IntroduçãoÁlgebra linear é uma parte da Álgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaços vetoriais e transformações lineares. Todos esses itens servem para um estudo detalhado de sistemas lineares de equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear ser um campo abstrato da Matemática, ela tem um grande número de aplicações dentro e fora da matemática.Tanto a álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial às Engenharias.Será abordada um tipo especial de funções, chamadas transformações lineares. Essas funções ocorrem com freqüência em Álgebra Linear e em outros campos da matemática, além de serem importantes numa vasta gama de aplicações.

Transformações LinearesComo introdução à definição de transformação linear, consideremos dois exemplos. Recorde-se que uma aplicação (ou função) de um conjunto sobre outro é uma regra que, a cada elemento do primeiro conjunto (conjunto de partida), faz corresponder um e um só elemento do segundo (conjunto de chegada).As transformações lineares são aplicações entre dois espaços vetoriais que, num certo sentido, preservam as operações de adição e multiplicação escalares definidas nesses espaços. A importância de que se revestem na resolução de diversos problemas de Engenharia, tornam as transformações lineares um tema obrigatório de estudo num curso introdutório de Álgebra Linear.

2.1.1 Exemplo. Reflexão em torno do eixo dos xx.

Seja em R2 a função T definida por T(x, y) = (x, – y). Geometricamente, T toma cada vetor do R2 e o reflete em torno do eixo dos xx.

Essa função, como será visto, é uma transformação linear.

2.1.2 Exemplo. Considere a expressão matricial de um sistema de equações lineares Ax

= b, onde A é uma matriz mxn, x Rn e b Rm. Na condição de equação busca-se

conhecer x quando A e b são dados. De outro modo, dada a matriz A, a equação Ax =

b, pode ser vista assim: "Diga-me um vetor x em Rn e eu te direi um vetor b em Rm",

isto é, a matriz A representa a função com domínio Rn e contra domínio Rm, onde a

imagem de cada x Rn é b = Ax Rm. Essa função tem as seguintes propriedades: A(x

+ y) = Ax + Ay e - A(x) = Ax com R, que caracterizam as transformações

lineares.

2.1.3 Definição. Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T de V em W é uma função (ou aplicação) que a cada v V faz corresponder um único T(v) W e que satisfaz as seguintes duas condições:

u, v V e R,(i) T (u + v) = T (u) + T (v);(ii) T (v) = T (v).

Observações. Foi escrito T: VW para indicar que T aplica vetores do espaço vetorial V em

vetores do espaço vetorial W. Isto é, T é uma função com domínio V, contra domínio W e cuja imagem é um subconjunto de W;

T(v) é lido "T de v", de modo análogo à notação funcional f (x), que é lida "f de x";

Uma transformação linear T:VV, que tem como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial V é também chamada de operador linear;

As duas condições (i) e (ii) da definição 2.1.3, acima, podem ser aglutinadas numa só:

T(u + v) = T(u) + T(v).

2.1.4 Exemplo. Uma transformação linear do R2 em R3.

Indica-se dois modos usados para definir uma função.

T: R2 R3; T(x, y) = (x, x – y, y) ou T: R2R3

(x, y) (x, x – y, y)

a) T(2, – 1) = (2, 3, – 1); assim o vetor (2, 3, – 1) R3 é a imagem, por T, do vetor (2, – 1) R2.

Do mesmo modo:T(0, 2) = (0, – 2, 2)T(a, a) = (a, 0, a), a R.

b) O vetor do R2 cuja imagem pela aplicação T seja (2, – 2, 4).(x, x – y, y) = (2, – 2, 4) x = 2 e y = 4Portanto T(2, 4) = (2, – 2, 4).

c) Prova de que T é linear

Sejam u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R.

(i) T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)= (x1 + x2, (x1 + x2) – (y1 + y2), y1 + y2)= (x1 + x2, x1 + x2 – y1 – y2, y1 + y2)= (x1, x1 – y1, y1) + (x2, x2 – y2, y2)= T(x1, y1) + T(x2, y2)

= T(u) + T(v)

(ii) T(v) = T((x2, y2))= T( x2, y2)= (x2, x2 – y2, y2)= (x2, x2 – y2, y2)= T(x2, y2)= T(v)

Por (i) e (ii), T é uma transformação linear.

2.1.5 Exemplo. f : R2 R2

(x, y) (x + 2y, 2x – 3y)

a) A imagem de u = (2, 1) pela f é (4, 1);

b) A imagem de v = (– 1, 3) pela f é (5, – 11);

c) A imagem de u + v pela f é (9, – 10);

d) Comparando c) com a) e b) podemos ver que f (u + v) = f (u) + f (v).

e) A imagem de 2u pela f é (8, 2)

f) Comparando e) com a) temos que f (2u) = 2f (u);

g) Geometricamente:

h) f é linear. Prova:

Sejam u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R:

(i) f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2 + 2(y1 + y2), 2(x1 + x2) – 3(y1 + y2) )= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, 2x1 + 2x2 – 3y1 – 3y2)= (x1 + 2y1, 2x1 – 3y1) + (x2 + 2y2, + 2x2 – 3y2)= f (x1, y1) + f (x2, y2)= f (u) + f (v)

(ii) f (v) = f ((x2, y2))

= f (x2, y2)= (x2 + 2y2, 2x2 – 3y2)= (x2 + 2y2, 2x2 – 3y2)= f (x2, y2)= f (v)

Por (i) e (ii), f é linear.

2.1.6 Exemplo. A transformação nula é linear.

Sejam V e W dois espaços vetoriais e seja T: VW definida por T(v) = 0, v V.

Prova. Sejam u, v V e R.

(i) T(u + v) = 0= 0 + 0= T(u) + T(v)

(ii) T(v) = 0 = .0 = T(v)

Por (i) e (ii), a transformação nula é uma transformação linear.2.1.7 Exemplo. Escrevendo a transformação linear nula do R3 em R5, temos:

T:R3R5; T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0)ou

T:R3R5

(x, y, z) (0, 0, 0, 0, 0)ou simplesmente

T(x, y, z) = (0, 0, 0, 0, 0).

2.1.8 Exemplo. A transformação identidade:

I:VV definida por I(v) = v.

a) Verifiquemos que I é linear:Sejam u, v V e R.

(i) I(u + v) = u + v= I(u) + I(v)

(ii) I(v) = v= I(v)

Por (i) e (ii), I é uma transformação linear.

b) Escrevendo as funções identidades I1 em R2 e I2 em R3.

I1 (x, y) = (x, y) e I2 (x, y, z) = (x, y, z).

2.1.9 Exemplo. Uma transformação reflexão;

T: R2 R2 definida por T(x, y) = (– x, y).

a) Interpretando T geometricamente.

b) T é linear pois:

Para u = (x1, y1) R2, v = (x2, y2) R2 e R, temos

(i) T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2)= (– x1 – x2, y1 + y2)= (– x1, y1) + (– x2, y2)= T(u) + T(v)

(ii) T(v) = T(x2, y2) = (– x2, y2) = (– x2, y2) = T(v).

2.1.10 Exemplo. Uma transformação de Rn Rm dada pela multiplicação por uma

matriz mxn.

Seja A uma matriz mxn e T: Rn Rm definida por T(v) = Av. Aqui Av é o produto da matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1. T é linear.

Prova. Sejam u, v Rn e R. (i) T(u + v) = A(u + v)

= Au + Av (propriedade do produto de matrizes)= T(u) + T(v)

(ii) T(v) = A(v) = (Av) (propriedade do produto de matrizes) = T(v)

Por (i) e (ii), a transformação T é uma transformação linear.

Assim:* Toda matriz Amxn pode ser usada para definir uma transformação linear TA : Rn Rm

onde a imagem TA (v) é o produto da matriz Amxn pelo vetor coluna vnx1.

2.1.11 Exemplo. Escrevendo as transformações lineares TA, TB, TC e TD determinadas respectivamente pelas matrizes:

Temos: TA : R2 R3; TA (x, y) = (2x – y, 3x + y, 2x), que é a transformação obtida pelo

produto da matriz A3x2 pelo vetor v2x1= ;

TB : R2 R2; TB (x, y) = (2x + 3y, 4x – y);

TC : R4 R; TC (x, y, z, t) = (x + 2y – 3z);

TD : R R3; TD (x) = (x, 0, – 5x).

2.1.12 Exemplo. Considere os operadores lineares P1, P2 e P3 em R3 definidos por

P1(x, y, z) = (x, y, 0), P2(x, y, z) = (x, 0, z) e P3(x, y, z) = (0, y, z). Temos:

P1(2, 4, 6) = (2, 4, 0) (fig (a)) P2(2, 4, 6) = (2, 0, 6) (fig (b)) P3(2, 4, 6) = (0, 4, 6)

Observemos que P1, P2 e P3 projetam os vetores de R3 nos planos xOy, xOz e yOz, respectivamente.2.1.13 Exemplo. T:MmxnMnxm; T(A) = At, é a transformação linear transposição.

Prova. Seja A, B Mmxn e R:

(i) T(A + B) = (A + B)t

= At + Bt (propriedade da transposição)= T(A) + T(B)

(ii) T(A) = (A)t

= (At) (propriedade da transposição)= T(A)

Por (i) e (ii), T é linear.

2.1.14 Exemplo. Uma transformação não linear f de R em R .

f : R R; f (x) = 2x + 3.

Prova. Seja u = x1 R, v = x2 R e R.

(i) f (u + v) = f (x1 + x2)= 2(x1 + x2) +3= 2x1 + 2x2 + 3 (1)

f (u) + f (v) = f (x1) + f (x2)

= 2x1 + 3 + 2x2 + 3 = 2x1 + 2x2 + 6 (2)

Como (1) (2), temos que f (u + v) f (u) + f (v), o que é suficiente para provarmos que T não é linear.

Podemos usar um contra-exemplo como prova de que f não é linear.

f (2 + 5) = f (7)= 17

e f (2) + f (5) = 7 + 13= 20

Como f (2 + 5) f (2) + f (5), f não é linear.

Observação. As únicas transformações lineares de R em R são as funções da forma f (x) = mx onde m é um número real qualquer. Ou seja, dentre todas as funções cujos gráficos são retas, as lineares são, somente, aquelas que passam pela origem. Em cálculo, uma função linear é definida na forma f (x) = mx + b. Assim, nós podemos dizer que uma função linear é uma transformação linear de R em R somente se b = 0.

2.1.15 Exemplo. T: R2 R3; T(x, y, z) = (x2, y, 2z). T não é uma transformação linear.

Prova. Tomando os vetores u = (1, 2, – 1) e v = (3, – 1, 4) em R3 temos

T(u + v) = T(4, 1, 3)= (16, 1, 6)

e T(u) + T(v) = (1, 2, – 2) + (9, – 1, 8)= (10, 1, 6)

Como T(u + v) T(u) + T(v), T não é linear.

2.1.16 Propriedades das transformações lineares.

Propriedade 1. Se T:VW é uma transformação linear então T(0) = 0, ou seja, a imagem do vetor 0V é o vetor 0W.

De fato, tomando = 0 na condição (ii) da definição de transformação linear

temos

T(0) = T(0.v) = 0T(v) = 0.

Observação. Essa propriedade fornece um argumento rápido para verificar que uma transformação não é linear. No caso do exemplo 2.1.14 veja que f (0) = 3 0, e assim, f não é linear. Mas cuidado, o fato de se ter numa transformação a imagem nula para o vetor nulo não implica que ela seja linear. Ver exemplo 2.1.15.

Propriedade 2. Se T:VW é uma transformação linear temos:

T(1v1 + 2v2) = T(1v1) + T(2v2) = 1T(v1) + 2T(v2), 1, 2 R e v1, v2

V.

Este fato pode ser generalizado. Assim,

T(1v1 + 2v2+ + nvn) = 1T(v1) + 2T(v2) + + n(vn),

ou seja, a imagem de uma combinação linear de vetores de V é a combinação linear, de mesmos escalares, das imagens T(v1), T(v2), ..., T(vn).

Um fato muito importante, que decorre dessa propriedade: Uma transformação linear fica completamente determinada se conhecemos as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial domínio.

Assim, se T:VW é uma transformação linear, então nós só precisamos saber como T atua nos vetores de uma base de V para determinarmos a imagem de qualquer outro vetor de V. Para ver esse fato tomemos, = {v1, v2, ..., vn}, uma base de V e qualquer outro vetor v de V. Como é uma base de V, existem únicos escalares 1, 2, ..., n tais que:

v = 1v1+ 2v2 + + nvn.

Assim,

T(v) = T(1v1+ 2v2 + + nvn)

e, sendo T linear, temos

T(v) = 1T(v1)+ 2T(v2) + + nT(vn).

2.1.17 Exemplo. Seja a transformação linear T:R3 R3 e sejam

T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, – 3).

Vamos usar a propriedade 2 para:a) Calcular T(3, – 4, 5).O vetor (3, – 4, 5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), assim:(3, – 4, 5) = 3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1).

Então,

T(3, – 4, 5) = T[(3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)]= 3 T(1, 0, 0) + (– 4) T(0, 1, 0) + 5 T(0, 0, 1). = 3(2, 3) + (– 4)(– 1, 4) + 5(5, – 3)= (6, 9) + (4, – 16) + (25, – 15)= (35, – 22)

b) Calcular a imagem de um vetor do R3.Procederemos da mesma maneira, considerando o vetor (x, y, z), que expressa um vetor qualquer do R3.

Como (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1),

T(x, y, z) = T( x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1) )= x T(1, 0, 0) + y T(0, 1, 0) + z T(0, 0, 1)= x (2, 3) + y (– 1, 4) + z (5, – 3)= (2x, 3x) + (– y, 4y) + (5z, – 3z)= (2x – y + 5z, 3x + 4y – 3z)

ou seja, a transformação linear T, tal que T(1, 0, 0) = (2, 3), T(0, 1, 0) = (– 1, 4) e T(0,

0, 1) = (5, – 3) é:

T:R3R2; T(x, y, z) = (2x – y + 5x, 3x + 4y – 3z).

Retome a parte (a) desse exemplo e confirme o resultado lá obtido.

2.1.18 Exemplo. Escreva a lei que define a transformação linear f : R2 R3 sabendo

que

f (1, 1) = (3, 2, 1) e f (0, – 2) = (0, 1, 0).

Seja (x, y) o vetor genérico do R2. Como {(1, 1), (0, – 2)} não é a base canônica do R2

devemos, primeiro, conhecer as coordenadas de um vetor qualquer do R2, em relação a

essa base. Então, escrevendo o vetor genérico do R2 como combinação linear dos

vetores (1, 1) e (0, – 2) temos:

(x, y) = a(1, 1) + b(0, – 2) a = x e

Assim:

(x, y) = x(1, 1) + (0, – 2)

e, agora, podemos conhecer f (x, y).

f (x, y) = f (x(1, 1) + (0, – 2)

=

= x f (1, 1) + f (0, – 2)

= x(3, 2, 1) + (0, 1, 0)

= (3x, 2x, x) +

= .

Definição 102 Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma Transformação Linear (aplicação linear) é uma função de V em W, T : V W, que satisfaz as seguintes condições:- Qualquer que sejam u e v em V, T(u + v) = T(u) + T(v)- Qualquer que sejam k ϵ R e v em V, T(kv) = kT(v)

Exemplo 103 : Um agricultor planta e comercializa três tipos de verduras: Tomate, Batata, Cenoura. Sejam x1, x2, x3 as quantidades em quilos de Tomate, Batata, Cenoura respectivamente. Se o agricultor vende o quilo do tomate a R$ 2,00, da batata a R$ 1,50 e da cenoura a R$ 1,90 ,então o total de vendas (TV ) é dado por 2x1 + 1,5x2 + 1,9x3. A aplicação que a cada tripla (x1, x2, x3) ϵ R3 associa o total de vendas TV (x1, x2, x3) é uma aplicação linear. Matematicamente temos uma transformação linear do E.VR3 no E.VR:TV : R3 RTV (x1, x2, x3) = 2x1 + 1,5x2 + 1,9x3

Vamos agora mostrar que de fato esta aplicação é uma transformação linear. Chamando u = (x1, x2, x3) ϵ R3; v = (y1, y2, y3) ϵ R3 e k ϵ R temos:i)TV (u + v) = TV ((x1, x2, x3) + (y1, y2, y3))= TV (x1 + y1; x2 + y2; x3 + y3)= 2(x1 + y1) + 1,5(x2 + y2) + 1,9(x3 + y3)= 2x1 + 1,5x2 + 1,9x3 + 2y1 + 1,5y2 + 1,9y3

= (2x1 + 1,5x2 + 1,9x3) + (2y1 + 1,5y2 + 1,9y3)

TV(u) = T(x1, x2, x3) = 2x1 + 1,5x2 + 1,9x3

TV(v) = T(y1, y2, y3) = 2y1 + 1,5y2 + 1,9y3

TV(u) + TV(v) = (2x1 + 1,5x2 + 1,9x3) + (2y1 + 1,5y2 + 1,9y3)Logo TV (u + v) = TV (u) + TV (v):ii)TV(ku) = TV(k(x1, x2, x3))= TV(kx1, kx2, kx3)= 2kx1 + 1,5 kx2 + 1,9 kx3

= k(2x1 + 1,5x2 + 1,9x3)= kT(u)Logo TV (ku) = kTV (u). De i) e ii) vê-se que TV é uma transformação linear.

Bibliografia

Luz, Carlos; Matos, Ana; Nunes, Sandra. Transformações Lineares. Escola Superior de Tecnologia de Setúbal, 2005.

http://hermes.ucs.br/ccet/deme/vslavier/alglin/t_linear/trans_linear.htm

Aguiar, Rogério de. Apostila de Álgebra. CCT – UDESC, Joinville, 2008.