Traitement des fréquences irrégulièresdans la méthode des éléments de frontière :

étude numérique d’un processus de moyennage

Antoine LavieAlexandre Leblanc

Sommaire

1. Problématique

2. Considérations théoriques

3. Test de la source ponctuelle

4. Application à « l’œil de chat »

5. Conclusion

Problématique

2( ) ( ) 0 fp k p r r r

f

r

r'

n'

( )( )n

pi v

r'

r' r'n'

2( )

lim ( ) ( ) 0RSR

r R

pikp dS

r

r rr

Problème à résoudre

Problème de Neumann :

i

Problématique

Solutions

Représentation de Helmholtz extérieure (RHE) :

( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( , ) ( )

4 f

g pp p g d

r r r' r'

r r' r r' r' rn' n'

Méthode de superposition des ondes (MSO) :

( ) ( ) ( , ) ( )i

i fp i q g d r

s s sr r r r r

Considérations théoriques

Fréquences irrégulières

- RHE : valeurs propres du problème de Dirichlet intérieur associé

- MSO : valeurs propres de la géométrie générée par les sources de superposition

f

r

r'

n' i

Considérations théoriques

Méthodes classiques

- CHIEF (méthode de Schenck) et dérivées

- Méthode de Burton et Miller

Méthode proposée

( , ) ( , )( , )

2

p k i p k ip k

r rr

Méthode de moyennage :

Test de la source ponctuelle

Principe

Calcul analytique du rayonnement d’un monopole :

( )ik ikD

a

e ep A A

D

ar r

a

rr r

2

( ) 1ikDap e

A ikD D

a

rr r n

n

1

( ) ( )EQM

( )

N

c an

N

an=1

p p

p

n n

n

r r

r

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini (MSO)

2e fréquence irrégulière kb≈3,8

a

100 sourcesde superposition

1 monopole : x=0,05a ; y=0,1a

b=a/10

eau

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle

Cas 2D : cylindre infini

Test de la source ponctuelle

Cas 3D : cylindre axisymétrique (RHE)

a

b

eau

b=1,5a

100e fréquence irrégulière ka≈11,3

2 monopoles identiques :z=b/3 et z=b/3

z

RHE : EQM=592%Moyennage (=k200) : EQM=0,7%

k10 k20 k50 k100 k200 k500 k1000

EQM 164% 32% 5% 1,4% 0,7% 0,7% 1,4%

Test de la source ponctuelle

Cas 3D : cylindre axisymétrique

Test de la source ponctuelle

Cas 3D : sphère axisymétrique (RHE)

72e fréquence irrégulière ka≈25,0

2 monopoles identiques :z=a/4 et z=a/4

RHE : EQM=774%Moyennage (=k/200) : EQM=0,8%

a

z

eau

Test de la source ponctuelle

Cas 3D : sphère axisymétrique

Application à « l’œil de chat »

Cas 3D : œil de chat

2 2( ) ( )

1

kRp R cv R

k R

Chargement :- déplacement normal unitaire sur la partie sphérique ;- déplacement nul sur les 3 faces planes.

Au point arrière :

( ) ( )lim 1kR

p R v R

c

Application à « l’œil de chat »

ε=k200

Cas 3D : œil de chat

Conclusion

Méthode de moyennage entre kiε et kiε

Bilan :- facile à mettre en oeuvre- efficace : pour la RHE et pour la MSO ; sur une large gamme de fréquences ; pour des géométries complexes et variées.- pas de justification théorique : nécessite une pré-étude pour paramétrer ε.