UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

DISCIPLINA DE MODELAGEM COMPUTACIONAL

DETERMINAÇÃO DE VARIANTES PARA O CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE

PISTA DE DECOLAGEM

ALESSANDRO DAL ZOTTO

Caxias do Sul

2015

2

RESUMO

Neste trabalho, apresenta-se uma proposta para determinar um modelo

analítico e numérico para se estimar o comprimento de pista necessário para a

decolagem de uma aeronave.

Palavras chave: Aeromodelismo, comprimento de pista.

3

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Forças atuantes no avião durante a decolagem...................... 8

Figura 2 - Diagrama de Corpo Livre .......................................................... 8

Figura 3 - Tabela de valores do coeficiente de atrito .............................. 10

Figura 4 - Curvas de Tração disponível para algumas hélices comercias

em função da velocidade............................................................................. 17

Figura 5 - Tração disponível para algumas velocidades........................... 17

Figura 6 - Curvas de variação do comprimento de pista em relação ao

Peso da

aeronave.................................................................................................... 21

4

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................. 5

2 MODELO MATEMÁTICO SEMELHANTE AO UTILIZADO PARA AVIÕES

CONVENCIONAIS COM PROPULSÃO A HÉLICE........................................ 6

2.1 FORÇAS ATUANTES NO AVIÃO............................................................. 7

2.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES................................................ 8

2.2.1 FORÇA DE ATRITO (R)........................................................................ 8

2.2.2 CONSIDERAÇÕES PARA A DECOLAGEM......................................... 9

2.3 VELOCIDADE DE ESTOL........................................................................ 11

2.4 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS............................................................... 12

2.5 FORÇA DE ARRASTO (D) E FORÇA DE SUSTENTAÇÃO (L).............. 13

3 APLICANDO CONCEITOS.......................................................................... 15

3.1 CÁLCULO DE COMPRIMENTO DE PISTA............................................. 15

4 ANÁLISES IMPORTANTES........................................................................ 19

4.1 ANÁLISE EM FUNÇÃO DA ALTITUDE................................................... 21

4.2 ANÁLISE EM FUNÇÃO PESO DA AERONAVE..................................... 21

5 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO PARA UM BOEING 747.............................. 22

6 CONCLUSÃO.............................................................................................. 24

7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................25

5

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho será avaliado diversas condições que podem influenciar no

cálculo do comprimento de pista para uma aeronave tais como os efeitos da

altitude, do peso, variação da tração. O equacionamento proposto é

fundamentado nas forças atuantes no avião durante a ação de decolagem,

seguindo o princípio fundamental da dinâmica.

6

2 MODELO MATEMÁTICO SEMELHANTE AO UTILIZADO PARA AVIÕES

CONVENCIONAIS COM PROPULSÃO A HÉLICE

Nesta etapa desenvolve-se as equações e as análises de um sistema

matemático para posteriormente aplica-las, para uma completa análise dos

parâmetros de desempenho de uma aeronave com o intuito de encontrar o

comprimento mínimo de uma pista de decolagem.

O princípio do método está baseado na seguinte equação, proveniente

do princípio fundamental da dinâmica (2ª Lei de Newton):

F=m .a=m .∂ v∂t

Onde:

F: força (N)

m: massa (kg)

a: aceleração (m/s²)

1

7

2.1 FORÇAS ATUANTES NO AVIÃO

Abaixo está ilustrando-se as forças que o avião sofre e desenvolve

durante a ação de decolagem.

Figura 1: Forças atuantes no avião durante a decolagem.Fonte: Unesp, 2009

A seguir é ilustrado o diagrama de corpo livre das forças atuantes no

avião para posterior desenvolvimento das equações.

Figura 2: Diagrama de Corpo LivreFonte: Alessandro, 2015

L

TdR

DAVIÃO

Atrito

W

8

Onde:

L: Força de Sustentação;

T: Força de Tração;

W: Força Peso;

D: Força de Arrasto;

R: Força de Atrito.

OBS: As forças L e W variam de acordo com o aumento da velocidade. A

combinação das duas forças forma a Normal. Isso explica o fato de que com o

aumento da velocidade a força normal vai diminuir, uva vez que tende a não

encostar mais no solo. E ainda ocorrendo um aumento da força de

sustentação.

2.2 DESENVOLVIMENTO DAS EQUAÇÕES

Para o desenvolvimento da fórmula que estima o comprimento de pista

de decolagem para um avião, devem ser consideradas diversas equações bem

como também relacioná-las para conseguir abranger todos os parâmetros

possíveis para a obtenção de um valor confiável.

2.2.1 FORÇA DE ATRITO (R)

A força de atrito está presente durante a corrida de decolagem entre as

rodas e o solo, dada pela seguinte equação:

R=μ . N

Onde:

μ: coeficiente de atrito.

N: força normal.

9

O valor do coeficiente de atrito é dado por Roskman (2001), através da tabela a seguir:

Figura 3: Tabela de valores do coeficiente de atrito.Fonte: Roskman, 2001

No entanto como a força Normal varia de acordo com o aumento da velocidade utiliza-se a equação a seguir:

R=μ . (W−L)

Onde:

(W - L) = representa a força Normal durante a decolagem.

2.2.2 CONSIDERAÇÕES PARA A DECOLAGEM

Considerando que a aeronave parte de repouso e vai sendo acelerada até a velocidade de decolagem temos as seguintes considerações:

Condições:

Iniciais Finais

So= 0 S= Sf

Vo= 0 v= vf Momento da Decolagem

to= 0 t= tf

Utilizando a equação 1, e integrando ela nos limites iniciais e finais

temos a seguinte equação:

Fm

=dvdt∫0

tfFmdt=∫

0

vf

dv tf=¿ vf .mF

¿

2

3

10

Assim temos a equação do tempo. Para calcular o comprimento de pista necessário para decolagem temos de integrar a fórmula da velocidade a seguir.

vf=dsdt∫

0

tf

vfdt=∫0

sf

ds

Substituindo a equação 4 em 3 temos:

∫0

tf

(F . tm )dt=∫

0

sf

dS Sf =Ft ²2m

Relacionando a equação 3 e 5 temos:

Sf=F .( vf .mF )

2

2mSf= v f 2 .m

2. F

Através do diagrama de corpo livre é possível visualizar as forças atuante no avião e assim chegar a seguinte equação:

F=m .dvdt

T−D−R=m .dvdt

Substituindo as forças resultante na equação 6, temos:

Sf= v f 2 .m2. (T−D−R )

Para a equação acima será considerado m= Wgravidade

, e substituindo a

força de atrito R pela equação 2, temos:

4

5

6

11

Sf= v f 2 .W

2.g . {T−[D+μ (W−L ) ] }

Com está equação já é possível descobrir o tamanho de pista de

decolagem para um avião, porém muitos parâmetros ainda não estão

incorporados e assim a precisão ainda é muito pequena.

2.3 VELOCIDADE DE ESTOL

A velocidade de estol é defina como a mínima velocidade em que a asa

pode produzir sustentação suficiente para suportar a aeronave.

É ilustrada pela formula a seguir:

Vestol=√ 2.Wρ. S .CLmáx

Onde temos,

W: Peso (N).

ρ : Densidade do ar.

S: Área da asa.

CL: Coeficiente de Sustentação.

OBS: Para a decolagem a velocidade deve ser 20% maior que a velocidade de estol.

2.4 CONSIDERAÇÕES ESPECIAIS

Segundo a norma FAR-Part 23 [FAR – Federal Aviation Regulation] para

se manter a segurança durante o período de decolagem, a velocidade de

decolagem não deve ser inferior a 20% da velocidade de Estol, ou seja,

vf = 1,2 Vestol.

7

12

Assim substituindo esta relação de vf² por (1,2 Vestol)² na equação 7,

temos a equação final para o comprimento de pista de decolagem.

Sf= 1,44W ²

g .ρ .S .Clmáx . {T− [D+μ . (W−L ) ] }

Onde:

Sf: Comprimento de pista (m)

W: Força Peso (N)

g: gravidade (m/s²)

s: área da asa

ρ: densidade do ar

Clmáx: coeficiente de sustentação

T: Força de Tração (N)

D: Força de Arrasto (N)

L: Força de Sustentação (N)

μ: coeficiente de atrito com o solo

2.5 FORÇA DE ARRASTO (D) E FORÇA DE SUSTENTAÇÃO (L)

Algumas considerações devem ser feitas com essas duas forças já que elas variam em função do aumento da velocidade e dessa forma afim de simplificar a solução é realizada uma aproximação para uma força requerida média obtida em 70% da velocidade de decolagem. Então para efeitos de cálculos será utilizado V= 0,7 vf.

FINAL

13

A força de sustentação é dada pela seguinte equação:

L=12ρ . (0.7vf )2 . S .Cl

E a força de Arrasto é dada pela seguinte equação:

D=12. ρ . (0.7 . vf )2 .Cd

Onde:

Cd: Coeficiente polar de arrasto

Cd=(Cdo+∅ . K .Cl ² )

∅ : fator de efeito solo que atua na decolagem dada pela equação:

∅=(16.h/b ) ²

1+(16.h/b ) ²

h: altura da asa em relação ao solo

b: envergadura da asa

K: fator obtido experimentalmente ou através da seguinte formula:

K= 1π . eo . AR

eo: coeficiente de oswald

AR: alongamento representado pela equação a seguir:

14

AR=b2

S

E para finalizar o coeficiente de sustentação ideal para decolagem (CL)

é dado pela seguinte equação:

CL=(π . eo . AR. µ )

2.∅

3 APLICANDO CONCEITOS

Nesta etapa serão aplicados alguns conceitos e empregado dados

técnicos para a resolução de um exemplo, referente ao desenvolvimento dos

cálculos.

Para o desenvolvimento das equações, foi utilizado um software de

Cálculo Numérico chamado Matlab.

15

3.1 CÁLCULO DE COMPRIMENTO DE PISTA

A seguir estará sendo resolvido os cálculos para a seguinte situação

proposta:

Obs: A aplicação e feita proporcionalmente a uma aeronave destinada a

competições de aeromodelismo, onde a mesma necessita decolar com o

menor comprimento de pista possível de acordo com o seu peso.

Dados da Aeronave e do ambiente:

W = 144 % Peso total da Aeronave (N)

ρ= 1,225 % Densidade do Ar (kg/m3)

g = 9,81 % Gravidade (m/s²)

S = 0,9 % área da asa (m²)

µ = 0,03 % coeficiente de atrito com o solo

Clmax = 1,65 % coeficiente de sustentação máximo

b = 2,48 % Envergadura (m)

h = 0,35 % Altura em relação ao solo (m)

Td = 33,207 % Tração disponível (N)

k = 0,065 % Fator K (proveniente da equação polar)

Cdo = 0,022 % Coeficiente de Arrasto Inicial

16

O valor da tração requerida é graficamente representado de acordo com

o modelo de hélice, onde nesse exemplo é utilizada APC 13”x4” com a

equação polar de arrasto dada por Cd = 0,022 + 0,065 Cl².

Figura 4: Curvas de Tração disponível para algumas hélices comercias em função da velocidade.Fonte: Fundamentos da Engenharia Aeronáutica, 2011

Figura 5: Tração disponível para algumas velocidades.

17

Fonte: Fundamentos da Engenharia Aeronáutica, 2011

Para a resolução do exemplo foi utilizado a seguinte programação:

clear allclcclf%%%% Trabalho de Modelagem Computacional%%%% Método Numérico para Determinação do Comprimento de Pista de um Avião % Dados:W =150 % Peso total da Aeronave (N) ro =1.225 % Densidade do Ar (kg/m3)g =9.81 % Gravidade (m/s2)S =0.9 % área da asa (m2)Mi =0.03 % coeficiente de atrito com o solo Clmax =1.65 % coeficiente de sustentação máximob =2.48 % Envergadura (m)h =0.35 % Altura em relação ao solo (m)Td =33.207 % Tração disponível (N)k =0.065 % Fator K (proveniente da equação polar)Cdo =0.022 % Coeficiente de Arrasto Inicial %%%% Desenvolvimento de cálculos para o comprimento de Pista % Cálculo do Fator de Efeito do Solo Fi = (16*(h/b))^2/(1+(16*(h/b))^2) % Cálculo do Alongamento AR = b^2/S % Calculo do Coeficiente de Oswald Eo = 1/(pi*k*AR) % Cálculo do Coeficiente de Sustentação Ideal para Decolagem Cl = (pi*Eo*AR*Mi)/(2*Fi) % Cálculo do Coeficiente de Arrasto Cd = Cdo + (Fi*k*(Cl^2)) % Cálculo da velocidade de Estol vestol = sqrt((2*W)/(ro*S*Clmax)) vf= 1.2 * vestol % Cálculo da Força de Sustentação L = 0.5*ro*[0.7*vf^2]*S*Cl % Cálculo da Força de Arrasto D = 0.5*ro*[0.7*vf^2]*S*Cd

18

% Cálculo do Comprimento de Pista Sf = (1.44*W^2)/(g*ro*S*Clmax*(Td-(D+Mi*(W-L))))

Colocando os dados inicias, pode-se resolver o problema encontrado

assim o comprimento de pista mínimo necessário para a decolagem da

aeronave em questão.

Fi = 0.8360

R = 6.8338

Eo = 0.7166

Cl = 0.2760

Cd = 0.0261

vestol = 12.8419

vf = 15.4103

L = 25.2942

D = 2.3954

Sf = 67.0685

Então para a aeronave em questão e os valores utilizados conclui-se

que o avião de aeromodelo necessita de aproximadamente 67 metros de pista

para conseguir realizar a decolagem.

4 ANÁLISES IMPORTANTES

19

Buscando evidenciar duas análise muito importantes, utilizaremos da

relação entre o peso da aeronave e o comprimento de pista necessário para a

decolagem, em diferentes altitudes.

Valores obtidos pela manipulação da programação anterior no matlab,

em função da altitude em relação ao nível do mar:

Para h=0m Nível do mar

Para h=1500m

Para h=1500m

W (N)

Sf (m)

70 11,85680 15,83590 20,502100 25,901110 32,087120 39,122130 47,046140 55,945143 58,813143,25 59,056

W (N) Sf (m)

70 16,291

80 21,848

90 28,403

100 36,037

110 44,858

120 54,942

123,7 59,022

20

Para os valores anteriores podemos plotar o seguinte gráfico para a

variação das três altitudes:

Figura 6: Curvas de variação do comprimento de pista em relação ao Peso da aeronave.Fonte: Alessandro, 2015

O gráfico no eixo vertical está representado pelo Peso Total da aeronave

em (N), enquanto no eixo horizontal pelo Comprimento de Pista para

Decolagem (m). A cor verde representa a altitude de 0m, a vermelha de 1500m

e a azul de 3000m.

4.1 ANÁLISE EM FUNÇÃO DA ALTITUDE

W (N)

Sf (m)

70 22,736

80 30,646

90 40,064

100 51,124

106,3

59,024

21

Ao observarmos os valores obtidos nas tabelas, e verificando os gráficos

pode-se constatar que o comprimento de pista aumenta conforme a densidade

do ar diminui, ou seja, quanto maior for a altitude pior é a condição de

decolagem. Dessa forma é necessário que a aeronave percorra mais pista

para conseguir alçar vô.

4.2 ANÁLISE EM FUNÇÃO PESO DA AERONAVE

Ao analisar os valores obtidos na tabela de altitude h=0, pode-se

observar que o peso foi sendo aumentado até duplicar seu valor, desta forma

com base nos comprimentos de pista obtidos para essa altitude e na equação

do cálculo do seu comprimento podemos verificar o seguinte:

Sf= 1,44W 2

g .ρ .S .Clmáx . {T− [D+μ . (W−L ) ] }

O comprimento de pista para a decolagem é diretamente afetado pelo

aumento do peso da aeronave, com uma variação do quadrado do peso, ou

seja, duplicando-se o peso da aeronave quadruplica-se o comprimento de pista

necessário para decolar o avião.

5 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO PARA UM BOEING 747

22

Nesta etapa foi aplicada a equação desenvolvida para determinar o

comprimento de pista para um avião comercial modelo Boeing 747. Da mesma

forma como foi aplicada anteriormente, os dados iniciais são conhecidos, e

então aplicados ao programa desenvolvido no matlab, temos os seguintes

resultados:

23

Temos uma tração requerida de 250000 N para cada motor, aplicando

esses dados fornecidos pelo fabricante temos o seguinte resultado:

Fi = 0.9536

AR = 9.1825

Eo = 0.5333

Cl = 0.2420

Cd = 0.0256

vestol = 91.6305

vf = 109.9566

L = 6.4106e+005

D = 6.7892e+004

Sf = 3.2535e+003

Tem-se para os dados do fabricante um comprimento mínimo de 3,09

km para a decolagem, e utilizando o método numérico desenvolvido 3,25 km.

Isso demostra que a equação pode ser utilizada no cálculo do comprimento

mínimo de pista de decolagem para quase todos os tipos de aeronave.

24

6 CONCLUSÃO

Neste trabalho foi possível determinar matematicamente uma equação

para calcular o comprimento de pista para diferentes tipos de aeronaves.

Através da programação do modelo numérico foi possível calcular esses

valores com maior facilidade e exatidão. A utilização no mesmo proporcionou

também análises importantes em relação ao peso e altitude da aeronave. Por

fim foi possível provar a equação utilizando dados de um avião comercial,

calculando seu comprimento de pista e comparando com as informações

disponibilizadas pelo fabricante.

25

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

RESENDE, Marcos. Saiba tudo sobre o Boeing 747. 2000. Folha online. Disponível

em: <http://www1.folha.uol.com.br/folha/mundo/ult94u11587.shtml>. Acesso em: 22

maio 2015. 

RODRIGUES, Luiz Eduardo Miranda José. AeroDesign. Aerodesign, São Paulo, v. 1,

n. 3, p.1-6, fev. 2009

D., John; ANDERSON JUNIOR,. Fundamentos de Engenharia Aeronáutica. 7. ed.

Porto Alegre: Veronica de Abreu Amaral, 2010. 886 p.