INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA

PROFESSOR: ELIOMÁCIO RABELO

CÁLCULO DA QUANTIDADE E DO CUSTO DE UMA

TRELIÇA DE MADEIRA P/ COBERTURAS

DIFERENTES, NUM VÃO DE 10,00 m DE LARGURA

LOCAIS: PARQUE DE EXPOSIÇÕES (PAVILHÃO DOS BOVINOS) E

REFEITÓRIO DO C.E.B.C.J.E.C (ESCOLA MUNICIPAL) – MORADA

NOVA-CE.

Morada Nova-CE

11 /Julho/2012.

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Equipe Acadêmica:

Raimundo Renato Sobrinho

José Frankson Bezerra Messias

Raimundo Pereira de Oliveira Filho

Pedro Henrique Nogueira de Oliveira

José Lindonésio Pinheiro Maia

Helenilce Pereira

1. INTRODUÇÃO E CONTEXTO:

É importante que o professor tente contextualizar e enxergar disciplinas, como

matemática e física, no seu dia-a-dia, e perceber que estas podem ser trabalhadas a

partir da observância de panoramas do cotidiano, de situações reais, focalizando o

contexto em que o conhecimento teórico se aplica à prática, permitindo uma melhor

compreensão e construção do conhecimento acadêmico do aluno.

A disciplina de Matemática, ministrada pelo professor Eliomácio Rabelo,

seguindo essa linha de pensamento, nos encarregou da resolução do seguinte

problema: QUAL A QUANTIDADE DE MADEIRA E O RESPECTIVO CUSTO PARA

A CONSTRUÇÃO DE UMA TRELIÇA (TESOURA) SIMPLES P/ COBERTURAS

DIFERENTES, NUM VÃO DE 10,00 m DE LARGURA?

Sendo de livre escolha dos acadêmicos, optamos por telhados planos em

duas águas: sendo o primeiro de telha cerâmica colonial, e, o segundo, de telha de

fibrocimento (cimento-amianto). Calculamos usando o mesmo modelo de treliça

(Howe) e mesma largura dos vãos: 10,00 metros. Concentramos, pois, nossos

esforços apenas nos cálculos relativos às tesouras (treliças isostáticas) que servem

para a sustentação das coberturas pesquisadas.

As coberturas executadas em chapas onduladas de fibrocimento (cimento-

amianto), apresentam vantagem econômica, pois necessitam de menor inclinação

do telhado, e, portanto, exige menor quantidade de madeira para sua confecção.

Vale ressaltar que a Matemática é uma ciência onde se trabalha muito com

abstração. Através da modelagem matemática, podemos aplicar muitos dos

conhecimentos de Matemática adquiridos até o atual estágio do curso de

Edificações, em situações práticas do cotidiano.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a

simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo

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empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia,

economia e engenharia. Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das

leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos e as leis de Newton

para mecânicos) ou dados experimentais.

Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para

justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações

diferenciais. Softwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas

soluções de tais modelos.

No nosso trabalho, utilizamos apenas o software Excel, da Microsoft, que

permite se trabalhar com planilhas eletrônicas, criação de fórmulas, entre outros

recursos, também aplicáveis à modelagem matemática, e suficiente para resolução

do problema ao qual nos propomos.

O tema para este estudo foi determinado pelo professor focando o que está

presente no nosso cotidiano, numa espécie de feedback dos conhecimentos teóricos

depreendidos em sala de aula e laboratório os quais demandam alguns cálculos, a

nível de ensino médio, bem como no cálculo da quantidade de materiais

(madeira) e seu respectivo custo.

2. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA E EMBASAMENTO TEÓRICO

Com o modelo matemático que iremos desenvolver, procuramos saber qual a

quantidade de madeira e o respectivo custo para a construção de uma tesoura

simples, utilizada em áreas cuja largura do vão não ultrapasse 10,0 metros.

2.1 Embasamento teórico

O modelo de tesoura que mais se emprega no Brasil, para estruturas de

madeira dos telhados residenciais é a tesoura inglesa ou howe, conforme vemos

na figura 1.

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Figura 1: tesoura inglesa ou howe

Esse modelo é indicado para construções de até 18,00 metros de vão, sendo

que para construções com largura entre 10 e 18 metros, faz-se necessário

confeccionar as tesouras com peças duplas. Além desta dimensão de vão, a

estrutura passa a ser onerosa e alta, razão pela qual deve-se optar por outros

modelos de estruturas.

A superfície de telhado pode ser formada por um ou mais planos (uma água,

duas águas, quatro águas ou múltiplas águas) ou por uma ou mais superfície curvas

(arco, cúpula ou arcos múltiplos).

A cobertura pode ser de telhas cerâmicas, telhas de concreto (planas ou capa

e canal) ou de chapas onduladas de cimento-amianto, aço zincado, madeira

aluminizada, PVC e fiber-glass. A figura 2 mostra um telhado com telhas de

fibrocimento..

Figura 2: Um dos pavilhões do Parque de Exposições de Morada Nova

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3. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

3.1. Cálculo da quantidade de madeira e o respectivo custo para a construção

de uma tesoura simples no pavilhão de bovinos localizado no Parque de

Exposições, com telhado em telha de fibrocimento (cimento-amianto) e vão de

10,00 metros.

Em primeiro lugar, criamos um modelo de cálculo da altura da tesoura (H) em

função da inclinação do telhado (I) e da largura do vão (L). Lembramos que a

inclinação desejada varia de acordo com o tipo de telha a utilizar. Nesse caso é a

telha de fibrocimento, o melhor aproveitamento dessa telha se dá com a inclinação

de 15° (27%). Utilizar esta inclinação sempre que possível.

Aplicando noções de trigonometria, temos:

1) Cálculo da altura: H (e-montante central):

Dados:

a/2 = larg.a dividida por 2, igual: 10,00 / 2 = 5,00 mI = inclinação do telhado- 0,00(em decimais) H = altura da tesoura (pendural), onde H = etgα = 15° = 0,27    

tgα = H /a/2 Outro forma de cálcular: H = tgα . a/2 H = I . a/2   H = tg15° . 5,00 H = 0,2679 . 5,00

resultado - H = 1,35 m

2) Comprovação do âng. de inclinação(I):Como:

H = I . a/2  I = H / a/2  

I = 1,35 / 5,00  

I = 27%

5

3) Cálculo das partes componentes da Tesoura (Treliça):

3.1) Cálculo do Banzo Superior- b (Empena):

b = a/2 / cos15°    b = 10/2 / cos 15° COS15° = 0,97  b = 5 / cos 15°  

Resultado - b = 5,18 m

3.2) Cálculo do reforço:

c = a/2 x 0,28c = 5,00 x 0,28  

Resultado - c = 1,40 m

3.3) Cálculo da diagonal (Escora):

d = a/2 x 0,27    d = 5,00x0,27  

Resultado - d = 1,35 m

Quanto a “a” (comprimento da linha ou tensor), este é igual a 10,00m (equivalente à largura do vão do Pavilhão de Bovinos).Conforme cálculo, H = altura da treliça (tesoura), ou também chamado de montante central, cujo resultado foi de 1,35 m.Vejamos os resultados encontrados:

resultados:    01 (uma) Linha ou tensor - a = 10,00 m

02 (dois) Banzo superior - b = 5,18 m01 (um) reforço - c = 1,40 m

02 (duas) escoras –diagonal - d = 1,35 m01 altura – montante central - e = 1,35 m

Soma dos componentes da treliça:T = a + 2.b +c+ 2.d + e    T = 10,00 + 2(5,18) + 1,40 + 2 (1,35) + 1,35T = 10,00 + 10,36 + 1,40 + 2,70 + 1,35

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Total = 25,81 metros      

A utilização do programa Excel foi importante no tocante à

comprovação do cálculo da quantidade total de madeira (em metros) de

uma treliça, nas dimensões especificadas.

Contudo, melhor que isso, conseguimos elaborar uma planilha

automatizada, após organização dos parâmetros e fórmulas dispostos

acima, chegando a uma fórmula geral de cálculo da quantidade de

madeira (em metros), conforme abaixo:

FÓRMULA GERAL CRIADA NO EXCEL

T. MADEIRA = (COMP. LINHA) + (2.COMP.EMPENA) + REFORÇO+ (2.COMP.ESCORA) + (COMP.PENDURAL)T = a + 2.b +c+ 2.d + e  

T= a + (2.( a/2 / cosα)) + (a/2.0,28) + (2.( a/2.0,27)) + ( tgα . a/2)

T = 10,00 + (2.(10/2/cos13°)) + (10/2.0,28) + (2.(10/2.0,27)) + (0,27.10/2)T = 10,00 + (2.(5,18)) + (1,40) + (2.(1,35)) + (1,35)T = 10,00 + (10,36) + (1,40) + (2,70) + (1,35)

T = 25,81 m

Conforme observamos, a fórmula criada gera um resultado

praticamente idêntico ao resultado comprovado nas fórmulas teóricas

acima.

Vejamos agora uma visualização do resultado geral obtido pela

planilha criada no Excel:

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3.2. Cálculo da quantidade de madeira e o respectivo custo para a construção

de uma tesoura simples no refeitório do Centro de Educação Básica Cel. José

Epifânio das Chagas (C.E.B.C.J.E.C), com telhado em telha cerâmica colonial e

vão de 10,00 metros

Seguindo a mesma linha de raciocínio e fórmulas, repetimos o modelo de

cálculo da altura da tesoura (H) em função da inclinação do telhado (I) e da largura

do vão (L). Lembramos que a inclinação desejada varia de acordo com o tipo de

telha a utilizar. Nesse caso é a telha cerâmica colonial, cuja inclinação varia de 20%

a 30%. Contudo, os projetistas costumam recomendar a inclinação de 25%, para

este tipo de telhado. Utilizar esta inclinação sempre que possível.

Aplicando noções de trigonometria, temos:

1) Cálculo da altura: H (e-montante central):

Dados:

a/2 = larg.a dividida por 2, igual: 10,00 / 2 = 5,00 mI = inclinação do telhado- 0,00(em decimais) H = altura da tesoura (pendural), onde H = etgα = 17° = 0,30    

tgα = H /a/2 Outro forma de cálcular: H = tgα . a/2 H = I . a/2   H = tg17° . 5,00 H = 0,30 . 5,00

resultado - H = 1,50 m

2) Comprovação do âng. de inclinação(I):Como:

H = I . a/2  I = H / a/2  

I = 1,50 / 5,00  

I = 30%

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3) Cálculo das partes componentes da Tesoura (Treliça):

3.1) Cálculo do Banzo Superior- b (Empena):

b = a/2 / cos17°    b = 10/2 / cós 17° COS17° = 0,96  b = 5 / cos 17°  

Resultado - b = 5,23 m

3.2) Cálculo do reforço:

c = a/2 x 0,26c = 5,00 x 0,26  

Resultado - c = 1,30 m

3.3) Cálculo da diagonal (Escora):

d = a/2 x 0,348    d = 5,00 x 0,348  

Resultado - d = 1,74 m

Quanto a “a” (comprimento da linha ou tensor), este é igual a 10,00m (equivalente à largura do vão do Refeitório).Conforme cálculo, H = altura da treliça (tesoura), ou também chamado de montante central, cujo resultado foi de 1,50 m.Vejamos os resultados encontrados:

resultados:    01 (uma) Linha ou tensor - a = 10,00 m

02 (dois) Banzo superior - b = 5,23 m01 (um) reforço - c = 1,30 m

02 (duas) escoras –diagonal - d = 1,74 m01 altura – montante central - e = 1,50 m

Soma dos componentes da treliça:

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T = a + 2.b +c+ 2.d + e    T = 10,00 + 2(5,23) + 1,30 + 2 (1,74) + 1,50T = 10,00 + 10,46 + 1,30 + 3,48 + 1,50Total = 26,74 m      

Conforme já dissemos, a utilização do programa Excel foi importante

no tocante à comprovação do cálculo da quantidade total de madeira (em

metros) de uma treliça, nas dimensões especificadas.

Desse modo, nessa segunda simulação, utilizamos novamente a

planilha automatizada, chegando ao resultado de cálculo da quantidade

de madeira (em metros), conforme abaixo:

FÓRMULA GERAL CRIADA NO EXCEL

T. MADEIRA = (COMP. LINHA) + (2.COMP.EMPENA) + REFORÇO+ (2.COMP.ESCORA) + (COMP.PENDURAL)T = a + 2.b +c+ 2.d + e  T= a + (2.( a/2 / cosα)) + (a/2.0,26) + (2.( a/2.0,348)) + ( tgα . a/2)T = 10,00 + (2.(10/2/cos17°)) + (10/2.0,26) + (2.(10/2.0,348)) + (0,30.10/2)T = 10,00 + (2.(5,23)) + (1,30) + (2.(1,74)) + (1,50)T = 10,00 + (10,46) + (1,30) + (3,48) + (1,50)T = 26,74 m

Conforme observamos, a fórmula criada gera um resultado

praticamente idêntico ao resultado comprovado nas fórmulas teóricas

acima.

Vejamos agora uma visualização do resultado geral obtido pela

planilha criada no Excel:

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4. TABELAS E GRÁFICOS (MATERIAL UTILIZADO)

Na execução dos trabalhos, fizemos uso dos seguintes materiais:

Trena plástica de 10 metros

Trena metálica de 6 metros

Software Microsoft Excel

Consulta e elaboração de projetos no Autocad

O Autocad, ferramenta indispensável atualmente na área de Engenharia, e em

outras áreas diversas, também foi utilizada na simulação das dimensões das

treliças, onde pudemos averiguar as dimensões e os ângulos de inclinação dessas

estruturas.

Vejamos, abaixo, as duas treliças desenhadas e simuladas no Autocad:

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Simulação no Gráfico dos custos entre as duas treliças:

LARGURA DO IMÓVEL COMPARATIVO

TIPO DE TELHA/TELHADOVÃO (m) CUSTO R$

CUSTO REDUZIU EM:4%

COLONIAL 1

0,00 334

,25

CIMENTO AMIANTO 1

0,00 322

,54

Gráfico:

O gráfico abaixo, nos fornece uma visão de que o tipo de telha e a

conseqüente inclinação do telhado têm influência no custo de fabricação de uma

tesoura, e que as telhas de fibrocimento (cimento-amianto) apresentam vantagem

econômica, pois necessitam de menor inclinação.

316,00318,00320,00322,00324,00326,00328,00330,00332,00334,00336,00

COLONIAL FIBROCIMENTO

Custo para uma tesoura de 10 m

CUSTO R$

Gráfico 1 –comparativo dos valores quanto ao tipo de telha.

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COMPARATIVO DE CUSTOS DE TELHADOS

0 100 200 300 400 500 600

1

2

3

4

5

6

quantidade madeira gasta (m) R$25,80 quantidade madeira gasta (m)

CUSTO (R$) P/ DA MASSARANDUBA2R$ 541,86 CUSTO (R$) P/ DAMASSARANDUBA2

CUSTO (R$) DA MADEIRA (MISTA) R$258,03 CUSTO (R$) DA MADEIRA(MISTA)

CUSTO (R$) DA MADEIRA(MASSARANDUBA1) R$ 322,54 CUSTO (R$) DA MADEIRA(MASSARANDUBA1)

TELHADO COM TELHA DEFIBROCIMENTO TELHADO COMTELHA DE FIBROCIMENTO

Simulação de custos de madeira

y = 312,54x - 302,54

R2 = 1

-

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00

400,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5

COLONIAL

CIMENTO AMIANTO

Linear (CIMENTO AMIANTO)

Conforme observamos, na planilha do Excel constam os valores (custos) das

madeiras mais comuns utilizadas na confecção de treliças (tesouras) para telhados,

onde esse custo varia de R$ 322,54 a R$ 541,86.

TELHADO COM TELHA DE FIBROCIMENTO TELHADO COM TELHA CERÂMICA COLONIALCUSTO (R$) DA MADEIRA (MASSARANDUBA1) R$ 322,54

CUSTO (R$) DA MADEIRA (MASSARANDUBA1) R$ 334,25

CUSTO (R$) DA MADEIRA (MISTA) R$ 258,03 CUSTO (R$) DA MADEIRA (MISTA) R$ 267,40

CUSTO (R$) P/ DA MASSARANDUBA2 R$ 541,86 CUSTO (R$) P/ DA MASSARANDUBA2 R$ 561,55

Quantidade madeira gasta (m) R$ 25,80 quantidade madeira gasta (m) R$ 26,74

Simulamos, ainda, o comportamento do custo em relação às inclinações dos

telhados, e, conforme gráfico abaixo, vimos que essa variação é praticamente linear.

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Gráfico 2 – custo de uma tesoura para casa com 10m de largura e sua variação quanto à

inclinação do telhado

Os gráficos acima, nos fornecem uma visão de que o tipo de telha e a

conseqüente inclinação do telhado têm influência no custo de fabricação de uma

tesoura, e que as telhas de cimento-amianto apresentam vantagem econômica, pois

necessitam de menor inclinação.

Simulamos, ainda, o comportamento do custo em relação às inclinações dos

telhados, e, conforme o gráfico acima, vimos que essa variação é praticamente

linear.

Os modelos matemáticos foram criados de tal forma que as partes possam

ser calculadas com os dados iniciais referentes ao comprimento da tesoura (a), e a

inclinação desejada (I).

No programa que fizemos, utilizando o Excel, usamos uma seqüência, onde cada

fórmula utiliza resultados da anterior, para simplificar a digitação.

Para que os cálculos com utilização dos modelos resultassem em uma

aproximação confiável, consideramos nas medições sempre o lado extremo da peça

a ser calculada, considerando, inclusive, que as peças poderão ficar sobrepostas ao

serem pregadas umas às outras, como podemos ver nas figuras dos anexos.

Pelos resultados obtidos, podemos observar que a inclinação do telhado implica

na quantidade de madeira a ser utilizada para a construção das tesouras, bem como

respectivo custo. Cada tipo de telha a ser escolhido, em função de sua

característica, tem uma recomendação específica no que diz respeito à declividade

da estrutura.

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Esse trabalho foi de grande valia para todos nós, pois nos possibilitou explorar a

aplicabilidade da matemática nas situações do cotidiano da construção civil.

É interessantíssimo concluir que na confecção de uma simples treliça

(tesoura) de um do telhado, podemos utilizar vários conhecimentos matemáticos

como: regra de três, teorema de Pitágoras, radiciação, trigonometria, geometria, e

outros mais. Por outro lado, tivemos a oportunidade de explorar um pouco mais os

recursos tecnológicos que temos, como por exemplo, o software Excel, o Autocad.

A partir dessa experiência, temos mais uma ferramenta que pode ser utilizada

como estratégia de ensino, que é a arte de modelar, matematicamente. Esse

método conduz, também, a um trabalho de natureza interdisciplinar, o qual requer

diálogo constante com outras áreas do conhecimento.

Entendemos que existe um campo muito vasto a ser explorado em relação a

esse assunto, cabendo, pois, ao professor cobrar atividades desse tipo,

contextualizadas e dinâmicas, instigando o aluno à busca do conhecimento.

5. REFERÊNCIAS:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Modelagem_matemática

BARBOSA, Jonêi Cerqeira. O que pensam os professores sobre a Modelagem

Matemática? Zetetiké – CEMPEM – FE/UNICAMP. v.7, n. 11. Jan/Jun, 1999.

BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem Matemática e Implicação no Ensino e

Aprendizagem de Matemática. Blumenau: FURB, 1999.134p.

MOLITERNO, Antonio. Caderno de projetos de telhados em estruturas de madeira.

São Paulo: Edgard Blücher, 2 ed., 1999. 461p.

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CERVI, Angéli, BINS Rosane, DECKERT, Taila. Acadêmicas do Curso de

Matemática - Licenciatura A Modelagem Matemática na construção de telhados com

diferentes tipos de telhas

6– ANEXOS: Fotos da atividade:

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