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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
Índice
Enunciado del Problema............................................................................. 2 Solución...................................................................................................... 3 Grados de Libertad Nodales....................................................................... 4 Vector Carga............................................................................................... 5 Matriz de Rigidez........................................................................................ 7 Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno........................................... 8 Esfuerzos y Resultados.............................................................................. 9 Diagrama de Flujo....................................................................................... 10 Uso de Matlab............................................................................................. 11 Conclusiones……………………………………………………………………. 14
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PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
(TRACCION SIMPLE)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Para la placa triangular de espesor constante t=150mm. Calcular la constante
de rigidez.
Considerar:
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SOLUCIÓN:
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Para la solución del problema se considerara 3 elementos finitos. Para facilidad
en los cálculos, los elementos finitos tendrán longitudes de 750, 500 y 250mm.
mmb
mmb
mmb
333.832
3/500
333.3332
3/500500
7502
5001000
3
2
1
Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
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Y las áreas se calculan de la siguiente relación:
txbA 11 Cuadro de conectividad:
e
NODOS GDL le
(mm)
Ae
(mm2) (1) (2) 1 2
1 1 2 1 2 750 112500
2 2 3 2 3 500 50000
3 3 4 3 4 250 12500
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
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Posteriormente se tiene el vector desplazamiento:
mm
Q
Q
4
3
2
0
Donde Q1= 0 ya que la placa esta empotrada y los demás desplazamientos
son incógnitas que tendrán que tendremos que calcularla.
3. VECTOR CARGA
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Ahora se hará un análisis de las fuerzas en cada elemento finito:
1 11 1 1
1 12
2 22
2 23
3 33
3310.82
53310.82
9812
9812
122.62
A
y AxlF R R N
y AxlF P N
y AxlF N
y AxlF N
y AxlF N
3 34 122.6
2
y AxlF N
Y conseguimos las fuerzas en todo el cuerpo de la siguiente manera:
1
1 1 1
1 2
2 2 2
2 3
3 3 3
3
4 4
3310.8
54291.8
1103.6
122.6
F F R N
F F F N
F F F N
F F N
Por consiguiente el vector carga queda determinado de la siguiente manera:
1
1 3310.8 1
2 54291.8
3 1103.6
4 122.6
F R
FF N
F
F
Y queda R1 como incognita, que será calculada posteriormente.
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4. MATRIZ DE RIGIDEZ
Haciendo uso del MatLab, se calculará la matriz de rigidez Global de la
siguiente manera:
0000
0000
0011
0011
1l
AEK
i
0000
0110
0110
0000
2l
AE
1100
1100
0000
0000
3l
AE
Solo queda reemplazar los valores calculados anteriormente y haciendo uso de
la tabla de conectividad, se obtendrá lo siguiente:
5
1
1 1 0 0
1 1 0 0112500 3 10
0 0 0 0750
0 0 0 0
i
x xK
5
2
0 0 0 0
0 1 1 050000 3 10
0 1 1 0500
0 0 0 0
x x
5
3
0 0 0 0
0 0 0 012500 3 10
0 0 1 1250
0 0 1 1
x x
Finalmente:
5
450 450 0 0
450 750 300 010
0 300 450 150
0 0 150 150
i
NK x
mm
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5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
Se sabe que la ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
QKF
ii
Si reemplazamos los valores calculados en el paso anterior, obtendremos el
siguiente sistema de ecuaciones en forma matricial:
3310.8 1
54291.8
1103.6
122.6
R
25
3
4
0450 450 0 0
450 750 300 010
0 300 450 150
0 0 150 150
Qx
Q
Q
Para simplificación de cálculos, tomamos la siguiente submatriz:
54291.8
1103.6
122.6
2
5
3
4
750 300 0
10 300 450 150
0 150 150
Q
x Q
Q
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
5
2
5
3
5
4
123.37 10
127.46 10
128.278 10
Q x mm
Q x mm
Q x mm
Ahora tomaremos la siguiente submatriz para hallar el valor de la reacción en
el empotramiento:
4
3
25
0
005.5625.5621017.2647
Q
Q
QxR
Resolviendo obtenemos:
1 58828.8R N
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6. ESFUERZOS
Con los resultados obtenidos hasta el momento podemos calcular sin ningún
problema los esfuerzos, haciendo uso de la siguiente ecuación:
1
1 1
e
ie
i
QE
Ql
Y obtenemos lo siguiente:
5
5
1 1 2
1
03 101 1 10 0.49348
123.37750
x Nx
mm
5
5
2 2 2
2
123.373 101 1 10 0.02454
127.46500
x Nx
mm
5
5
31 3 2
3
127.463 101 1 10 0.00984
128.28250
x Nx
mm
7. RESULTADOS Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
1 58828.8R N
1 20.49348
N
mm
2 20.02454
N
mm
3 20.00984
N
mm
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8. DIAGRAMA DE FLUJO
Establecemos el vector desplazamiento y el vector carga:
0
2
3
4
Q
Q
; F=
1
1
2 1
3 2
3
2
2 2
2 2
2
A
ALR
AL ALP
AL AL
AL
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL:
K=
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
00
0
0
00
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
INICIO
MODELADO DEL CUERPO REAL
(Se establecen las dimensiones de cada elemento finito y el Cuadro
de Conectividad)
Así mismo introducimos E, 𝛾 y P
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TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
2
22
22
2
3
23
12
1
AL
ALAL
PALAL
AL
A =
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
00
0
00
001
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EA
L
EAL
EA
L
EA
L
EAL
EA
4
3
2
1
Q
Q
Q
R
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
3214321 ,,,,,, EEEQQQR
Y por último calculamos los esfuerzos:
FIN
9. USO DEL PROGRAMA DE MATLAB
SCRIPT
clc clear all R1=sym('R1'); %DATOS DE ENTRADA b0=1000 %input('Ingrese base superior(mm):') bn=0 %input('Ingrese base inferior(mm):') t=150 %input('Ingrese espesor(mm):') h=1500 %input('Ingrese altura(mm):') n=3 %input('Ingrese numero de elementos finitos:') E=300000 %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):') y=0.00007848 %input('Ingrese densidad(N/mm3):') Pa=50000 %input('Ingrese carga(N):') %CALCULO DE LAS AREAS
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le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1);
Fe=zeros(n+1,1); bo(1)=b0; ho(1)=h; for i=1:n if n>i le(i)=input('Ingrese longitud de cada elemento finito(mm):'); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t;10 end
end disp('Bases(mm):') disp(b') disp('Longitudes(mm):') disp(le') disp('Areas(mm^2):') disp(a')
%calculo de las fuerzas for i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2; end
for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); end end F(2)=F(2)+Pa; disp('El vector de fuerzas(N):') disp(F')
%calculo de la matriz rigidez k=zeros(n+1); for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x; end disp('La matriz de rigidez es(N/mm):') disp(k)
%calculo de desplazamientos inv(k(2:n+1,2:n+1));
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((F(2:n+1))'); Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))'); Q=[0;Q]; disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):') disp(Q)
%calculo de la reaccion k(1,:)*Q; R1=k(1,:)*Q-F(1); disp('La reaccion en el extremo es:') disp(R1)
%calculo de esfuerzos for i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)]; end disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):') disp(e');
VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB
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10. CONCLUSIONES
Para empezar, quedó demostrado que MatLab es una herramienta muy útil en el
cálculo de las operaciones matriciales que fueron requeridas en varias
oportunidades durante el desarrollo de la solución del problema planteado
Mientras utilicemos más elementos finitos, aumentará la precisión de los cálculos.
Sin embargo hay que tomar un número moderado de nodos, ya que las matrices se
vuelven más engorrosas al ser de orden nxn; donde n es el número de nodos.
Se puede apreciar que las deformaciones en el material son realmente pequeñas, y
que a su vez todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como
referencia.
Para el ejemplo se prefirió trabajar con milímetros, ya que las deformaciones
serían mejor ser expresadas en ésta unidad.
Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro
sistema de referencia.