Notas de Aula

      

Trabalho e Potência

FÍSICA

2018

Professor Gomes

CAPÍTULO

                            5

Neste Capítulo 1 Introdução 2 Trabalho 3 Energia cinética e o Teorema do trabalho-energia 4 Trabalho e energia com forças variáveis 5 Potência

www.professorgomes.com.br

 1 

 

NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 

 

TRABALHO E POTÊNCIA  

1 INTRODUÇÃO Suponha que você queira calcular a velocidade de uma flecha lançada de um arco. Você aplica a segunda lei de 

Newton  e  as  demais  técnicas,  já  aprendidas,  para  a  solução  de  problemas,  porém  defronta‐se  com  uma  dificuldade inesperada: quando o arqueiro libera a flecha, o arco exerce uma força variável que depende da posição da flecha. Em vista disso, os métodos  simples que você aprendeu não são  suficientes para calcular a velocidade. Não se preocupe, ainda não terminamos de estudar a mecânica e existem outros métodos para abordar esse tipo de problema. 

O novo método, que será aqui apresentado, usa os conceitos de trabalho e energia. A importância do conceito de energia reside no princípio da conservação da energia: a energia é uma grandeza que pode ser convertida de uma forma  para  outra,  mas  que  não  pode  ser  criada  nem  destruída.  No  motor  de  um  automóvel,  a  energia  química armazenada  no  combustível  é  convertida parcialmente  em energia  térmica  e  parcialmente na  energia mecânica  que acelera  o  automóvel.  Em  um  forno  de  micro‐ondas,  a  energia  eletromagnética  obtida  da  companhia  que  fornece energia elétrica é convertida na energia térmica que cozinha o alimento. Nesses e em outros processos, a energia total permanece  constante,  ou  seja,  a  soma  de  todas  as  formas  de  energia  envolvidas  permanece  a  mesma.  Nenhuma exceção à essa conclusão foi jamais encontrada. 

Usaremos  o  conceito  de  energia  para  estudar  uma  imensa  variedade  de  fenômenos  físicos.  Esse  conceito  o ajudará  a  compreender  por  que  um  agasalho  conserva  você  quente,  como  o  disparador  de  flash  de  uma  máquina fotográfica pode produzir um feixe instantâneo de luz e qual o significado da famosa equação de Einstein E = mc2. 

Contudo,  neste  capítulo,  concentraremos  nossa  atenção  na  mecânica.  Aprenderemos  a  calcular  uma  forma importante de energia chamada energia cinética, ou energia do movimento, e como ela se relaciona com o conceito de trabalho.  Consideraremos  também  a  potência,  definida  como  a  taxa  de  variação  com  o  tempo  da  realização  de  um trabalho. No próximo capítulo, expandiremos os conceitos de trabalho e de energia cinética, aprofundando os conceitos de energia e conservação da energia.  2 TRABALHO 

Você provavelmente concorda que é um trabalho árduo puxar um sofá pesado ao longo da sala, levantar uma pilha de enciclopédias do  chão até uma estante elevada ou empurrar um automóvel enguiçado em uma estrada. Na verdade,  todos  esses  exemplos  correspondem  ao  significado  cotidiano  da  palavra  trabalho  —  ou  seja,  qualquer atividade que necessita de um esforço físico ou intelectual. 

Na  física,  o  trabalho  possui  uma  definição muito mais  precisa.  Usando  essa  definição,  verificaremos  que  em qualquer movimento, por mais complicado que seja, o trabalho total realizado por todas as forças sobre uma partícula é igual  à  variação  de  sua  energia  cinética —  uma  grandeza  relacionada  com  a  velocidade  da  partícula.  Essa  relação  é empregada  mesmo  quando  as  forças  aplicadas  não  são  constantes,  ou  seja,  um  problema  difícil  ou  impossível  de resolver apenas com as técnicas já aprendidas nos capítulos 4 e 5. Assim, os conceitos de trabalho e de energia cinética nos habilitam a resolver problemas de mecânica que não poderíamos resolver com os conceitos anteriores.    Neste  tópico,  veremos  como  definir  trabalho  e  como  calculá‐lo  em  diferentes  situações  envolvendo  forças constantes.  Embora  já  saibamos  como  resolver  problemas  para  os  quais  as  forças  sejam  constantes,  ainda  assim  o conceito de trabalho é útil para resolver tais problemas. Mais adiante neste capítulo, desenvolveremos as relações entre trabalho  e  energia  cinética  e  veremos  como  aplicar  esses  conceitos  a  problemas  em  que  essas  forças  não  são constantes. 

Os três exemplos de trabalho descritos anteriormente — puxar um sofá, levantar enciclopédias e empurrar um automóvel — possuem algo em comum. Em cada caso, você realiza um trabalho exercendo uma força sobre o corpo enquanto ele se move de um local para outro, ou seja, ocorre um deslocamento do corpo (figura 1). Você realiza um trabalho maior  quando  a  força  é maior  (você  empurra  o  carro  com mais  intensidade)  ou  quando  o  deslocamento  é maior (você desloca o carro por uma distância maior ao longo da estrada). 

 2 

 

   FIGURA 1 Essas pessoas estão  realizando um  trabalho enquanto empurram  o  carro  enguiçado  porque  elas  exercem  uma  força sobre o carro, enquanto ele se desloca.  

A definição física de trabalho pauta‐se nessas observações. Considere um corpo que se desloca a uma distância d ao longo de uma linha reta. (Por enquanto, consideraremos o corpo como uma partícula e poderemos, então, ignorar qualquer rotação ou mudança em sua forma.) Enquanto o corpo se move, uma força com módulo constante atua sobre 

ele na mesma direção e no mesmo sentido de seu deslocamento  d  (figura 2). Definimos o trabalho W realizado pela 

força constante nessas condições como o produto da força de módulo F e o deslocamento de módulo d: W = Fd              [1] 

O trabalho realizado sobre o corpo é tanto maior quanto maior for ou a força F ou o deslocamento d, conforme nossas observações anteriores. 

 

   FIGURA  2  O  trabalho  realizado  por  uma  força  constante que  atua  na  mesma  direção  e  no  mesmo  sentido  do deslocamento.  

A  unidade  SI  de  trabalho  é  o  joule  (abreviada  pela  letra  J  e  pronunciada  como  ‘jaule’,  nome  dado  em homenagem ao físico inglês do século XIX James Prescott Joule). Pela equação (1), vemos que, em qualquer sistema de unidades, a unidade de trabalho é dada pela unidade de força multiplicada pela unidade de deslocamento. A unidade SI de força é o newton e a unidade de deslocamento é o metro, de modo que a unidade de trabalho joule é equivalente a um newton . metro (N . m): 1 joule = (1 newton) (1 metro) ou 1 J = 1 N . m.  

Para exemplificar a equação (1), pense em um homem empurrando um carro enguiçado. Se ele empurra o carro 

ao longo de um deslocamento  dcom uma força  F

constante na direção do movimento, a quantidade de trabalho que 

ele realiza sobre o carro é dada pela equação (1): W = Fd. Entretanto, e se alguém empurra o carro de modo a formar 

um  ângulo  φ  com  o  seu  deslocamento  (figura  3)?  Nesse  caso,  Fpossui  um  componente  F‖  =  Fcosφ  na  direção  do 

deslocamento e um componente FꞱ = Fsenφ que é perpendicular ao deslocamento. (Outras forças devem atuar sobre o 

carro para que ele se mova ao longo de  d, não na direção de  F

. Porém, estamos interessados apenas no trabalho que a 

pessoa  realiza  e,  por  isso,  vamos  considerar  somente  a  força  que  ela  exerce.)  No  caso  em  questão,  somente  o componente  paralelo  F‖  é  atuante  no  movimento  do  carro;  portanto,  definimos  o  trabalho  como  o  produto  desse componente de força pelo módulo do deslocamento. Logo, W =F‖ d = (Fcos φ)d ou W = Fdcos φ            [2] 

 FIGURA 3 O trabalho realizado por uma força constante que forma um ângulo em relação ao deslocamento. 

Estamos supondo que F e φ permanecem constantes durante o deslocamento. Quando φ = 0, de modo que  F

está na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento  d, então cosφ = 1 e retornamos para a equação (1). 

 3 

A equação (2) possui a forma de um produto escalar entre dois vetores, visto no capítulo de vetores:  A B = AB 

cosφ. Usando essa definição, podemos escrever a equação (2) de modo mais compacto como  

W F d             [3] 

TRABALHO: POSITIVO, NEGATIVO OU NULO Na figura 1, o trabalho realizado para empurrar o carro era positivo. Mas é importante entender que o trabalho 

também pode ser negativo ou nulo. Essa observação mostra a diferença essencial entre o conceito físico de trabalho e a definição  ‘cotidiana’ de  trabalho. Quando a  força possui um componente na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento (φ entre zero e 90°), cosφ na equação (2) é positivo e o trabalho W é positivo (figura 4a). Quando a força possui um componente na mesma direção, mas no sentido contrário ao do deslocamento (φ entre 90° e 180°), cosφ é negativo e o trabalho W é negativo (figura 4b). Quando a força é perpendicular ao deslocamento, φ = 90° e o trabalho realizado  pela  força  é  igual  a  zero  (figura  4c).  O  trabalho  negativo  e  o  trabalho  nulo  merecem  um  exame  mais cuidadoso, de modo que daremos alguns exemplos. 

 FIGURA 4 Uma força constante F

pode realizar um trabalho positivo, negativo ou nulo, dependendo do ângulo entre  F

e 

o deslocamento  d. 

 Existem diversas  situações em que uma  força atua, mas não  realiza nenhum trabalho. Você poderia  imaginar 

que faz um trabalho duro ao manter um haltere suspenso no ar por cinco minutos (figura 5), porém você não realiza nenhum trabalho sobre o haltere porque não há nenhum deslocamento. Você fica cansado porque as fibras musculares do seu braço realizam trabalho ao se contrair e dilatar continuamente. Entretanto, esse trabalho é realizado por uma parte do braço sobre outra parte, e não sobre o haltere. Mesmo quando caminha com um  livro na mão em um piso horizontal, você não realiza nenhum trabalho sobre o livro. Nesse caso, o livro sofre um deslocamento, porém a força (vertical)  que  você  exerce  para  sustentar  o  livro  não  possui  nenhum  componente  na  direção  (horizontal)  do deslocamento.  Então,  φ  =  90°  na  equação  (2)  e  cosφ  =  0.  Quando  um  corpo  desliza  ao  longo  de  uma  superfície,  o trabalho  realizado  pela  força  normal  sobre  o  corpo  é  igual  a  zero;  e  quando  uma  bola  presa  a  um  fio  gira  com movimento circular uniforme, o trabalho realizado pela tensão no fio sobre a bola também é igual a zero. Em ambos os exemplos, o trabalho realizado é  igual a zero porque a  força aplicada não possui nenhum componente na direção do deslocamento. 

 

  FIGURA  5  Um  halterofilista  não  realiza  nenhum  trabalho sobre um haltere, contanto que o mantenha estático.  

Afinal, o que significa realizar um trabalho negativo? A resposta deriva da terceira lei de Newton. Quando um halterofilista abaixa um haltere como na figura 6a, suas mãos e o haltere movem‐se juntos com o mesmo deslocamento 

d. O haltere exerce uma força  H em MF

sobre sua mão na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento, de modo 

que o  trabalho  realizado  pelo  haltere  sobre  sua mão é  positivo  (figura  6b).  Pela  terceira  lei  de Newton,  as mãos do 

halterofilista  exercem  sobre  o  haltere  uma  força  igual  e  contrária:  M em H H emMF F

  (figura  6c).  A  força  que  impede  o 

 4 

haltere de despencar no piso atua em sentido contrário ao do deslocamento do haltere. Logo, o trabalho realizado pelas mãos sobre o haltere é negativo. Como as mãos e o haltere possuem o mesmo deslocamento, o trabalho realizado pelas mãos sobre o haltere é de sinal contrário ao do trabalho realizado pelo haltere sobre as mãos. Em geral, quando um corpo realiza um trabalho negativo sobre outro corpo, este corpo realiza um trabalho positivo sobre o primeiro. 

 FIGURA 6 As mãos deste halterofilista realizam um trabalho negativo sobre um haltere enquanto o haltere realiza um trabalho positivo sobre suas mãos.  TRABALHO TOTAL 

Como calcular o trabalho quando diversas forças atuam sobre um corpo? Um método é usar a equação (2) ou a equação (3) para calcular o trabalho que cada força realiza sobre o corpo. A seguir, como o trabalho é uma grandeza escalar,  o  trabalho  total Wtot  realizado  por  todas  as  forças  sobre  o  corpo  é  a  soma  algébrica  de  todos  os  trabalhos realizados  pelas  forças  individuais.  Um método  alternativo  para  calcular  o  trabalho  total Wtot  consiste  em  calcular  a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo (ou seja, a força resultante) e a seguir usar essa soma vetorial 

como  Fna equação (2) ou na equação (3).  

 3 ENERGIA CINÉTICA E O TEOREMA DO TRABALHO‐ENERGIA 

O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo é relacionado com o deslocamento do corpo, ou seja, com variações da posição do corpo. Contudo, o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo. Para ver  isso, considere a figura 7, que mostra três exemplos de um bloco deslizando sobre uma mesa sem atrito. As 

forças que atuam sobre o bloco são seu peso pa força normal  n

e a força  F

exercida pela mão sobre ele. 

Na figura 7a, a força resultante sobre o bloco está na mesma direção e no mesmo sentido do seu deslocamento. Pela segunda lei de Newton, isso significa que o corpo acelera; pela equação (1), isso também significa que o trabalho total Wtot realizado sobre o bloco é positivo. O trabalho total na figura 7b é negativo porque a força resultante se opõe ao  deslocamento;  nesse  caso  o  bloco  diminui  de  velocidade.  A  força  resultante  é  nula  na  figura  7c,  de modo  que  a velocidade permanece constante e o trabalho total sobre o bloco é igual a zero. Concluímos que quando uma partícula sofre um deslocamento, ela aumenta de velocidade se Wtot > 0, diminui de velocidade quando Wtot < 0 e a velocidade permanece constante se Wtot = 0. 

 FIGURA 7 A relação entre o trabalho total realizado sobre um corpo e a variação da velocidade escalar do corpo.  

 5 

Vamos fazer essas observações de modo mais quantitativo. Considere uma partícula de massa m movendo‐se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força resultante constante de módulo F orientada no sentido positivo do eixo Ox (figura 8). A aceleração da partícula é constante, sendo dada pela segunda lei de Newton, F = max.  

 

  

FIGURA 8 Uma força resultante constante  Frealiza um trabalho 

sobre um corpo em movimento.  

Suponha que a velocidade varie de v1 a v2 enquanto a partícula vai do ponto x1 ao ponto x2 realizando um deslocamento d = x2 ‐ x1. Usando a equação do movimento com aceleração constante, e substituindo v0x por v1, vx por v2 e (x ‐ x0) por d, obtemos 

2 22 1 x

2 22 1

x

v v 2a d

v va

2d

 

Quando multiplicamos essa equação por m e igualamos a força resultante F com max, achamos 2 22 1

x

v vF ma m

2d

 

2 22 1

1 1Fd mv mv

2 2           [4] 

O produto Fd é o  trabalho  realizado pela  força  resultante F e,  portanto, é o  trabalho  total Wtot  realizado por todas as forças que atuam sobre a partícula. A grandeza ½ mv2 denomina‐se energia cinética K da partícula: 

21K mv

2             [5] 

Analogamente ao trabalho, a energia cinética é uma grandeza escalar; ela depende somente da massa e do módulo da velocidade da partícula, e não da direção do movimento (figura 9). Um carro (encarado como uma partícula) possui a mesma energia cinética quando se desloca de sul para norte a 10 m/s ou quando se desloca de oeste para leste a 10 m/s. A energia cinética nunca pode ser negativa, sendo igual a zero somente quando a partícula está em repouso. 

 

 

 FIGURA 9 Comparação da energia cinética de diferentes corpos.  

Podemos agora  interpretar a equação  (4) em  termos do  trabalho e da energia  cinética. O primeiro  termo do membro direito da equação (4) é K2 = ½ mv2

2 a energia cinética final da partícula (ou seja, depois do deslocamento). O segundo termo do membro direito é a energia cinética inicial, K1 = ½ mv1

2 e a diferença entre os dois termos é a variação da energia cinética. Logo, a equação (4) diz que: O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula: Wtot = K2 – K1 = ΔK          [6] Esse resultado é conhecido como teorema do trabalho‐energia. 

O  teorema  do  trabalho‐energia  concorda  com  as  situações  do  bloco  descritas  na  figura  7.  Quando  Wtot  é positivo,  a  energia  cinética  aumenta  (a  energia  final  K2  é maior  do  que  a  energia  inicial  K1)  e  a  velocidade  final  da 

 6 

partícula é maior do que sua velocidade inicial. Quando Wtot é negativo, a energia cinética diminui (K2 é menor do que K1)  e  a  velocidade  final  da  partícula  é  menor  do  que  sua  velocidade  inicial.  Quando Wtot  =  0,  a  energia  cinética  é constante  (K1  =  K2)  e  a  velocidade  não  se  altera.  Convém  ressaltar  que  o  teorema  do  trabalho‐energia  nos  informa somente sobre variações da velocidade escalar, não sobre o vetor velocidade, visto que a energia cinética não depende da direção da velocidade. 

Pelas equações (4) ou (6), a energia cinética e o trabalho devem possuir as mesmas unidades. Logo, o joule é a unidade SI tanto para a energia cinética quanto para o trabalho (e, como veremos mais tarde, para todos os tipos de energia). Para conferir esse resultado, note que as unidades SI para K = ½ mv2 são kg.(m/s)2 ou kg.m2/s2; lembrando que 1 N = 1 kg.m/s2, logo 1 J = 1 N . m = 1 (kg . m/s2) . m = 1 kg . m2/s2 

Como empregamos as  leis de Newton para deduzir o  teorema do  trabalho‐energia, podemos usá‐lo  somente para um sistema de referência inercial. Note também que o teorema do trabalho‐energia é válido para qualquer sistema de  referência  inercial,  porém os valores de Wtot  e de K2  ‐ K1 podem diferir de um sistema de  referência  inercial para outro (porque o deslocamento e a velocidade de um corpo possuem valores diferentes para cada sistema de referência inercial). 

Deduzimos  o  teorema  do  trabalho‐energia  para  o  caso  especial  de  um  movimento  retilíneo  com  forças constantes e, nos exemplos seguintes, vamos aplicá‐lo somente para esse caso especial. Mostraremos na próxima seção que o teorema é válido no caso geral, mesmo quando as forças não são constantes e a trajetória é uma curva. O SIGNIFICADO DA ENERGIA CINÉTICA 

O exercício resolvido 5 fornece um raciocínio para entender o significado físico da energia cinética. A cabeça do martelo  parte  do  repouso,  e  sua  energia  cinética  quando  atinge  a  viga  é  igual  ao  trabalho  total  realizado pela  força resultante sobre a cabeça do martelo até esse ponto. Esse resultado é em geral verdadeiro: para acelerar uma partícula de massa m a partir do repouso (energia cinética zero) até uma velocidade v, o trabalho total realizado sobre ela deve ser igual à variação da energia cinética desde zero até K = ½ mv2: Wtot = K – 0 = K 

Portanto,  a  energia  cinética  de  uma  partícula  é  igual  ao  trabalho  total  realizado  para  acelerá‐la  a  partir  do repouso  até  sua  velocidade  presente.  A  definição  K  = ½ mv2,  equação  (5),  não  foi  escolhida  ao  acaso;  ela  é  a  única definição que corresponde ao significado físico da energia cinética. 

Na segunda parte do exercício resolvido 5 a energia cinética da cabeça do martelo foi usada para realizar um trabalho sobre a viga e cravá‐la no solo.  Isso nos permite  fazer outra  interpretação para a energia cinética: a energia cinética de uma partícula é  igual ao trabalho total que ela pode realizar no processo de ser conduzida até o repouso. Isso explica por que você puxa a mão e o braço para trás quando apanha uma bola no ar. No intervalo em que a bola chega ao repouso, ela realiza um trabalho (força vezes distância) sobre a sua mão que é igual à energia cinética inicial da bola. Puxando sua mão para trás, você maximiza a distância na qual a força atua e minimiza a força exercida sobre sua mão. TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA EM SISTEMAS COMPOSTOS 

Neste  tópico  tomamos  o  cuidado  de  usar  o  teorema do  trabalho‐energia  somente  para  corpos  considerados partículas, ou seja, massas pontuais que se movem. Novas sutilezas surgem para sistemas mais complexos que devem ser  representados  por  diversas  partículas  com  movimentos  diferentes.  Não  podemos  analisar  essas  sutilezas  com detalhes neste capítulo, mas apresentamos a seguir um exemplo. 

Considere um menino em pé apoiado sobre patins sem atrito sobre uma superfície horizontal, de  frente para uma parede rígida (figura 10). Ele empurra a parede e inicia um movimento para a direita. As forças que atuam sobre 

ele  são  seu  peso  pas  forças  normais  de  baixo  para  cima  1n

e  2n  exercidas  pelo  solo  sobre  seus  patins  e  a  força 

horizontal  Fque a parede exerce sobre ele. Como não existe deslocamento vertical,  p

, 1ne  2n não realizam trabalho. A 

força horizontal  Facelera o menino para a direita, porém as partes do corpo sobre as quais ela atua (suas mãos) não se 

movem. Portanto, a força horizontal  Ftambém não realiza trabalho. Então, de onde vem a energia cinética do menino?  

 

   FIGURA  10  Forças  externas  atuando  sobre  um  patinador  que empurra  uma  parede.  O  trabalho  realizado  por  essas  forças  é igual a zero, mas, apesar disso, sua energia cinética variou.  

 7 

A dificuldade é que não podemos representar o menino simplesmente como uma partícula. Diferentes partes do corpo dele possuem movimentos diferentes; suas mãos permanecem paradas sobre a parede, porém o seu torso se afasta da parede. As diversas partes do corpo interagem entre si, e uma parte poderá exercer forças e realizar trabalho sobre a outra. Sendo assim, a energia cinética total do corpo pode variar, embora nenhum trabalho seja realizado pelas forças externas aplicadas sobre o corpo (como a força da parede).  4 TRABALHO E ENERGIA COM FORÇAS VARIÁVEIS 

Até  o  momento,  neste  capítulo  consideramos  apenas  forças  constantes.  Porém,  o  que  ocorre  quando  você comprime uma mola? Quanto mais ela se comprime, maior é o esforço para você empurrar, de modo que a força que você exerce não é constante. Também restringimos nossos estudos ao movimento retilíneo. Podemos imaginar diversas situações  em que  as  forças  aplicadas  variam  em módulo,  direção  e  sentido  e  o  corpo  se  desloca  em uma  trajetória curva. É necessário estarmos aptos para calcular o trabalho realizado nesses casos gerais. Felizmente, verificaremos que o  teorema  do  trabalho‐energia  permanece  válido,  mesmo  quando  consideramos  forças  variáveis  e  quando  o  corpo descreve uma trajetória curva. TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL EM MOVIMENTO RETILÍNEO 

Para acrescentar uma complicação de cada vez, vamos considerar um movimento  retilíneo no qual a  força Fx possui um componente  x paralelo ao deslocamento, mas o módulo da  força é  variável.  (Um exemplo do  cotidiano é dirigir um carro por uma estrada retilínea com sinais de parada que fazem o motorista alternar entre pisar no acelerador e frear.) Suponha uma partícula movendo‐se ao longo do eixo Ox, de um ponto x1 a um ponto x2 (figura 11a). A figura 11b mostra um gráfico do componente x da força em função da coordenada x da partícula.  

 FIGURA 11 Cálculo do trabalho realizado por uma força variável Fx na direção de x, enquanto uma partícula se move de x1 para x2.  

Para calcularmos o trabalho realizado por essa força, dividimos o deslocamento total em pequenos segmentos Δxa, Δxb e assim por diante (figura 11c). Aproximamos o trabalho realizado pela força no deslocamento Δxa como a força média Fax neste intervalo multiplicada pelo deslocamento Δxa. Fazemos isso para cada segmento e depois somamos os resultados de todos os segmentos. O trabalho realizado pela força no deslocamento de x1 a x2 é dado aproximadamente por W = FaxΔxa + FbxΔxb + . . .  À medida que o número de  segmentos aumenta e  a  largura de  cada  segmento  torna‐se  cada vez menor,  essa  soma fornece (no limite) a integral de Fx de x1 a x2: 

x2

x

x1

W F dx             [7] 

Note  que  FaxΔxa  representa  a  área  da  primeira  faixa  vertical  indicada  na  figura  11c  e  que  a  integral  na  equação  (7) representa  a  área  abaixo da  curva da  figura  11b no deslocamento de  x1  a  x2.  Em um gráfico  da  força  em  função da posição, o trabalho total realizado pela força é representado pela área abaixo da curva entre a posição inicial e a posição final.  Uma  interpretação  alternativa  para  a  equação  (7)  é  que  o  trabalho  W  é  igual  à  força  média  no  intervalo considerado, multiplicada pelo deslocamento. 

A equação (7) também se aplica no caso particular em que o componente x da força F for constante. Nesse caso, Fx pode ser retirada da integral 

x2 x2

x x x 2 1

x1 x1

W F dx F dx F (x x )  

Porém, x2 ‐ x1 = d, o deslocamento total da partícula. Portanto, no caso de uma força F constante, a equação (7) diz que W = Fd, concordando com a equação (1). A interpretação do trabalho como a área abaixo da curva de Fx em função de x também vale para uma força constante; W = Fd é a área de um retângulo de altura F e largura d (figura 12). 

 8 

 

    FIGURA  12  O  trabalho  realizado  por  uma  força  F  constante  no sentido do eixo Ox enquanto uma partícula se move de x1 a x2.  

Vamos agora aplicar o que aprendemos ao caso da deformação de molas. Para esticar a mola de uma distância x além  de  sua  posição  não  deformada,  devemos  aplicar  uma  força  de módulo  F  em  cada  uma  de  suas  extremidades (figura 13). Quando o alongamento x não é muito grande, verifica‐se que o módulo F é diretamente proporcional ao módulo do deslocamento x:  Fx = kx              [8] onde k é uma constante denominada constante da força (ou constante da mola). As unidades de k são a força dividida pela distância: N/m em unidades SI. Para a mola fraca típica de um brinquedo, a constante da mola é aproximadamente igual a 1 N/m; para molas duras, como as molas de suspensão de um automóvel, k é aproximadamente igual a 105 N/m. A observação de que a força é diretamente proporcional ao deslocamento quando o deslocamento não é muito grande foi feita em 1678 por Robert Hooke, sendo conhecida como lei de Hooke. Na realidade, ela não deveria ser chamada de ‘lei’, visto que é uma relação específica e não uma lei geral da natureza. As molas reais não obedecem à equação (8) de modo exato, contudo ela é um modelo idealizado bastante útil. 

  FIGURA 13 A  força necessária para esticar  a mola  ideal  é diretamente proporcional ao seu alongamento: F = kx.  

Para esticar qualquer mola devemos realizar um trabalho. Aplicamos forças iguais e opostas às extremidades da mola e gradualmente aumentamos as forças. Mantemos a extremidade esquerda da mola em repouso, de modo que a força que atua nessa extremidade não realiza trabalho. A força que atua na extremidade móvel realiza trabalho. A figura 14 mostra um gráfico da força Fx em função de x, o alongamento da mola.  

 

     FIGURA  14  Cálculo  do  trabalho  realizado  para  esticar  a  mola  em  um alongamento X.  

O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo X é dado por X X

2x

0 0

1W F dx kxdx kX

2         [9] 

Podemos  também  obter  esse  resultado  graficamente.  A  área  do  triângulo  sombreado  indicado  na  figura  14,  que representa o trabalho total realizado pela força, é igual ao produto da base pela altura dividido por dois, ou seja 

21 1W (X)(kX) kX

2 2  

 9 

Essa equação diz  também que o trabalho é a  força média kX/2 multiplicada pelo deslocamento total X. Vemos que o trabalho  total é proporcional ao quadrado do alongamento  total X. Para esticar em 2 cm uma mola  ideal,  você deve realizar um trabalho quatro vezes maior do que o necessário para esticá‐la em 1 cm. 

A  equação  (9)  supõe  que  a  mola  estava  inicialmente  sem  nenhuma  deformação.  Se  a  mola  sofre  um alongamento inicial x1, o trabalho realizado para esticá‐la até um alongamento final x2 (figura 15a) é dado por 

x2 x2

2 2x 2 1

x1 x1

1 1W F dx kxdx kx kx

2 2        [10] 

Você deve usar seu conhecimento de geometria para se convencer de que a área trapezoidal abaixo do gráfico na figura 15b é dada pela expressão na equação (10). 

 FIGURA 15 Cálculo do trabalho realizado para esticar uma mola de uma extensão a outra maior.  

Se a mola possui espaço entre as espirais, ela também pode ser comprimida, e a lei de Hooke vale igualmente quando a mola é esticada ou quando ela é comprimida. Nesse caso, a  força F e o deslocamento x possuem sentidos contrários aos indicados na figura 13, de modo que Fx e x na equação (8) possuem sinais negativos. Como Fx e x estão invertidos, a força continua no mesmo sentido do deslocamento, e o trabalho será novamente positivo. Desse modo, o trabalho total continua sendo dado pela equação (9) ou pela equação (10), mesmo quando X é negativo ou quando x1 ou x2, ou ambos, são negativos. TEOREMA DO TRABALHO‐ENERGIA PARA UM MOVIMENTO RETILÍNEO COM FORÇA VARIÁVEL 

Já deduzimos o teorema do trabalho‐energia, Wtot = K2 ‐ K1, para o caso especial de um movimento retilíneo com força resultante constante. Podemos agora provar que esse teorema também vale para o caso em que a força varia com a posição. Vamos considerar uma partícula que sofre um deslocamento x quando submetida a uma força resultante cujo componente x é Fx, que agora é variável. Como na figura 11, dividimos o deslocamento total x em um grande número de pequenos deslocamentos Δx. Podemos aplicar o teorema do trabalho‐energia, equação (6), para cada segmento porque o valor de Fx em cada pequeno segmento é aproximadamente constante. A variação da energia cinética no segmento Δxa é igual ao trabalho Fax Δxa e assim por diante. A variação total da energia cinética é a soma das variações da energia cinética nos segmentos  individuais e, portanto, é  igual ao  trabalho  total  realizado sobre a partícula no deslocamento total. Desse modo, a fórmula Wtot = ΔK permanece válida tanto no caso de uma força constante quanto no caso em que a força varia. 

Agora vamos  fazer uma dedução alternativa para o  teorema do  trabalho‐energia para o caso em que a  força varia  com  a  posição.  Ela  envolve  uma  troca  da  variável  x  para  vx  na  integral  do  trabalho.  De  início,  notamos  que  a aceleração a de uma partícula pode ser expressa de vários modos, usando ax = dvx/dt, vx = dx/dt, e a regra da derivação em cadeia: 

x x xx x

dv dv dvdxa v

dt dx dt dx         [11] 

Usando esse resultado na equação (7), vemos que o trabalho total realizado pela força resultante Fx é x2 x2 x2

xtot x x x

x1 x1 x1

dvW F dx ma dx mv dx

dx       [12] 

Agora (dvx/dx) dx é a variação de velocidade dvx durante o deslocamento dx, de modo que na equação (12) podemos substituir dvx por (dvx/dx) dx. Com isso, a variável de  integração muda de x para vx, portanto os  limites de integração devem ser trocados de x1 a x2 para os valores correspondentes de v1 a v2. Isso fornece 

v2

tot x x

v1

W mv dv  

A integral de vx dvx é simplesmente igual a vx2/2. Substituindo os limites da integral, achamos finalmente 

 10 

2 2tot 2 1

1 1W mv mv

2 2           [13] 

Esse  resultado  é  igual  ao  da  equação  (6),  portanto  o  teorema  do  trabalho‐energia  permanece  válido mesmo  sem  a hipótese de que a força resultante é constante. TEOREMA DO TRABALHO‐ENERGIA PARA UM MOVIMENTO AO LONGO DE UMA CURVA 

Podemos generalizar ainda mais nossa definição de trabalho de modo que inclua forças que variam em módulo, direção e sentido, bem como deslocamentos ao longo de trajetórias curvas. Suponha que uma partícula se desloque de um ponto P1 a um ponto P2 ao longo de uma curva, como indicado na figura 16a. Dividimos o segmento da curva entre 

esses pontos em muitos vetores deslocamentos  infinitesimais, e cada deslocamento típico será representado por  d l. 

Cada  vetor  d lé  tangente  à  trajetória  em  cada posição  considerada.  Seja  F

a  força em um ponto  típico da  trajetória 

curva,  e  seja  φ  o  ângulo  entre  F  e  d l

neste  ponto.  Então,  o  pequeno  elemento  de  trabalho  dW  realizado  sobre  a 

partícula durante o deslocamento  d lpode ser escrito como  

dW = Fcosφdl = F‖dl = F d l

 

onde F‖ = Fcosφ é o componente de  Fna direção paralela a  d l

 (figura 16b). O trabalho total realizado por  F

 sobre a 

partícula enquanto ela se desloca de P1 a P2 é P2 P2 P2

P1 P1 P1

W Fcos dl Fdl F d l

        [14] 

 

   

FIGURA  16  Uma  força  Fque  varia  em  módulo, 

direção e sentido atua sobre uma partícula que se desloca de um ponto P1 a um ponto P2 ao  longo de uma curva.  

Podemos agora mostrar que o teorema do trabalho‐energia, equação (6), permanece verdadeiro mesmo para o 

caso  de  forças  variáveis  e  deslocamentos  ao  longo  de  uma  trajetória  curva.  A  força  F  permanece  essencialmente 

constante em qualquer deslocamento infinitesimal  d lao longo da trajetória, de modo que podemos aplicar o teorema 

do trabalho‐energia no caso do movimento retilíneo para este deslocamento. Portanto, a variação da energia cinética K 

da partícula nesse intervalo é igual ao trabalho dW = F‖dl = F d l

realizado sobre a partícula. Somando essas quantidades infinitesimais de trabalho para todos os deslocamentos  infinitesimais ao longo da trajetória, obtemos o trabalho total realizado, equação (14), e isso é igual à variação total da energia cinética para a trajetória completa. Logo, Wtot = ΔK = K2 

– K1 é um resultado geral, qualquer que seja a trajetória e qualquer que seja o caráter da força aplicada. Isso pode ser demonstrado de modo mais rigoroso usando‐se etapas como as descritas na dedução da equação (11) à equação (13). 

Note  que  somente  o  componente  da  força  resultante  paralelo  ao  deslocamento,  F‖  realiza  trabalho  sobre  a partícula,  de  modo  que  somente  esse  componente  pode  alterar  a  velocidade  e  a  energia  cinética  da  partícula.  O componente  perpendicular  à  trajetória,  FꞱ  =  Fsenφ,  não  produz  nenhum  efeito  sobre  o  módulo  da  velocidade  da partícula; ele apenas altera a direção da velocidade da partícula. 

A integral indicada na equação (14) denomina‐se integral de linha. Para calcular essa integral em um problema 

específico,  necessitamos  de  uma descrição  detalhada  da  trajetória  e  de  como  a  força  Fvaria  ao  longo da  trajetória. 

Geralmente expressamos a integral de linha em termos de alguma variável escalar.  5 POTÊNCIA 

A definição de trabalho não faz nenhuma referência ao tempo. Quando você levanta verticalmente um haltere pesando 100 N até uma altura de 1,0 m com velocidade constante, você realiza um trabalho de (100 N) (1,0 m) = 100 J, independentemente de você levar 1 segundo, 1 hora ou 1 ano para realizá‐lo. Contudo, muitas vezes precisamos saber quanto tempo levamos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potência. Na linguagem comum ‘potência’ em  geral  é  sinônimo  de  ‘energia’  ou  ‘força’.  Na  física,  usamos  uma  definição muito mais  precisa:  potência  é  a  taxa temporal da realização de um trabalho. Assim como trabalho e energia, a potência é uma grandeza escalar. 

Quando um trabalho ΔW é realizado durante um intervalo de tempo Δt, o trabalho médio realizado por unidade de tempo ou potência média Pm é definido como 

m

WP

t

            [15] 

 11 

A taxa de realização de um trabalho pode não ser constante. Podemos definir uma potência instantânea P como o limite da razão indicada na equação (15) quando Δt tende a zero: 

t 0

W dWP lim

t dt

          [16] 

A unidade SI de potência é o watt  (W), nome dado em homenagem ao  inventor  inglês  James Watt. Um watt equivale a um joule por segundo: 1 W = 1 J/s (figura 17). O quilowatt (1 kW = 103 W) e o megawatt (1 MW = 106 W) também são unidades muito usadas.  

 FIGURA 17 O mesmo total de trabalho é realizado em cada uma destas situações, mas a potência (a taxa de realização de um trabalho) é diferente.  

No  sistema  inglês,  o  trabalho  é  expresso  em  pé‐libras,  e  a  unidade  de  potência  é  o  pé‐libra  por  segundo. Algumas vezes, usa‐se também uma unidade maior denominada horse‐power (hp, que quer dizer ‘potência de cavalo’) (figura 18): 1 hp = 550 pés.lb/s = 33000 pés.lb/min Ou seja, um motor de 1 hp funcionando a plena capacidade produz 33000 pés.libras de trabalho por minuto. Um fator de conversão útil é 1 hp = 746 W = 0,746 kW 

 

   FIGURA  18  O  valor  do  horse‐power  deriva  de  experiências conduzidas  por  James  Watt,  que  mediu  que  um  cavalo  poderia produzir  33000  pés‐libra  de  trabalho  por minuto  ao  içar  carvão  de uma mina.  

O watt é uma unidade familiar muito usada para potência elétrica; uma lâmpada de 100 W converte 100 J de energia  elétrica  em  luz  e  calor  a  cada  segundo.  Porém,  não  existe  nada  intrinsecamente  elétrico  nos  termos watt  e quilowatt. Uma lâmpada pode ser avaliada em horse‐power e o motor de um carro em quilowatt. 

O  quilowatt‐hora  (kW.  h)  é  a  unidade  comercial  de  energia  elétrica.  Um  quilowatt‐hora  é  o  trabalho  total realizado em 1 h (3600 s) quando a potência é de 1 quilowatt (103 J/s), logo 1 kW.h = (103 J/s)(3600 s) = 3,6.106 J = 3,6 MJ O quilowatt‐hora é uma unidade de trabalho ou de energia, não é uma unidade de potência. 

Na mecânica,  também podemos escrever  a potência  em  função da  força e da  velocidade.  Suponha que uma 

força  Fatue  sobre um  corpo  enquanto  ele  sofre  um deslocamento  vetorial  d

.  Se  F‖  for  o  componente  da  força  F

tangente à trajetória (paralelo a  d), então o trabalho realizado por essa força será ΔW = F‖Δd; a potência média será  

m m

F d dP F Fv

t t

          [17] 

A potência instantânea P é o limite da potência média quando Δt → 0:  P = F‖v              [18] onde  v  é  o  módulo  da  velocidade  instantânea.  Podemos  também  escrever  a  equação  (18)  em  função  do  produto escalar: 

P F v              [19] 

    

 12 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS  01 a) Caio exerce uma força uniforme de 210 N sobre o carro enguiçado como na figura abaixo, conforme o desloca por uma distância de 18 m. O carro também está com um pneu furado, de modo que para manter o movimento retilíneo Caio deve empurrá‐lo a um ângulo de 30° em relação à direção do movimento. Quanto trabalho ele realiza?  

b)  Disposto  a  cooperar  mais,  Caio  empurra  outro  carro  enguiçado  com  uma  força  uniforme  ˆ ˆF (160 i 40 j)N

.  O 

deslocamento do carro é  ˆ ˆd (14 i 11 j)m

. Quanto trabalho Caio realiza neste caso? 

 SOLUÇÃO a) Pela relação W = Fdcosφ, teremos: W = Fdcosφ = (210)(18)cos30° = 3,3.103 J 

b)  Os  componentes  de  Fsão  Fx  =  160 N  e  Fy  =  ‐  40 N,  e  os  componentes  de  d

  são  x  =  14 m  e  y  =  11 m.  (Não  há 

componente z para vetor algum.) Logo, 3

x yW F d F x F y (160) (14) ( 40) (11) 1,8.10 J  

 02  Determinar  o  trabalho  realizado pela  força  F  constante para  um deslocamento  do bloco A  igual  a  15 m. O  bloco acelera a partir do repouso. Onde F = 50 N. 

 SOLUÇÃO Quando o bloco A é deslocado de 15 m, analisando cinematicamente, a polia móvel move‐se 7,5 m. Por conseguinte, a força F aplicada sobre a polia sofre um deslocamento d = 7,5 m. WF = Fd WF = (50)(7,5) = 375 J  03 Uma cortina de  janela com peso de 20 N e 3 m de comprimento é enrolada em forma de um rolo sobre a  janela. Quanto trabalho é realizado neste caso? Despreze o atrito. SOLUÇÃO  O trabalho realizado pelo agente externo é equivalente a levantar o centro de gravidade CG de uma altura h igual a 1,5 m. Observe o esquema abaixo: 

 então, W = Fd  W = mgh 

 13 

W = (20)(1,5) = 30 J 04  Se  uma  barra  homogênea  de  peso  800  N  e  10  m  de  comprimento  está  na  posição  horizontal,  que  trabalho  é necessário realizar para coloca‐la em posição vertical? 

 SOLUÇÃO  O trabalho realizado pelo agente externo é equivalente a levantar o centro de massa CM de uma altura h igual a 5 m. Observe o esquema abaixo: 

 então, W = Fd W = mgh W = (800)(5) W = 4 kJ  05 Um elétron  se move em  linha  reta  de oeste  para  leste  com velocidade  constante de  8.107 m/s.  Sobre  ele  atuam forças elétricas, magnéticas e gravitacionais. O trabalho total realizado sobre o elétron em um deslocamento de 1 m é  i) positivo;  ii) negativo;  iii) zero;  iv) não há informação suficiente para responder. SOLUÇÃO iii) O elétron possui  velocidade constante, portanto  sua aceleração é  igual a  zero e  (de acordo com a  segunda  lei de Newton)  a  força  resultante  sobre  o  elétron  também  é  nula.  Logo,  o  trabalho  total  realizado  por  todas  as  forças (equivalente ao  trabalho  realizado pela  força  resultante) deve  ser  também,  igual a  zero. As  forças  individuais podem produzir trabalho diferente de zero, mas essa não é a questão.  06 Um fazendeiro engata um trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20 m ao longo de um terreno horizontal (figura a). O peso total do trenó carregado é igual a 14700 N. O trator exerce uma força constante de 5000 N, formando um ângulo de 36,9° acima da horizontal, como indicado na figura b. Existe uma força de atrito de 3500 N que se opõe ao movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as forças. a)             b) 

        SOLUÇÃO O  trabalho  realizado pelo peso Wp é  igual  a  zero porque  sua direção é perpendicular  ao deslocamento.  Pela mesma razão, o trabalho realizado pela força normal Wn também é igual a zero. Logo, Wp = Wn = 0. Falta considerar a força FT exercida pelo trator e a força de atrito f. Pela relação W = Fdcosφ, o trabalho WT realizado pelo trator é WT = FT d cosφ = (500) (20) (0,800) = 80000 N.m = 80 kJ 

A  força de atrito  fpossui  sentido  contrário ao do deslocamento, de modo que φ = 180° e  cosφ =  ‐1. O  trabalho Wf 

realizado pela força de atrito é Wf = f d cos180° = (3500) (20) (‐1) = ‐ 70000 N.m = ‐70 kJ 

 14 

O trabalho total Wtot realizado por todas as forças sobre o trenó é a soma algébrica do trabalho que cada força realiza: Wtot = Wp + Wn + WT  + Wf = 0 + 0 + 80 kJ + (‐70 kJ) = 10 kJ No método alternativo, inicialmente calculamos a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o corpo (ou seja, a força  resultante)  e  a  seguir  usamos  essa  soma  vetorial  para  achar  o  trabalho  total.  A  soma  vetorial  pode  ser  mais facilmente calculada usando‐se os componentes. Pela figura b ∑Fx = FT cosφ + (‐f) = (500) (cos36,9°) ‐ 3500 = 500 N ∑Fy = FT senφ + (n) + (‐W) = (500) (sen36,9°) + n – 14,7  Nós  não  precisamos  de  fato  da  segunda  equação;  sabemos  que  o  componente  y  da  força  é  perpendicular  ao deslocamento,  logo  ela  não  realiza  trabalho.  Além  disso,  não  existe  aceleração  no  eixo  Oy  e  de  qualquer  forma  o trabalho é nulo, pois ∑Fy é mesmo igual a zero. Logo, o trabalho total é dado pelo trabalho da força resultante no eixo Ox: 

tot xW F d F d (500) (20) 10000 J

 

Nós obtemos o mesmo  resultado  tanto para Wtot  quanto para o encontrado  calculando‐se o  trabalho que cada  força realizou separadamente.  07  Considerando  o  exercício  resolvido  anterior,  suponha  que  a  velocidade  inicial  v1  é  2,0 m/s.  Qual  é  a  velocidade escalar do trenó após um deslocamento de 20 m? SOLUÇÃO A figura abaixo mostra nosso desenho para este caso. A direção do movimento está no sentido positivo de x. 

 No  exercício  resolvido  anterior,  encontramos  para  o  trabalho  total  de  todas  as  forças: Wtot  =  10  kJ,  de modo  que  a energia  cinética do  trenó  carregado deve aumentar em 10 kJ. Para escrever as expressões para as energias  cinéticas inicial e final, necessitamos da massa do trenó e de sua carga. Sabemos que o peso é 14700 N, portanto a massa é 

p 14700m 1500 kg

g 9,8  

Então, a energia cinética inicial K1 é dada por 

2 2 2 21 1

1 1K mv (1500)(2) 3000 kg.m / s 3000 J

2 2  

A energia cinética final K2 é 

2 22 2 2

1 1K mv (1500)v

2 2  

onde v2 é a velocidade desconhecida que desejamos calcular. A relação Wtot = K2 ‐ K1 fornece K2 = K1 + Wtot = 3000 + 10000 = 13000 J Igualando as duas relações anteriores de K2, substituindo 1 J = 1 kg .m

2/s2 e explicitando v2, achamos v2 = 4,2 m/s.  08 Em um bate‐estaca, um martelo de aço de 200 kg é elevado até uma altura de 3,0 m acima do topo de uma viga vertical que deve  ser  cravada no  solo  (figura abaixo). A  seguir,  o martelo é  solto,  enterrando mais 7,4  cm a  viga. Os trilhos verticais que guiam a cabeça do martelo exercem sobre ele uma força de atrito constante  igual a 60 N. Use o teorema do trabalho‐energia para achar  

 

 15 

a) a velocidade da cabeça do martelo no momento em que atinge a viga e  b) a força média exercida pela cabeça do martelo sobre a mesma viga. Despreze os efeitos do ar. SOLUÇÃO A figura (a) mostra as forças verticais que atuam sobre a cabeça do martelo em sua queda livre, do ponto 1 ao ponto 2. (Podemos desprezar qualquer força horizontal que porventura exista, porque ela não realiza nenhum trabalho, uma vez que a cabeça do martelo se move verticalmente.) Nesta parte do movimento, nossa incógnita é a velocidade escalar v2 da  cabeça  do  martelo.  A  figura  (b)  mostra  as  forças  verticais  que  atuam  sobre  a  cabeça  do  martelo  durante  o movimento do ponto 2 ao ponto 3. Além das forças mostradas na figura (a), a viga exerce uma força normal de baixo para cima com módulo n sobre a cabeça do martelo. Na verdade, essa força varia até a cabeça do martelo parar, mas para simplificar vamos tratar n como uma constante. Portanto, n representa o valor médio dessa força de baixo para cima durante o movimento. Nossa incógnita para esta parte do movimento é a força que a cabeça do martelo exerce sobre a viga; é a força de reação à força normal exercida pela viga e, portanto, pela terceira lei de Newton, seu módulo também é n. 

 a) Do ponto 1 ao ponto 2, as forças verticais são o peso de cima para baixo p = mg = (200 kg) (9,8 m/s2) = 1960 N e a força de atrito de baixo para cima f = 60 N. Logo, a força resultante de cima para baixo é p – f = 1900 N. O deslocamento da cabeça do martelo de  cima para baixo do ponto 1 ao ponto 2 é d12  = 3,0 m. Portanto, o  trabalho  total quando a cabeça do martelo vai do ponto 1 ao ponto 2 é Wtot = (p – f)d12 = (1900) (3) = 5700 J No ponto 1, a cabeça do martelo está em repouso, então sua energia cinética inicial K1 é  igual a zero. Logo, a energia cinética K2 no ponto 2 equivale ao trabalho total realizado sobre a cabeça do martelo entre os pontos 1 e 2: 

2tot 2 1 2 2

tot2

1W K K K 0 mv 0

2

2W 2(5700)v 7,55m / s

m 200

 

Esse é o valor da velocidade da cabeça do martelo no ponto 2, no momento em que ele atinge a viga. b) No deslocamento de cima para baixo da cabeça do martelo, entre os pontos 2 e 3, a força resultante de cima para baixo  que  atua  sobre  ele  é  p  –  f  –  n  (figura  b).  O  trabalho  total  realizado  sobre  a  cabeça  do martelo  durante  esse deslocamento é Wtot = (p – f ‐ n)d23  A energia cinética inicial para essa parte do movimento é K2, que pelo item (a) equivale a 5700 J. A energia cinética final é K3 = 0, uma vez que a cabeça do martelo termina em repouso. Então, pelo teorema do trabalho‐energia 

tot 23 3 2

3 2

23

W (p f n)d K K

K Kn p f

d

0 5700n 1960 60 79000 N

0,074

 

A força que a cabeça do martelo exerce de cima para baixo sobre a viga possui esse mesmo módulo, 79000 N (cerca de 9 toneladas) — mais de 40 vezes o peso da cabeça do martelo.  

 16 

09 Dois barcos que deslizam no gelo apostam corrida  sobre um  lago horizontal  sem atrito  (figura abaixo). Os barcos possuem massas m e 2m, respectivamente. A vela de um barco é  idêntica à do outro, de modo que o vento exerce a 

mesma força constante  Fsobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linha de 

chegada é igual a d. Qual dos dois barcos chegará ao final da linha com a maior energia cinética? 

 SOLUÇÃO Se você simplesmente usasse a definição matemática de energia cinética K = ½ mv2, da equação (5), a resposta deste problema não seria óbvia. O barco de massa 2m possui massa maior, de modo que você poderia pensar que ele teria a maior energia cinética no final da linha. Porém, o barco menor, de massa m, cruzaria a linha de chegada com velocidade maior, e você poderia pensar que ele teria a maior energia cinética no final da linha. Como podemos decidir? O método correto para  resolvermos este problema é  lembrarmos que a energia  cinética de uma partícula é  igual ao trabalho  total  realizado para acelerá‐la a partir do  repouso até  sua velocidade presente. Os dois barcos percorrem o mesmo  deslocamento  d,  e  somente  a  força  horizontal  F,  paralela  ao  deslocamento,  realiza  trabalho  sobre  os  dois barcos. Logo, o trabalho total realizado entre os pontos  inicial e final é o mesmo para cada barco, Wtot = Fd. Na linha final, cada barco possui uma energia cinética igual ao trabalho total Wtot realizado sobre ele, porque os barcos partiram do repouso. Logo, os dois barcos possuem a mesma energia cinética na linha de chegada! Você  poderia  supor  que  esta  questão  envolve  uma  ‘pegadinha’,  mas  não  se  trata  disto.  Ao  entender  realmente  o significado  físico  de  grandezas  como  a  energia  cinética,  você  poderá  resolver  os  problemas  mais  facilmente  e  com melhor interpretação da física. Note que não dissemos nada sobre o tempo que cada barco leva até chegar ao final da linha.  Isso porque o  teorema do  trabalho‐energia não  faz nenhuma referência ao  tempo; somente o deslocamento é importante para o trabalho. Na verdade, o barco de massa m leva menos tempo para chegar à linha de chegada do que o barco de massa 2m, devido à sua maior aceleração.  10 Classifique os seguintes corpos por ordem da sua energia cinética, da menor para a maior.  i) um corpo de 2,0 kg movendo‐se a 5,0 m/s;  ii) um corpo de 1,0 kg inicialmente em repouso, que passa a ter realizado sobre si 30 J de trabalho;  iii) um corpo de 1,0 kg inicialmente movendo‐se a 4,0 m/s e que passa a ter 20 J de trabalho realizado sobre si;  iv) um corpo de 2,0 kg inicialmente movendo‐ se a 10 m/s e que passa a realizar um trabalho de 80 J sobre outro corpo SOLUÇÃO (iv), (i), (iii) e (ii)  O corpo (i) possui energia cinética K = ½ mv2 = ½ (20)(5)2 = 25 J. O corpo (ii) possuía energia cinética inicial igual a zero e depois 30 J de trabalho realizado, portanto sua energia cinética final é K2 = K1 + W = 0 + 30 J = 30 J. O corpo (iii) possuía energia  cinética  inicial K1 = ½ mv2 =  (1)(4)2   = 8,0  J e, depois,  teve 20  J de  trabalho  realizado sobre ele, portanto sua energia cinética final é K2 = K1 + W = 8,0 J + 20 J = 28 J. O corpo (iv) possuía energia cinética inicial K1 = ½ mv2 = (2)(10)2 = 100 J; quando ele produziu 80 J de trabalho sobre outro corpo, o outro corpo produziu ‐80 J de trabalho sobre o corpo (iv), portanto a energia cinética final do corpo (iv) é K2 = K1 + W = 100 J + (‐80) J = 20 J.  11 Uma força F varia com o deslocamento x, como mostrado na figura abaixo. Se o trabalho realizado por esta força F é de 96 J quando o corpo se move a partir de x = 0 até x = 10 m, determine é o valor de F para x = 14 m. 

   

 17 

SOLUÇÃO Sabendo que a área compreendida entre x = 0 e x = 10 m dá um trabalho W = 96 J calcularemos então o valor da força F0 em x = 10 m Atriangulo + Atrapézio = W  6.12/2 + ½ (12 + F0)4 = 96 F0 = 30 N  E de acordo com o esquema da figura acima calculamos F em x = 14 m, onde F0 é a mediana do trapézio. 

   Logo F= ½ (12 + F0)  F = 48 N  

12  Uma  força  constante  ˆ ˆF   (2  i    3 j) N

  desloca  um  corpo  da  posição  1ˆ ˆr    (4  i   5 j) m

  para  2

ˆ ˆr    ( i    3 j) m

. 

Encontre o trabalho realizado pela força. SOLUÇÃO   O deslocamento é dado por 

2 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr    r    r    ( i   3 j) (4 i   5 j) 3i   8 j

 

O trabalho é dado por ˆ ˆ ˆ ˆW   F r    (2i   3 j) ∙ ( 3i   8 j)     6   24   18 J

 

 

13 Determine o trabalho realizado pela força  ˆ ˆF   2  i    3 j

 para mover um corpo de A para C ao longo do percurso A → 

B → C da figura abaixo. A força é expressa em newtons e as coordenadas são: A(1, 1); B(2, 3); C(3, 2). 

 SOLUÇÃO  O trabalho realizado por uma força constante não depende do caminho seguido, apenas as posições inicial A e final C. O 

trabalho realizado por  F é igual à soma dos trabalhos realizados pelas componentes nos eixos coordenados. Observe o 

esquema abaixo: 

 No eixo x: Wx = (2)(2) = 4 J No eixo y: Wy = (3)(1) = 3 J O trabalho realizado por F é: WF = Wx + Wy 

 18 

WF = 7 J  14 Determine o trabalho realizado pela  força constante cujo módulo é F = 5 N para  levar uma partícula da posição A para a posição B por meio da trajetória parabólica x = y2 mostrada na figura abaixo, onde se mostra também a direção da força. 

 SOLUÇÃO O trabalho realizado por uma força constante F não dependem do caminho seguido, apenas das posições inicial A e final 

B. O trabalho realizado por  ˆ ˆF   3  i    4 j

, é igual à soma dos trabalhos das componentes nos eixos coordenados. 

No eixo x: Wx = (3)(12) = 36 J No eixo y: Wy = (4)(2) = 8 J O trabalho realizado por F é: WF = Wx + Wy WF = 44 J  

15  Determine  o  trabalho  da  força  2ˆ ˆF  (6xy  i   3x  j)  N

ao  longo  do  caminho  ABA.  O  segmento  AB  é  um  arco  da 

parábola y = ‐2x2 + 6x e o caminho BA é uma linha reta que liga o ponto B de coordenadas (2,4) à origem. Essa força é conservativa? Justifique. 

 SOLUÇÃO Trabalho infinitesimal 

2 2ˆ ˆ ˆ ˆF dr (6xyi 3x j)∙(dx i dyj) 6xydx 3x dy  

Caminho AB y = −2x2 + 6x  ⇒ dy = (−4x+6)∙dx 

3 2F dr ( 24x 54x )dx  

B 2

3 2AB

A 0

W F dr ( 24x 54x )dx 48J  

Caminho BA y = 2x  ⇒dy = 2∙dx 

2F dr 18x dx  

A 0

2AB

B 2

W F dr 18x dx 48J  

F dr 48 48 0  Força conservativa. 

 16 Uma mulher pesando 600 N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida (figura abaixo).  

 19 

 No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da mola e o trabalho total realizado pela força de compressão sobre a mola. SOLUÇÃO Consideramos valores de x positivos para o alongamento da mola (de baixo para cima como na figura), de modo que o deslocamento da mola (x) e o componente x da força que a mulher exerce sobre ela (Fx) sejam ambos negativos. O topo da mola é deslocado por x = ‐1,0 cm = ‐ 0,010 m, e a força que a mulher realiza sobre a mola é Fx = –600 N. Pela relação F = kx, a constante elástica é 

4xF 600k 6.10 N/m

x 0,010

 

Então, usando x1 = 0 e x2 = ‐0,010 m na relação, 

2 22 1

1 1W kx kx

2 2  

teremos: 

4 21W (6.10 ) ( 0,010) 0 3 J

2  

 17 Um cavaleiro com 0,100 kg de massa está  ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante é 20,0 N/m (ver figura abaixo).  

   Inicialmente a mola não está esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,50 m/s da esquerda para a direita. Ache a distância máxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita  a) supondo que o ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível e  b) supondo que o ar não esteja fluindo no trilho e o coeficiente de atrito cinético seja μc = 0,47. SOLUÇÃO Na figura a, escolhemos a direção positiva de x como sendo da esquerda para a direita (na direção do movimento do cavaleiro). Consideramos x = 0 na posição inicial do cavaleiro (quando a mola não está esticada) e x = d (a variável‐alvo) na posição onde o cavaleiro para. O movimento é exclusivamente horizontal, logo somente forças horizontais realizam 

trabalho. Note que a relação  2 22 1

1 1W kx kx

2 2  fornece o trabalho realizado sobre a mola quando ela é esticada, mas para 

usar o teorema do trabalho‐energia necessitamos do trabalho realizado pela mola sobre o cavaleiro ‐ que é a negativa da nesta relação. 

   a) Quando o cavaleiro se move de x1 = 0 para x2 = d, ele produz trabalho sobre a mola conforme é dado pela relação:  

2 22 1

1 1W kx kx

2 2  

então: 

 20 

W = ½ kd2 – ½ k(0)2 = ½ kd2. O total de trabalho realizado pela mola sobre o cavaleiro é a negativa desse valor, ou seja, ‐ ½ kd2. Amola estica até que o cavaleiro fique momentaneamente em repouso, de modo que a energia cinética final do cavaleiro K2 é  igual a  zero. A energia  cinética  inicial do cavaleiro é  igual a ½ mv1

2 onde v1 = 1,50 m/s é a velocidade escalar inicial do cavaleiro. Usando o teorema do trabalho‐energia, obtemos 

2 21

1 1kd 0 mv

2 2  

Portanto, a distância d percorrida pelo cavaleiro é: 

1

m 0,100d v 1,5 0,106m 10,6 cm

k 20,0  

Em seguida, a mola esticada puxa o cavaleiro de volta para a esquerda, de modo que o repouso é apenas instantâneo. b) Quando o ar não circula, devemos incluir também o trabalho realizado pela força constante de atrito cinético. A força normal n possui módulo  igual ao peso do cavaleiro, visto que o  trilho é horizontal e não existe nenhuma outra  força vertical. O módulo da força de atrito cinético é então fc = μcn = μcmg. A força de atrito se opõe ao deslocamento, logo o trabalho realizado pela força de atrito é Wat = fc d cos180° = ‐ fc d = ‐ μcmgd O  trabalho  total  é  a  soma  de Wat  com  o  trabalho  realizado  pela mola,  ou  seja,  ‐  ½  kd2.  Portanto,  de  acordo  com  o teorema do trabalho‐ energia 

2 2k 1

2 2

2

1 1mgd kd 0 mv

2 21 1

(0,47) (0,100) ((9,8)d (20)d (0,100) (1,5)2 2

10d 0,461d 0,113 0

 

Essa é uma equação do segundo grau para d. As duas soluções dessa equação são d = 0,086 m ou  ‐ 0,132 m Usamos o símbolo d para designar um deslocamento positivo, de modo que somente o valor do deslocamento positivo faz sentido. Logo, considerando o atrito, o cavaleiro se desloca até uma distância d = 0,086 m = 8,6 cm  18 O bloco da figura parte do repouso, empurrado por uma força F de intensidade constante que atua durante todo o percurso. O trecho de comprimento a é liso, e o trecho de comprimento b é áspero. O Professor Gomes pede para você determine a  intensidade da força de atrito que agiu sobre o bloco no trecho b, sabendo que o bloco para ao final do percurso. 

 SOLUÇÃO Temos que: WN = 0 Wat = 0 + (‐fat.b) WP = 0  WF = F.(a + b)  Pelo teorema da energia cinética: WT = WN + Wat + WP + WF = Eci – Ecf (‐fat.b) + F.(a + b) = 0 – 0  fat = F.(a + b)/b  fat = F.(a/b + 1)   19  Atuando  com  uma  força  F  sempre  dirigida  a  uma  tangente  à  trajetória,  faz‐se  subir  lentamente  sobre  um  plano inclinado  um  carrinho  de  peso  50  N.  Determine  o  trabalho  desta  força,  se  o  coeficiente  de  atrito  dinâmico  entre  o carrinho e o plano é 0,2. Dados: h = 9 m e L = 40 m. 

 21 

 SOLUÇÃO  O trabalho realizado pela força F no bloco através do plano inclinado tem a seguinte forma: WF = mg(h + μL) Substituindo os dados: WF = 50[9 + 0,2(40)] WF = 850 J  20 Em um piquenique familiar você foi designado a empurrar seu primo chato, João, em um balanço (ver figura abaixo).  

   Seu peso é p; o comprimento da corrente é R e você empurra  João até que as correntes  façam um ângulo θ0  com a 

vertical. Para isso, você empurra com uma força horizontal variável  Fque começa em zero e cresce gradualmente até 

um valor suficiente para que João e o balanço movam‐se lentamente e permaneçam aproximadamente em equilíbrio. Qual  é  o  trabalho  total  realizado  por  todas  as  forças  sobre  João?  Qual  é  o  trabalho  realizado  pela  tensão  T  nas 

correntes?  Qual  é  o  trabalho  que  você  realiza  ao  exercer  a  força  variável  F?  (Despreze  o  peso  das  correntes  e  do 

assento.) SOLUÇÃO A  figura  a  seguir  mostra  o  diagrama  do  corpo  livre  e  o  sistema  de  coordenadas.  Substituímos  as  tensões  nas  duas correntes por uma tensão única T. 

 

   Diagrama do corpo liver para João (desprezando‐se o peso das correntes)  

Há duas formas de calcular o trabalho total realizado durante o movimento: (1) calcular o trabalho total de cada força e depois somar todos os totais e (2) calcular o trabalho realizado pela força resultante. O segundo método é muito mais fácil neste caso porque João está em equilíbrio em cada ponto. Portanto, a força resultante sobre ele é igual a zero, a 

integral da força resultante na relação P2 P2 P2

P1 P1 P1

W Fcos dl Fdl F d l

 é igual a zero e o trabalho total realizado por todas 

as forças é igual a zero. Também é fácil determinar o trabalho total pela tensão das correntes sobre João porque essa 

força é perpendicular ao deslocamento  d lem todos os pontos da trajetória. Logo, em todos os pontos, o ângulo entre a 

tensão  das  correntes  e  o  deslocamento  é  igual  a  90°  e  o  produto  escalar  nesta  relação  é  igual  a  zero.  Portanto,  o trabalho realizado pela tensão nas correntes é igual a zero. Para calcularmos o trabalho que você realiza ao exercer a 

força  F, devemos descobrir como ela varia em função do ângulo θ. A força resultante sobre João é nula; logo, ∑Fx = 0 e 

∑Fy = 0. Pela figura, obtemos ∑Fx = F + (‐Tsenθ) = 0 e ∑Fy = Tcosθ + (‐p) = 0 Eliminando T dessas duas equações, encontramos F = ptgθ 

 22 

O ponto de aplicação da força  Foscila no interior do arco d. O comprimento do arco d é igual ao raio R da circunferência 

multiplicado pelo ângulo (em radianos), logo s = Rθ. Embora o deslocamento  d lcorresponda a uma pequena variação 

de ângulo, dθ possui módulo dado por dl = ds = Rdθ. O trabalho realizado por  Fé 

W F d l Fcos ds

 

Agora expressamos essas grandezas em termos do ângulo variável θ, cujo valor aumenta de 0 para θ0: 0 0

0

0 0

W (ptg ) cos (Rd ) pR sen d pR(1 cos )

 

 21 Uma partícula de massa 6 kg e inicialmente em repouso é submetida a uma força tangente e constante que imprime um MCUV cujo raio é de 50 cm. Se o trabalho realizado por esta força no quinto segundo é de 108 J, qual é a aceleração angular que a partícula experimenta? SOLUÇÃO Utilizando a  relação  (W =  Ft.e)  onde e é o  comprimento do  trajeto  curvo  (o  sinal  será positivo  se  a direção da  força coincide com o movimento), teremos:  W = Ft.e = mat.e        (1) onde, e = e5° = ½ at.(2,5 ‐ 1) = 9/2 at    (2) at = αR             (3) Substituindo (2) e (3) em (1):  Wt = 9/2 m(αR)2 α = 4 rad/s2  22  Uma  corrente  de massa  uniforme m e  comprimento  ℓ  repousa  sobre  uma mesa  com 2/3  de  sua  parte  na mesa. Encontre o trabalho a ser feito por uma pessoa para colocar a parte suspensa de volta à mesa. SOLUÇÃO Considere o esquema mostrado abaixo: 

   Considerando dx um elemento de comprimento a uma distância x da mesa, sendo a massa do comprimento dx como (m/ ℓ)dx. O trabalho para puxar dx para a mesa é dado por: W = (m/ ℓ)dx.g.x   Então para puxar o comprimento ℓ/3 para a mesa teremos: 

/3

0/3

2 2

`0

W (m / )gxdx

x mg mgW (m / )g

2 18 18

 

 23 Uma partícula de massa m se move em uma linha reta com sua velocidade variando com a distância percorrida de 

acordo  com  a  equação  v a x ,  onde  a  é  uma  constante.  Encontre  o  trabalho  total  realizado  por  todas  as  forças durante um deslocamento de x = 0 para x = d. SOLUÇÃO 

Dado que  v a x  Deslocamento = d 

Fazendo x = 0  ⇒v1 = 0 e x = d  ⇒ 2v a d  

 23 

2 2 2 22 1

c

v v a d aa

2d 2d 2

 

F = mac = m. 2a

2 

Então o trabalho realizado fica: 

W = Fdcosθ = m. 2a

2.d = 

2ma d

2 

 24 A força exercida num objeto é F(x) = F0(x/x0 ‐1). Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de x = 0 até x = 2x0  a) fazendo um gráfico de F(x) e determinando a área sob a curva e  b) calculando a integral analiticamente. SOLUÇÃO a)  A  expressão  de  F(x)  diz‐nos  que  a  força  varia  linearmente  com  x.  Supondo  x0  >  0,  escolhemos  dois  pontos convenientes para, através deles, desenhar uma linha reta. Para x = 0 temos F = ‐ F0 enquanto que para x = 2x0 temos F = F0, ou seja devemos desenhar uma linha reta que passe pelos pontos (0, ‐F0) e (2x0, F0). Faça a figura! Olhando para a figura vemos que o trabalho total é dado pela soma da área de dois triângulos: um que vai de x = 0 até x = x0, o outro indo de x = x0 até x = 2x0. Como os dois triângulos tem a mesma área, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total é ZERO. b) Analiticamente, a integral nos diz que 

002x2x 2

0 0

0 00 0

x xW= F 1 dx F x 0

x 2x

 

 25 Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) igual a  197000  N.  Quando  o  avião  está  voando  a  250  m/s  (900  km/h),  qual  é  a  potência  instantânea  que  cada  motor desenvolve? SOLUÇÃO Usaremos  neste  problema  a  relação  P  =  F‖v.  A  propulsão  está  no  mesmo  sentido  da  velocidade,  de  modo  que  é exatamente igual à propulsão. Em v = 250 m/s, a potência desenvolvida por cada motor é P = F‖v = (1,97.10

5) (250) = 4,93.107 W = 4,93.107 W (1hp/746 W) = 66000 hp  26 O ar que  circunda um avião em voo exerce uma  força de arraste que atua em oposição ao movimento do avião. Quando  o  Boeing  767  do  exercício  resolvido  anterior  está  voando  em  linha  reta,  a  altitude  constante  e  velocidade constante de 250 m/s, qual é a taxa em que a força de arraste produz trabalho sobre ele? SOLUÇÃO O avião possui velocidade horizontal constante, portanto a força resultante horizontal sobre ele deve ser igual a zero. Logo, a força de arraste para trás deve ter o mesmo módulo que a força para a frente, devido à propulsão combinada dos dois motores. Isso significa que a força de arraste deve produzir trabalho negativo sobre o avião à mesma taxa com que a força da propulsão combinada produz trabalho positivo. A propulsão combinada realiza trabalho a uma taxa de 2 (66000 hp) = 132000 hp; logo, a força de arraste deve realizar trabalho à taxa de ‐132000 hp.  27 Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 kg sobe correndo as escadas da Torre Sears em Chicago, o edifício mais alto dos Estados Unidos, com altura de 443 m (ver figura abaixo).  

 

 24 

Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos qual deve ser sua potência média em watts? E em quilowatts? E em horse‐power? SOLUÇÃO O trabalho realizado para elevar a massa m contra a gravidade é  igual ao peso mg multiplicado pela altura h. Logo, o trabalho realizado por ela é W = mgh = (50) (9,8) ( 443) = 2,17.105 J O tempo é 15,0 min 900 s; logo, pela relação Pm = W/Δt, sua potência média é 

5

m

2,17.10P 241W 0,241kW 0,323hp

900  

Um método  alternativo  consiste  em usar  a  relação P =  F‖vm. A  força exercida é  vertical,  e o  componente  vertical  do módulo da velocidade média é dado por (443 m)/(900 s) = 0,492 m/s; portanto, a potência média é P = F‖vm = (mg) (vm) = (50) (9,8) (0,492) = 241 W, cujo resultado é igual ao anterior.  28  A  força  (mas  não  a  potência)  necessária  para  rebocar  um  barco  com  velocidade  constante  é  proporcional  à velocidade. Se são necessários 10 hp para manter uma velocidade de 4 km/h, quantos cavalos‐vapor são necessários para manter uma velocidade de 12 km/h? SOLUÇÃO Como o problema afirma que a força é proporcional à velocidade, podemos escrever que a força é dada por F = αv, onde v é a velocidade e α é uma constante de proporcionalidade. A potência necessária é P = Fv = αv2. Esta  fórmula  nos  diz  que  a  potência  associada  a  uma  velocidade  v1  é  P1  =  αv

21  e  a  uma  velocidade  v2  é  P2  =  αv

22. 

Portanto, dividindo‐se P2 por P1 podemos nos livrar da constante α desconhecida, obtendo que 2

22 1

1

vP P

v

 

Para P1 = 10 hp e v2 = 3v1, vemos sem problemas que 2

2

12P 10 90hp

4

 

 29 Um bonde se move com uma aceleração a = 49 cm/s2. Determine o coeficiente de atrito entre as rodas e os trilhos, sabendo que 50% da potência do motor é usado para superar a  força de atrito, e os  restantes 50% para aumentar a velocidade (g = 9,8 m/s2) SOLUÇÃO A  partir  dos  dados,  concluímos  que  a  potência  líquida  é  igual  à  energia  perdida  por  atrito,  verificando  as  seguintes relações:  Pott = Pota  Wt/t = Wa/t  FR.d  = ‐fa.d  FR = fa Em que nós substituímos a força resultante (FR) e a força de atrito (fa) ma = μmg substituindo encontramos: μ = 0,05  30 Duas  lanchas com potências de 3 kW e 12 kW desenvolvem velocidades de 36 km/h e 72 km/h, respectivamente. Que velocidade desenvolverá se as duas lanchas forem engatadas uma na outra? SOLUÇÃO  Previamente calculamos a força desenvolvida por cada motor, sabendo que: P = Fv 

1 2

P 3000 12000F F 300 N F 600 N

v 10 20  

Analisando o sistema, a força líquida será F = 900 N e a potência útil (P1 + P2) igual a 15 kW. (P1 + P2) = Fv  15 000 = (900)v v = 60 km/h    

 25 

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER  01 Explique por que uma pessoa fica fisicamente cansada quando ela empurra uma parede, mas não consegue movê‐la e, portanto, não realiza nenhum trabalho sobre a parede.  02  Suponha que  três  forças  constantes  estejam agindo  sobre uma partícula  enquanto  esta move‐se de uma posição para outra. Prove que o trabalho realizado sobre a partícula pela resultante destas três forças é igual à soma do trabalho realizado por cada uma destas três forças calculada separadamente.  03 O Professor Gomes vagarosamente  levanta uma bola de boliche do chão e coloca‐a sobre uma mesa. Duas  forças agem sobre a bola: o peso dela, de intensidade mg, e a sua força para cima, também de intensidade mg. A soma destas duas  forças  é  igual  a  zero,  de modo que  parece  que  nenhum  trabalho  é  realizado.  Por  outro  lado,  você  sabe  que  o Professor Gomes realizou algum trabalho. O que está errado?  04 Um bloco de massa m = 2,50 kg é empurrado por uma distância d = 2,20 m, ao longo de uma mesa horizontal sem atrito,  por  uma  força  aplicada  constante  de  módulo  F  =  16,0  N  com  direção  em  um  ângulo  θ  =  25,0°  abaixo  da horizontal, como mostrado na figura.  

 Determine o trabalho realizado sobre o bloco pela  a) força aplicada,  b) força normal exercida sobre a mesa,  c) força gravitacional e  d) força resultante sobre o bloco.  05 Para empurrar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, um operário aplica uma força de 210 N, dirigida 20° acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3 m, qual o trabalho executado sobre o caixote  a) pelo operário,  b) pelo peso do caixote e  c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote?  d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?  06 Um saco de farinha de 5,00 kg é elevado verticalmente com uma velocidade constante de 3,5 m/s até uma altura de 15,0 m. a) Qual o módulo da força necessária? b) Qual o trabalho realizado por essa força sobre o saco? Em que se transforma esse trabalho?  07 Um pintor  de  75,0  kg  sobe uma escada  com 2,75 m de  comprimento  apoiada  em uma parede  vertical.  A  escada forma um ângulo de 30,0° com a escada.  a) Quanto trabalho a gravidade realiza sobre o pintor?  b) A  resposta  ao  item  (a)  depende do  fato de o  pintor  subir  a uma  velocidade  escalar  constante ou  acelerar  escada acima?  08 Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce uma força constante de 1,80.106 N, uma a 14° na direção noroeste e outra a 14° na direção nordeste, e o petroleiro é puxado até uma distância de 0,75 km do sul para o norte. Qual é o trabalho total realizado sobre o petroleiro?  09 Um bloco de 10 kg, sustentado por uma força horizontal de 50 N, desce desde A até B com velocidade constante de 2 m/s. (Use g = 10 m/s2) 

 26 

 a) Qual o trabalho realizado pela força  F

 no trecho AB?  

b) Qual o trabalho realizado pelo peso no trecho AB?  c) Qual o trabalho total realizado pela força de atrito no trecho AB?  d) Qual o valor da força de atrito dinâmica?   10 Considere um corpo de massa 20 kg, homogêneo, em forma de paralelepípedo, como ilustrado abaixo. 

 O corpo,  inicialmente apoiado sobre sua maior face (figura 1), é erguido por um operador, ficando apoiado sobre sua menor face (figura 2). Sendo g = 10 m ∙ s–2, calcule o trabalho da força do operador no erguimento do corpo.  11 Três blocos B1, B2 e B3 de mármore, de mesma massa específica ρ e mesma área de secção transversal A têm alturas respectivamente  iguais a h1, h2 e h3, sendo h1 > h2 > h3. Eles estão  inicialmente no solo horizontal,  repousando sobre suas bases. Em seguida são empilhados, formando uma coluna de altura h = h1 + h2 + h3. A aceleração da gravidade é g. Determine o trabalho realizado na operação de empilhar. 

 12 Quando um corpo de 4,00 kg é pendurado verticalmente em uma mola leve que obedece à lei de Hooke, a mola se distende 2,50 cm. Se o corpo de 4,00 kg é removido,  a) a que distância a mola é distendida se um corpo de 1,50 kg é pendurado nela?  b) Quanto trabalho um agente externo deve realizar para distender a mesma mola 4,00 cm de sua posição relaxada?  13 Um arqueiro puxa a corda de seu arco para trás 0,400 m exercendo uma força que aumenta uniformemente de zero a 230 N. a) Qual é a constante elástica equivalente do arco?  b) Quanto trabalho o arqueiro realiza sobre a corda ao tracionar o arco?  14 Um bloco de 5,0 kg se move com v0 = 6,0 m/s sobre uma superfície horizontal sem atrito, dirigindo‐se contra uma mola  cuja  constante  é  dada  por  k  =  500  N/m  e  que  possui  uma  de  suas  extremidades  presa  a  uma  parede  (figura abaixo). A massa da mola é desprezível. 

   a) Calcule a distância máxima que a mola pode ser comprimida. b) Se a distância máxima que a mola pudesse ser comprimida fosse de 0,150 m, qual seria o valor máximo de v0?  15 O Professor Gomes atira uma rocha de 20 N verticalmente para o ar a partir do nível do solo. O Professor Gomes observa que, quando alcança 15,0 m acima do solo, ela se desloca a 25,0 m/s de baixo para cima. Use o teorema do trabalho‐energia para calcular  a) a velocidade escalar da rocha assim que deixou o solo e  b) sua altura máxima.  16 Um carro é parado em uma distância D por uma força de atrito constante que não depende da sua velocidade. Qual é o fator de variação da distância (em termos de D) que ele leva até parar  a) quando sua velocidade inicial é triplicada? e  

 27 

b) se a velocidade escalar for a mesma que a original, porém a força de atrito é triplicada?  17  Como parte de  seu exercício diário,  o Professor Gomes deita de  costas e  empurra  com  seus pés uma plataforma ligada  a  duas  molas  duras  dispostas  de  modo  que  elas  fiquem  paralelas.  Quando  o  Professor  Gomes  empurra  a plataforma, comprime as molas. O Professor Gomes realiza 80,0 J de trabalho para comprimir as molas 0,200 m a partir do seu comprimento sem deformação.  a) Qual é o módulo da força que o Professor Gomes deve aplicar para manter a plataforma nessa posição?  b) Qual é a quantidade adicional de trabalho que o Professor Gomes deve realizar para mover a plataforma mais 0,200 m e qual é a força máxima que o Professor Gomes deve aplicar?   18 Um cabo uniforme, de massa M e comprimento L, está inicialmente equilibrado sobre uma pequena polia de massa desprezível, com a metade do cabo pendente de cada lado da polia. Devido a um pequeno desequilíbrio, o cabo começa a deslizar para uma de suas extremidades, com atrito desprezível. Com que velocidade o cabo está se movendo quando a sua outra extremidade deixa a polia?  19 Uma única força atua sobre um objeto de 3,0 kg que se comporta como uma partícula de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por x = 3,0t ‐ 4,0t2 + 1,0t3, com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado pela força sobre o objeto de t = 0 a t = 4,0 s.  20 No vagão de um trem que se move uniformemente um homem atua com uma força F sobre uma mola estendida. 

     O trem percorreu o trajeto L. Que trabalho realiza o homem no sistema de coordenadas relacionado à terra?  21  Uma  corda  é  usada  para  fazer  descer  verticalmente  um  bloco,  inicialmente  em  repouso,  de massa M  com  uma aceleração constante g/4.  

 Depois que o bloco desceu uma distância d, calcule  a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco,  b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso,  c) a energia cinética do bloco e  d) a velocidade do bloco.  22 Um homem carrega sobre os ombros de um saco de areia de 50 kg, e que deve levantar a uma altura de 6 m. Se o saco tem um orifício através do qual a areia cai uniformemente de modo que ao atingir o seu destino não há qualquer grão no saco. Qual o trabalho realizado pelo homem durante o ocorrido?  23 Uma partícula de massa m = 10 kg acha‐se em repouso na origem do eixo Ox, quando passa a agir sobre ela uma força resultante F , paralela ao eixo. De x = 0 a x = 4,0 m, a intensidade de F é constante, de modo que F = 120 N. De x = 4,0 m em diante, F adquire intensidade que obedece à função: F = 360 – 60x (SI) a) Trace o gráfico da intensidade de F em função de x. 

 28 

b) Determine a velocidade escalar da partícula no ponto de abscissa x = 7,0 m.  

24 A força  ˆ ˆF   (3  i    4 j) N

 atua sobre uma partícula movendo‐se ao longo de uma linha 4y + kx = 3. Qual o valor de k 

para que o trabalho feito pela força seja zero?  

25 Determine o trabalho realizado pela força constante  ˆ ˆF   (40  i    30 j)

 N para mover o bloco sobre a superfície lisa 

de A para B. Dado: AP = 5 m e PB = 3 m. 

  

26  As  forças  constantes  1ˆˆ ˆF    ( i   2 j   3 k) N

e  2

ˆˆ ˆF    (4  i  ‐ 5 j ‐ 2 k) N

  agem  juntas  em  uma  partícula  durante  um 

deslocamento  da  posição  2ˆr    (7 k) cm

para  a  posição  1

ˆ ˆr    (20i    15j) cm

.  Determine  o  trabalho  total  realizado  na 

partícula.  27  A  pequena  argola  de  0,5  kg  é  movida  lentamente  sobre  o  anel  que  está  na  posição  vertical  por  meio  da  força constante F. Quanto trabalho é desenvolvido através da força de resistência de P a Q? (g = 10 m/s2) 

  

28  Sobre o bloco de 4  kg  começa atuar uma  força F depende da posição  (y) por  ˆF  (60 2y) j N

  e  y é expresso em 

metros. Quanto trabalho é feito sobre o bloco pela referida força até o momento em que a sua aceleração é igual a  a = 

‐ 5 j   m/s2? (g = 10 m/s2) 

  

29  Sobre  uma partícula  atua  uma  força  2 2ˆ ˆF   (2x i    3y j) N

.  Determine  o  trabalho  realizado  pela  força  ao  longo  do 

caminho fechado ABCA. Essa força é conservativa? Justifique. 

    

 29 

30 A força  ˆ ˆF   3  i    8 j

 atua sobre um corpo durante 3 s, levando‐o desde o ponto (3, 2) até o ponto (8, 5). Determine 

o trabalho realizado sobre o referido corpo. A força está newtons e as coordenadas em metros.  31 Uma partícula sofre ação de uma força dada por F = 50 N, o que mantém permanentemente sob um ângulo θ = 37° em relação à tangente. Qual será o trabalho realizado pela força no caminho de A para B? (π = 22/7). 

     32 Uma melancia de 4,80 kg é largada (sem velocidade inicial) da extremidade do telhado de um edifício a uma altura de 25,0 m. A resistência do ar é desprezível.  a) Calcule o trabalho realizado pela gravidade sobre a melancia durante seu deslocamento do telhado ao solo.  b) Imediatamente antes de a melancia colidir com o solo, qual é (i) sua energia cinética; e (ii) sua velocidade escalar?  c) Qual das respostas nos itens (a) e (b) seria diferente se a resistência do ar fosse significativa?  33  Sobre o bloco mostrado na  figura abaixo,  começa a atuar uma  força que depende da posição  (x),  de acordo  com 

ˆF  (48 5x)  i  N

em que x é expresso em metros. Determine o trabalho líquido no bloco até o momento em que atinge 

a sua velocidade máxima. (g = 10 m/s2) 

  34 Se mostra na figura abaixo o momento em que uma esfera de 4 kg é solta. Se o vento exerce uma força constante 

ˆF  30 i   N

, determine a intensidade da reação da superfície cilíndrica lisa sobre a esfera ao passar por da sua posição mais baixa. (g = 10 m/s2). 

   35 Uma bola de beisebol de massa igual a 0,145 kg é lançada verticalmente de baixo para cima com velocidade de 25,0 m/s. a) Qual o trabalho realizado pela gravidade quando a bola atinge uma altura de 20,0 m acima do bastão? b) Use o teorema do trabalho‐energia para calcular a velocidade da bola quando ela atinge uma altura de 20,0 m acima do bastão. Despreze a resistência do ar. c) Sua resposta do item (b) depende do sentido da velocidade da bola ser para cima ou para baixo quando ela está na altura de 20,0 m? Explique.  36  Um  elétron  em movimento  possui  energia  cinética  K1.  Depois  da  realização  de  um  trabalho W  total  sobre  ele,  o elétron passa a se mover com uma velocidade quatro vezes menor em um sentido contrário ao inicial.  

 30 

a) Calcule W em termos de K1.  b) Sua resposta depende da direção final do movimento do elétron?  37  É  necessário  realizar  um  trabalho  de  12,0  J  para  esticar  3,0  cm  uma  mola  a  partir  do  seu  comprimento  sem deformação.  a) Qual é a constante de força dessa mola?  b) Qual o módulo de força necessário para alongar a mola em 3,0 cm a partir do seu comprimento sem deformação?  c) Calcule o trabalho necessário para esticar 4,0 cm essa mola a partir do seu comprimento sem deformação e qual força é necessária para alongá‐la nessa distância.  38 a) Suponha que você corte pela metade uma mola ideal sem massa. Se a mola inteira possuía uma constante elástica k, qual é a constante elástica de cada metade, em termos de k? (Sugestão: pense na mola original como duas metades iguais, cada uma produzindo a mesma força que a mola inteira. Você sabe por que as forças devem ser iguais?)  b) Se você cortar a mola em três partes iguais, qual é a constante elástica de cada parte, em termos de k?  39 Um pedreiro engenhoso montou um dispositivo que dispara tijolos até a altura da parede onde ele está trabalhando. Ele coloca o tijolo comprimindo uma mola vertical com massa desprezível e constante da mola k = 450 N/m. Quando a mola é liberada, o tijolo é disparado de baixo para cima. Sabendo que o tijolo possui massa de 1,80 kg e que ele deve atingir uma altura máxima de 3,6 m acima de sua posição inicial sobre a mola comprimida, qual é a distância que a mola deve  ser  inicialmente comprimida?  (O  tijolo perde o contato com a mola no  instante em que a mola  retorna ao  seu comprimento sem deformação. Por quê?)  40 As molas A e B são idênticas, exceto pelo fato de que A é mais rígida do que B, isto é kA > kB. Qual das duas molas realiza um trabalho maior  a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e  b) quando elas são distendidas por forças iguais. 

  41 Uma mola possui uma constante elástica de 15,0 N/cm.  a) Qual é o trabalho necessário para estender a mola de 7,60 mm desde a sua posição relaxada?  b) Qual é o trabalho necessário para estender a mola de um valor adicional de 7,60 mm?  42 Uma mola “rígida” tem uma lei de força dada por F = – kx3. O trabalho necessário para distender a mola desde a sua posição relaxada x = 0 até ao comprimento distendido x = L é Wo. No que diz respeito a Wo, qual é o trabalho necessário para distender a mola do comprimento distendido L até ao comprimento 2L?  43 Observa‐se que uma certa mola não obedece à Lei de Hooke. A força (em Newtons) que ela exerce quando esticada de uma distância x (em metros) possui uma intensidade igual a 52,8x + 38,4x2 na direção contrária ao alongamento. a) Calcule o trabalho necessário para alongar a mola de x = 0,50 m até 1,00 m. b) Com uma das extremidades da mola fixa, uma partícula de massa igual a 2,17 kg é presa à outra extremidade da mola quando esta é esticada de uma distância x = 1,00 m. Se a partícula for solta do repouso neste instante, qual será a sua velocidade no instante em que a mola tiver retornado à configuração na qual seu alongamento é de x = 0,50 m? c) A força exercida pela mola é conservativa ou não‐conservativa? Explique.  44 A força que age sobre uma partícula é Fx = (8x ‐ 16),onde F está dada em newtons, e x em metros,  a) Trace um gráfico dessa força em função de x de x = 0 a x = 3,00 m.  b) Em seu gráfico, encontre o trabalho resultante realizado por essa força sobre a partícula quando ela se move de x = 0 a x = 3,00 m.  45 Uma partícula de massa igual a 2 kg desloca‐se ao longo de uma reta.   Entre x = 0 e x = 7 m ela está sujeita à força F(x) representada no gráfico da figura. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e 7 m, sabendo que sua velocidade para x = 0 é de 3 m/s. 

 31 

    

46 Qual o trabalho realizado por uma força dada em Newtons por  ˆ ˆF   2xi   3j

, onde x está em metros, que é exercida 

sobre  uma  partícula  enquanto  ela  se  move  da  posição,  em  metros,  1ˆ ˆr  2i   3j

para  a  posição  (em  metros) 

2ˆ ˆr   4i   3j

. 

 47 A energia potencial de um objeto é dada por U(x) = 5x2 ‐ 4x3 Onde U está em joules e x está em metros. a) Qual é a força, F(x), atuando sobre o objeto? b) Determine as posições onde o objeto está em equilíbrio e indique se eles são estáveis ou instáveis.  48 Duas massas M e m (com M > m) estão ligadas por meio de uma polia como mostrado na figura abaixo. O sistema é liberado do repouso. No instante em que a massa M desce uma distância h, qual será a velocidade da massa m? 

  49 Uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito, ficando um quarto do seu comprimento dependurado na borda (veja  figura). O comprimento da corrente é L e  sua massa m; que  trabalho é necessário para puxar para o  tampo da mesa a parte dependurada? 

  50 Um bloco de 5,0 kg se move em linha reta sobre uma superfície horizontal sem atrito sob influência de uma força que varia com a posição, como mostra a figura. Qual é o trabalho realizado pela força quando o bloco se move desde a origem até x = 8,0 m? 

     

 32 

51 Uma partícula se move no plano xy, sob a ação da força  1ˆ ˆF    10yi   10xj

, onde  1F  

e medido é N, e x em m. 

a) Calcule o trabalho realizado por  1F  

ao longo do quadrado indicado na figura abaixo. 

b) Faça o mesmo para  2ˆ ˆF    10yi   10xj

. 

c) O que você pode concluir a partir de (a) e (b) sobre o caráter conservativo ou não de  1F  

e  2F? 

  52  Um bloco maciço  requer  uma  potência  P  para  ser  empurrado,  com  velocidade  constante,  para  subir  uma  rampa inclinada de um ângulo θ em relação à horizontal. O mesmo bloco requer uma potência Q quando empurrado com a mesma velocidade, em uma região plana de mesmo coeficiente de atrito. Supondo que a única fonte de dissipação seja o atrito entre o bloco e a superfície, determine o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície.  53 A figura mostra dois blocos de massas m1 e m2 inicialmente em repouso, conectados entre si por uma mola relaxada, de constante elástica K. Sabendo que a gravidade local vale g e que o coeficiente de atrito entre os blocos e solo vale μ, determine a intensidade da menor força horizontal constante que se deve aplicar ao bloco 1 a fim de mover o bloco 2. 

  54 A  figura mostra uma caixa de massa m em repouso num plano horizontal  liso. O Professor Gomes pede que você determine a intensidade da menor força F (horizontal e constante) capaz de fazer a caixa subir a rampa lisa e atingir o topo da rampa. Despreze atritos e admita gravidade g. 

  55 Uma corda de massa M e comprimento 3 L é abandonada do repouso na posição vertical apoiada em um pino como mostra a figura. Se a gravidade local vale g, determine a velocidade da corda no instante em que ela perder o contato com o pino. Admita que todos os atritos sejam desprezíveis. 

  56 Uma corrente flexível de comprimento L e massa m é colocada inicialmente em repouso sobre uma mesa reta, com apenas uma parte vertical de comprimento b pendente. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre a mesa e a 

 33 

corrente  vale μ,  determine  a  velocidade da  corrente no  instante que o  último elo  perde  o  contato  com a  superfície horizontal da mesa. A gravidade local vale g. 

  57 Uma corrente pesada com massa por unidade de comprimento λ é puxada por uma força constante F ao longo de uma  superfície  horizontal  que  é  composta  de  um  trecho  liso  e  um  trecho  rugoso.  A  corrente  está  inicialmente  em repouso na superfície rugosa com x = 0. Se o coeficiente de atrito cinético entre a corrente e a superfície rugosa vale μ e a gravidade local vale g, determine a velocidade da corrente quando x = L. A força F é maior que μ.λ.g.L para iniciar o movimento 

  58 Uma corrente de comprimento uniforme L e massa M repousa sobre uma mesa horizontal com 2/3 de sua parte na mesa. O coeficiente de atrito entre a mesa e a corrente é μ. Encontre o trabalho feito pelo atrito durante o período em que a corrente desliza para fora da mesa.  

59 Uma partícula P de massa 4 kg move‐se sob a ação da força  2ˆ ˆF   (4 i    12t  j) N

, onde t é o tempo em segundos. A 

velocidade  inicial  da  partícula  é  ˆˆ ˆ(2i    j   2k) m / s .  Encontre  o  trabalho  realizado  por  F  e  o  aumento  da  energia 

cinética de P durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1. Que princípio isso ilustra?  60 Uma corrente de massa uniforme M e comprimento L é mantida numa mesa horizontal sem atrito com 1/n de seu comprimento pendurado sobre a borda da mesa. O Professor Gomes pede que se determine o trabalho feito para puxar a corrente para cima na mesa.  

61 Mostre que a velocidade v alcançada por um carro de massa m dirigido com potência constante P é dada por  1/3

3xPv

m

 

onde x é a distância percorrida a partir do repouso.  62  Uma mulher  de  57  kg  sobe  correndo  um  lance  de  escadas  alcançando  uma  subida  de  4,5 m  em  3,5  s.  Qual  é  a potência média que ela precisa fornecer?  63 Um elevador de esqui para 100 pessoas transporta passageiros com um peso médio de 667 N a uma altura de 152 m em 55,0 s, com uma velocidade constante. Determine a potência de saída do motor, supondo que não existem perdas por atrito.  64 O  Professor Gomes move‐se  através  da  água  com uma  velocidade de  0,22 m/s. A  força  de  arrasto oposta  a  este movimento é de 110 N. Qual é a potência desenvolvida pelo Professor Gomes?   65 Como deve variar a potência do motor de uma bomba, para que ela possa bombear, através de um orifício fino, o dobro da quantidade de água por unidade de tempo? O atrito é desprezado.  

 34 

66 O coração humano é uma bomba potente e extremamente confiável. A cada dia ele recebe e descarrega cerca de 7500 litros de sangue. Suponha que o trabalho realizado pelo coração seja igual ao trabalho necessário para elevar essa quantidade  de  sangue  até  uma  altura  igual  à  altura  média  de  uma mulher  norte‐americana  (1,63  m).  A  densidade (massa por unidade de volume) do sangue é igual a 1,05.103 kg/m3.  a) Qual é o trabalho realizado pelo coração em um dia?  b) Qual a potência de saída em watts?  67  Um motor  elétrico,  cuja  eficiência  é  de  80%  necessita  de  uma  potência  de  3  kW  para  impulsionar  uma  bomba centrífuga cuja eficiência é de 73,5%. Se a bomba fornece água para o tanque de um edifício, localizado no telhado, a uma taxa de 0,54 m3/min, determine o número de andares do edifício, se a bomba está localizada na base do edifício e cada andar é de 2,5 m de altura, (g = 9,8 m/s2).  68  A  potência  P  fornecida  a  um  corpo  inicialmente  em  repouso  varia  com  o  tempo  t  como  P  =  kt2  onde  k  é  uma constante. Determine a velocidade do corpo em um instante de tempo t qualquer.  69 Dois carros, cujas potências são como 1 e 3, se movem com velocidades 2v e v, respectivamente. Se ambos os carros são engatados um no outro, qual a velocidade com que o conjunto se movimenta?  70  (a)  Em  um  certo  instante,  um  objeto  que  se  comporta  como  uma  partícula  sofre  a  ação  de  uma  força 

ˆˆ ˆF (4,0  i 2,0 j 9,0 k) N

  quando  sua  velocidade é  ˆˆv ( 2,0  i 4,0 k) m / s

. Qual  é  a  taxa  instantânea  com a qual  a 

força realiza trabalho sobre o objeto? (b) Em outro instante, a velocidade tem apenas a componente y. Se a força não muda e a potência instantânea é ‐12 W, qual é a velocidade do objeto nesse instante?   

Respostas  

01 Não realiza nenhum trabalho sobre a parede, más realiza trabalho sobre os músculos. 02 Demonstração 03 Ver questão 01 04 a) 31,9 J    b) 0    c) 0    d) 31,9 J 05 a) 590 J    b) 0    c) 0    d) 590 J  06 a) 50 N    b) 750 J 07 a) ‐1750 J    b) Não 08 2,62.109 J 09 a) ‐2000 J    b) 3000 J  c) ‐1000 J  d) 20 N 10 150 J 

11  2 2 2 21 2 3

gAW [h (h h h )]

2

 

12 a) 0,938 cm    b) 1,25 J 13 a) 575 N/m    b) 46 J 14 a) 0,600 m    b) 1,5 m/s 15 a) 30,3 m/s    b) 46,8 m 16 a) 9D    b) D/3 17 a) 800 N    b) 240 J; 1600 N 

18 gL

v2

 

19 530 J 20 0 J 

21 a) ‐ 3/4 Mgd   b) Mgd   c) 1/4 Mgd    d) gd

v2

 

22 1500 J 23 a)  

 35 

 b) 10,7 m/s 24 k = 3 25 290 J 26 −0,48 J 27 ‐ 5 J 28 800 J 29 WABCA = 0, sim 30 39 J 31 880 J 32 a) 1180 J    b) 22,2 m/s    c) (b) 33 160 J 34 60 N 35 a) 29 J    b) 15 m/s    c) Não 36 a) 15/16 K1    b) Não 37 a) 2,67.104 N/m  b) 801 N    c) 21,4 J; 1070 N 38 a) 2k     b) 3k 39 0,53 m 40 a) WA > WB    b) WA < WB 41 a) 4,332.10‐4 J  b) 1,3.10‐1 J 42 15 Wo 43 a) ‐31 J    b) 5,35 m/s    c) 0 44 a)  

 b) ‐12 J 45 vx=3 = 2 m/s    vx=4 = 2,23 m/s    vx=6 = 3 m/s    vx=7 = 3,16 m/s 46 ‐6 J 47 i) F(x) = 12x2 – 10x     ii) x = 0 (estável) e x = 5/6 (instável) 

48 2gh(M m)

v(M m)

 

49 mgL

W32

 

50 25 J 

51 a) ‐20 J    b) 0    c)  1F  

não é conservativa, más 2Fpode ser. 

52 Q sen

P Q cos

 

53  1 2(2m m ) gF

2

 

54 mg

F3

 

55 gL

v 23

 

 36 

56 g

v (L b).[b(1 ) L(1 )]L

 

57 2F

v gL

 

58 2 MgL

W9

 

59 W = 16 J 

60 2

MgLW

2n  

61 Demonstração 62 732,8 W 63 1843,34 W 64 24,2 W 65 aumentar 8 vezes. 66 a) 1,26.105 J     b) 1,46 W 67 8 andares 

68  32 kv t

3 m  

69 8v

v'7

 

70 a) 28 W      b) 6 m/s