Trabalho Força Variável

Uma caixa é puxada por uma força constante de 10N, movendo a caixa para direita de 5,0m:

W F=F⋅d

F=10N d=5,0m

W F=F⋅d⋅cos0 °

W F=F⋅d

W F=10 N⋅5,0m=50N⋅m=50 Jx (m)

0,0 2,0 4,0 6,0

F (N )

5,0

10,0

10 N⋅5,0m50 N⋅m50 J

Definição Gráfica: Trabalho é igual a área abaixo do gráfico força x deslocamento.

Força Variável

Em alguns problemas específicos, o trabalho pode ser calculado pela área pode de figuras geométricas simples

x (m)0,0 2,0 4,0 6,0

F (N )

5,0

10,0

W 06F=W 04+W 45+W 56

W 06F=

(1+4)⋅102

+0+1⋅52

W 06F=25+2,5

W 06F=27,5 J

Força Variável

No entando em situações mais gerais isto é pouco provável.

x (m)

F (N )

xi x f

Força Variável

No entando em situações mais gerais isto é pouco provável.

x (m)

F (N )

xi x f

Força Variável

No entando em situações mais gerais isto é pouco provável.

x (m)

F (N )

xi x f

ΔW j=F̄ (x)⋅Δ x

W if F≃∑j

ΔW j

W if F≃∑j

F̄ (x)⋅Δ x

Força Variável

No entando em situações mais gerais isto é pouco provável.

x (m)

F (N )

xi x f

W if F= limΔ x→0

∑j

F̄ (x)⋅Δ x

W if F=∫x i

x f

F (x )⋅dx

Força Variável

Existem duas diferenças conceituais entre as duas somas apresentadas:

W if F≃∑j

F̄ (x)⋅Δ x

W if F=∫x i

x f

F (x )⋅dx

Soma de elementos que variam discretamente;

Soma de elementos que variam continuamente.

W if F≃ 25,4 + 32,5 + 45,6 + ⋯

W if F=27,34004 + 27,34005 + 27,3400501 + ⋯

Integral

O processo descrito é conhecido como integral. Podendo ser empregado para o calculo de:

● Comprimento de caminhos;

● Áreas (como empregado aqui);

● Volumes;

● Entre outros.

ddx

f (x )=g(x) ⇒ ∫ g (x)dx=f (x)

Em poucas palavras, a integral faz o caminho contrário da derivação sobre uma função:

Integral

Alguns exemplos de integração:ddx

sen x=cos x ⇒ ∫ cos x dx=sen x+ C

onde C é uma constante que aqui será omitida.ddx

x3=3 x2 ⇒ ∫3 x2dx=x3

ddx

tan x=sec2 x ⇒ ∫ sec2 x dx=tan x

ddx

cosh x=senh x ⇒ ∫ senh x dx=cosh x

ddx

ln∣sec x∣=tan x ⇒ ∫ tan x dx=ln∣sec x∣

⋯

IntegralPara o restante desta disciplina necessito apenas da regra de integração de polinômios:ddx

xm=m xm−1

⇒ ∫mxm−1 dx=xm

{m−1=nm=n+1

⇒fazendo: ∫ xndx=xn+1

n+1

m∫ xm−1dx=xm

∫ xm−1 dx=xm

m

sendo m uma constante

IntegralAlgumas aplicações:

∫ x3 dx=x3

3

∫dx=∫ x0dx=x1

1=x

∫ x−1 dx≠x0

0

∫ x dx=x2

2

∫ x5 dx=x5

5

No entanto esta regra não serve para n = -1:

Indeterminado. Neste caso a integração é a definição para a função logaritmo natural:

∫ x−1 dx=∫ 1xdx=ln x+C com x>0.

Portanto logaritmo natural é a área abaixo da curva 1/x.

Força ElásticaForça Elástica é a força criada por dispositivos elásticos como molas, onde, no limite elástico, sua força respeita a Lei de Hooke:

F (x)=−k x

onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento do extremo da mola de seu ponto de repouso.

x0

F (x0)<0

x0

x0

F (x1)>0

x1x0

Limite ElásticoUma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

Limite ElásticoUma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

Limite ElásticoUma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem que se rompa (significativamente) as ligações com os átomos vizinhos.

Limite ElásticoUma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem que se rompa (significativamente) as ligações com os átomos vizinhos.

Quanto ultrapassado o limite elástico estas ligações são severamente comprometidas gerando rupturas irreversíveis na cadeia atômica.

Trabalho daForça Elástica

Portando, dentro do limite elástico, qual o trabalho realizado pela força de mola, quando está é movida de uma posição xi para a posição xf?

W if e=∫xi

xf

F (x)dx

x0xi x f

W if e=∫xi

xf

(−k x)dx

W if e=−k∫xi

xf

x dx

W if e=−kx2

2 ∣xi

xf

=−12k x2∣

x i

x f

W if e=−{12k x f

2−12k xi

2}⇒

Trabalho daForça Resultante

Suponha que sobre um corpo de massa m, inicialmente parado, são aplicadas diversas forças, constantes e/ou variáveis.

Para simplificar tome como eixo x a direção do movimento.

∑ F=ma

xi x f

vi v fa(t)

a(t)=a=dvdt

∑ F=ma

W if=∫x i

x f

(∑ F )dx

W if=∫x i

x f

madx

W if=m∫xi

x f

adx

Trabalho daForça Resultante

usando a definição de aceleração

W if=m∫xi

x f

dvdt

dx=m∫xi

xf

dxdt

dv

W if=m∫v i

v f

v dv=mv2

2 ∣vi

v f

=12mv2∣

vi

vf

W if=12mv f

2−12mvi

2

Aqui ocorre uma mudança na variável de integração, de posição para velocidade.

K=12mv2 Energia Cinética de Translação

W if=K f−K i W if=Δ K Teorema Trabalho-Energiaou

Teorema Trabalho-Energia

Este teorema afirma que toda vez que se fizer um trabalho total diferente de zero sobre um sistema, isto resultará em uma variação da energia cinética do sistema.

No Exemplo 1 foram realizadas os trabalhos:

W F=400 JW N=0

W f=−25 J

W P=−125 J

W if=∑W F i=125 J=Δ K

Isto significa que a energia cinética do corpo aumentou em 125J durante o seu movimento, rampa acima.

Teorema Trabalho-Energia

Portanto, se o corpo estivesse inicialmente em repouso e sua massa for de 10kg, sua velocidade terá aumentado para:Δ K=125 J

K F−K i=125

12mv f

2−12mvi

2=125

v f2=

2⋅12510

⇒

0

v f=5,0m / s

Potência

Taxa com que o trabalho é realizado:

P̄=WΔ t

Potência Média

Unidade:

[P]=[W ]

[Δ t ]=J / s=W (Watt )

Conta de Luz:

kW h ⇒ W=P̄⋅Δ t

Outras unidades:

1hp=1horsepower=745,7W

1hp=550 ft⋅lb / s

Potência

A potência instantânea

P= limΔ t→0

ΔWΔ t

ou ainda, usando a definição de trabalho:

W F =∫F dx ⇒ dW=F dx

⇒ P=dWdt

P=F dxdt

=Fdxdt

=F v x

com um pouco de formalismo vetorial é fácil demonstrar:

P=F⋅v