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TRADUCTORES E INTERPRETADORES

Clase 5: Minimización de Autómatas

Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal

Agenda

• Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares.

• Minimización de Autómatas.

• Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas.


Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares.

• Recordando…



• Recordando…

• Se esperaban la imagen de siempre, ¿no?



• Ahora sí, recordando…

• Queremos demostrar la equivalencia entre los AFND’s/AFD’s y los Lenguajes Regulares.

– Una dirección ya fue probada (todo Lenguaje Regular tiene un AFND que lo reconozca).

– Ahora vamos a probar el converso (todo AFND/AFD reconoce un Lenguaje Regular).



• Para esto, propondremos un Algoritmo que permite construir una Expresión Regular, a partir de cualquier AFND.



• Para esto, propondremos un Algoritmo que permite construir una Expresión Regular, a partir de cualquier AFND.

• Consideremos una modificación sobre la función de transición, para que ahora opere sobre Expresiones Regulares.



• Paso 1: Construir un autómata extendido.

– Crear dos (2) nuevos estados qi y qf, que corresponderán a estados iniciales y finales del autómata respectivamente.

– Colocar una λ-transición, desde qi, hasta el estado inicial del autómata original.

– Colocar una λ-transición, desde cada estado final del autómata original, hasta qf.

– El único estado final debe ser ahora qf.



• Paso 2: Eliminación de estados.

– Mientras existan estados correspondientes al autómata original:


qx

qi1 qd1

qdm

qin

u1

un

v1

um

w



– Mientras existan estados correspondientes al autómata original:


qx

qi1 qd1

qdm

qin

u1

un

v1

um

w qi1

qd1

qdm

qin

qd1

qdm



– Unir transiciones que compartan los mismos estados de partida y de llegada.


qi qi1

u1

uk



– Unir transiciones que compartan los mismos estados de partida y de llegada.


qi qi1

u1 + ⋯ + uk qi qi1

u1

uk


• Paso 3: Extracción de la Expresión Regular.

– Al finalizar el paso 2, la expresión regular que vincule qi con qf, es la expresión regular buscada.


Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares

• ¿La Expresión Regular representa el mismo lenguaje que reconocía el AFND?

– Demostrar que L(M) = sem(e).


Equivalencia entre Autómatas Finitos y Lenguajes Regulares

• ¿La Expresión Regular representa el mismo lenguaje que reconocía el AFND?

– Demostrar que L(M) = sem(e).

– Una vez más, les queda como ejercicio…


Minimización de Autómatas

• ¿Cuál es el menor?


a, b

b

q’0

q’1

q’2

a

b

a, b

a q’3

q0

q1

q2

b

a

a, b

a, b


• ¿Cuál es el menor?

• ¿Por qué? Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal

a, b

b

q’0

q’1

q’2

a

b

a, b

a q’3

q0

q1

q2

b

a

a, b

a, b


• Se dice que dos estados de un AFND son equivalentes, si para cualquier cadena w, correr el autómata con cada estado como estado inicial, resulta en la aceptación o rechazo de w independientemente.



• Se dice que dos estados de un AFND son equivalentes, si para cualquier cadena w, correr el autómata con cada estado como estado inicial, resulta en la aceptación o rechazo de w independientemente.

• Cualquier AFD, que reconozca el mismo lenguaje, tendrá como mínimo la cantidad de clases de equivalencias formadas por la definición anterior.



• Paso 1: Crear clases de equivalencia inicial.


},{0 FQF

¡Trabajaremos sobre AFD’s, sin perder

generalidad!


• Paso 1: Crear clases de equivalencia inicial.

• Paso 2: Inicializar un contador i, en 0. Y hacer:

– Para cada A ∈ ≡i :

• Separar A, de forma que si x, y ∈ A:

– Incrementar el contador i.

– Si ≡i ≠ ≡i-1 , repetir el paso 2. Profs. Carlos Pérez y Ricardo Monascal

},{0 FQF

)),(),(::(1 ayaxaayx ii


• Paso 3: Creación del AFD mínimo.

– Construir un autómata , donde:

• , siendo i el último valor que tuvo en la iteración anterior.

•

•

•


)',',',',( 0 FqQM

iQ '

YaxXxYaX ),(),('

XqXq 00 '

)::(' FqXqqFX


• Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y…



• Por supuesto, hay que demostrar que el Algoritmo es correcto y… ya saben que hacer.




• Ahora… ¿Cómo haríamos para calcular un AFD mínimo, dada una Expresión Regular?





ER → AFND → AFD → AFDmínimo







Claro…






¿?

Minimización Aproximada de Autómatas usando Derivadas


• Recordando…



• Recordando…

• Dado un lenguaje L sobre un alfabeto Σ y un símbolo a en Σ, se define el operador DaL (derivada de L con respecto a a) como:


}{ LawwLDa


• Definiremos ahora, la derivada, pero sobre una Expresión Regular.




• ¡Pero primero! Construyamos una función que nos permita discernir si la semántica de una Expresión Regular contiene λ.




• ¡Pero primero! Construyamos una función que nos permita discernir si la semántica de una Expresión Regular contiene λ.


Ø)(

)(

Ø)Ø(

a

*)(

)()()(

)()()(

r

srrs

srsr


• Ahora si…


*))((*)(

)()()()(

)()()(

)(Ø)(

Ø)(

Ø)Ø(

rrDrD

sDrsrDrsD

sDrDsrD

basi

basibD

D

D

aa

aaa

aaa

a

a

a



• Igualmente, se puede extender la definición de derivada para trabajar sobre frases.

yawsirDD

wsirrD

yaw )(



• Igualmente, se puede extender la definición de derivada para trabajar sobre frases.

• Y se cumple la siguiente propiedad:

yawsirDD

wsirrD

yaw )(

)()( rDsemrsemw w


• Para una Expresión Regular e, Se construye el autómata , donde:

•

•

•

•


),,,,( 0 FqQM

}|{ * weDQ w

)(),( eDDaeD waw

eDq 0

})(|{ eDeDF ww

Por la propiedad que se mostró en la lámina anterior


• Ejemplo: Corrida en frío, para e=(0+1)*11.


eD

e

DDD

DDeD

11*)10(

1Ø11*)10)(Ø(

1)1(11*)10)(10(

1)1)*)(10((11*)10)(10(

000

000




eD

e

DDD

DDeD

11*)10(

1Ø11*)10)(Ø(

1)1(11*)10)(10(

1)1)*)(10((11*)10)(10(

000

000

Como el resultado es igual al de una derivada anterior, no es necesario continuar con frases que empiecen con la frase “0”.




1

111*)10(

1)1)*)(10((11*)10)(10( 111

e

DDeD




eD

e

eD

eDDeD

)1(

)(

0

1010




1

)1(

)(

1

1111

e

eD

eDDeD




eD

e

eD

eDDeD

)1(

)(

0

110110




eD

e

eD

eDDeD

11

1

111111

1

)1(

)(



¡Y ÉSTE… ES… EL CONJUNTO DE ESTADOOOS!




Dλe

D1e D11e

1

1

0

1

0 0


• Este algoritmo permite obtener un AFD a partir de una Expresión Regular.




• As usual, the proof is left to the students.




• El AFD construido mediante este algoritmo tiende a ser el AFD mínimo…





– Pero no necesariamente lo es.





– Pero no necesariamente lo es.

– Si no es mínimo, tiende a ser una buena aproximación a éste.



• Sabemos especificar los Lenguajes Regulares.




• Sabemos determinar si una frase cualquiera pertenece a un Lenguaje Regular.





• Ahora solo falta saber si un lenguaje cualquiera es Regular o no…





• Ahora solo falta saber si un lenguaje cualquiera es Regular o no…

– ¡Eso será para la próxima clase!


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