C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, S&ie I, p. 429-432, 1997

Systemes dynamiques/Dynamical Systems

(Equations diff&entielles/Ordinary Differential Equations)

Trajectoires non-oscillantes des champs de vecteurs gradients

Fernando SANZ

Departamento de Algebra, Geometria y Topologia, Facultad de Ciencias,

Universidad de Valladolid, 47005 Valladolid, Espagne.

E-mail : fsanzQcpd.uva.es

Partiellement financk par DGICYT, PB94-1124 et TMR, ERBFMRXCT96-0040

RCsumC. &ant donnCs un germe f d’ordre 2 de fonction analytique g l’origine de R” et une trajectoire y du gradient de f par rapport h une mktrique analytique riemannienne, tout germe de surface H qui ne contient pas y coupe celle-ci en un nombre fini de points.

Non-oscillating solutions of gradient vector fields

Abstract. Let f be a germ of order 2 of an analytic function at the origin in R”. Let y be a solution of the gradient of f with respect to some analytic Riemannian merric. Then, for all germ of analytic swface H, either 7 c H, or y cuts H jinitely many times.

Cette Note est une contribution A l’ktude locale du germe en 0 E R” du gradient, V,f, d’une fonction analytique rkelle f par rapport 21 une mktrique riemannienne analytique g. D’aprks une inCgalitC de Lojasiewicz (uoir [6]), toute trajectoire positive y : t H y(t)! t > 0, de V, f, contenue dans un voisinage de 0, est de longueur finie. En particulier, son ensemble w-limite, w(y), est form6 d’un seul point, et R. Thorn (voir [9]) a propod la conjecture suivante : y poss2de une tungente en w(y). La conjecture est vraie sous certaines hypothitses (voir [3]), et le lecteur pourra consulter 1171 pour une introduction au sujet. RCcemment, une dCmonstration de cette conjecture a CtC propos,Ce dans le cas de la mktrique euclidienne canonique (voir [5]).

Une condition gtomktrique plus forte que l’existence de tangente est la condition de non-oscillation : on dira qu’une trajectoire positive y est non-oscillante si, pour tout germe d’hypersurface analytique H, ou bien y est contenue dans H, ou alors y coupe H seulement un nombre fini de fois. Si, par exemple, y est une trajectoire d’un germe en 0 E R* de champ de vecteurs analytique, la non-oscillation lest kquivalente B l’existence de tangente. En dimension 3, R. Moussu a pose la question suivante :

Conjecture forte du gradient : Toute trajectoire positive y de V,f s’accumulant i2 l’origine #est non-oscillante.

Le rksultat principal prCsentC dans cette Note est le suivant :

TH~OR~ME. - Soient f un germe de fonction analytique et g une me’trique analytique riemannienne sur (R3, 0). Si le hessien (Hessf)(O) es non nul, alors la conjecture forte du gradient pour VJ est vraie. f

Note prbsentke par Micha&l HERMAN.

0764-4442/97/03250429 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris 429

F. Sam

La demonstration du Theoreme repose, d’une part, sur une etude dynamique des germes de champs de vecteurs possedant une pat-tie lineaire non-nilpotente et, d’autre part, sur une interpretation de la non-oscillation en termes d’existence de <c tangente generalisee it&e B.

1. Courbe non-oscillante et tangente it&Ce

Soit A4 une vari6tC analytique reelle de dimension trois et soit y : [0, cc) ---f A4 une trajectoire d’un champ de vecteurs analytique < sur M qui possede un seul point w-limite P. Un centre admissibk Y pour le couple (<,r) est un point ou une courbe fermee analytique lisse invariante par < qui ne rencontre pas y. Un Cclatement n : AI’ -+ M est admissible pour ([, y) si son centre d’iiclatement est admissible pour (4, y). Le transform6 total <’ de 5 par 7r est alors un champ de vecteurs <analytique sur M’, qui coincide avec t en dehors du diviseur T- ’ (P). La trajectoire y’ de I’ telle que ‘K o -y’ = y est le releve de y. Si w(y’) est un seul point P’, on peut iterer ce processus d’eclatement admissible. On dira que y possede une tangente ghzne’rulise’e it&&e si, pour toute suite d’eclatements adrnissibles :

les relevks successifs yk! rl; 0 7~. = yk-1 ont un seul point w-limite, w(Yk) = Pk.

PROPOSITION 1. - Une trajectoire y de [ qui possbde une tangente g.h+alisLe ite’re’e est non-oscillante.

Remarque. - Cette implication n’est plus vraie si on remplace l’hypothtse << tangente g&rCralisCe iteree >> par l’hypothese <c tangente it&e )> ; c’est-a-dire, pour toute suite d’eclatements de points, les releves yk Ont un Sed point limite. Par exemple, SOit < le champ de vecteurs :

sur R3. Les trajectoires de [ tournent autour de l’axe z et sont infiniment tangentes a cet axe. Elles possedent des tangentes iterees mais elles sont oscillantes.

Remarquons egalement que si y : [O: co) -+ A4 est une courbe parametree analytique telle que limt-+oo y(t) = P, 1 ‘CnoncC de la Proposition garde un sens si on supprime la condition d’invariance dam la definition de centre admissible Y, mais que, dans ce cas, la ProposTon n’e;t plus vraie.

On peut s’en convaincre avec l’exemple du graphe de la fonction z H sin G exp - ;, 2 > 0, en

dimension deux.

Dkmonstration. - Supposons que le releve de y par une suite quelconque d’eclatements admissibles a un seul point w-limite, et qu’il existe un germe de surface analytique H en P tel que H ne contienne pas y et tel que y coupe H un nombre infini de fois. Si 7r : M’ + M est un Cclatement admissible et H’ est le transforme strict de H par 7r, la situation est la mCme pour H’ et pour le releve y’ au point ~(7’). Soit C l’ensemble de points oti le champ < est tangent a H. Puisque y $ H, C est different de H et C est soit un point, soit une courbe analytique reelle contenue dans H. Si 7r est un eclatement admissible de M de centre Y c H, alors C’, l’ensemble des points oti I’ est tangent a H’, est la reunion du transform6 strict de C et, eventuellement, des composantes de H’ fl z-l(Y).

Si H est non-singuliere, d’apres l’hypothitse, on definit par recurrence PO = P et, pour i > 1, w(yi) = (Pi), 06 yi est le releve de yi-l par l’eclatement de centre Pi-l. Deux cas sont possibles :

1) La suite {Pi} n’est pas une suite de points infiniment proches d’une branche de C. A partir d’un certain indice, on peut alors supposer que C est contenue dans D n H, ou D U H est un diviseur a croisements normaux et D est invariant par [.

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2) La suite (Pi) est la suite de points infiniment proches d’une branche Y de C. Alors Y est invariante et lisse a partir d’un certain indice ia, et done admissible. L’eclatement de centre Y a l’etape iu donne la m&me situation, C c D n H, que dans le cas precedent.

Les points oti y coupe H sont tous dans une seule composante connexe L de H\H n D qui ne coupe pas C, car y II D = 0. Soit z une coordonnee locale telle que H = {X = O}. Puisque C ne coupe pas L, la fonction f&r(<) a un signe constant sur L. Ceci contredit le fait que y ne coupe H que dans L et au moins deux fois.

Si H est singuliere, il existe un procede, dti a Hironaka (voir [2]), pour desingulariser H par ties Matements de courbes et de points. Dans notre cas, apres chaque Cclatement admissible, la situation se localise en le seul point w-limite du releve de la trajectoire. Nous choisissons comme centre d’eclatement la composante lisse et Cquimultiple de plus grande dimension qui soit admissible. Une modification de la methode du polygone caracteristique de Hironaka (projection sur une surface de contact maximal, voir [ 11) permet de voir qu’apres un nombre fini d’eclatements donnes par le critere precedent, la surface H se desingularise localement au point qui nous interesse. On se ram&e ainsi au cas oti H est non-singuliere.

2. Champs de vecteurs & partie lirkaire non-nilpotente

Dans ce paragraphe, nous allons montrer que certains germes de vecteurs a partie lineaire non-nilpotente sont non-oscillants. 11 s’agit de champs definis ci-dessous.

DEFINITION. - Soit M une variCtC analytique de dimension trois. Soit [ un germe de champ de vecteurs analytique en P E 111, dont la partie lineaire est non-nilpotente, a valeurs propres reelles. Soit c la dimension des varietes centrales de [ en P. On dira que < appartient a la classe G’a s’il satisfait aux deux conditions suivantes :

a) Si c = 2, alors < posdde une variCtC centrale IV’ de classe de differentiabilite suffisamment grande telle que toute trajectoire y de < dans WC avec w(y) = P est non-oscillante.

b) Si c = 1, < possede une valeur propre double non nulle, et il existe une variete centrale analytique WC, alors toute trajectoire de < est non-oscillante par rapport aux surfaces lisses qui contiennent IV” (c’est-a-dire, toute trajectoire y de < telle que w(y) = P, et toute surface analytique lisse S > IV” avec y c S, se coupent un nombre fini de fois).

PROPOSITION 2. - Si < appartient h go, route trajectoire y de t s’accumulant en P est non-oscillante.

Dtfmonstration . - D’apres la Proposition 1, il suffit de voir que cette classe est stable par Cclatement admissible 7r. Plus precidment, si y’ est le releve de y par rr, alors w(y’) est form6 d’un seul point P’ et le germe du transform6 <’ en P’ appartient a la classe Go. Pour y parvenir, on utilise, dans le cadre de l’etude de germes de champ de vecteurs non-nilpotents, le theoreme de reduction topologique locale a la variete centrale (voir [8], par exemple) et une c< globalisation >X particuliere de ceci autour

d’un cercle (voir [4]).

3. DCmonstration du thCo&me

La partie lineaire de < = V, f a l’origine est non-nilpotente et est a valeurs propres reelles. Le Theo&me est demontre si on peut verifier les conditions a) et b) precedentes. Si c = 2, la propriCtC a) est obtenue en observant que la restriction I” du champ < a W” est le gradient d’une fonction dtfinie dans un voisinage de 0 E R2. Ceci permet de demontrer l’existence de tangente pour toute trajectoire de I’ et, B partir de cela, verifier la condition a) (bien que la fonction ne soit pas analytique, on peut travailler sur un k-jet convenable et appliquer l’argument classique de Thorn en dimension deux, voir [7]). Quant au cas c = 1; on peut remarquer que l’exemple (1) precedent ne satisfait

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F. Sanz

pas la condition b). En revanche, pour le cas d’un gradient, cette condition est vCrifi6e g&e B la symktrie particulibre de ses coefficients.

Note remise le 24 avril 1997, acceptke aprirs r&vision le 20 mai 1997.

RGf&ences bibliographiques

[l] Aroca J.-M., Hironaka H. et Vicente J.-L., 1975. The theory of the maximal contact., Mem. Mat. Inst. Jorge Juan, 29, Madrid.

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[3] Hu Xing Lin., 1992. Sur la structure des champs de gradients de fonctions analytiques reelles, These Paris VU. [4] Kelley AI., 1967. Stability of the Center-Stable Manifold, J. Math. Anal. Appl., 18, p. 336-344. [5] Kurdyka K. et Mostowski T., 1996. The gradient conjecture of R. Thorn. Preprinr.

[6] Lojasiewicz S., 1983. SW les trajectoires du gradient d’une fonction analytique. Seminan’di Geometria, Bologna., p. 11.5-l 17. [7] Moussu R., 1997. SW la dynamique des gradients. Existence de varietes invariantes, Mufh. Ann., 307, p. 445-460. [S] Palis J. et Takens F., 1977. Topological equivalence of normally hyperbolic dynamical systems. Topology, 16, p. 335-345. [9] Thorn R., 1989. Problemes rencontres dam mon parcours mathematique : un bilan. Publ. IHES, 70, p. 200-214.

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