1.0 Introdução

Nesse trabalho apresentaremos à utilidade do cálculo numérico aplicado a

construção civil, mais especificamente a utilização de métodos numéricos de resolução

de raízes no cálculo do momento fletor máximo em uma viga biapoiada.

O momento fletor máximo de uma viga é de fundamental importância e é usado

frequentemente pelos engenheiros e projetistas para decidir onde colocar materiais de

reforço na peça, como definir as dimensões desta ao longo do seu comprimento e o

dimensionamento da armadura principalmente em relação ao diâmetro da barra a ser

utilizada. Para ajudar na solução desse problema clássico na engenharia civil vamos

utilizar o método da Bisseção.

Esse é apenas um exemplo da vasta aplicação de métodos numéricos para

resolução de problemas de engenharia civil, que estão presentes também na

determinação da flexão da viga através de equações diferenciáveis, cálculo de estruturas

metálicas através de sistemas lineares e etc.

2.0 Desenvolvimento

2.1 Teoria básicas de estática

Para a melhor compreensão sobre como funciona o cálculo do momento fletor em

uma viga vamos explorar alguns conceitos básicos da resistência dos materiais que

envolve a determinação das forças atuantes sobre o corpo e o comportamento do

material sobre o efeito do carregamento utilizados nesse caso.

Primeiro podemos classificar as forças atuantes em uma viga como forças internas

ou externas.

a) Forças Externas: São causadas por agentes externos e as que nos interessam

nesse caso são as suas classificações em forças pontuais e distribuídas. As

forças pontuais ou concentradas exercem contato sobre uma área muito

pequena e, por isso, podem ser consideradas como pontual. Como exemplo,

podemos destacar uma pessoa, um pilar ou um móvel em cima de uma laje. As

forças linearmente distribuídas são assim chamadas quando a área de

atuação sobre a superfície é estreita, formando uma espécie de “corredor”.

Partindo desta definição, podemos dar como exemplo de carregamento linear

o peso de uma parede sobre a laje ou sobre a viga.

b) Forças internas: Cada esforço externo tem a sua carga interna resultante

definida e é conhecendo o valor desta grandeza e de que forma a mesma atua

no elemento que torna possível estudar a sua resistência. As forças internas

que nos interessam nesse trabalho são o esforço cortante e o momento fletor.

Força cortante (V ou Q): localiza-se no plano da seção e é criada quando as

cargas externas tendem a provocar o deslizamento ou corte das duas partes do

corpo, uma sobre a outra. Momento fletor (M): é provocada pelas cargas

externas que tendem a fletir ou flexionar o corpo em relação ao eixo

localizado no plano da seção. O momento de uma força em relação ao ponto é

o produto da força com a distância desta para o ponto

Outro conceito importante da resistência dos materiais que precisamos explorar é

o tipo de vínculos a qual a viga está apoiada, os vínculos são em uma linguagem mais

simplificada, a ligação da viga ao resto da estrutura e podem ser classificados em

vínculo simples, vínculo duplo e engastamento.

a) Vínculo simples ou móvel: Esse tipo de vínculo impede o movimento no

sentido normal ao plano de apoio, fornecendo apenas uma única reação na

vertical.

b) Vínculo duplo ou fixo: Esse tipo de vínculo ou apoio impede o movimento em

duas direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio.

Portanto fornece duas reações: uma na horizontal e a outra na vertical.

c) Engastamento: Esse tipo de vínculo impede o movimento em qualquer

direção, impedindo também a rotação(também chamada de momento).

Nesse trabalho vamos estudar apenas as estruturas isoestáticas, isto é, estruturas

que possuem o número de incógnitas igual ao número de equações da estática

disponíveis, como essa viga abaixo por exemplo:

Com esses conceitos já fixados podemos partir para o cálculo das forças de reação

da viga as forças externas, a viga que vamos adotar para efeitos de cálculo é a seguinte:

A carga distribuída para efeito de esforço cortante e cálculo das reações Ra e Rb

pode ser transformada em uma carga pontual, multiplicando apenas o valor da carga

(25kN/m) pelo seu comprimento (2m) e aplica-la no centro de gravidade da carga.

Primeiro vamos mostrar o cálculo das reações Ra e Rb que são reações ao tipo de

vínculo da viga que nesse caso é simples.

ΣFy=0

Ra + 50kN/m + 5kN/m + Rb = 0

Ra = -Rb – 55kN/m

ΣM(A)=0

(50 KN/m x 1 ) + (5 x 3) + (Rb x 4) = 0

50 + 15 + 4Rb =0

4Rb = -65

Rb = -16,3 (Quando encontramos algum valor negativo significa apenas que a

direção do vetor Rb está no sentido oposto ao que ele realmente é, nesse caso ou

mudamos o sentido do vetor ou continuamos a trabalhar com o valor negativo)

Ra = -(-16,3) - 55

Ra = -38,7

Agora vamos passar para os diagramas de esforço cortante e momento fletor. Os

diagramas são constituídos de pontos notáveis escolhidos na estrutura onde são

calculados os valores do esforço cortante e momento fletor para confecção de gráficos e

interpretação de resultados, esse método dos pontos notáveis também é conhecido como

método das seções, porque seccionamos a estrutura nos pontos notáveis. O primeiro

diagrama a ser feito é sempre o de esforço cortante.

Nas vigas, o esforço cortante tem uma influência significativa sobre o cálculo das

armaduras. O dimensionamento dos estribos é feito a partir dos valores de cortante

encontrados, principalmente os valores máximos. Nessa viga vamos separar dois pontos

notáveis, mostrados na figura acime e calcular o esforço cortante em cada um deles para

fazermos o gráfico.

Já temos os valores de Ra e Rb que são respectivamente 38,7kN e 16,3kN,

precisamos apenas do esforço cortante nos pontos 1 e 2. Para calcularmos o cortante

desses pontos vamos seccionar a viga nesse ponto e calcular o esforço para os dois lados

da viga.

Esforço Cortante Ponto 1

V1(esq) = 38,7 – 50 = -11,3 kN

V1(dir) = 5 – 16,3 = -11,3 kN

Esforço Cortante Ponto 2

V2(esq) = 38,7 – 50 – 5 = -16,3

V2(dir) = 5 – 16,3 = -11,3 kN

Com todos os valores calculados já podemos fazer o gráfico de esforço cortante.

O gráfico de momento fletor é onde aplicaremos os métodos numéricos para

calcularmos o valor do seu momento máximo uma vez que não sabemos onde ele se

encontra ao longo da viga.

Vamos calcular os momentos nos pontos notáveis a seguir para confecção do

gráfico de momento fletor.

Momento Fletor Ponto 1

M(1) esq = (38,7 x 2) - (50 x 1) = 27, 6 kN/m

M(1) dir = (16,3 x2) - (5 x 1) = 27, 6 kN/m

Momento Fletor Ponto 2

M(2)esq = (38,7 x 3) + (50 x 2) = 16,3 kN/m

M(2)dir = 16,3 x 1 = 16,3 kN/m

O diagrama ficará da seguinte forma:

No diagrama de momento fletor os valores positivos ficam abaixo do eixo da

viga, pois estão tracionando a barra e os valores negativos ficam acima da viga e estão

comprimindo a barra.

Existe um valor que não podemos descobrir pelo gráfico de momento fletor,

apesar de ser muito importante que é o momento fletor máximo, só sabemos que ele

ocorre quando o esforço cortante é zero, por isso, para descobrimos o momento fletor

máximo precisamos dos dois gráficos para análise.

Para o cálculo do momento fletor máximo vamos encontrar uma equação e

resolvê-la através do método numérico da bisseção.

Podemos observar pelos gráficos que o esforço cortante é zero em algum ponto da

carga distribuída e assim vamos escreves a seguinte equação:

Esforço Cortante = 0

38,7 – 25x = 0

Logo

F(x) = -25x + 38,7

Essa equação foi resolvida no programa code blocks com o seguinte algoritmo:

#include <stdio.h>

#include <math.h>

float f (float x) {

float y;

y = - 25*x + 38,7;

return y;

}

int main () {

float a = 0, b = 2, precisao = 0.1 ,x, m;

int k = 0;

while ((b-a) >= precisao){

k = k+1;

m = f(a);

x = (b + a)/2;

if ((m*f(x)) > 0) {

a = x;

}

else{

b = x;

}

}

printf ("Iteraçoes:%d, Raiz: %f", k, x);

return 0;

}

Encontramos o x com um valor de aproximadamente 1,55m e assim calculamos o

momento máximo.

MMáx = 38,7 x 1,55 – 38,7 x 0,77

MMáx = 30 kN

Assim temos um diagrama final:

3. Conclusão

Entendemos que Cálculo Numérico é um estudo que trabalha com grandezas da

vida real, de forma a estimar o design e prever o comportamento de sistemas nas áreas

de Engenharia (dentre outras) com o objetivo de maximizar performance e ganhos de

sistemas e produtos através da melhor utilização de recursos financeiros e alterações em

seus designs, trabalhando sempre com a noção de prover soluções o mais próximo

possível do real.  Para facilitar os cálculos complexos, o uso de software específico para

realizar as estimativas e o trabalho com as margens de erro aceitáveis são empregados, a

exemplo do Matlab e do Octave, havendo portanto ganho de tempo e dinheiro na

criação das obras de Engenharia. 

No mercado de trabalho atual, sua importância é imensa uma vez que qualquer

habilidade que o profissional possuir é levada em conta e pode fazer a diferença entre

ser contratado ou não. Sua economia de tempo é na verdade a grande vantagem dos

métodos numéricos, uma vez que, num mundo cada mais acelerado precisamos dos

melhores resultados no menor espaço de tempo possível.

4. Referências Bibliográficas

MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais. 11. ed. São

Paulo: Érica, 2000. 360 p.

HIBBELER, R. C.. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education -

Br, 2004. 688 p.

BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; DEWOLF, John T.. Resistência dos

Materiais. 4. ed. São Paulo: Mcgraw-hill Interamericana, 2006. 808 p.

BARROSO, L.C.; Araújo, M.M. Araújo; CAMPOS, F. Ferreira; CARVALHO, M.L.

Bunte de; Maia, M.L.

Cálculo Numérico. São Paulo: McGraw Hill, 1993.