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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL Departamento de Estruturas TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E ANISOTROPIA Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Revisão: Eng. Reinaldo Washington Moraes Campinas, Novembro 2009

Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

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Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

 

 

 

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS E 

ANISOTROPIA

Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia 

Revisão:  Eng. Reinaldo Washington Moraes 

Campinas,  Novembro ‐ 2009 

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2 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

 

 

 

 

 

 

Transformações de Coordenadas e Anisotropia 

 

 

 

 

 

 

 

NILSON TADEU MASCIA 

 

 

 

 

 

 

FEC‐UNICAMP 

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3 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

Nilson Tadeu Mascia FEC UNICAMP

Conteúdo 

1. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS ................................................................................. 4

2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................... 10

3. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO ............................... 15

4. TRANSFORMAÇÃO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE ................................................... 18

5. APLICAÇÃO DO MODELO ANISOTRÓPICO CILÍNDRICO NA MADEIRA. .................................... 22

5.1. Generalidades ......................................................................................................... 22

5.2. Estado de Tensão e de Deformação num Meio Contínuo Anisotrópico ................. 23

5.3. Anisotropia curvilinear ............................................................................................. 25

5.4. Anisotropia cilíndrica ............................................................................................... 27

5.5. Conclusões ou direções a seguir ............................................................................ 32

6. COORDENADAS CURVÍLINEAS ........................................................................................... 34

7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS ................................................................................... 37

8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O COMO UM

CILÍNDRICO .............................................................................................................................. 43

9. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA BASEADO EM LEKHNITSKII .......................................................... 48

10. FUNÇÃO DE AIRY E DE TENSÃO...................................................................................... 51

11. ANÁLISE DA RETRAÇÃO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE REDUÇÃO DE

DEFORMAÇÃO .......................................................................................................................... 56

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E BIBLIOGRAFIA ............................................................ 60 

 

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4 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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1. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

Este desenvolvimento teórico, aqui apresentado, foi baseado nos seguintes autores:

Spencer [1], Chung[2], Haskell[3], Renton[4] e Myklestad[5], dentre outros.

Um vetor é uma quantidade que é independente de qualquer sistema de

coordenadas. Se um vetor é introduzido num sistema de coordenadas ele será representado

por seus componentes, que serão diferentes em diferentes sistemas de coordenadas.

Seja a um vetor, ai seus componentes e ei os vetores unitários que formam a base

do sistema de coordenadas, tem-se:

… . .  

Considere agora ai* os componentes de a, e ei* os vetores unitários de outro

sistema de coordenadas obtido a partir de uma rotação de ei com a mesma origem O.

Então:

… . .  

Seja agora:

… ..

Onde Mij são os cossenos diretores de ei* relativo ao primeiro sistema de

coordenadas, ei. Então os Mij são os componentes de ei* no primeiro sistema de

coordenadas. Assim:

… ..

e a relação recíproca de (4), é:

… ..

Pelo fato de ei* serem mutuamente ortogonais entre si, tem-se:

· … ..

e:

· · · …

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5 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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desde que δij δji , com i , j de 1 a 3, representam que há uma série de seis relações entre

as nove componentes de Mij.

Considerando-se agora o seguinte desenvolvimento :

 

e reciprocamente:

pode-se, então, relacionar as componentes de a ou ai em quaisquer dois sistemas de

coordenadas através do tensor ou matriz de transformação.

É usual escrever ao invés de componentes ai as coordenadas de um determinado

ponto P como xi. Neste caso é suficiente reescrever as compontentes com a outra notação.

No caso de tensores de segunda ordem aij e *ija , que englobariam as matrizes

equivalentes, a transformação de coordenadas seria:

Generalizando-se para qualquer ordem de tensores, mas até a quarta ordem para o

presente interesse,tem-se:

Considerando Mij como elementos ou componentes de uma matriz quadrada M ,

tem-se:

… E pelo fato de:

ou M  ­1=MT   e detM=1 , M é definida como matriz ortogonal e denominada matriz de

transformação de coordenadas.

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6 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Desta forma, a matriz M=Mij que define a nova base em termos de vetores unitários

da base velha é uma matriz ortogonal.

Assim em termos vetoriais (a , a*) e matriciais (M) chega-se a: ( Renton)

Analogamente a (10), com o uso os vetores colunas a e b tem-se que o produto escalar

entre estes vetores é dado por:

· · · …

e com:

· · ·

·

onde : , prova-se do mesmo modo que (7) a ortogonalidade de M.

No caso de matrizes A, A* e vetores a , b , a* e b* pode-se escrever:

…  

Mas:

para qualquer bT , tem-se:

e a transformação inversa seria:

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7 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Seja agora a seguinte transformação de coordenadas:

com Mij expressando uma rotação positiva, sentido anti-horário, θ de xi para em torno da

origem do sistema de coordenadas O.

Plano Espaço

Figura 1- Sistema de referência girado em torno de x3

Neste sentido, considerando-se uma rotação positiva (anti-horária) em torno de x3

pode-se escrever:

Considerando-se agora o caso geral com três rotações em torno de x1, x2 e de x3,

respectivamente e representados pelos índices 1, 2 e 3. Primeiramente em torno de x1:

Depois em torno de x2:

Daí:

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8 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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E finalmente em torno de x3:

Mas recorrendo-se de (21) obtem-se:

Daí tem-se:

Colocando-se este equacionamento em termos de equivalentes matrizes pode-se

escrever:

- rotação em torno de x1

-rotação em torno de x2 

Observa-se que neste caso o sinal negativo está em outra posição e relaciona com o

posicioonamento dos eixos.

-rotação em torno de x3 

Onde θx ,θy e θz são chamados de ângulos de Euler.

Daí:

ou:

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9 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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daí:

Observa-se que a ordem da multiplicação de matrizes, por exemplo: [A][BC]=[D]

ou [AB][C]=[D] não importa. Não se pode trocar a posição das matrizes pois o produto

de matrizes não é , em geral, comutativo.

A figura mostra as três transformações realizadas.

Rotação em X3 Rotação em X2 Rotação em X1

Figura 2- Transformações realizadas

Uma observação importante é feita por Myklestad sobre os intervalos dos ângulos de Euler.

Deste modo:

,,

e θy está neste intervalo, pois o efeito de θy passando para θy + π é o mesmo de θy

passando para θy ­ π , simultaneamente θx para θx + π e θz para θz + π .

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10 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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2. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Goodman e Bodig [6], em 1970, apresentaram a seguinte relação de transformação

de coordenadas:

φ φ φ

φ φ φ …

A figura mostra os ângulos de rotação.

Figura 3- Transformação de coordenadas de Goodman e Bodig.

Esta transformação pode ser discretizada da seguinte maneira:

- rotação de um ângulo θ em torno do eixo L:

. …

-rotação negativa de um ângulo φ em torno do eixo R:

φ φ

φ φ. …

Daí deprende-se a seguinte relação:

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11 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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ou em termos de matrizes:

φ φ

φ φ . …

resultando a matriz dada por (35) .

Esta transformação tem uma certa limitação pois o eixo L  permanece no plano

formado por x1 ­ x3 .

Uma outra transformação de coordenadas é apresentada por Bindzi e Samson [7],

em 1995. Eles determinaram a seguinte relação:

φ φ φ ψ φ φ ψ φ ψ

ψ ψ …

A figura mostra os ângulos de rotação.

Figura 4- Transformação de coordenadas de Bindzi e Samson.

Da mesma forma que a relação anterior pode-se discretizar esta transformação da

seguinte maneira:

-rotação de um ângulo φ em torno do eixo L :

φ φ

φ φ. …

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12 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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- rotação de um ângulo ψ em torno do eixo R :

. …

Daí pode-se escrever a seguinte relação:

ou em termos de matrizes:

ψ ψψ ψ

φ φφ φ . …

Ao se considerar rotações negativas em torno de L e de R finalmente resultarão a

matriz dada por (40).

Observa-se que nesta transformação R o eixo permanece no plano x – y.

Em 1997, Hearmonson e Cramer et alii [8,9] apresentaram a seguinte transformação de

coordenadas:

λ λλ λ

φ φφ φ …

Daí:

λ φ λ φ λ φ λ φ λφ φ λ φ λ φ λ φ λ

φ φ…

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13 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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A figura mostra os ângulos de Euler e os sinais correspondentes.

Figura 5- Ângulos de Euler.

Posto isto, Hearmonson colocou estes ângulos em função dos ângulos das arestas

α , β  e γ das faces de um bloco de madeira , conseguindo relacionar as propriedades de

elasticidade nas direções principais de elasticidade com estes direções. A figura ilustra estes

ângulos.

Figura 6- Transformação de coordenadas de Hearmonson.

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14 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Daí:

…  

E as componentes do eixo L no plano x­z resultam:

No plano y­z:

e o ângulo γ  vale:

γ …

Determinam-se os elementos da matriz de transformação em função dos ângulos

das arestas. Os ângulos de Euler ficam, então, sendo:

φ ;

φ;

λγ φ γ φ

γ φ γ φ…

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15 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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3. TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO

Como os componentes de tensão se referem a um tensor de segunda ordem, então:

onde σij  é o tensor das tensões.

Em termos matriciais:

com σ  valendo:

.…

Analogamente para as deformações tem-se:

E termos de matrizes: …

com ε  valendo:

.…

Introduzindo agora a notação reduzida apresentada por Ting [10,11], com os índices

1, 2 e 3 correspondendo a por exemplo x , y e z , pode-se reescrever as tensões como:

; ; ;

; ; ; … .

e as deformações:

; ; ;

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16 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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; ; ; … .

Daí em termos de tensores tem-se:

e:

com Kij e Keij ,a serem definidos a seguir, seriam equivalentes ao produto Mim Mjn.

Observa-se que a forma reduzida das deformações é diferente da de tensões no que

se refere às deformações tangenciais.

Em termos matriciais:

com:

e:

,

,

,

Pode-se escrever também:

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17 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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e:

Mas, também ( como será visto a seguir):

Devido à (58)  e (59) a transformação de ε em notação reduzida é diferente

daquela de σ.

Para uma rotação θ em torno de x3 como feito em (22) K é escrita como:

…  

e K­1 é escrita trocando-se θ por ­θ como se segue:

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18 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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4. TRANSFORMAÇÃO DE PROPRIEDADES DE ELASTICIDADE

Sendo a relação entre tensões e deformações escrita por:

onde Cijkl é o tensor de constantes de elasticidade, num outro sistema de coordenadas

esta relação tornar-se-ia:

Com:

… ,

… ,

resulta em:

… .

e se segue com:

…  

Analogamente para a relação inversa entre tensões e deformações tem-se:

com Sijkl sendo chamado de tensor de compliância .

Lekhnitskii[12,13] apresenta estas relações constitutivas também em forma tensorial

reduzida através de:

com os elementos qij iguais ao elementos da matriz K apresentados anteriormente.

Observa-se que se pode relacionar as formas normal Sijk e reduzida Sij por :

(1)   se i e j valem 1, 2, 3;

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19 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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(2)    se um dos dois índices, i ou j, vale 4, 5, 6;

(3)    se ambos os índices, i e j, valem 4, 5, 6.

Este rearranjo vem do fato da forma reduzida para as deformações tangencial ser

diferenciada das tensões tangenciais por 2. O tensor Cijkl é o mesmo de Cij .

Apresentando–se agora em forma matricial reduzida , com σ e ε vetores, pode-se

escrever:

ε…

ou:

.

εεεεεε

e a relação inversa por:

ε …

e:

εεεεεε

.

Num outro sistema de coordenadas, estas relações (75) e (77) podem ser obtidas

da seguinte maneira:

Utilizando-se da propriedade de matrizes (ou tensores)transpostas :

,

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20 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Obtêm-se:

Colocando-se que a energia de deformação (W ) pode ser escrita por:

ε ε …

E sendo a energia independente do sistema de referência chega-se a:

ε ε ε ε …

Portanto:

Com (81), num outro sistema de coordenadas, e (84):

resultando em:

…  

E similarmente para a matriz de compliância, utilizando-se

e também:

e daí:

Portanto:

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21 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Hermanson apresenta a matriz T, similar a K, associando os eixos principais de

elasticidade da madeira com os eixos da borda de um corpo de prova cúbico. Desta forma,

fazendo-se a seguinte analogia: os primeiros índices dos elementos de K, mij,1, 2 e 3

seriam iguais a R, T e L e os segundos índices 1, 2, e 3 iguais a x, y e z.

Por exemplo, a matriz K1 ficaria igual a:

Por exemplo os elementos S11  , S 22 , S 33   seriam dados por:

com i=x,y,z .

E os S44 , S55   e  S66 por:

com  

ij = yz, zx, xy.

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22 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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5. APLICAÇÃO DO MODELO ANISOTRÓPICO CILÍNDRICO NA MADEIRA.

5.1. Generalidades

Este texto refere-se aos conceitos teóricos da anisotropia cilíndrica aplicada ao

material madeira. Este estudo está baseado em pesquisadores como Lekhnitskii, et alli

[12,13], Noack e Roth[14], Foschi[15] , Carrier[16] , Green e Zerna[17], Hearmon[18],Hsu e

Tang[19], dentre outros.

Carrier [16] apresenta uma análise matemática sobre placas finas de um material

com propriedade de anisotropia cilíndrica. São feitas algumas aplicações considerando-se o

estado plano de tensões. Utilizando as equações de equilíbrio, as relações deformação-

deslocamento e a Lei de Hooke, em coordenadas cilíndricas, pode-se chegar à função de

Airy (φ) para este caso:

φ φ

φ

φ

Com o emprego de uma função de tensão em termos de r e θ, são construídos

diagramas de tensões e de deformações para placas carregadas na direção radial.

Outra aplicação da função de tensão é feita por Foschi[15] no estudo de estruturas

curvas de madeira. Seguindo a mesma base teórica de Carrier, Foschi fez uma análise

numérica, via elementos finitos, destas estruturas, com anisotropia cilíndrica.

Com base nestes trabalhos, Noack e Roth[14], apresentam uma interessante análise

matemática da teoria da elasticidade de materiais ortotrópicos, considerando-se a

anisotropia romboédrica(retilinear) e a cilíndrica. Em seguida são feitas algumas aplicações

da teoria para estruturas curvas em madeira laminada.

Green e Zerna [17] apresentam um estudo sobre a distribuição de tensões numa

peça tracionada com um orifício interno. Estas distribuições são comparadas com um

material isotrópico e podem-se observar os diferentes comportamentos quando as tensões

são aplicadas longitudinalmente e quando são aplicadas normalmente a direção longitudinal.

A seguir é apresentada a conceituação teórica da anisotropia cilíndrica, tendo como

base os trabalhos de Lekhnistikii.

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23 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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5.2. Estado de Tensão e de Deformação num Meio Contínuo Anisotrópico

No estudo dos estados de tensão e de deformação num sólido anisotrópico

produzido por cargas externas, devem-se considerar as seguintes hipóteses:

- as tensões em qualquer plano do sólido e sua superfície são forças por área;

- pequenas deformações;

- material segue a Lei de Hooke;

- tensões iniciais sem relação com a carga externa são desprezíveis (tensões

térmicas, por exemplo).

Desse modo, pode-se aproximar a teoria da anisotropia elástica para a teoria

clássica da elasticidade linear homogênea ou não homogênea. Assim problemas de

dinâmica, instabilidade, vibrações, grandes deformações, assim como anisotropia não

elástica não são consideradas.

O sistema de referência é o cilíndrico r,θ, z e o tensor das tensões é dado por:

- em coordenadas cartesianas:

como se pode observar na figura:

Figura 7- Tensões -Sistema cartesiano e cilíndrico de coordenadas.

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24 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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As projeções de deslocamento de um ponto, de modo geral, são escritos por:

ur, uθ , uz em coordenadas cilíndricas.

O tensor das deformações é dado por:

γ γ

γ γ

γ γ

As relações deformações-deslocamento são dadas por:

- sistema cartesiano:

γ γ γ …

- sistema cilíndrico

γ γ

γ …

Finalmente as equações de equilíbrio são dadas por:

- sistema cartesiano:

…  

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25 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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- sistema cilíndrico:

…  

 

 

5.3. Anisotropia curvilinear

Lekhnitskii descreve que num sólido homogêneo com anisotropia retolinear, todas as

direções paralelas são equivalentes com respeito às propriedades de elasticidade, e todos

os elementos na forma de paralelepípedo retangular com respectivas faces paralelas tem as

mesmas propriedades de elasticidade.

Sólidos homogêneos podem ter anisotropia curvilinear ou retolinear. A anisotropia

curvilinear é caracterizada por direções equivalentes não paralelas, mas obedecendo

algumas leis. Ao se escolher um sistema de referência com coordenadas ortogonal

curvilinear, de tal modo que as direções em cada ponto coincidam com as direções

equivalentes, relativo às propriedades de elasticidade, percebe-se que, os elementos

infinitesimais isolados por três pares de planos coordenados terão as mesmas propriedades

de elasticidade.

A madeira, devido a sua própria constituição (interna e externa), revela-se

ortotrópica. Podendo-se citar Perkins[20] e Mascia[21] a respeito de se considerar o

comportamento homogêneo num nível macroscópico, porém heterogêneo a nível

microscópico. Os eixos de simetria elástica são os eixos longitudinal, L, tangencial, T, e

radial, R. Observa-se, claramente, que dependendo da curvatura dos anéis de crescimento,

a superfície L‐T não é plana, mas se aproxima de um configuração cilíndrica, a superfície

L‐R se dispõe buscando o centro desta suposta curva cilíndrica. Finalmente, observa-se

que a camada R‐T é formada por curvas aproximadamente concêntricas, tendo-se como

referência o eixo longitudinal.

Isto implica em que, dependente desta configuração, pode-se associar a madeira

tanto a anisotropia retilinear quanto a anisotropia curvilinear. No primeiro caso os eixos

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26 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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cartesianos x,  y,  z  são os eixos  L, T, R, e no segundo caso, associa-se os eixos do

sistema curvilíneo r, θ ,  z  aos eixos R, T, L.

Figura 8- Sólido homogêneo, com anisotropia curvilinear.

Considere-se, então, um sólido homogêneo, com anisotropia curvilinear e que

obedeça a Lei de Hooke generalizada, isto é, as componentes de deformação são funções

lineares das componentes de tensão e vice-versa. As coordenadas em questão são ξ,η,γ.

Assumindo que exista um potencial elástico, a Lei de Hooke generalizada neste caso

pode ser escrita por:

Estas equações contem, em geral, 21 constantes de elasticidade, mas somente 18

delas independentes, da mesma maneira de um sólido anisotrópico linear. Neste caso, as

equações da Lei de Hooke podem ser escritas num sistema ortogonal, mas os termos Sijkl

não seriam constantes na anisotropia curvilinear, devido à mudança de direção das

coordenadas. A equação acima é simplificada, pois o sólido exibe simetria elástica e estas

simplificações são as mesmas do caso de anisotropia retolinear. Assim, pode-se falar em

ortotropia curvilinear, isotropia transversal para qualquer ξ,η,γ.

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27 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Por outro lado, o conceito de anisotropia curvilinear pode ser generalizado para

sólidos não homogêneos, uma vez que Sijkl é função da posição. Isto torna o problema e a

solução ainda mais complexo.

Dos diversos tipos de anisotropia curvilinear, dois são de maior interesse:

(1) anisotropia cilíndrica;

(2) anisotropia esférica,

mas somente a primeira será aqui analisada.

5.4. Anisotropia cilíndrica

Lekhnistikii apresenta as simplificações que existem na equação (104)  em vista

das considerações de simetria elástica. Deste modo, seja uma linha reta g um eixo de

anisotropia com relação a um sólido. Todas as direções paralelas a g, e passando por

diferentes pontos são equivalentes; todas as direções que interceptam g por ângulos retos

(radial) são também equivalentes; e todas as direções ortogonais as duas primeiras são

equivalentes se elas forem confinadas a três pares de superfícies:

- dois planos normais a g, dois planos passando por g e duas superfícies cilíndricas

com eixo g em comum.

Figura 9- Direções paralelas e equivalentes.

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28 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Tomando-se o eixo de anisotropia g  como eixo z de um sistema de coordenadas

cilíndrico r, θ, z pode-se escrever a Lei de Hooke como:

γγγ

Se o sólido é não homogêneo, os coeficientes Sijkl são funções das coordenadas

cilíndricas.

É essencial relatar que se o eixo de anisotropia passa fora do sólido, por exemplo,

dentro de uma cavidade, as equações anteriores não são questionáveis. Mas se o eixo de

anisotropia passa através do sólido homogêneo, é necessário existir relações entre os

diferentes Sijkl . Além disto, com o z coincidindo com o eixo g não há diferença entre as

direções r e θ, e todas as direções r devem ser equivalentes não somente entre elas, mas

também entre todas as direções tangenciais θ. Quando se tem r  =  θ, ou seja,

intercambiando os índices r por θ e vice-versa, a Lei de Hooke se torna:

γγγ

ou:

.

Comparando-se os sistemas, obtêm-se as igualdades:

, , ,, , , …

havendo ao todo oito relações.

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29 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Se a cada ponto existe um plano de simetria elástica perpendicular a z ou então:

, , ,…

A condição dos elementos serem nulos refere-se à condição de simetria elástica que

existe na direção g ou z. A segunda condição, de igualdade entre alguns elementos, refere-

se ao intercâmbio entre os eixos r e θ.

Para um sólido ortotrópico com plano de simetria passando através do eixo de

anisotropia (radial ou tangencial), além disto, tem-se: S16=S26=S36=S46=0 e os

coeficientes não nulos são três igualdades: S22=S11, S23=S13, S55=S44.

γγγ

Observa-se que nos planos r, z e θ, z as constantes de elasticidade poderiam ter

valores próximos para a madeira, mas certamente Eθ não é igual à Er.

Todas essas igualdades são válidas para um sólido não homogêneo. Neste caso, os

Sijkl são funções de r,  θ,  z  e se tornam zero ou infinito sobre seu eixo. Num sólido

homogêneo, cujo eixo de anisotropia intercepta o sólido, os Sijkl são constantes e pode não

existir anisotropia de modo geral desde que as igualdades (108) necessitem ser atingidas.

Isto foi mostrado por Vogt, segundo Lekhtiniskii.

Usualmente, é mais conveniente tratar a terminologia das constantes num sólido com

anisotropia cilíndrica através das constantes de engenharia:

; γ

; γ

; γ

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30 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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onde o tensor Sijkl pode ser escrito por:

Se a estrutura do sólido é tal que o eixo de anisotropia intercepta fora da cavidade,

deve-se, necessariamente, ter: rzzrzr GG;;EE === θθθθ νν

OBSERVAÇÃO:

Seria interessante se admitir que os coeficientes de Poisson : θθ νννν zzzrrz ;;;

fossem iguais, como descrito em Patton-Mallory[22], e os módulos de elasticidade

longitudinal em θ e em r e os módulos de elasticidade transversal nos planos z, r  e θ , z

fossem valores próximos. Então, estar-se-ia trabalhando com um material transversalmente

isotropico,

Figura 10- Plano de isotropia.

que baseando-se nas operações dos itens anteriores, de simetria elástica, tem-se:

; ; ;

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31 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Assim, com a utilização da notação usual de engenharia, ou notação técnica, em

uma forma matricial, o tensor Sij torna-se:

Onde E ,E ′ = módulo de elasticidade no plano de isotropia e na direção normal a ele,

νν ′ , = coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direção normal a ele e

G , G ′ =módulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, também,

ou:

podendo-se escrever que:

Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de ijS são independentes. Mas os resultados

indicam a não validade deste modelo para a madeira, mesmo se considerando estes poucos

dados até então disponíveis.

Page 32: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

32 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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5.5. Conclusões ou direções a seguir

Tendo em vista o que se apresentou até aqui é possível direcionar este trabalho com

as seguintes considerações:

- a expressão a se usar seria a (107), tendo como base à hipótese de Perkins

admitindo-se que a direção r poderia ser a mesma de R e a direção de θ a mesma de T.

Deste modo, quando se analise um bloco de madeira considerando um ponto P com

coordenadas locais, cartesianas, L T R  e um sistema global , cilíndricas, z  r θ . Com isto

o efeito local seria L T R , com valores conhecidos e o efeito global cilíndrico.

Figura 11- Coordenadas locais e globais.

poder-se-ia admitir que TEE =θ seja constante com o ângulo θ e do mesmo modo para as

direções r , R e L , z .

Assim para um tronco de madeira a expressão a ser utilizada seria aquela da

ortotropia retilinear. Por outro lado, ao se considerar a aximetria existente, com a

aproximação de um tronco a um sólido de revolução, entre as deformações e tensões:

θθθθ σσγγ rzrz ;; = a relação entre as constantes de elasticidade se reduz a uma matriz 4x4,

como será visto a seguir. No entanto duas novas situações podem ocorrer:

T

L z 

θ 

Page 33: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

33 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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a) Se as fibras estiverem inclinadas em relação ao eixo vertical z . Esta situação é

bastante comum acontecer;

b) Se a geratriz, ou no caso da madeira se a medula estiver num ângulo não

coincidente com o eixo de referência, vertical, z. Esta situação seria poderia

acontecer na interecção do tronco principal com um tronco secundário.

Figura 12- Tronco com geratriz inclinada.

Page 34: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

34 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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6. COORDENADAS CURVÍLINEAS

Neste item é feita uma revisão sobre as coordenadas cilíndricas.

Seja a seguinte figura:

Figura 13- Sistemas de referências

Com r, φ , z ( 0≤ φ ≤ 2π) coordenadas polares e x1 , x2 , x3 coordenadas cartesianas de

P. pode-se escrever que:

φ ; φ ;

; φ ; …

Os versores dos dois sistemas de coordenadas podem ser relacionados por:

φ φ ;

φ φ φ ;

e inversamente por:

φ φ φ ;

φ φ φ ;

. …

Page 35: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

35 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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que define a matriz (ou o tensor) de transformação de coordenadas entres as bases:

φ φφ φ …

e:

φ ;

φ …

sendo M uma matriz ortogonal.

Seja agora a um vetor com componentes ai : (a1  a2  a3 ) no sistema cartesiano e

ai# (ar aφ  az) no sistema cilíndrico. Então:

φ φ …

Ou pode-se escrever na forma vetorial como:

;

#φ …

Podem-se relacionar estes dois vetores através da matriz de transformação de

coordenadas. Assim:

# ;

# …

Estendendo-se esta transformação para matrizes, sendo A em coordenadas

cartesianas e A# em cilíndricas pode-se obter:

# ;

# …

com:

Page 36: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

36 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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φ φφ φ

φ

; …

Como os componentes de tensão ou de deformação são tensores de segunda

ordem, portanto podem ser colocados no lugar de A.

φ φφ φ

φ; #

φ

φ φφ φ

φ

Observa-se que é usual utilizar a notação de τ para tensões tangenciais e de γ para

as deformações tangencias, respeitando-se a relação entre γ e ε·: ( )jiijij 21 εεγ += para se

manter o caractere tensorial entre as relações consideradas. Assim tem-se que:

#

γ γ φ γ

γ φ γφφ γφ

γ γ φ γ

As relações entre estes componentes e aquelas do sistema cartesiano são dadas por

(104).

Page 37: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

37 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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7. COORDENADAS GLOBAIS E LOCAIS

Caso a)

Seja um sistema de coordenadas global: x1 = r ; x 2 =  z ; x3 = θ  e um local:

x+1 = r ; x+2 = T e x+3 = L. ( Chung[2])

A rotação em torno de x+1 = x1 = r é dado por :

Considerando-se, por exemplo, dois autores, Hearmonson e Ting, pode-se ajustar a

transformação dada por (127) e escrever a matriz K, como se segue:

- Transformação de coordenadas:

;

- Relação entre tensões na forma reduzida:

; …

e finalmente tem-se KH vale:

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38 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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A matriz para o outro caso seria a mesma.

A relação entre as coordenadas globais e as locais para um tensor σij (que pode ser

a representação de um tronco de uma árvore, devido sua proximidade com a forma de um

cilindro, com as fibras inclinadas se um ângulo α do eixo do tronco) é escrita por:

ou:

φφ

φ

φ

Considerando-se agora a aximetria, onde as deformações e as tensões:

φφφφ σσγγ rzrz ,;, são nulas, pode-se trabalhar com a seguinte relação entre as tensões:

φφ

φ

φ

Ou:

φφ … ,

e as deformações seriam relacionadas por:

γ γ

ou:

Page 39: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

39 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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γγγγγγ

γγφφγγφγγ φ

ou: γγγγγγ

φφ

γ…

A partir destas relações pode-se fazer o caminho inverso e colocar as coordenadas

globais em função das locais, obtendo-se, deste modo, as tensões, deformações e,

especialmente, os elementos da matriz constitutiva. Estes elementos ficariam em função

daqueles elementos usualmente conhecidos, encontrados na literatura sobre o assunto.

Neste sentido, utilizando produtos de matrizes e matrizes identidades e considerando-se os

índices L para local e G para global, é possível chegar às seguintes relações:

e:

Com este procedimento ao se determinar as propriedades de elasticidade pode-se

extrapolar e determinar o comportamento de uma peça cilíndrica correspondente a um

tronco de madeira, como na figura:

Page 40: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

40 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Figura 14 – Coordenadas Globais e Locais num tronco de madeira.

Por exemplo, o módulo de elasticidade longitudinal na direção da geratriz seria dado por:

ou:

Caso b)

Considera-se, agora, um caso em que a geratriz ou a medula esteja inclinada em

relação à vertical. Esta situação pode acontecer numa região onde se tenha um tronco

secundário. Poder-se-ia, também, analisar outras possibilidades de inclinações, que se

difereriam pelas matrizes de rotação.

Seja um sistema de coordenadas global: x1 = r ; x 2 =  z ; x3 = θ e um local:

x++1 = R; x++2 = T e x++3 = L. 

A rotação em torno de x+1 = x1 = r é dado por :

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41 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Seja, agora, uma rotação em torno do eixo x++2 = T, dado por:

Daí a matriz de transformação pode ser escrita por:

A partir desta matriz pode-se determinar a matriz K e consequentemente a relação

entre as coordenadas globais e as locais para um tensor σij é escrita por:

e as deformações seriam relacionadas por:

γ γ

E a relação entre as constantes de elasticidade, em coordenadas globais e locais ou

vice-versa, determinadas por:

 

…  

A matriz K pode, como já visto, ser escrita através das seguintes sub-matrizes:

Page 42: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

42 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Considerando-se, também, a aximetria existente, chega-se a expressões

semelhantes do caso anterior, porém mais complexas.

Poder-se-ia pensar numa situação genérica em que estar-se-ia se referindo a

rotações quaisquer dos eixos principais de elasticidade. Neste caso, poder-se-ia utilizar as

expressões apresentadas no item, associando a aximetria existente.

Outros casos associados a fibras com configuração em especial, apresentada por

Bodig e Jayne[26] e que são comuns em eucaliptos do Brasil necessitaram de um estudo a

parte , tendo em vista que a variação das fibras é contínua e as propriedades teriam de ser

analisadas, basicamente, ponto a ponto. Neste caso, talvez, a adoção de uma técnica de

ensaios não destrutivos possa ser empregada, associada a um método numérico, via algum

programa, como ANSYS.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Page 43: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

43 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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8. EQUACIONAMENTO DOS DESLOCAMENTOS DO TRONCO CONSIDERANDO-O

COMO UM CILÍNDRICO

Este item foi baseado nos seguintes autores Leknhnistkii [12], Malvern[23], Saliklis[24] e Gopu[25]. 

Considere um tronco de madeira com a aproximação de um cilíndro com uma carga aplicada numa 

extremidade como na figura abaixo: 

Figura 15- Tronco com uma carga aplicada.

Para se ter a distribuição de tensões e de deformações é necessário se determinar seis

componentes de tensões e três projeções de deslocamentos satisfazendo as equações de

equilíbrio e as condições de contorno. Ao se considerar o caso de anisotropia cilíndrica com

o eixo z de anisotropia pode-se escrever que:

- equações de equilíbrio:

;

;

com R , Θ e Z forças de volume.

- relações deslocamentos-deformações:

; ; ;

;

Page 44: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

44 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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- relações constitutivas:

As tensões para este caso particular, não considerando o peso próprio, são dadas por:

; …

Substituindo-se estas tensões nas equações de equilíbrio verifica-se que são satisfeitas. Os

deslocamentos podem obtidos pela integração das deformações dadas pelas relações

constitutivas. Assim:

e:

δij o delta de Kronecker, e :

o tensor das deformações, e:

o tensor das rotações.

Podendo-se escrever, também, que:

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45 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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sendo eijk o tensor permutador, ou ainda em coordenadas cilíndricas:

;

;

; …

Assim para se o campo de deslocamentos basta integrar os diferenciais de deslocamentos.

Por exemplo:

E analogamente:

; …

Podendo-se observar que os deslocamentos dependem das deformações e das rotações. O

termo u0 é uma constante relativa às translações. Os três últimos termos desta expressão

podem ser separados pois envolvem rotações e translações. Escrevendo-se num sistema

cartesiano usual e considerando-se a convenção de sinais das equações, tem-se:

Nas outras ordenadas tem-se, analogamente:

; …

Page 46: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

46 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Lekhnitskii, utiliza coordenadas cilíndricas e utilizando-se das relações constitutivas

escreve os deslocamentos do problema, como se segue:

;

;

onde ω1 ,ω2 ,ω3  , u0 ,v0  e w0 são constantes que expressam rotações e

translações de corpo rígido.

Observa-se que este equacionamento se baseia-se na hipótese de o deslocamento na

direção do eixo do cilindro, nas condições de constância das tensões nesta direção, é

constante.

Verifica-se, depois dos cálculos, que as deformações tangenciais com a hipótese da

aximetria colocada valem:

;

;

Deste modo deve-se ter que S36 deve ser nulo.

As condições de compatibilidade também são satisfeitas( estas equações podem ser

encontradas em Malvern, p.669) :

;

;

;

;

;

Page 47: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

47 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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As condições de contorno neste caso dadas por:

;

implicam que os deslocamentos ortogonais ao engaste e a rotação no engaste não são

permitidas.

Ao se considerar os casos anteriormente apresentados onde as fibras da madeira estão

inclinadas em relação ao eixo vertical pode-se substituir as constantes de elasticidade no

sistema global pelas constantes do sistema local, como já feito anteriormente. Deste modo,

pode-se trabalhar com um tronco com fibras não verticais.

Page 48: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

48 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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9. CONCEITUAÇÃO TEÓRICA BASEADO EM LEKHNITSKII

Neste item, baseado em Lekhnitskii, será mostrado à conceituação teórica a respeito

do cálculo dos deslocamentos, deformações, tensões no caso de um cilindro com carga

axial (constante) aplicada em suas extremidades. A aplicação de momentos fletores e

torsores também é possível.

A tensão e a deformação na direção axial são consideradas constantes.

Seja, então, R e Θ as forças de volume e U*(x, y) o potencial associado por:

; …

As equações de equilíbrio se restringem a:

;

, …

e as relações constitutivas :

Fazendo a deformação normal em z igual a D e em seguida isolando-se a tensão

normal nesta direção tem-se:

Introduzindo-se os coeficientes de deformação reduzidos através:

, , , , , ,…

Page 49: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

49 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Observa-se que este tensor é simétrico e que 0i33i == ββ , para i =1 a 6.

Colocando-se, agora, as deformações como função dos deslocamentos pode-se

escrever:

;

;

;

; …

;

;

Através da integração das quarta, quinta e sexta equações pode-se obter os

deslocamentos. Nestas funções estão três novas funções, ),r(W),,r(V),,r(U θθθ .

Além disto, para satisfazer as equações primeira, segunda e sexta, D será função

linear de:

Depois de algumas manipulações matemáticas, Lekhnitskii apresenta dois sistemas,

um para U e V (correspondente a primeira, segunda e sexta equações de (169)):

;

; …

;

e outro para W (corresponde a quinta e quarta equações):

;

Page 50: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

50 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Pela eliminação das funções U,  V, W  destes sistemas, pode-se ficar com um

sistema de duas equações, somente em função das tensões. Para eliminar U e V do

primeiro sistema é utilizado da identidade:

utilizada por Hsu e Tang para determinar à constante A1.

Quando as funções U, V, W são determinadas os deslocamentos são determinados

por:

;

;

Nestas equações estão incluídos os deslocamentos de corpo rígido escritos por:

; ;

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51 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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10. FUNÇÃO DE AIRY E DE TENSÃO

Quando se tem o caso das tensões e das deformações serem independentes de x3

as equações de equilíbrio podem ser escritas como:

, , …

Aqui a vírgula nos índices indica derivada. Colocando-se que existe um potencial ϕi tal que:

, ; , , …

Desde que 2112 σσ = tem-se:

, , …

De acordo com Ting com a existência de um função potencial tal que:

, ; , …

Colocando, também, que ψϕ −=3 , tem-se:

, ; , ; , ;, ; , …

A função é denominada função de Airy χ e a função ϕ são denominadas função de

tensão e estas funções satisfazem as equações de equilíbrio.

Colocando-se as equações constitutivas, com notação reduzida de Ting, e inserindo

os coeficientes de deformação reduzido, tem-se:

Substituindo-se nas tensões as funções de tensão e de Airy chega-se à:

, , , , , …

onde:

Page 52: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

52 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Considerando-se agora as seguintes equações de compatibilidade de deformações,

também em notação reduzida:

, , ; , , , …

e inserindo a equação anterior chega-se à:

; …

com : )BSAS(S12 534333

−+−= ωΔ e A,  B  e ω são constantes e onde os operadores

diferenciais L4  L3  L2    de quarta, terceira e segunda ordem são iguais à:

;

;

Com isto Ting apresenta equações que resultam nas equações diferenciais de quarta

ordem que darão a solução das funções de tensão e de Airy.

Hashin[26]utiliza as funções de Airy χ para se chegar à equação diferencial de

quarta ordem, num caso plano de tensões, com procedimento análogo ao de Ting,

chegando à:

Os deslocamentos são dados por:

ƒ ;

onde f e g são funções arbitrárias.

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53 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Lekhnitskii considerando o caso da aximetria que existe no caso do cilindro com

carga axial, carga transversal externa e interna (caso de pressão), momento torsor é

apresentado às seguintes funções de Airy e de tensão, função apenas da variável r:

; …

As tensões são relacionadas a estas funções por:

; , ;

; ;

O sistema de equações para as funções de Airy é escrito por :

;

através do uso da equação (185), e com a transformação em coordenadas cilíndricas.

Condições de Contorno

As condições de contorno seriam:

- na surperfície:

quando : par r −=⇒= σ

quando: qbr r −=⇒= σ

- nas extremidades:

;

;

Estas duas últimas condições retratam a carga axial P e o momento torsor M.

Page 54: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

54 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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A solução geral para as equações diferenciais das funções de Airy e de tensão são

as seguintes:

;

com os termos: kk121 g;g;g;k;; −μμ são funções dos ijβ . Apresentando novamente k 

(como já colocado anteriormente):

Das constantes Ci que aparecem nestas equações C4 e C5 são nulas desde que as

tensões são nulas. As tensões são finalmente calculadas por:

;

;

No caso de se ter somente uma carga concentrada nas extremidades as tensões ficam

valendo:

;

; …

; ;

;

onde:

;

; ;

;

Page 55: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

55 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Para se determinar os deslocamentos a partir das tensões usa-se, então, as

equações constitutivas para calcular as deformações e daí por integração os

deslocamentos.

Page 56: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

56 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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11. ANÁLISE DA RETRAÇÃO CONSIDERANDO-SE OS COEFICIENTES DE

REDUÇÃO DE DEFORMAÇÃO

Hsu e Tang [19] fizeram um interessante estudo a respeito da retração na madeira,

considerando uma peça em forma de tronco sem forças externas. A retração deve ser

analisada sob o ponto de vista que gera tensões no tronco de madeira.

A retração (αi)  devido à variação de umidade foi computada como parcelas das

relações tensão deformações, em coordenadas cilíndricas, da seguinte forma:

; ;

; …

Devido à simetria radial o campo de deslocamentos é função de r e o deslocamento

na direção θ é nulo. Assim as deformações valem:

; ; …

onde c é assumido como uma constante.

Desde a deformação em z é constante as deformações são rescritas por:

; …

onde:

;

;

;

;

A equação de equilíbrio requer que:

…  

Page 57: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

57 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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Com isto o problema a ser resolvido é determinar a solução desta equação

conjuntamente com as equações constitutivas, considerando também a equação de

compatibilidade das deformações. Assume-se, então, uma função F(r), diferenciável em r ,

tal que:

; …

Verifica-se, claramente, que isto satisfaz a equação de equilíbrio. As equações

constitutivas ficam sendo dadas por:

;

Substituindo-se estas deformações na equação de compatibilidade:

obtem-se que:

e daí:

E a forma geral da solução desta equação diferencial é a seguinte:

onde: θθββ rrk =

. A tensões são agora determinadas e valem:

; …

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58 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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com três constantes desconhecidas.

A título de ilustração são apresentados alguns valores de k na tabela:

Tabela 1- Valores de k para algumas espécies de madeira

Teor de Umidade Espécies  6% 12% 20% Yellow-poplar  0, 677 0, 678 0, 679 Green ash  0, 761 0, 761 0, 760 Engelmann spruce  0, 725 0, 745 0, 745

Citando o trabalho de Ylinen, Hsu e Tang assumem que a parte interna do tronco da

árvore é constituída de um material macio. Desprezando-se esta parte o tronco da árvore se

torna um cilindro com uma cavidade interna. Assim o deslocamento deveria ser zero no

centro do cilindro. Desde que k é de um modo geral, maior que zero ur para r igual a zero 

chega-se A3 a igual a zero.

Além disto, por serem as deformações contínuas ( em r igual a zero), tem-se:

Chegando-se à:

Como não há carga externa, em r igual a R, a tensão é nula implicando que:

1k1

2 RAA −−=

.

Assim as tensões e o deslocamento ficam da seguinte forma:

;

;

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59 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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A constante c é determinada da seguinte modo. Desde que na há carga externa a

tensão no topo ou base do cilindro vale:

;

No caso de isotropia tem-se que as retrações (a, ao,az) são iguais e que k valendo

01(um) chega-se à sr=so=0.

Observa-se que a retração resulta em tensões, deformações e deslocamentos que

são somadas aquelas advindas de quando se tem uma carga externa. No caso de uma

força na direção axial, como visto anteriormente, e num caso, por exemplo, de uma carga

transversal. Neste caso a condição de contorno deve ser alterada. Assim quando se tem

uma pressão radial externa p no contorno, em r igual R, obtêm-se as tensões radial e

tangencial por:

;

; …

Esta pressão radial visa diminuir as tensões devido à retração. Colocando-se um

anel na extremidade de um tronco estar-se-á fazendo isto. A título de ilustração para uma

pressão radial externa de 30 kgf/cm2 , quando se passa da situação verde para 20% de

umidade para algumas espécies de madeira americanas, as tensões tangenciais internas de

compressão diminuem, por exemplo, de 300 para 130 kgf/cm2 e as de tração de 200 para

50 kgf/cm2.

Todo este trabalho desenvolvido por estes pesquisadores é baseado em Lekhnitskii,

como já apresentado.

Page 60: Transformacao de Coordenadas e Anisotropia

60 Transformação de Coordenadas e Anisotropia

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12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E BIBLIOGRAFIA

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