4¿. 42

2!¿ = 0,146525 1 – 0,238104 = 0,761896 =6,6 dias

4.9.17- O CRH de uma firma entrevista 150 candidatos a emprego por hora. Qual a probabilidade de entrevistar:

A) No máximo 3 candidatos em 2 minutos?

150x60min2min

→ x=5

P(X ≤3¿ → P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,265024

P(X=0) = e−5¿.50

0 !¿ = 0,006737

P(X=1) = e−5¿.51

1 !¿ = 0,033689

P(X=2) = e−5¿.52

2 !¿ = 0,084224

P(X=3) = e−5¿.53

3 !¿ = 0,140374

B) Exatamente 8 candidatos em 4 minutos?

150x60min4min

→ x=10

P(X=8) = e−10¿. 108

8 !¿ = 0,112599

22

4.9.18 -Seja X:B (300; 0,01). Usando aproximação pela Poisson, calcular:

X:B (300;0,01) x=300 .0 ,01=3

A) P(X=4 )

e−3¿.34

4 !¿ = 0,168031

B) P(X ≥2 ) = 1 – p(X<2) = 1 – p(X=0) + p(x=1)

P(X=0) = e−3¿.30

0 !¿ = 0,049787 = 0,800852

P(X=1) = e−3¿.31

1 !¿ = 0,149361

C) P(1<X ≤4 )=¿P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=2) = e−3¿.32

2 !¿ = 0,224042

P(X=3) = e−3¿.33

3 !¿ = 0,224042 = 0,616115

P(X=4) = e−3¿.34

4 !¿ ¿0 ,168031

4.9.19 -Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças examinadas. Calcular a probabilidade de que sejam recusadas:

A) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas?

P(X ≥3) = 1 – p(X<3) = 1 – [ P (X=0) + P(X=1) + P(X=2) ]

P(X=0) = e−2¿.20

0 !¿ = 0,135335

23

P(X=1) = e−2¿.21

1 !¿ = 0,270670 1 – 0,676684= 0,323316

P(X=2) = e−2¿.22

2 !¿ = 0,270670

B) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas?

P(X ≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = e−2¿ ,5

. 2,50

0!¿ = 0,082084

P(X=1) = e−2 ,5

¿.2 ,51

1 !¿ = 0,205212 = 0,543811

P(X=2) = e−2 ,5

¿.2 ,52

2 !¿ = 0,256515

4.9.20- Sendo X:B (200;0,025) e usando aproximação de Poisson calcular:

X:B (200;0,025) x¿200 .0,025=5

A) P(X>4 ) = 1 – p(X<4) =

P(X=0) = e−5¿.50

0 !¿ = 0,006738

P(X=1) = e−5¿.51

1 !¿ = 0,033690

P(X=2) = e−5¿.52

2 !¿ = 0,084224 1 – 0,440493 = 0,559507

P(X=3) = e−5¿.53

3 !¿ = 0,140374

P(X=4) = e−5¿.54

4 !¿ = 0,175467

24

B) P(X=5 )

P(X=5) = e−5¿.55

5 !¿ = 0,1754673 = 0,1754673

C) P(X ≤2 ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

P(X=0) = e−5¿.50

0 !¿ = 0,006738

P(X=1) = e−5¿.51

1 !¿ = 0,033690 = 0,124652

P(X=2) = e−5¿.52

2 !¿ = 0,084224

D) P(¿X−2∨¿1 ) = P( 1 < x < 3) = P(x = 2)

X – 2 < 1 X – 2 > -1X < 3 X > 1

P(X=2) = e−5¿.52

2 !¿ = 0,084224

4.9.21- A probabilidade de um atirador acertar no alvo num único tiro é 14

. O

atirador atira 20 vezes no alvo. Qual a probabilidade de acertar:

São 20 tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório

X:B (20,¼) x¿20.14

= 5

A) Exatamente 5 vezes

P(X=5)

20 5 . (0,25)5 . (0,75)15 = 0,202331

25

B) Pelo menos 3 vezes

P(X 3) = 1 – p (X<3) = 1 – (P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171 ;

20 1 . (0,25)1 . (0,75)19 = 0,021141 1 – 0,091259 = 0,908741

20 2 . (0,25)2 . (0,75)18 = 0,066947

C) Nenhuma vez

P(x=0)

20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171

D) No máximo 4 vezes

P(X ≤4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

20 0 . (0,25)0 . (0,75)20 = 0,003171 ;

20 1 . (0,25)1 . (0,75)19 = 0,021141 = 0,414839

20 2 . (0,25)2 . (0,75)18 = 0,066947

20 3 . (0,25)3 . (0,75)17 = 0,133895

204 . (0,25)4 . (0,75)16 = 0,189685

26

4.9.22 -De acordo com a Divisão de Estatística Vital do Departamento de Saúde dos EUA, a média anual de afogamentos acidentais neste País é de 3 por 100.000 indivíduos . Determinar a probabilidade de que em uma cidade com 300.000 habitantes se verifiquem:

A) Nenhum afogamento

3x100.000300.000

→x=9

P(X=0) = e−9¿.90

0 !¿ = 0,000123

B) No máximo 2 afogamentos

P¿ 2) → P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = e−9¿.90

0 !¿ = 0,000123

P(X=1) = e−9¿.91

1 !¿ = 0,001110 = 0,006231

P(X=2) = e−9 .92

2 ! = 0,004998

C) Mais de 4 e menos de 8 afogamentos

P(4< X < 8) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)

P(X=5) = e−9 .95

5 ! = 0,060726

P(X=6) = e−9 .96

6 ! = 0,091090 = 0,268932

P(X=7) = e−9 .97

7 ! = 0,117116

4.9.23- Em teste com um motor, há falhas em 2 componentes, a cada 5 horas.Qual a probabilidade de que:

27

A) Em 10 horas de teste nenhum componente falhe

2x5horas10horas

→ x=4

P(X=0) = e−4¿

∗40

0!¿ = 0,018316

B) Em 7 ½ horas de teste ocorram no máximo falhas em 3 componentes

P ¿ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

2x57,5→x=3

P(X=0) = e−3¿.30

0 !¿ = 0,049787

P(X=1) = e−3¿.31

1 !¿ = 0,149361

P(X=2) = e−3¿.32

2 !¿ = 0,224041 = 0,647232

P(X=3) = e−3¿.33

3 !¿ = 0,224041

4.9.24- Num lote de 40 peças,20% são defeituosas. Retiram-se 10 peças do lote.Qual a probabilidade de se encontrar :

A) 3 defeituosas

P(X=3)

(83) .(327 )

(4010)=0,222363

28

B) No máximo 2 defeituosas

P ¿ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = (80) .(3210)

(4010) ¿0 ,0761

P(X=1) = (81) .(329 )

(4010) ¿0 ,2647 = 0,688265

P(X=2) = (82) .(328 )

(4010)=0 ,3474

4.9.25- Uma urna contém 8 bolas brancas e 12 bolas pretas.Retiram-se 10 bolas com reposição.Qual a probabilidade de que:

P= 8/20 = 0,40 q = 0,60

A) No máximo 2 sejam brancas

P ¿ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

10 0 . (0,40) 0 . (0,60)10 = 0,006047

10 1 . (0,40) 1 . (0,60)9 = 0,040310 = 0,16729 10 2 . (0,40) 2 . (0,60)8 = 0,120932

B) 3 sejam brancas

P(X=3)

10

29

3 . (0,40) 3 . (0,60)7 = 0,214991

4.9.26- A probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, é de 0,1.

A) Qual a probabilidade de que em 20 peças produzidas pela maquina num dia, ocorram 3 defeituosas?

P(x=3)

20 3 . (0,10)3 . (0,90)17 = 0,1901198 =0,190120

B) Qual a probabilidade de que a 18ª peça produzida no dia seja a 4ª defeituosa?

P(x=18) =

17 3 . (0,10) 4 . (0,90)14 = 0,01555621 =0,0155562

C) Qual a probabilidade de que a 10ª peça produzida num dia seja a 1ª defeituosa?

P(x=10) =

(0,90) 9 . 0,10 = 0,0387420 =0,0387420

D) Separa-se um lote de 50 peças das 400 produzidas num dia. Qual a probabilidade de que 5 sejam defeituosas, sabendo-se que das 400, 20 são defeituosas?

P = 20/400 = 0,05, q = 0,95. 50 5 . (0,05) 5 . (0,95)45 = 0,065840 = 0,062105

E) Se a probabilidade da máquina produzir uma peça defeituosa, num dia, fosse de 0,01, qual a probabilidade de se ter no máximo 4 defeituosas em um dia de 500 peças produzidas?

30

média = 0,01

P(x<4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 0,44115P(X=0) = e-5. . 50 = 0,006737

0! P(X=1) = e-5. . 51 = 0,033689 1!

P(X=2) = e-5. . 52 = 0,084224 2! = 0,440493

P(X=3) = e-5. . 53 = 0,140373 3!

P(X=4) = e-5. . 54 = 0,175467 4!

4.9.27- Sabe-se que o número de viajantes por veículos tipo VAN em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n= 10 e p= 0,3(utilize apenas 2 casas decimais).

n = 10 p = 0,3 q = 0,7

A) Calcular o número médio de ocupantes por veículo .

n . p = 10 . 0.3 = 3

B) Qual a probabilidade de que um determinado dia o quinto veículo passar por essa rodovia seja o segundo a transportar mais do que 3 pessoas? = 0,072459

P(x>3) = 1 – P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 1 – 0,423128 = 0,576872

P(X=0) = e-3. . 30 = 0,049787 0! P(X=1) = e-3. . 31 = 0,149361 1!

P(X=2) = e-3. . 32 = 0,224041 2!

P = 0,57 q =0,43

P(x = 5) =

31

4 = 0,440493 1 . (0,57) 2 . (0,43)3 = 0,103327

C) A taxa de pedágio nesta rodovia é cobrada da seguinte maneira:se o veículo tem 2 ou 3 ocupantes, R$ 4,00; e se tiver mais do que 3 ocupantes,R$ 2,00. Calcular a arrecadação meia diária, sabendo-se que em média passam 300 veículos por dia neste pedágio.

4,00 – 1 veiculo X - 300 veiculos = x = 1.200,00

É o dobro2,00 – 1 veiculo X - 300 veiculos = x = 600,00

Se P(x>3) = 0,57 .1.200 = 684,00

Se P(x = 2 ou 3 ) = 0,22 . 600 = 132,00 = R$816

(1.200 + 600) – 816 = 984,00 = R$1.026,00