transfert de chaleur

INSA de LYON Dp. Gnie Civil et Urbanisme 3GCU

Transferts de Chaleur

EXERCICES de REFERENCE

- 107

[J. Brau], [2006], INSA de Lyon, tous droits rservs


EXERCICES de REFERENCE

RAYONNEMENT : Problme introductif....................................................................... - 109 FACTEUR DE FORME .................................................................................................. - 110

ESTIMATION D'UN FACTEUR DE FORME......................................................................- 110

FACTEUR DE FORME ENTRE UNE SURFACE DS ET UN DEMI-DISQUE. ...............- 110

FACTEUR DE FORME ENTRE UNE SURFACE DS ET UN CYLINDRE. .....................- 110

ECHANGES RADIATIFS DANS UN LOCAL DE FORME CUBIQUE..................... - 111 ESTIMATION DE LA TEMPERATURE DE VOUTE CELESTE............................... - 112 ECHANGES RADIATIFS ENTRE SURFACES NOIRES ET GRISES...................... - 113 MUR SOUMIS A CONDITIONS LIMITES DE TYPE DIRICHLET.......................... - 114 MUR EN REGIME PERMANENT AVEC CREATION INTERNE DE CHALEUR.. - 114 MUR EN REGIME PERMANENT AVEC CONDUCTIVITE VARIABLE ................ - 115 MUR SOUMIS A ECHANGES SUPERFICIELS ......................................................... - 115 MUR MULTICOUCHE EN REGIME PERMANENT.................................................. - 116 ETUDE EN REGIME PERMANENT DUN CHAUFFAGE ELECTRIQUE PAR

PLANCHER ..................................................................................................................... - 117 ISOLATION THERMIQUE DE TUBES CYLINDRIQUES......................................... - 118 CREATION DE CHALEUR EN COORDONNEES CYLINDRIQUES ....................... - 119 TREMPE DUNE BILLE METALLIQUE (Rgime variable) ...................................... - 120 OSCILLATIONS THERMIQUES DANS LE SOL (rgime variable)........................... - 120 ESTIMATION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE SUPERFICIEL....................... - 121 A partir des diffrentes corrlations existantes, donner les valeurs des coefficients

dchange convectif dans le tube (eau-tube) et lextrieur du tube (air-tube)............ - 121 AILETTE DE REFROIDISSEMENT ............................................................................ - 122 3). Lailette est de longueur finie avec un change superficiel en x = l. Mmes questions ....-

122 LE DOIGT DE GANT..................................................................................................... - 123

- 108



RAYONNEMENT : Problme introductif

1) Une sphre noire, que l'on peut assimiler la terre, reoit le rayonnement solaire. Le soleil peut tre considr comme un corps noir 5800 K ; son diamtre apparent est : 2 = 32'. Calculer l'clairement la surface de la terre.

2) Le rayonnement solaire est reu normalement sur un disque plat. Calculer la temprature d'quilibre du disque dans les huit cas suivants :

a) les deux faces du disque sont noires.

b) les deux faces sont grises (mme valeur du coefficient d'absorption pour les deux

faces). c) la face claire est grise et l'autre parfaitement rflchissante. d) la face claire est parfaitement rflchissante, lautre face est grise. e) les deux faces sont parfaitement rflchissantes. f) le disque est remplac par une sphre noire (suppose tre la terre) g) les deux faces sont noires pour un petit intervalle de longueur d'onde autour de =

0,6 . Pour tout le reste du spectre les deux faces du disque sont parfaitement rflchissantes.

h) les deux faces sont noires pour un petit intervalle de longueur d'onde autour de = 8 Pour tout les reste du spectre les deux faces du disque sont parfaitement rflchissantes.

3) Le disque suppos noir sur la face claire et parfaitement rflchissant sur la face oppose, reoit le rayonnement solaire travers une vitre. Cette vitre est parallle au disque. L'ensemble est perpendiculaire au rayonnement solaire.

3-1) La vitre est considre comme parfaitement transparente au rayonnement solaire (CLO = Courte Longueur d'Onde) et parfaitement absorbante pour le rayonnement du disque (GLO = Grande Longueur d'Onde). Calculer la temprature d'quilibre du disque et la comparer avec celle du disque non protg.

3-2) La vitre a un facteur de rflexion 1 et un facteur de transmission 1 pour le rayonnement solaire. Elle a un facteur de rflexion 2 et un facteur de 2 pour le rayonnement qu'elle reoit du disque. Calculer la temprature d'quilibre prise par le disque ainsi protg et la comparer avec celle du disque non protg. Application Numrique : 1 = 0,05 1 = 0,95

2 = 0.30 2 = 0,05 3-3] Traiter les questions 3.1 et 3.2 en considrant que l'ambiance environnante la

temprature Ta, rayonne au dessus de la vitre comme un corps noir

Application Numrique: Ta = 300 K

- 109



FACTEUR DE FORME

ESTIMATION D'UN FACTEUR DE FORME

Un cylindre ferm de diamtre de 1 mtre et de hauteur de 1 mtre est plac au centre d'une

sphre de rayon gal 1 mtre.

Donner la valeur du facteur de forme de la surface intrieure de la sphre avec le cylindre.

FACTEUR DE FORME ENTRE UNE SURFACE DS ET UN DEMI-DISQUE.

Calculer le facteur d'angle d'une petite surface dS1 situe dans un plan horizontal P par rapport

un demi-disque S2 vertical dont le grand diamtre est situ dans P. Ce demi disque est vu de

la surface dS1 sous un angle 0 .

P

S2 dS1

0

FACTEUR DE FORME ENTRE UNE SURFACE DS ET UN CYLINDRE.

Considrons une petite surface ds situe dans un plan horizontal et un cylindre d'axe vertical. Le diamtre apparent de ce cylindre (angle sous lequel on le voit depuis la petite surface ) est

appel

dS

Calculer le facteur de forme de la petite surface par rapport au cylindre. Le cylindre est suppos de longueur semi-infinie. Sa base est dans le plan qui contient la petite surface.

1) Calculer l'clairement de la petite surface sachant que le cylindre rayonne comme le corps noir la temprature T.

2) Quel serait la valeur du facteur de forme si le cylindre est de longueur finie, et est vu de la surface ds sous un angle (voir figure)

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ECHANGES RADIATIFS DANS UN LOCAL DE FORME CUBIQUE

- On appelle temprature radiante la temprature d'quilibre d'une trs petite sphre noire soumise uniquement au rayonnement (pas de convection). Considrons une pice carre possdant une faade F la temprature de 0C et les autres parois P la temprature de 20C. La sphre S permettant de mesurer la temprature radiante est situe au centre de gravit de la pice.

(S)

FACADE (F)

AUTRES PAROIS (P)

Dans tout le problme, on suppose que la surface S tant infiniment petite, elle ne perturbe pas les changes entre la faade et les autres parois.

1 - Toutes les surfaces ont noires. a) Dterminer les facteurs de forme entre les surfaces S, SF et SP et calculer la

temprature moyenne radiante. b) Tracer le rseau analogique du systme traduisant les changes entre les 3 surfaces.

En dduire le flux net parois-faade (ce flux sera rapport l'unit de surface de la faade). On tiendra compte du fait que la sphre a une surface infiniment petite et ne perturbe pas les changes entre la faade et les autres parois.

2 - La faade est maintenant grise (F = 0.5 ). Les autres parois sont galement grises (P = 0.9). La sphre est toujours noire.

a) Tracer le rseau analogique du systme et en dduire le flux net parois faade (comme prcdemment ce flux sera rapport l'unit de surface de la faade et la sphre sera suppose infiniment petite).

b) Calculer la temprature radiante moyenne.

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ESTIMATION DE LA TEMPERATURE DE VOUTE CELESTE

La vote cleste peut tre considre comme un corps noir constitu d'une demi sphre (indice 1). Afin d'estimer la temprature de la vote cleste T1, on place une petite surface plane (indice 3) de surface totale (les 2 faces) S3 au voisinage du sol (indice 2). S2 est parallle S3 .

(1)

(2)

(3)

Les trois surfaces S1 S2 et S3 changent du rayonnement. L'objet de ce problme est d'estimer indirectement la temprature T1 en mesurant les 2 seules tempratures accessibles T2 et T3.

1) Donner les diffrents facteurs de forme des surfaces.

2) Les surfaces S2 et S3 sont noires. Exprimer T1 en fonction de T2 et T3. Application numrique : T2 = 20C T3 = 15C.

3) Seule la surface S3 n'est pas noire ( 3 = 0.9 ). Exprimer T1 en fonction de T2 et T3. 4) Si la face infrieure de 3 est suppose parfaitement rflchissante, donner T1 en fonction

de T2 et T3.

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ECHANGES RADIATIFS ENTRE SURFACES NOIRES ET GRISES

Un cble chauffant lectrique (1) de longueur 20cm est plac au centre d'une gaine (2), le vide tant fait entre le cble et la gaine. Le diamtre du cble est de 5mm et celui de la gaine de 2cm.

3.1) En ngligeant les effets de bords aux extrmits, donner la valeur des diffrents facteurs de forme.

3.2) Le cble doit dissiper une puissance de 30 W sans que sa temprature ne dpasse 800 K. Sachant que les deux surfaces sont noires, donner la temprature maximale que doit avoir la gaine.

3.3.) Que devient cette temprature si le cble a coefficient d'mission de 0.9 et la gaine un coefficient de 0.8

3.4.) Dans les conditions de la question 3.3), donner la temprature maximale de la gaine si l'on place un cylindre cran de diamtre 1 cm et de coefficient d'mission = 0.6

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MUR SOUMIS A CONDITIONS LIMITES DE TYPE DIRICHLET

Donner lexpression de la distribution de temprature dans un mur dpaisseur e, dont les faces x = 0 et x = e sont respectivement maintenues aux tempratures T0 et Te. Donner lexpression de la densit flux et du flux traversant un mur de surface S. On supposera que les transferts de chaleur sont monodimensionnels et permanents. Il ny a pas de cration de chaleur interne, et la conductivit du matriau est constante.

A.N. T0 = -5C Te = 25C = 0,8 W/m.K e = 0,1 m S = 15m

MUR EN REGIME PERMANENT AVEC CREATION INTERNE DE CHALEUR

On considre une paroi vitre dpaisseur e, et de conductivit thermique constante v sparant deux milieux temprature parfaitement rgule T(0) = T0, T(e) = Te. Cette

paroi suppose infinie dans les deux autres directions reoit un ensoleillement E dont elle

absorbe uniformment une partie fonction de son coefficient dabsorption .

En rgime permanent, dterminer la rpartition de temprature dans la vitre et

lexpression de la densit de flux de chaleur traversant la paroi.

La temprature de la face extrieure est T0 et celle de lintrieure Te.

Calculer la valeur maximum atteinte par la temprature interne de la vitre, et sa position gomtrique.

Vrifier que la somme algbrique du flux sortant par les deux faces est gale au flux

absorb.

A.N. T0 = 10C Te = 20C E = 800 W/m = 0,5 e = 0, 5 cm v = 1 W/m K

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MUR EN REGIME PERMANENT AVEC CONDUCTIVITE VARIABLE

Pour de nombreux matriaux soumis des carts de temprature importants, il faut prendre en compte la variation de la conductivit avec la temprature. Cette variation est donne gnralement par une loi linaire

= 0 (1 + (T T0 )) On considre une plaque dpaisseur e soumise sur ses deux faces un contact parfait avec deux milieux de tempratures T (0) = T0 T(e) = Te

En supposant que la conductivit du matriau constitutif de la plaque varie linairement avec la temprature, dterminer la rpartition interne des tempratures, ainsi que la valeur du flux de chaleur traversant cette paroi.

A.N. e = 5 cm 0 = 1 W/m.K = 2.10-3 C-1

T0 = 50C Te = 550C.

MUR SOUMIS A ECHANGES SUPERFICIELS

Donner lexpression de la distribution de temprature dans un mur dpaisseur e, dont les tempratures de lair sont respectivement Te pour lextrieur et Ti pour lintrieur. Donner lexpression de la densit flux et du flux traversant un mur de surface S. On supposera que les transferts de chaleur sont monodimensionnels et permanents, cest dire que T=T(x).

A.N. Te = -5C Ti= 25C = 0,8 W/mC e = 0,1 m S = 15m he= 30 W/m2.C hi=5W/m2.C

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MUR MULTICOUCHE EN REGIME PERMANENT

On considre une paroi constitue de trois couches homognes

Couche n1 (bton) Couche n 2 (isolant) Couche n3 (enduit)

eb = 15 cm ei = 4 cm ee = 1,5 cm b = 1,5 W/m.K i = 0,04 W/m.K e = 1,5 W/m.K Cb = 920 J/kg.K Ci = 920 J/kg.K Ce = 920 J/kg.K b = 2700 kg/m3 i = 75 kg/m3 e = 2700 kg/m3

La paroi est soumise aux conditions de temprature suivantes :

Temprature dair extrieure Te = -5C Temprature dair intrieure Ti = 20C

Coefficient dchange superficiel he = 16,7 W/m.K Coefficient dchange superficiel hi = 9,1 W/m.K

1) Isolation intrieure

Lisolant tant vers lintrieur (c.a.d. que les 15 cm de bton sont lextrieur du mur.) - Donner les diffrentes rsistances thermiques des couches et par consquent celle du

mur.

- Tracer le rseau analogique

- Calculer la densit de flux traversant le mur - Donner la rpartition des tempratures T = f (x) et T= g (r)

2) Isolation extrieur

Le bton est ct intrieur du mur, rpondre aux mmes questions que prcdemment.

3) Inertie thermique

Comparer, pour les deux positions disolant, le volant thermique de la paroi ( pour 1m), cest dire la quantit de chaleur accumule dans la paroi. On prendra une rfrence de 0C.

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ETUDE EN REGIME PERMANENT DUN CHAUFFAGE ELECTRIQUE

PAR PLANCHER

Un systme de chauffage lectrique par plancher est constitu de cbles lectriques chauffants (que lon pourra assimiler une plaque de 1 cm dpaisseur) noys dans une dalle de bton (paisseur totale : 16 cm) de conductivit thermique = 1,2 Watt/m.C.

TA = 18C TS1 hc1

1 Te 1 cm 16 cm

2 TS2

hc2

TA = 18C

Le flux de chaleur par unit de surface cre par le cble lectrique () est de 100 W/m ; ce flux se partage en un flux ascendant 1 (chauffage par le plancher) et un flux descendant 2 (chauffage par le plafond).

Les coefficients dchange superficiel par convection des surfaces horizontales sont respectivement :

hc1 = 5,6 W/m.C pour la surface suprieure hc2 = 3,6 W/m2 .C pour la surface infrieure

La temprature TA de lair de chaque ct du plancher est de 18 C ; de plus, la temprature de llment chauffant est suppose uniforme et gale TE.

1. En ngligeant les changes de chaleur par rayonnement et dans le cas o le plan chauffant est situ au centre du plancher, dterminer :

- la temprature de llment chauffant TE les tempratures superficielles TS1 et TS2

2. Considrant que la temprature de surface du plancher est trop importante (inconfort thermique), on se propose de dplacer le plan chauffant une distance x de la surface du plancher pour que la temprature de surface ne dpasse pas 24C. Quelle est cette distance x ?

3. La solution obtenue tant aberrante, le local est isol pour que la puissance dissipe soit infrieure 100 W/m2. Quelle doit tre cette puissance pour que la temprature de surface soit de 24C, le plan chauffant tant situ au centre du plancher.

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ISOLATION THERMIQUE DE TUBES CYLINDRIQUES

De la vapeur deau la temprature T1m scoule dans un tube (conductivit du matriau ) de rayon intrieur r1 et de rayon extrieur r2. Ce tube traverse une salle dont la temprature moyenne est prise gale T2m

1) on valuera le flux de chaleur qui passe de lintrieur lextrieur du tube pour une longueur l de celui-ci. Les coefficients dchange superficiel sont dsigns par les lettres h1 (coefficients vapeur deau-tube) et h2 (coefficient tube-air ambiant).

2) Les pertes de chaleur calcules prcdemment tant juges trop importantes on dcide de calorifuger la conduite sur toute la longueur l. A cet effet on recouvre le tube dun manchon de rayon intrieur r2 et de rayon extrieur r3 (conductibilit du matriau isolant employ ). On suppose que le nouveau coefficient dchange superficiel calorifuge-air ambiant est le mme que le coefficient tube air ambiant, soit h2. On demande dvaluer le nouveau flux de chaleur traversant le tube et son manchon isolant pour la longueur l.

3) Evaluer laccroissement R de la rsistance thermique R d au calorifugeage de la conduite.

4) Etudier les variations de R en fonction de r3 lorsque celui-ci varie de r2 linfini. On utilisera la variable secondaire x :

r2 r2 h2x = 0 < x < 1. On posera = r3 '

Discuter les diffrents cas obtenus en fonction des valeurs de . 5) On demande de dterminer la valeur de lpaisseur de lisolant pour laquelle les pertes calorifiques sont les mmes quen labsence du calorifuge. On fera le calcul dans le cas suivant :

Le calorifuge est de lamiante en fibres de conductibilit =0,20 W/m.C. Le coefficient dchange superficiel amianteair ambiant est h2 = 7 W/m.C. le rayon extrieur de la conduite est r2 = 25 millimtres.

x 1Pour rsoudre cette question on se servira de la fonction y = dont quelquesln x

valeurs numriques sont donnes ci-aprs :

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

x x ln

1 0 0,391 0,498 0,582 0,656 0,721 0,785 0,844 0,902 0,956 1

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r

r2

i


CREATION DE CHALEUR EN COORDONNEES CYLINDRIQUES

Un cble conducteur protg par une gaine isolante est immerg dans leau T0.

On fait passer dans ce conducteur un courant I et de densit constante dans toute la

section.

On demande de calculer la temprature (rpartition des tempratures) lorsque le rgime permanent est obtenu.

R = rsistance linique lectrique du conducteur

c = conductivit du conducteur

i = conductivit de la gaine isolante

he = coefficient dchange superficiel gaine-eau.

he

T0

rc

c ri

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TREMPE DUNE BILLE METALLIQUE (Rgime variable)

On considre un petit objet homogne (bille) qui est une temprature uniforme T0. Cet objet est brutalement immerg dans un fluide qui reste une temprature uniforme et constante Tf. Comme la conductivit thermique est trs grande, la temprature peut tre considre tout instant comme homogne dans lensemble du solide.

Donner lvolution de la temprature T(t) de la bille.

Au bout de combien de temps, atteint-on pratiquement l'quilibre thermique 1/10 C prs.

Application numrique: Conductivit thermique = 100 W/m.C Coefficient dchange h = 100 W/m.C Masse volumique = 7500 kg /m3 Chaleur massique c = 1000 J/kg C Rayon de la bille r = 0,01 m T0 = 80C Tf = 20C

OSCILLATIONS THERMIQUES DANS LE SOL (rgime variable)

Le sol, qui peut tre considr comme un milieu unidimensionnel semi-infini, est soumis sur sa face suprieure une variation de temprature priodique T(0,t) = Ta . sin t. La diffusivit thermique du sol a est gale 6.10-4 m/h.

1) Quelle est lexpression de la temprature dans le sol T(x,t). On dfinira au pralable les deux conditions aux limites du problme.

2) En considrant une sollicitation journalire (donc priode P = 24 h) donner : a) la profondeur laquelle lamplitude de temprature est de 1/100de celle en surface. b) la profondeur laquelle la temprature est minimale lorsquelle est maximale en

surface.

3) Si la sollicitation est annuelle (t-hiver) que deviennent les profondeurs demandes en 2a) et 2b).

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ESTIMATION DES COEFFICIENTS D'ECHANGE SUPERFICIEL

air calme 20Cv = 1m/s

eau 80 tube

25/30 (Di / De)

A partir des diffrentes corrlations existantes, donner les valeurs des coefficients dchange convectif dans le tube (eau-tube) et lextrieur du tube (air-tube).

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AILETTE DE REFROIDISSEMENT

Soit une ailette de refroidissement de section droite, uniformment chauffe sa base la temprature T0 et place dans un milieu ambiant la temprature Ta.

On suppose que la temprature est uniquement fonction de x, donc les isothermes sont planes et perpendiculaires laxe x. On note p le primtre de base, S la section droite, la conductivit thermique et h le coefficient dchange superficiel de lailette.

S, p

T0

x

isotherme T(x)

l Ta h

1). Lailette est de longueur infinie. Calculer T = f(x) et son efficacit :

0E = ' 0 0 flux vacu au pied de lailette,

0 flux vacu par la section S sil ny avait pas dailette ;

2). Lailette est de longueur l finie et isole (flux nul) en x = l . Mmes questions.

3). Lailette est de longueur finie avec un change superficiel en x = l. Mmes questions

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LE DOIGT DE GANT

Dans un tube en acier inoxydable de diamtre intrieur d1 = 25 mm circule de leau dont on veut connatre la temprature Te considre comme indpendante de r (voir schma). Pour ce faire, on soude sur le tube un cylindre creux en acier inoxydable appel doigt de gant de diamtre extrieur d = 5 mm et e = 0,5 mm dpaisseur destin recevoir un thermocouple qui est sens mesurer la temprature du fluide.

T1

Te e d1r

d vfluide

Les hypothses nonces sont les suivantes : chaque section droite du doigt de gant est suppose isotherme (approximation de lailette). La conductivit de lacier et les coefficients dchange superficiel rgissant les changes acier-eau sont donnes : = 40 W/mC, h = 300 W/m2C. Le pied de lailette est la temprature T1 de la paroi. Les changes de chaleur entre lextrmit du doigt et leau seront considrs comme ngligeables. On supposera de plus que les transferts causs par lair dans le doigt de gant lui-mme sont ngligeables et que le contact thermocouple extrmit du doigt de gant est parfait.

1). Dans ces conditions, quelle doit tre la longueur L du doigt de gant pour que lcart entre la temprature mesure et la temprature relle de leau Te ne soit pas suprieur 1% de la diffrence de temprature entre leau et la paroi du tube (Te T1).

2). Compte tenu de la valeur numrique trouve pour L, on demande de prciser la manire dont sera plac le doigt de gant dans le tube dacier.

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Transferts de Chaleur CONTROLES 3GCU (depuis 1990)

tc_controles_2006 page 121 Version du 11/05/2006



Mesure de la conductivit thermique (Conduction) _________________________________ 124 Etude dune paroi chauffante (Conduction) _______________________________________ 124 Mesure de la conductivit thermique (Conduction) _________________________________ 125 Cration de chaleur dans un milieu unidirectionnel (Conduction) _____________________ 126 Etude dun rservoir sphrique (Conduction) ______________________________________ 126 Cration de chaleur dans un corps sphrique (Conduction) __________________________ 127 Facteur de forme (Rayonnement ) ______________________________________________ 128 Facteur de forme (Rayonnement ) ______________________________________________ 128 Facteur de forme (Rayonnement ) ______________________________________________ 128 Facteur de forme (Rayonnement ) ______________________________________________ 128 Etude dun cylindre (Ondracek) (Rayonnement ) __________________________________ 129 Enceinte prismatique (Rayonnement )___________________________________________ 129 Bilan dune plaque (Rayonnement ) ____________________________________________ 130 Echange entre 2 plans parallles (Rayonnement ) _________________________________ 130 Etude radiative dun vitrage (Rayonnement ) _____________________________________ 131 Etude dun four (Rayonnement ) _______________________________________________ 132 Echanges radiatifs dans une enceinte ferme (Rayonnement ) _______________________ 133 Echanges radiatifs dans un local (Rayonnement ) _________________________________ 133 Rayonnement solaire sur une plaque (Rayonnement ) ______________________________ 134 Etude dun four (Rayonnement ) _______________________________________________ 135 Etude dun satellite (Rayonnement ) ____________________________________________ 135 Bilan dun disque entre 2 plans (Rayonnement ) __________________________________ 135 Emission dune sphre noire (Rayonnement )_____________________________________ 135 Etude dun cable chauffant (Rayonnement )______________________________________ 136 Etude dune pice rectangulaire (Rayonnement ) __________________________________ 136 Estimation de coefficients dchanges superficiels (Convection) _______________________ 137 Etude dune paroi plane (Conduction +Convection)_________________________________ 138 Condensation sur un vitrage (Conduction +Convection) _____________________________ 138 Confort thermique (Conduction +Convection) _____________________________________ 139 Ailette cylindrique (Conduction +Convection) _____________________________________ 139 Paroi chauffante (Conduction +Convection)_______________________________________ 140 Mesure de la conductivit dans une enceinte (Conduction +Convection)________________ 141 Bilan thermique dun local (Conduction +Convection) ______________________________ 141




Etude dun stockage cylindrique (Conduction +Convection) __________________________ 142 Dperditions dun btiment (Conduction +Convection) ______________________________ 142 Echanges radiatifs dans un tube (Rayonnement+Convection) ________________________ 143 Etude dun four en rgime stationnaire (Rayonnement+Convection) __________________ 144 Paroi PCM (Rayonnement + Conduction +Convection)_____________________________ 145 Etude dune patinoire (Rayonnement + Conduction +Convection) ____________________ 146




Mesure de la conductivit thermique (Conduction)

Afin d'estimer la conductivit thermique d'un matriau, on construit un cube dont les faces sont constitues de ce matriau. (Surface de chaque face : 1m).

Les faces suprieures et infrieures du cube sont supposes parfaitement isoles (adiabatiques) et la temprature de l'air l'extrieur du cube est de 20C.

Pour une paisseur du matriau A de 4cm et lorsque l'on dissipe l'intrieur du cube une puissance de 100 W, la temprature intrieure est de 35C en rgime permanent. Avec la mme puissance, mais pour une paisseur du matriau A de 8cm, la temprature intrieure est de 45C.

1) Sans utiliser les corrlations empiriques relatives la convection, et sachant que les coefficients d'changes superficiels intrieurs et extrieurs sont constants et gaux, donner la valeur de la conductivit du matriau A.

2) Pour le dernier cas o lpaisseur du matriau A est de 8cm, on accole, sur une face un autre matriau inconnu B de 6 cm d'paisseur. En ngligeant la rsistance de contact, et en sachant que la temprature d'quilibre intrieure atteint 45,6C pour la mme puissance de 100W, donner la valeur de la conductivit du matriau B.

Etude dune paroi chauffante (Conduction)

Une paroi extrieure dun local chauff est constitue de lextrieur vers lintrieur de la manire suivante : - couche n1 Isolation extrieure 10 cm de polystyrne (i = 0,05 W/m.C) - couche n 2 Bton paisseur=10 cm b = 1 W/m.C - couche n 3 Pltre paisseur = 5 cm p = 0,5 W/m.C Entre les couches 2 et 3 est plac un film chauffant dpaisseur et de rsistance thermique ngligeables.

Le film chauffant est aliment (c = 35 W/m) et participe en partie au chauffage du local. Les conditions de tempratures l'intrieur Ti et l'extrieur Te tant connues, calculer les densits de flux i et e vacues respectivement vers lintrieur et lextrieur du local ainsi que la temprature du film chauffant Tc et la temprature de surface intrieure Tsi

A. N. : Ti = 20 C , Te = 0 C , 1/ hi = 0,11 m.C/W, 1/he = 0,006 m.C/W)




Mesure de la conductivit thermique (Conduction)

Un appareillage de mesure de conductivit thermique comprend : Une plaque chauffante de faible paisseur, de forme carre et de surface 1 m2 , dans laquelle on dissipe une puissance constante de 150W. De part et dautre de la plaque chauffante on dispose dune part un matriau de rfrence dpaisseur e1 =5cm et de conductivit 1=0.35W/m.K et dautre part un matriau de conductivit inconnue 2 et dpaisseur e2=10cm.Le contact thermique entre la plaque chauffante et les matriaux est suppos parfait. Le montage est ferm laide de 2 plaques changeuses dont le rle est de maintenir constante la temprature des 2 faces externes (T1 , T2) des 2 chantillons. Enfin le montage est isol latralement afin de considrer que les transferts de chaleur sont unidirectionnels dans les chantillons.

T2

Les mesures obtenues en rgime permanent des tempratures sont T1 = T2 =20C P=150W Tp=26.8C (Temprature des faces des matriaux en contact avec la plaque chauffante) 1) Tracer le schma analogique traduisant les changes de chaleur au sein du dispositif. 2) Dterminer la conductivit thermique du matriau inconnu ?

Plaque chauffante (EPAISSEUR NEGLIGEABLE)

matriau inconnu matriau de rfrence

E1

1

E2

2 ?

Isolation latrale

Isolation latrale

T1Tp

Tp




Cration de chaleur dans un milieu unidirectionnel (Conduction) On dsire utiliser la chaleur dgage par la dcomposition des lments organiques dun compost (d'paisseur H) pour relever la temprature de retour dun systme de chauffage eau chaude. Pour cela, on envisage de placer des tubes de circulation du fluide dans le compost. La puissance volumique interne gnre par la dcomposition des lments organiques au sein du compost sexprime par :

P = Q sin ( .z ) (en W/m3)H

Q a une valeur constante pour z compris entre 0 et H . 1) Pour que le systme soit efficace, il faut que la temprature du compost soit suprieure 30C. Est-ce le cas pour z = H/2 ? 2) Evaluer la densit de flux et la temprature la surface du compost.

On fera les hypothses suivantes : - rgime permanent des tempratures - transferts de chaleur monodimensionnels - la surface de contact entre le sol et le compost est adiabatiques - la condition de Fourier la surface du compost (coefficient h, temprature ambiante Ta)

A.N. : H = 2m, Q = 30 W/m3, = 1 W/m.C, h = 10 W/m.K, Ta = 0C.

Etude dun rservoir sphrique (Conduction)

Un rservoir de forme sphrique (rayon r0), enterr dans le sol (de conductivit ) une profondeur suffisante pour que lon puisse supposer que le problme est symtrie sphrique, est utilis comme rservoir de stockage de la chaleur. La temprature de leau quil contient est suppose uniforme dans toute la sphre.

En travaillant en rgime permanent des tempratures, Calculer la quantit de chaleur Q perdue par le rservoir pendant un temps P entre leau la temprature Tm et le sol. On supposera que :

- La rsistance thermique de la paroi du rservoir est ngligeable vis--vis de celle du sol - Le coefficient dchange superficiel paroi-eau est infini - La temprature dans le sol une distance suffisante de la sphre est constante Tsol

Quelle serait cette quantit de chaleur si lon tient compte dun coefficient dchange eau-surface du rservoir non infini.

On rappelle que le laplacien de la temprature exprim en coordonnes sphrique se met sous 1 2 (rT )la forme : T = r r 2




Cration de chaleur dans un corps sphrique (Conduction)

Dans un combustible de forme sphrique (rayon R, conductivit thermique ), la puissance d 2 2thermique cr par unit de volume sexprime par la relation = A.(R r ) dv r

En faisant le bilan pour une sphre de rayon r, donner la rpartition spatiale de temprature T(r) dans la sphre en rgime permanent.




Facteur de forme (Rayonnement )

Une demi sphre A2 de diamtre d change avec 2 surfaces appartenant son disque de base. La premire surface A1 est un disque de diamtre d/2, lautre surface A3 est la couronne qui correspond la diffrence des deux surfaces : disque de base de la demi sphre surface A1.

Donner la valeur des 9 facteurs de forme.


Un cylindre ferm de diamtre de 1 mtre et de hauteur de 1 mtre est plac au centre d'une sphre de rayon gal 1 mtre.

Donner la valeur du facteur de forme de la surface intrieure de la sphre avec le cylindre.


Dans un canal cylindrique ouvert de longueur infinie, des changes radiatifs ont lieu entre deux

surfaces : A1 qui est le plan de base A2 qui est le quart de cylindre Donner la valeur des diffrents facteurs de forme.


Un cube (1) d'un mtre de ct est situ au centre d'une sphre (2) d'un diamtre de 6m.

a) Donner la valeur de tous les facteurs de formes existants entre l'extrieur du cube et l'intrieur de la sphre.

b) Quelle est la valeur du facteur de forme d'une face du cube avec l'intrieur de la sphre, ainsi que le facteur de forme rciproque.




Etude dun cylindre (Ondracek) (Rayonnement )

Un lment chauffant (1) cylindrique, trs long, dun diamtre de 20mm et dune temprature de 700K a pour fonction de chauffer (dans le vide) un petit lment de surface dS2 situ 40mm de laxe du cylindre. Ce petit lment est parfaitement isol sur sa face infrieure cest dire que cette face est adiabatique.

1) Montrer, par la mthode dOndracek, que le facteur de forme de ce petit lment dS2 par rapport au cylindre (1) est gal 0,24.

P

dS2 40 mm

2) Quelle est la temprature dquilibre de dS2. On supposera que le cylindre et le petit lment sont noirs et que lenvironnement ne rayonne pas (seuls le cylindre et le plan sont prendre en compte)

3) Quelle serait la temprature dquilibre de dS2 si le cylindre est noir et le petit lment est gris ( = 0.5)

4) Mme question si les deux corps sont gris (( = 0.5) 5) Si lon fait intervenir le rayonnement de lenvironnement que lon peut assimiler une demi

sphre rayonnant comme un corps noir la temprature de 300K, donner dans les conditions de 2) (tous les corps sont noirs) la temprature dquilibre de dS2 qui est pos sur le plan P de base de la demi-sphre.

Enceinte prismatique (Rayonnement )

On considre une enceinte prismatique trs longue dont la section droite est un triangle quilatral. Les trois surfaces intrieures sont noires et leurs tempratures sont respectivement :

S1 : T1 = 100C

S2 : T2 = 300C

S3 : T3 = 0C

1) Quels sont les valeurs des diffrents facteurs de formes entre les surfaces intrieures de lenceintes ?

2) Calculez les densits de flux net radiatif des trois surfaces net 1, net 2, net 3. 3) On place au centre de gravit du triangle dune section droite un sphre noire de dimension trs

petite. Quelle est sa temprature dquilibre.

4) Que devient cette temprature dquilibre si cette sphre est grise ( = 0,5) ?




Bilan dune plaque (Rayonnement ) Une plaque horizontale de dimension 1m x 1m, situe dans le vide, reoit sur sa face suprieure du rayonnement provenant du soleil (E= 450 W/m). Sa face infrieure est adiabatique.

1) La face suprieure est noire, quelle est alors sa temprature d'quilibre ?

2) Cette surface est maintenant grise pour le rayonnement solaire et noire pour son mission infrarouge. Sachant que sa temprature dquilibre est de 0 C, quelles doivent tre les proprits radiatives de la face suprieure pour que cela soit possible ?

3) Dans quelle condition thorique la plaque peut se trouver une temprature d'quilibre de 0K?

Dans un deuxime temps cette plaque horizontale est maintenue 50C, et situe dans de l'air 20C et change de la chaleur par convection naturelle sur ses 2 faces.

4) Si l'on nglige tous les changes radiatifs, quelle puissance de chauffage doit-on fournir pour que la plaque se maintienne la temprature d'quilibre de 50 C ?

Nota : Les coefficients dchange convectif seront valus laide des corrlations dcrites dans le polycopi du cours ?

5) Si l'on ne nglige plus les changes radiatifs GLO sur les 2 faces noires, quelle sera cette nouvelle puissance ? On supposera que les faces changent de deux cts avec un environnement noir 20 C qui entoure compltement la plaque.

6) Aux changes convectifs et radiatifs grandes longueurs d'onde des 2 faces, sajoute un clairement solaire de 450 W/m sur la face suprieure (noire pour ce rayonnement), quelle remarque particulire peut-on faire concernant la nouvelle puissance obtenue ?

Echange entre 2 plans parallles (Rayonnement )

1) Calculer le flux chang par mtre carr de surface entre deux plans infinis parallles P1 et

P2 dont les facteurs dmission sont respectivement 1 = 0,5 et 2 = 0,8 et les tempratures T1 =

1000K et T2 = 300 K.

2) On remplace P2 par un autre plan infini P2 parallle P1. Sa temprature est maintenue

300 K et lon constate que le flux chang est alors la moiti du flux prcdent. Dterminer le

facteur dmission de P2.

3) Le plan P2 tant toujours 300 K le plan P1 nest plus maintenu 1000 K mais une autre

temprature. Le flux chang par unit de surface est alors de 42 kW/m2. Dterminer la nouvelle temprature T1 de P1.

4) Dans les conditions de temprature de 1), les deux plans parallles P1 et P2 sont de

dimensions finies (3 m x 3 m) et se font face une distance de 3 m.

Quel est, dans ces conditions, le flux net chang entre les deux plans ?




Etude radiative dun vitrage (Rayonnement )

Une paroi vitre dont la surface Sv se situe entre deux espaces, lun constitu dun local (surface S1) et lautre de lextrieur. Lextrieur peut tre assimil deux surfaces vues par le vitrage sous le mme angle solide, lune (S2) correspondant la vote cleste, et lautre (S3) correspondant au sol. Lobjet de ce problme est de faire des bilans thermiques dans des conditions particulires.

Hypothses gnrales : Rgime permanent. Seul les changes radiatifs sont pris en compte. Lmission et rflexion des surfaces sont diffuses. Le vitrage, ayant une faible paisseur, est suppos isotherme. Le vitrage est considr comme un corps noir pour les grandes longueurs donde.

Vote cleste

Sol

Local

S1

S2

Sv

S3

1.1) Lensemble des surfaces S1 du local est noir ; il en est de mme pour lextrieur (S2+S3). 1.1.1) Donner le schma de principe reprsentatif du problme. 1.1.2) Donner les 2 facteurs de forme de la vitre par rapport lextrieur (S2+S3) et au local (S1) mis en jeu. 1.1.3) Les surfaces du local (S1) sont 20C et lextrieur (S2+S3) est 0C. Donner la temprature dquilibre du vitrage.

1.2) Afin dtre plus raliste, lextrieur doit tre dcompos en deux parties : la vote cleste et le sol, ces 2 lments tant vus sous le mme angle solide.

1.2.1) Donner le schma de principe reprsentatif du problme. 1.2.2) Donner les 3 facteurs de forme mis en jeu vitre-local, vitre-vote cleste et vitre-sol. 1.2.3) Les surfaces du local sont 20C, la vote cleste est 0C et le sol est 10C. Donner la temprature dquilibre du vitrage.

1.3) Dans les conditions de 1.2), quelle est la temprature dquilibre du vitrage si les parois du local sont grises, le coefficient dmission tant de 0.5

1.4) Dans les conditions de 1.2), le vitrage reoit de lextrieur un rayonnement solaire quil va absorber partiellement.

1.4.1) Donner le schma de principe reprsentatif du problme. 1.4.2) Sachant que lclairement est de 400W/m2, que le coefficient dabsorption du vitrage est de 0.5 et le coefficient de rflexion de 0.5, donner la temprature dquilibre du vitrage.




Etude dun four (Rayonnement )

Un long four, hmicylindrique, de rayon 1m et de longueur infinie, utilis pour traiter du mtal, est

constitu de 3 zones (voir figure).

La zone de chauffage (1) est faite dun plateau de cramique maintenu la temprature de 1600 K

par un systme de chauffage au gaz. La zone (2) de traitement du mtal qui est maintenu 500 K.

Et enfin la zone (3) qui correspond une demie cylindre constitue de briques parfaitement

isolantes.

Ltude est faite en rgime permanent, les surfaces sont diffuses et lon ne considrera que les transferts par rayonnement (la convection est nglige). 1) Donner les diffrents facteurs de forme mis en jeu sachant que la largeur des zones 1 et 2

sont gales 1m. 2) Toutes les surfaces sont noires : 2.1) Donner le flux net qui est dissipe par le chauffage (par unit de longueur du cylindre) 2.2) Quelle est, dans ces conditions, la temprature de surface de la surface des briques (3). 3) La surface de llment chauffant (1) est grise (1 = 0,85) la surface du mtal est noire et la

surface des briques est grise (3 = 0,6). 3.1) Donner dans ces conditions le flux net par unit de longueur du cylindre dissipe par le

chauffage. 3.2) Quelle est alors la temprature de surface de la brique (3).




Echanges radiatifs dans une enceinte ferme (Rayonnement )

(3) On considre une enceinte compose de 3 surfaces (1), (2) et (3). On veut valuer les pertes de chaleur par la surface (3).

L Donnes : T1 = 273 K (1) (2) T2 = 283 K

T3 = 293 K

L = 2m

(3) 1) Le facteur de forme de (1) vers (3), F13, est gal 0,01. (F13 = 0,01). Dterminer les facteurs de forme F12 et F23 2) Les trois surfaces sont assimiles des surfaces noires ( = 1).

2-a : Tracer le circuit lectrique analogique traduisant les changes radiatifs.

2-b : Calculer les flux changs entre les surfaces (1), (2) et (3).

2-c : en dduire le flux net de la surface (3).

3) les surfaces (1), (2) et (3) sont maintenant des surfaces grises. (1 = 2 = 3). Tracer le circuit lectrique analogique reprsentant les changes radiatifs entre les 3 surfaces. * Surface (3) : S3

Remarque : pour les rseaux lectriques, vous indiquerez les expressions des RESISTANCES.

Echanges radiatifs dans un local (Rayonnement )

Un local cubique est compos de 3 surfaces tempratures diffrentes. La vitre reprsente la moiti suprieure dune des 4 faces verticales (S1 = 4,5 m). Sa temprature de surface intrieure T1 = 0C. Lallge reprsente la moiti infrieure de la face prcdente S2 = 4,5 m. Elle est suppose parfaitement isole. On a dispos sur sa face intrieure un film chauffant dont la temprature est T2 = 40C. Les 5 autres faces (S3 = 45m) sont une temprature uniforme T3.

Ces trois surfaces sont opaques au rayonnement de grandes longueurs donde.

1) Donner tous les facteurs de forme des trois surfaces S1, S2 et S3.

2) Toutes les surfaces sont noires et la surface S3 est considre lquilibre thermique, quelle est

sa temprature dquilibre ? Quelle est la puissance dissipe par le film chauffant ?

3) En ralit le flux net de cet paroi S3 est de - 450 W., c'est dire que la paroi perd vers l'extrieur

ce flux.

- Donner les radiosits des 3 surfaces

- Calculer la temprature dquilibre de la surface 3.

- Quel est alors le flux dissip par le film chauffant.

4) Dans les mmes conditions que 3), on considre que les surfaces 1, 2et 3 ne sont plus noires (coefficients dmission 1, 2, 1)

Donner et dfinir le schma analogique reprsentatif du problme (on ne fera pas l'application numrique)




Rayonnement solaire sur une plaque (Rayonnement )

On se propose d'valuer l'lvation de temprature d'une plaque d'aluminium soumise au rayonnement solaire direct pendant 30 secondes (on ngligera l'effet du rayonnement solaire diffus et de l'environnement).

Nous envisagerons les trois cas suivants :

- la plaque d'aluminium est place sur une toiture oriente au sud et faisant un angle de 30 avec l'horizontale ;

- La plaque d'aluminium est place sur une faade oriente au sud ; - La plaque d'aluminium est place sur une terrasse.

1) Calculez l'clairement de cette plaque dans les trois cas prcdents sachant qu'il est midi ( heure solaire) et que l'on se place en un lieu de latitude 50 Nord au mois de mai ce qui correspond une hauteur angulaire du soleil au-dessus de l'horizon de 60. L'clairement sur un plan normal au rayonnement solaire est alors de 700W/m.

2) Calculer l'lvation de temprature de la plaque que l'on supposera grise aprs 30 secondes d'insolation dans chacun des trois cas prcdents.

- paisseur de la plaque : 3mm, - absorptivit ou missivit de la plaque d'aluminium : 0,6, - chaleur massique de l'aluminium : 0,9 Kj/Kg. K - masse volumique : 2700 Kg/m3

Nota : On supposera que la plaque ne cde pas de chaleur pendant la dure d'insolation considre et que la face non claire est parfaitement isole.

3) On considre maintenant un vitrage plac sur la faade oriente au sud. Dans les mmes conditions d'clairement que prcdemment les proprits du vitrage vis vis du rayonnement solaire sont les suivantes :

v (rflectivit) = 0,08 v (absorptivit) = 0,15 On supposera que le flux solaire absorb par le vitrage est entirement restitu aux ambiances intrieure et extrieure (40% vers l'intrieur, 60% vers l'extrieur), calculez alors la fraction du flux solaire incident sur le vitrage pntrant dans le local.

4) Le vitrage est maintenant protg par un store plac paralllement au vitrage dont les proprits sont les suivantes :

s = 0,51 s = 0,37 Lorsque le store est plac l'extrieur du local on supposera que le flux absorb par le vitrage est entirement vacu par l'air extrieur. Au contraire lorsque le store est intrieur ce flux absorb est compltement acquis l'ambiance intrieure. Calculer dans les deux situations prcdentes la nouvelle fraction de flux solaire arrivant dans le local.




Etude dun four (Rayonnement )

Dans un four de forme cubique de 4,5 cm de ct, la vote est maintenue la temprature de 1 250 C et sert chauffer un bain en fusion constituant la sole dont la temprature est de 335 C. (vote = partie suprieure du four , sole = partie infrieure). 1) Dterminer le flux de chaleur reu par le bain sachant que ce dernier un facteur dmission de

0,3 et que les autres parois du four mettent comme des corps noirs. 2) Dterminer la temprature des parois latrales que lon supposera parfaitement isoles

thermiquement.

Etude dun satellite (Rayonnement )

Un satellite sphrique tourne continuellement sur lui-mme et reoit du soleil un clairement de 1350 W/m2. On veut maintenir le satellite une temprature dquilibre de 16C. Pour cela une partie A du satellite est couverte de peinture grise de coefficient dabsorption de 0,1 et le reste B est couverte dune peinture de coefficient dabsorption 0,8 pour le rayonnement solaire et dun coefficient dmission de 0,2 pour le rayonnement mis.

Donner le pourcentage x = A / (A+B) pour que la temprature soit maintenue 16C.

Bilan dun disque entre 2 plans (Rayonnement )

Un petit disque noir est plac gale distance de deux disques noirs de 3m de diamtres qui sont distants entre eux de 6 m. Les surfaces des trois disques sont parallles. Si le milieu environnant est la temprature de 0K c'est dire que l'on nglige les changes radiatifs, dterminer la temprature des deux grands disques qu'il faut maintenir pour que la temprature du petit disque soit de 538C.

Dans le cas o il n'y aurait qu'un seul grand disque quelle devrait tre sa temprature pour avoir la mme temprature du petit disque c'est dire 538C.

Emission dune sphre noire (Rayonnement )

Suivant un rapport publi en 1950 par la commission de lnergie atomique, on peut reprsenter approximativement une bombe hydrogne par une boule de feu, considre comme un corps noir, la temprature de surface de 4000K.

Calculer lmission totale dnergie rayonnante en sachant que cette boule a un diamtre de 1.6 km.

Quelle est la longueur donde correspondant au maximum dmission. Si latmosphre absorbe les radiations infrieures 0.3m, comment peut-on estimer (sans

calculer la valeur numrique) le pourcentage de rayonnement absorb par latmosphre. En ngligeant ce rayonnement absorb, donner lclairement reu par un mur situ une

distance de 50 km de lexplosion (le mur est normal la direction de lexplosion) Quelle est lnergie reu par ce mur pendant les 10 secondes que durent lexplosion..




Etude dun cable chauffant (Rayonnement )

Un cble chauffant lectrique (1) est plac au centre d'une gaine (2), le vide tant fait entre le cble et la gaine.

3.1) En ngligeant les effets de bord aux extrmits, donner la valeur des diffrents facteurs de forme.

3.2) Le cble doit dissiper une puissance de 50 W sans que sa temprature ne dpasse 800 K. Sachant que les deux surfaces sont noires, donner la temprature maximale que doit avoir la gaine.

3.3) Que devient cette temprature si le cble a un coefficient d'mission = 0.9 et la gaine un coefficient = 0.8

3.4) Dans les conditions de la question 3.3), donner la temprature maximale de la gaine si l'on place un cylindre cran de diamtre 1 cm et de coefficient d'mission = 0.6

Etude dune pice rectangulaire (Rayonnement )

Une pice rectangulaire (L=10m. , l=4m. , h=3m) a ses diffrentes parois des tempratures diffrentes :

Le sol (10*4m) est 20C Le plafond (10*4m) est 40C Une faade verticale (10m*3m) est 0C Les autres parois verticales sont 20C

Un petit lment plan dS1 est plac au centre de la pice et proximit immdiate du plancher (sans contact toutefois).

1) Donner les diffrents facteurs de forme relatifs cette petite surface. 2) Donner la temprature dquilibre de cette surface si toutes les surfaces sont noires. 3) Quelle est cette temprature si les surfaces sont grises de mme coefficient dmission

(=0.5)




Estimation de coefficients dchanges superficiels (Convection)

Une paroi plane verticale, de rsistance thermique ngligeable, dune hauteur de 1 mtre (comme par exemple un vitrage) spare deux fluides (air), lun 20C et lautre 0C.

1) Convection naturelle En supposant que la temprature de la plaque est gale la moyenne des tempratures des 2 fluides, quelles sont les valeurs des deux coefficients dchange extrieur et intrieur ? Lhypothse relative la temprature de la plaque est-elle justifie ? 2) Convection force Dans les conditions de convection force lextrieure de la paroi (vent de 5 km/h), quelle serait alors le coefficient dchange convectif prendre en considration lextrieur.




Etude dune paroi plane (Conduction +Convection) Une paroi plane est compose de deux couches homognes de deux matriaux A et B. Le matriau A a une conductivit A = 75 W/m.K et dans cette couche dpaisseur eA = 50 mm une cration de chaleur uniforme a lieu ; la puissance volumique cre est pA = 1,5 106 W/m3

Dans le matriau B de conductivit B = 150 W/m.K, il ny a pas de cration de chaleur et lpaisseur de cette couche est eB = 20mm.

La face externe du matriau A est suppose parfaitement isole (adiabatique), linterface entre les matriaux A et B est suppose sans rsistance de contact, et la face externe du matriau B est refroidie par de leau qui est la temprature de 30C. Le coefficient dchange eau-matriau B est de 1000 W/m.K.

Avec les hypothses suivantes : - rgime permanent des tempratures. - conduction unidirectionnelle - proprits constantes des matriaux A et B.

1) Donner les tempratures des trois faces des deux matriaux (cest dire les 2 faces extrieures et linterface)

2) Connaissant les valeurs de ces 3 tempratures, dessiner schmatiquement la rpartition des tempratures dans le mur.

3) Quelle serait la valeur du coefficient dchange convectif si lon ne connaissait que la vitesse de leau : v = 4m/s. (la hauteur du mur est gale 1m).

Condensation sur un vitrage (Conduction +Convection)

La condensation apparat sur la vitre arrire d'une voiture lorsque la temprature de la vitre ( la surface intrieure) descend en dessous de 15C. Pour prvenir ce phnomne, on fixe un film transparent chauffant sur la surface intrieure de la vitre. A l'intrieur de la voiture, la temprature d'air est de 25C et le coefficient d'change convectif de 10 W/m.K. La vitre a 4 mm d'paisseur (conductivit du verre : verre = 1 W/m.K). L'air extrieur autour de la voiture est 0C. On suppose que la vitesse de l'air extrieur au voisinage de la vitre est gale la vitesse de la voiture. Les effets radiatifs sont ngliger.

a) Pour une voiture roulant 130 km/h, calculer la puissance du film chauffant ncessaire pour maintenir la temprature de 15C requise (pour 1m de la vitre). On peut assimiler la vitre arrire une plaque de 50 cm de hauteur.(viscosit dynamique de lair =1.7 10-5 Pa.s , Pr=0.71)

b) Lorsque la voiture est l'arrt, le coefficient d'change convectif extrieur est gal 14 W/mK. Que devient alors la temprature de surface (le film chauffant fonctionne avec la puissance trouve en a) ? A-t-on vraiment besoin d'utiliser le film chauffant pour maintenir la surface de la vitre 15C?




Confort thermique (Conduction +Convection)

En rgime permanent, la sensation de fracheur ressentie par un individu est due laugmentation

du coefficient dchange superficiel la surface de la peau.

On peut assimiler la peau une couche de tissus de 3mm dpaisseur de conductivit thermique 0.2

W/m. K et dont la temprature de la surface intrieure serait de 36C.

Pour des conditions climatiques calmes (pas de vent) le coefficient dchange superficiel de la peau

est de 25 W/m K alors quil peut atteindre 65 W/m K lorsque le vent a une vitesse de 30 km/h.

Dans ces deux cas, la temprature ambiante de lair est de 15C.

1) Donner le ratio des densits de flux changs pour un jour sans vent par rapport celui existant pour une journe venteuse.

2) Quelle sera la temprature de surface de la peau dans chacun de ces cas. 3) Quelle serait la temprature dair extrieur en air calme qui donnerait la mme densit de

flux que dans le cas o la temprature extrieure est de 15C pour le jour venteux (~=30 km/h)

Ailette cylindrique (Conduction +Convection)

T2 , H2

E

r1

r

r+DR

r2

T1

Figure n1 Figure n2 : vue de dessus

Un tuyau de rayon r1, dans lequel circule un fluide la temprature T1, est muni dune ailette cylindrique de rayon r2 (figure n1), dpaisseur e et de conductivit. La vitesse du fluide tant leve, on peut considrer que la temprature de surface interne du tuyau (r = r1) est gale T1. Le tuyau et lailette baignent dans une ambiance la temprature uniforme T2. Le coefficient dchange convectif h2 est le mme sur toute la surface du tuyau et de lailette.

En supposant que la symtrie cylindrique est parfaite et en crivant le bilan nergtique dune petite couronne cylindrique comprise entre r et r+dr (figure n2) et dpaisseur e, dduire lquation diffrentielle rgissant le transfert de chaleur radiale dans lailette. Ecrire les conditions aux limites du problme. Donner la dfinition de lefficacit de lailette.




Paroi chauffante (Conduction +Convection)

(1) (2) (3) Une paroi extrieure dun local chauff est constitue de lextrieur vers lintrieur de la manire suivante : - Couche n 1 Isolation extrieure 10 cm de

polystyrne ( )0, 05 /i W m C = - Couche n 2 bton 10cm 1 /b W m C = - Couche n 3 Pltre 5cm 0,5 /p W m C =

Int. Ti

hi Entre les couches 2 et 3 est plac un film chauffant dpaisseur et de rsistance thermique ngligeables.

Film chauffant

1) Le film chauffant ntant pas aliment (le chauffage du local est alors assur par un autre quipement) , calculer la densit de flux traversant la paroi .

(Ti = 20 , e = 0 C 1/ hi = 0,11 2 / 1/ he = 0,06 m2 / )C T m C W C W Ce sont les dperditions relatives la paroi par unit de surface.

2) Le film chauffant est maintenant aliment (c = 35W/m2) et participe en partie au chauffage du local. Les conditions de tempratures Ti et Te tant les mmes, calculer les densits de flux et i et e vacues respectivement vers lintrieur et lextrieur du local ainsi que la temprature du film chauffant Te et la temprature de surface intrieure Tsi. On calculera galement le rapport / reprsentant le pourcentage de dperditions supplmentaires par rapport la situation du 1er paragraphe.




Mesure de la conductivit dans une enceinte (Conduction +Convection)

Une enceinte ferme cubique de 0,5m de ct est constitue de 6 parois homognes de mme constitution ( = 0,5 W/mC et e = 0,025m). Les coefficients dchange superficiel extrieurs et intrieurs sont les mmes : h = 10 W/m2C. On utilise, pour maintenir une temprature intrieure Ti constante, un systme de chauffage de puissance P. Lenceinte est situe dans un local dont la temprature Te est constante et gale 20C.

1) Sachant que la temprature intrieure Ti est gale 70C, donner la valeur de la puissance P ncessaire pour maintenir cette temprature.

2) Afin de dterminer la conductivit dun matriau, on substitue une face du cube une paroi de conductivit inconnue x et dpaisseur 0,025m. Avec la mme puissance que prcdemment, la temprature intrieure dquilibre obtenue est 68.6C. Donner la valeur de la conductivit du nouveau matriau.

3) Dans les conditions de la premire question, cest--dire lorsque les 6 parois sont les mmes, que devient la temprature intrieure, si avec la mme puissance trouve en 1), tous les coefficients dchange sont gaux 50 W/m2C.

Bilan thermique dun local (Conduction +Convection) Remarque : les changes radiatifs ne sont pas pris en compte

Un local est dcrit par 3 surfaces :

1/ Une faade (1) de 2,5 x 4m constitue de 2 vitrages (ev = 5mm, v = 1W/m.K) et dune lame dair confine prsentant chaque interface avec les vitres un coefficient dchange superficiel hva = 3W/m2.K Les coefficients dchange extrieur et intrieur sont he = 16 W/m2K et hi = 8 W/m2K Les tempratures extrieures et intrieures sont respectivement Te = 0C et Ti = 20C.

2/ un plancher et un plafond (2) de 16m2 chacun, sont constitus dune dalle bton (eb = 0.15m b = 1.5 W/m.K) et dune couche disolation (ei = 4cm i = 0.04 W/m.K) Ces 2 lments sont en contact avec lextrieur Te = 0C.

3/ Les 3 parois latrales (3) sont formes uniquement de bton (eb = 0.15m, b = 1.5 W/m.K) sans isolation et sont en relation avec des locaux de mme tat

thermique que le local concern.

Les coefficients dchanges intrieur hi et extrieur he sont identiques pour toutes les surfaces.

- Reprsenter le rseau analogique traduisant les changes de chaleur entre lintrieur et lextrieur. Calculer les dperditions de la faade (1) ainsi que celles du plancher et plafond runis [surface (2) ].

- Quelle est la puissance installer pour maintenir la temprature intrieure Ti = 20C ?. Dterminer les tempratures de surface intrieure de (1), (2) et (3).




Etude dun stockage cylindrique (Conduction +Convection) Une cuve de stockage dun fluide est constitue dun cylindre de longueur et de diamtre intrieurs respectivement L = 2m et D = 1m ; les extrmits de cette cuve sont faites de deux hmisphres (1/2 sphres). Lpaisseur de lenveloppe est de 20 mm de conductivit 1,4 W/m K., et le coefficient dchange superficiel extrieur est de 10 W/m2.K.

Ce stockage est utilis pour maintenir de lhuile une temprature leve, la surface intrieure est dans ces conditions de 400 K. et la temprature de lair extrieur est de 300K.

1) Quelle puissance lectrique doit-on dissiper dans cette cuve pour que cette condition de temprature intrieure soit maintenue ?

2) Si cette puissance lectrique devient nulle, quelle sera alors la temprature du fluide ?

Dperditions dun btiment (Conduction +Convection) On considre un btiment cylindrique surmont dune toiture en forme de coupole

hmisphrique. Soit Ti et Te les tempratures intrieures et extrieures supposes constantes.

1) Calcul des dperditions par les parois verticales : Donner lexpression du flux total traversant ces parois de hauteur H, de rayon intrieur R et de rayon extrieur R + e. La conductivit de ces parois est et les coefficients dchange extrieur et

intrieur sont respectivement he et hi .

2) Calcul des dperditions par la coupole : La coupole est constitue dun voile en bton (conductivit thermique b) isol extrieurement par

une coquille isolante (conductivit i ). Les paisseurs du voile eb et de la coquille ei sont donnes.

Dans un systme symtrie sphrique, le Laplacien est donn par lexpression :

T = d2 T/dr2 + 2/r dT/dr Donner la forme de la fonction de rpartition de temprature dans les matriaux (le calcul des constantes dintgration nest pas demand), la rsistance thermique globale Rtc et le flux total transmis par la coupole c . Les coefficients dchange hi (du ct intrieur) et he (du ct extrieur) sont connus.




Echanges radiatifs dans un tube (Rayonnement+Convection)

La section dun long tube circulaire, qui est divis en deux conduits semi - cylindriques par une membrane trs fine (pas de conduction), est reprsente sur la figure ci-contre.

Les demi-cylindres 1 et 2 sont maintenus respectivement des tempratures de T1 = 600 K et T2 = 400 K. Les tempratures sont constantes pour toute la longueur du tube. Les trois surfaces internes du tube sont noires.

T1

T2

T3

TG1

TG2

1) En ngligeant les changes par convection, cest dire en supposant le vide dans le tube, donner la temprature dquilibre de la paroi 3.

2) Les deux parties du tube sont remplies dun gaz . Tous les coefficients dchanges convectifs intrieurs sont gaux 5 W/m.K

- Donner dune part le schma analogique des changes convectifs et dautre part celui des changes radiatifs.

- Montrer quen linarisant les changes radiatifs sous la forme rad=hr.S.(Ti-Tj), il est possible dobtenir un rseau analogique quivalent celui dfini en convectif, c'est dire en temprature.

- Quelles sont alors les tempratures dquilibre de la paroi 3 et des 2 gaz ?



rfractaire


Etude dun four en rgime stationnaire (Rayonnement+Convection)

Soit un four tunnel destin au traitement thermique de produits manufacturs .Il comprend - la sle (surface S1) constitue dune couche de matriau rfractaire( er ,r) et dune couche de

matriau isolant (ei,i), sur laquelle on dispose une nappe chauffante (paisseur ngligeable)dissipant par effet Joule une puissance P.

- la vote hmicylindrique (surface S2) de longueur L compose uniquement dune couche de rfractaire(er,r).

La temprature de lair extrieur du four est Text=20C. On notera hci le coefficient dchange convectif des surfaces intrieures du four et hce le coefficient relatif aux surfaces extrieures .

Donnes : e r=10cm , r=0.5w/mC , ei=10cm , i=0.05w/mC hci=50w/m2C hce=10w/m2C , L=1m.

On considre une tranche de four de longueur unitaire afin de pouvoir ngliger les pertes des faces avant et arrire du four

Tint

Nappe chauffante

L=1m

er

ei isolant

hce

Text

.

S2 TS2

S1 TS1

hci

rfractaire er

R=0.5m

h

Text bhce

1) Dans un 1er temps les changes radiatifs ne sont pas pris en compte. - Reprsenter le schma analogique traduisant lensemble des changes entre le four et

lenvironnement Text - Dterminer les flux haut (h ) et bas (b ) ainsi que la puissance P du plan chauffant permettant

datteindre en rgime permanent une temprature dair intrieur Tint =500C. - Calculer les tempratures Ts1 de la nappe chauffante et Ts2 de la surface intrieure de la vote.

2) Dans un deuxime temps, on considre les changes radiatifs entre les 2 surfaces Ts1 et Ts2. La surface (1) est noire, la surface (2) est grise dmissivit 2=0.7.

- Exprimer le flux radiatif chang entre les 2 surfaces. Linariser ce flux et montrer quil sexprime sous la forme rad= hr S1(Ts1-Ts2) .

- Evaluer le coefficient hr ( appel coefficient dchange radiatif ) en fonction des tempratures Ts1 et Ts2 obtenues au 1 .

- Reprsenter le schma analogique du four prenant en compte les changes radiatifs entre les 2 surfaces intrieures.

- Pour la mme puissance P que celle obtenue au 1 , en dduire les nouvelles valeurs de Ts1 ,Ts2, h, b et Tint




Paroi PCM (Rayonnement + Conduction +Convection) Une paroi, utilise pour absorber et stocker de lnergie solaire, est constitue dun matriau changement de phase (PCM) dpaisseur L contenu dans une coque mtallique qui spare le PCM des ambiances extrieures et intrieures (voir schma). Ltude sera faite en rgime permanent des tempratures et dans des conditions de transferts de chaleur unidirectionnels. De plus, lexception du rayonnement solaire, le rayonnement grandes longueurs donde ne sera pas pris en compte. La face extrieure absorbe totalement le rayonnement solaire E, ce qui permet le maintien de la temprature de surface extrieur Ts,1 au dessus du point de fusion du PCM. Dans la paroi, la partie liquide et solide du PCM est spare par une interface plan vertical . Le liquide a une temprature moyenne Tm et est en mouvement dans la zone liquide, ce qui induit le mme coefficient dchange convectif hm linterface liquide-solide du PCM et la surface de la coque.

Les donnes du problme sont les suivantes : Ensoleillement solaire absorb : E = 1000 W/m Temprature de lair extrieur et intrieur T,1 = T,2 = 20C. Coefficient dchange superficiel extrieur de la paroi h1 = h2 = 20W/m.C Temprature moyenne du liquide PCM Tm = 50C Coefficient dchange convectif dans le liquide PCM hm = 10W/m.C Conductivit thermique du solide PCM s = 0,5 W/m.K

A1) En ngligeant la rsistance thermique de la coque mtallique donner : 1.1 La temprature de surface extrieur Ts,1 1.2 Lpaisseur de la zone liquide sachant que lpaisseur totale de la paroi L est de

0,10 m. 1.3 Quelle est alors la temprature la surface intrieure TS,2?

A2) A partir des rsultats obtenus dans 1) quelles sont les coefficients dchange convectifs h1 et h2 quil aurait fallu prendre en compte en convection naturelle (rgime laminaire), sachant que la paroi a une hauteur de 2,50 m. A3) Quelle erreur est faite sur les tempratures de surface extrieures Ts,1 et Ts,2 lorsque lon nglige la rsistance thermique de la coque mtallique. Lpaisseur de la tle est de 2mm et sa conductivit de 100W/mC

B) Si lensemble de la paroi dpaisseur L est en fusion la temprature Tm=50C, au bout de combien de temps va-t-elle atteindre la solidification (Ts=30C) sachant que le rayonnement solaire est nul. On supposera que la temprature du liquide est homogne, que la rsistance thermique de la coque mtallique est ngligeable, que les tempratures des fluides T,1 et T,2 sont toujours de 20C et que les coefficients h1 et h2 sont de 20W/m.C. La chaleur massique du PCM en fusion est de 2000J/kg.K et sa masse volumique de 900 kg/m3




Etude dune patinoire (Rayonnement + Conduction +Convection) Une patinoire peut tre assimile une demi sphre, son plancher(glace) de 1000m est une temprature de surface de 0C et lenveloppe du btiment (la demi-sphre) est une temprature de surface intrieure de 20C.

1) En ne tenant compte que des changes radiatifs de grandes longueurs d'onde et en supposant toutes les surfaces noires, donner :

a) le flux net total enveloppe-plancher. b) La temprature d'quilibre d'une petite sphre noire situe a proximit du centre du plancher.

2) Afin de crer des conditions intrieures assez confortables, la temprature de l'air intrieur est

maintenue par un systme de chauffage air puls 18C, les autres tempratures de parois restant

inchanges. Le coefficient d'change convectif de la patinoire est de 10 W/m.K

Donner, dans ces conditions, le flux total chang par la surface de la patinoire.

3)La vote demi sphrique du btiment est constitue dune dalle de 10cm dpaisseur et de

conductivit 0.5 W/m.K. Quelle est la temprature de la surface extrieure ?

4) Ce complexe sportif est utilis temporairement pour jouer au basket-ball : pour cela un plancher

de bois recouvre la patinoire sans que la glace ne puisse fondre.

Entre le plancher et la glace ( 0C) il est laiss une lame d'air de rsistance thermique 0,2 mK/W. Le plancher, d'une paisseur de 2,5 cm, a une conductivit de 0,2 W/m.K. Le coefficient dchange

convectif suprieur du plancher est toujours gal 10 W/m.K. Donner, dans ces conditions :

a) le flux total que doit vacuer le systme de refroidissement qui maintient la glace 0C. b) la temprature de surface suprieure du plancher.



Page de titreSommaireAvant proposBibliographieNomenclatureTransferts de chaleur par rayonnementTransferts de chaleur par conductionTransferts de chaleur par convectionTransferts de chaleur multimodesTransferts de chaleurExercices de rfrenceRayonnement : Problme introductifFacteur de formeEchanges radiatifs dans un local de forme cubiqueEstimation de la temprature de vote clesteEchanges radiatifs entre surface noires et grisesMur soumis conditions limites de type DirichletMur en rgime permanent avec cration interne de chaleurMur en rgime permanent avec conductivit variableMur soumis changes superficielsMur multicouche en rgime permanetEtude en rgime permanent d'un chauffage lectrique par plancherIsolation thermique de tubes cylindriquesCratoin de chaleur en coordonnes cylindriquesTrempe d'une bille mtallique (rgime variable)Oscilations thermiques dans le sol (rgime variable)Estimation des coefficients d'change superficielAilette de refroidissementLe doigt de gant

Contrles 3GCU depuis 1990Mesure de la conductivit thermique (Conduction)Etude dune paroi chauffante (Conduction)Mesure de la conductivit thermique (Conduction)Cration de chaleur dans un milieu unidirectionnel (Conduction)Etude dun rservoir sphrique (Conduction)Cration de chaleur dans un corps sphrique (Conduction)Facteur de forme (Rayonnement )Etude dun cylindre (Ondracek) (Rayonnement )Enceinte prismatique (Rayonnement )Bilan dune plaque (Rayonnement )Echange entre 2 plans parallles (Rayonnement )Etude radiative dun vitrage (Rayonnement )Etude dun four (Rayonnement )Echanges radiatifs dans une enceinte ferme (Rayonnement )Echanges radiatifs dans un local (Rayonnement )Rayonnement solaire sur une plaque (Rayonnement )Etude dun four (Rayonnement )Etude dun satellite (Rayonnement )Bilan dun disque entre 2 plans (Rayonnement )Emission dune sphre noire (Rayonnement )Etude dun cable chauffant (Rayonnement )Etude dune pice rectangulaire (Rayonnement )Estimation de coefficients dchanges superficiels (Convection)Etude dune paroi plane (Conduction +Convection)Condensation sur un vitrage (Conduction +Convection)Confort thermique (Conduction +Convection)Ailette cylindrique (Conduction +Convection)Paroi chauffante (Conduction +Convection)Mesure de la conductivit dans une enceinte (Conduction +Convection)Bilan thermique dun local (Conduction +Convection)Etude dun stockage cylindrique (Conduction +Convection)Dperditions dun btiment (Conduction +Convection)Echanges radiatifs dans un tube (Rayonnement+Convection)Etude dun four en rgime stationnaire (Rayonnement+Convection)Paroi PCM (Rayonnement + Conduction +Convection)Etude dune patinoire (Rayonnement + Conduction +Convection)

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