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Tracciamento deiDiagrammi di Bode
G. Oriolo
Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale
Sapienza Universita di Roma
October 25, 2018
diagrammi di Bode
• rappresentazioni grafiche separate del modulo |W (jω)| e della fase6 W (jω) del numero complesso W (jω) al variare di ω ∈ (0,+∞)
Re
Im
W(j!)
W(j!)
W(j!)
Re[ ]W(j!)
]Im[W(j!)
• essendo
6 (1/W (jω)) = −6 W (jω) (∗)
le fasi di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelle di W (jω)
• sia W (s) = W1(s) ·W2(s); essendo
6 (W1(jω) ·W2(jω)) = 6 W1(jω) + 6 W2(jω) (∗∗)
le fasi di W (jω) si ottengono sommando quelle di W1(jω) e W2(jω)
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 1
• il modulo |W (jω)| non gode di proprieta come le (∗),(∗∗) ⇒ si passa al
logaritmo; in particolare, il modulo si esprime in decibel (dB)
|W (jω)|dB = 20 log10 |W (jω)|
• essendo
|1/W (jω)|dB = − |W (jω)|dB (�)
i moduli in dB di 1/W (jω) si ottengono ribaltando quelli di W (jω)
• sia W (s) = W1(s) ·W2(s); essendo
|W1(jω) ·W2(jω)|dB = |W1(jω)|dB + |W2(jω)|dB (��)
i moduli in dB di W (jω) si ottengono sommando quelli di W1(jω) e
W2(jω)
• alcuni valori notevoli
|0.1|dB = −20, |1|dB = 0, |10|dB = 20, |100|dB = 40,∣∣∣√2
∣∣∣dB≈ 3
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 2
• le pulsazioni vengono riportate sull’asse delle ascisse usando una scala
logaritmica in base 10
0.1
decadedecade
0.01 101 1000.2 0.3 2 3 4 5 6
!
• la funzione log10(ω) e lineare in tale scala
10-2
10-1
100
101
102
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
! (scala logaritmica)
log 10!
• i diagrammi di alcune funzioni elementari (fattori monomio, binomio e
trinomio, vedi piu avanti) assumono una forma particolarmente semplice
• un altro vantaggio derivante dall’adozione delle scale logaritmiche (in
ascissa per le pulsazioni, e in ordinata per i moduli) e ovviamente la
possibilita di rappresentare ampi intervalli di variazione delle grandezze
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 3
forma di Bode della risposta armonica
W (jω) = costante
∏monomi
∏binomi
∏trinomi∏
monomi∏
binomi∏
trinomi
contiene 4 tipi di fattori elementari
• costante k
• monomio jω
proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)
in s = 0
• binomio 1 + jωτ
proviene da uno zero (se a numeratore) o da un polo (se a denominatore)
reale in −1/τ
• trinomio 1 + 2ζjω/ωn + (jω)2/ω2n
proviene da una coppia di zeri (se a numeratore) o di poli (se a denomi-
natore) complessi coniugati in a± jb, con ωn =√a2 + b2 e ζ = −a/ωn
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 4
fattore costante k
sul piano complesso
(e.g., k1 = 10, k2 = 0.5, k3 = −10)Re
Im
k1k3 k2
modulo
fase
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 5
fattore monomio a numeratore jω
sul piano complessoRe
Im
!
90o e si ha |jω|dB = 20 log10 ω
modulo
10-2
10-1
100
101
102
- 40
- 20
0
20
40
Pulsazione (rad/s)M
odulo (d
B) 20 dB/dec
fase
10-2
10-1
100
101
102
0
20
40
60
80
100
Pulsazione (rad/s)
Fase
(d
eg)
90
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 6
fattore monomio a denominatore 1/jω
dalle (�), (∗) si ha
modulo
10-2
10-1
100
101
102
- 40
- 20
0
20
40
Pulsazione (rad/s)
Modulo (d
B)
-20 dB/dec
fase
10-2
10-1
100
101
102
- 100
- 80
- 60
- 40
- 20
0
Pulsazione (rad/s)
Fase
(d
eg)
- 90
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 7
fattore binomio a numeratore 1 + jωτ
sul piano complesso
Re
Im
1
!¿
¿ > 0
oppureRe
Im
1
!¿
¿ < 0
• modulo: |1 + jωτ |dB = 20 log10
√1 + ω2τ2; essendo
√1 + ω2τ2 ≈
1 se ω � 1/|τ |
ω|τ | se ω � 1/|τ |si ha
|1 + jωτ |dB ≈
0 se ω � 1/|τ |
20 log10 ω + 20 log10 |τ | se ω � 1/|τ |
queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo
nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha proprio in
corrispondenza alla pulsazione di rottura 1/|τ | e vale |1 + jτ/|τ | |dB = 20 log10
√2 ≈ 3
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 8
• fase: procedendo in modo analogo si ha
6 1 + jωτ ≈
0◦ se ω � 1/|τ |
90◦ (−90◦) se ω � 1/|τ | e τ > 0 (τ < 0)
questi due asintoti vengono raccordati da un segmento che parte da
0.1/|τ | e termina in 10/|τ | ; il diagramma asintotico della fase e quindi
costituito da una spezzata a tre lati
nota: lo scostamento max tra il diagramma reale e quello asintotico si ha in corrispon-
denza alle pulsazioni 0.1/|τ | e 10/|τ , e vale circa ±6◦
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 9
fattore binomio a numeratore 1 + jωτ
modulo
0
10
20
30
40
Pulsazione (rad/sec)
Modu
lo (dB
)
3
1¿
fase
per τ > 0
1 10
0
45
90
0.1¿
Fas
e (d
eg)
84
6
Pulsazione (rad/sec)
20.5
63
27
¿¿ ¿ ¿
fase
per τ < 0
-90
-45
0
Fas
e (d
eg)
-6
-84
Pulsazione (rad/sec)
0.1¿
1¿
10¿
-27
-63
0.5¿
2¿
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 10
fattore binomio a denominatore 1/(1 + jωτ)
dalle (�), (∗) si ha
modulo
-40
-30
-20
-10
0
Modu
lo (dB
)
-3
Pulsazione (rad/sec)
1¿
fase
per τ > 0
-90
-45
0
Fas
e (d
eg)
-6
-84
Pulsazione (rad/sec)
0.1¿
1¿
10¿
-27
-63
0.5¿
2¿
fase
per τ < 0
1 10
0
45
90
0.1¿
Fas
e (d
eg)
84
6
Pulsazione (rad/sec)
20.5
63
27
¿¿ ¿ ¿
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 11
fattore trinomio a numeratore 1 + 2ζjω/ωn + (jω)2/ω2n
sul piano complesso
Re
1-1 0
1
Im
3³
2³
1³
³
= 0³
>123
>³ ³ ³ > 0
• modulo: essendo∣∣∣∣∣1 + 2ζ
ωn(jω) +
(jω)2
ω2n
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣1− ω2
ω2n
+ j2ζω
ωn
∣∣∣∣∣ =
√√√√(1−ω2
ω2n
)2
+ 4ζ2ω2
ω2n
si ha ∣∣∣∣∣1 + 2ζ
ωn(jω) +
(jω)2
ω2n
∣∣∣∣∣ ≈
1 se ω � ωn
ω2
ω2n
se ω � ωn
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 12
da cui∣∣∣∣∣1 + 2ζ
ωn(jω) +
(jω)2
ω2n
∣∣∣∣∣dB
≈
0 se ω � ωn
40 log10 ω − 40 log10 ωn se ω � ωn
queste due semirette costituiscono il diagramma asintotico del modulo
nota: lo scostamento tra il diagramma reale e quello asintotico in corrispondenza allapulsazione naturale ωn vale 20 log10 2|ζ|
– dipende da |ζ|! e.g., per |ζ| = 0 lo scostamento in dB vale −∞, per |ζ| = 0.5 vale0, per |ζ| = 1 vale 6
– se |ζ| < 1/√
2 ≈ 0.707, il modulo di un fattore trinomio a numeratore ha un ‘picco’negativo (antirisonanza) in prossimita della pulsazione naturale, tanto piu accen-tuato quanto minore e |ζ|
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 13
• fase: procedendo in modo analogo si ha
6(
1 + 2ζ
ωn(jω) +
(jω)2
ω2n
)≈
0◦ se ω � ωn
180◦ (−180◦) se ω � ωn e ζ > 0 (ζ < 0)
la transizione tra questi due valori avviene in modo simmetrico rispetto
alla pulsazione naturale ωn, e tanto piu bruscamente quanto minore
e |ζ|; in particolare, per ζ = 0 si ha una discontinuita nel diagramma
delle fasi in corrispondenza a ωn
nota: non esiste un diagramma asintotico per la fase del termine trinomio
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 14
fattore trinomio a numeratore
modulo
al variare di |ζ|(antirisonanza per |ζ| < 0.707)
-40
-20
0
20
40
60
0.10.3
0.5
0.71
0
Modu
lo (dB
)
!n 10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)
fase
al variare di ζ ≥ 0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1800.1 0.3
0.50.7
1 0
!nFas
e (d
eg)
10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)
fase
al variare di ζ ≤ 0
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
!n 10!n0.1!n
Fas
e (d
eg)
-10
Pulsazione (rad/sec)
-0.5-0.7
-0.3
-0.1
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 15
fattore trinomio a denominatore
dalle (�), (∗) si ha
modulo
al variare di |ζ|(risonanza per |ζ| < 0.707)
-40
-20
0
20
40
60
Modu
lo (dB
)
!n 10!n0.1!n
1
0
Pulsazione (rad/sec)
0.10.30.5
0.7
fase
al variare di ζ ≥ 0
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
!n 10!n0.1!n
Fas
e (d
eg)
1
0
Pulsazione (rad/sec)
0.1
0.30.5
0.7
fase
al variare di ζ ≤ 0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180-0.1 -0.3
-0.5-0.7
-1 0
!n
Fas
e (d
eg)
10!n0.1!nPulsazione (rad/sec)
Oriolo: Fondamenti di Automatica - Diagrammi di Bode 16