Transformaci 2003

UNIVERSIDAD DE GRANADA

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Apuntes de Clase

MTODOS DE TRANSFORMACIN

LLUVIA-ESCORRENTA Y DE PROPAGACIN DE

CAUDALES

Prof. Leonardo S. Nana

Asignatura: Hidrologa Superficial y Subterrnea

rea de Conocimiento: Ingeniera Hidrulica

Curso Acadmico 2002-03

Mtodos de Transformacin Lluvia-Escorrenta y de Propagacin de Caudales Leonardo S. Nana 2003

- ii -

0. NDICE 1. Transformacin lluvia-escorrenta......................................................................................... 1

1.1 ..El Hidrograma Unitario ................................................................................................. 1

1.1.1 Definicin e hiptesis bsicas ........................................................................... 1 1.1.2 Deduccin del hidrograma unitario................................................................... 4 1.1.3 Clculo matricail del hidrograma unitario ........................................................ 6 1.1.4 Aplicacin del mtodo del hidrograma unitario ............................................... 8 1.1.5 Hidrograma unitario instantneo..................................................................... 10 1.1.6 Hidrogramas unitarios sintticos..................................................................... 10 1.1.7 Hidrograma unitario sinttico de Snyder ........................................................ 10 1.1.8 Hidrograma adimensional del SCS................................................................. 14 1.1.9 Hidrograma unitario de Clark. Mtodo de las isocronas................................. 17 1.1.10 Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia .............................. 19

1.2 ..Modelos de depsitos .................................................................................................. 23 1.2.1 Modelo de sistema hidrolgico integral.......................................................... 23 1.2.2 Modelo de embalse lineal ............................................................................... 24

1.3 ..Modelo de onda cinemtica ......................................................................................... 26 2..... Propagacin de caudales...................................................................................................... 30

2.1 Propagacin de sistemas agregados o hidrolgica....................................................... 30 2.1.1 Propagacin de embalse a nivel ...................................................................... 32 2.1.2 Propagacin en cauces. Mtodo de Muskingum............................................. 35 2.1.3 Modelo de embalse lineal ............................................................................... 41

2.2 Propagacin distribuida o hidrolgica ......................................................................... 43 2.2.1 Propagacin mediante el mtodo de la onda cinemtica ................................ 45 2.2.2 Mtodo de Muskingum-Cunge ....................................................................... 52 2.2.3 Propagacin mediante el mtodo de la onda difusiva..................................... 53 2.2.4 Propagacin mediante el mtodo de la onda dinmica ................................... 53

3. Bibliografa.......................................................................................................................... 54


- 1 -

1. TRANSFORMACIN LLUVIA-ESCORRENTA Una vez que se ha estudiado el rgimen de precipitaciones de una cuenca, obtenido una lluvia de diseo asociada a un determinado periodo de retorno y estimado las prdidas con alguno de los modelos disponibles, de manera tal de encontrar la lluvia neta o efectiva, el paso siguiente es transformar esa lluvia efectiva en escorrenta o caudal. Esta transformacin puede llevarse a cabo mediante diferentes mtodos. El ms popular es el del hidrograma unitario, introducido por Sherman en los aos '30. Tambin es posible la utilizacin modelos de depsito y, si el nivel de informacin es el adecuado, tambin se pueden usar modelos basados en las ecuaciones del movimiento del fluido, especialmente en zonas urbanas. 1.1 El Hidrograma Unitario 1.1.1 Definicin e Hiptesis Bsicas El mtodo del Hidrograma Unitario tiene en cuenta, adems del rea y la intensidad de la lluvia, como lo hace el mtodo racional, la forma, pendiente y caractersticas fisiogrficas de la cuenca de estudio, aunque lo hace de forma implcita. El Hidrograma Unitario es el hidrograma de escorrenta directa causado por una lluvia efectiva unitaria (1 cm 1 mm, por ejemplo), de intensidad constante a lo largo de la duracin efectiva y distribuida uniformemente sobre el rea de drenaje (Sherman, 1932). El mtodo se basa en dos hiptesis: 1) La respuesta de la cuenca ante el proceso de escorrenta sigue un comportamiento lineal.

Esto significa que son aplicables los principios de proporcionalidad y superposicin. 2) No se tiene en cuenta la variabilidad temporal de las caractersticas de la cuenca, de manera

que una misma lluvia efectiva produce siempre el mismo hidrograma de escorrenta directa. Las condiciones que deben cumplirse en virtud de estas hiptesis son: 1) La lluvia efectiva tiene una intensidad constante dentro de la duracin efectiva: esta

condicin exige que las tormentas sean de corta duracin, ya que la tasa de lluvia efectiva sera mayor y aproximadamente constante en el tiempo, produciendo un hidrograma mejor definido, con pico nico y tiempo base corto.

2) La lluvia efectiva est uniformemente distribuida a travs de toda el rea de drenaje: en

virtud de esta condicin, el rea de drenaje no deber ser muy grande o bien deber ser subdividida en subcuencas de modo que se cumpla esta suposicin. El orden de magnitud del lmite superior que se maneja es de 300 a 400 km2 (Martnez Marn 1994)

3) El tiempo base del hidrograma de escorrenta directa resultante de una lluvia efectiva de una

duracin dada es constante. Para que el comportamiento de la cuenca sea considerado lineal, es necesario asumir que los hidrogramas de escorrenta superficial generados por lluvias netas de igual duracin tienen el mismo tiempo base, independientemente de la intensidad de dichas lluvias netas. Esta consideracin se extiende tambin, lgicamente, al tiempo de punta. La informacin hidrolgica real no es completamente lineal, pero los resultados obtenidos suponindola lineal son lo suficientemente aproximados para fines prcticos.


4) El hidrograma unitario de una duracin determinada es nico para una cuenca e invariante en el tiempo. Las caractersticas del cauce no deben tener cambios y la cuenca no debe tener almacenamientos apreciables (no debe tener embalses).

Principio de proporcionalidad Para una lluvia efectiva de una duracin dada, el volumen de lluvia, que es igual al volumen de escorrenta directa, es proporcional a la intensidad de dicha lluvia. Como los hidrogramas de escorrenta directa correspondientes a lluvias efectivas de la misma duracin, tienen el mismo tiempo base, se concluye que las ordenadas de dichos hidrogramas sern proporcionales a la intensidad de la lluvia efectiva (Figura 1.1). Es decir:

kQeQe

ieie

PePe

===

2

1

2

1

2

1

Donde Pe es el volumen de lluvia efectiva, ie, la intensidad efectiva y Qe, el caudal de escorrenta directa.

Figura Principio de superposicin Los caudales de un hidrogrsucesivas pueden ser halladcorrespondientes a las lluviocurren tales lluvias. La aplicacin de los principllamada ecuacin de convolu

kie ie

ie - 2 -

1.1: Aplicacin del principio de proporcionalidad.

ama total de escorrenta directa producidos por lluvias efectivas os sumando los caudales de los hidrogramas de escorrenta directa as efectivas individuales, teniendo en cuenta los tiempos en que

ios de proporcionalidad y superposicin llevan a la definicin de la cin discreta:

=

+=

Mn

mmnmn UPQ

11


- 3 -

Donde Qn es el caudal de escorrenta directa en el instante n, Pm, la precipitacin efectiva del bloque m y Un-m+1 los caudales por unidad de precipitacin efectiva del hidrograma unitario. Por ejemplo, si se desea encontrar el hidrograma de escorrenta directa correspondiente a una lluvia efectiva compuesta por M = 3 bloques de igual duracin e intensidades P1, P2 y P3 y las ordenadas del hidrograma unitario son N-M+1 = 6, U1 a U6, los caudales de dicho hidrograma se obtienen aplicando la ecuacin de convolucin, de la siguiente manera:

Q1 = P1U1 Q2 = P1U2 + P2U1 Q3 = P1U3 + P2U2 + P3U1 Q4 = P1U4 + P2U3 + P3U2 Q5 = P1U5 + P2U4 + P3U3 Q6 = P1U6 + P2U5 + P3U4 Q7 = P2U6 + P3U5 Q8 = P3U6

En la Figura 1.2 se muestra grficamente el mismo ejemplo de aplicacin del principio de superposicin:

Figura 1.2: Ejemplo de aplicacin del principio de superposicin. Fuente: Chow et al. 1994.


- 4 -

1.1.2 Deduccin del Hidrograma Unitario En el anterior apartado se vio que la ecuacin de convolucin discreta era:

=

+=

Mn

mmnmn UPQ

11

Dados la lluvia efectiva P y el hidrograma de escorrenta directa de la cuenca Q, pueden deducirse las ordenadas del hidrograma unitario U mediante el proceso llamado deconvolucin. Si existen M pulsos de precipitacin neta y N pulsos de escorrenta directa, pueden escribirse N ecuaciones para Qn, n = 1,2,...,N, en trminos de N-M+1 valores desconocidos del hidrograma unitario:

1

111

11221

1211

3122133

21122

111

000000000

0

+

+

++

+++++++=

+++++++=

++++=

+++=

++=

+=

=

MNMN

MNMMNMN

MMMM

MMMM

UPQUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPQ

UPQ

LLLL

MMMMMLL

MMM

Puede observarse que este sistema de ecuaciones est sobredimensionado, ya que tenemos ms ecuaciones que incgnitas. El nmero de ecuaciones es N, mientras que las incgnitas son slo N-M+1, donde M > 1. Ejemplo 1.1: Calcular el hidrograma unitario de media hora de duracin utilizando el hietograma de lluvia neta y el hidrograma de escorrenta directa de la Tabla 1.1. Solucin: El hietograma de lluvia neta est formado por 3 bloques, mientras que el hidrograma de escorrenta directa est formado por 11 valores, es decir que M = 3 y N = 11. Por lo tanto, tendremos N-M+1 = 11 - 3 + 1 = 9 ordenadas del hidrograma unitario. Las 11 ecuaciones quedaran planteadas de la siguiente manera:

9311

928310

9182739

8172638

7162537

6152436

5142335

4132234

3122133

21122

111

UPQUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPUPQUPUPUPQ

UPUPQUPQ

=

+=

++=

++=

++=

++=

++=

++=

++=

+=

=

Estas ecuaciones pueden resolverse por eliminacin gaussiana, que consiste en aislar cada una de las variables desconocidas y resolverlas sucesivamente. En este caso puede empezar a


- 5 -

resolverse desde arriba hacia abajo, a partir de U1 o bien, desde abajo hacia arriba, a partir de U9. Nosotros comenzaremos a partir de U1:

Tabla 1.1: Datos de lluvia neta y caudales de escorrenta directa de la tormenta del 24 al 25 de mayo de 1981 en Austin, Texas, segn Chow at al. 1994.

Tiempo Lluvia Neta Hidrograma de Esc. Dir.

Da hora mm m3/s 24 mayo 20:30

21:00 21:30 22:00 26,95 12,1 22:30 49,05 54,5 23:00 45,95 150,0 23:30 258,6

25 mayo 0:00 300,9 0:30 221,9 1:00 111,1 1:30 52,3 2:00 39,7 2:30 23,5 3:00 8,9 3:30 4:00 4:30 122,0 1233,5

mm/m 449,0

mm 95,26/m 1,12 33

1

11

ssPQ

U ===

mm/m 205,1

mm 95,26949,050,44 - 5,54 3

1

1222

sP

UPQU ==

=

mm/m 607,2

mm 95,26205,1054944909545 150 3

1

221333

s,-,,- P

UPUPQU ==

=

mm/m 796,2

mm 95,26607,20549205,19545 6,258 3

1

322344

s,,- P

UPUPQU ==

=

mm/m 628,1

mm 95,26796,20549607,295458,300 3

1

423355

s,,P

UPUPQU ==

=

mm/m 500,0

mm 95,26628,10549796,295458,221 3

1

524366

s,,P

UPUPQU ==

=

mm/m 433,0

mm 95,265,00549628,19545111 3

1

625377

s,,P

UPUPQU ==

=


- 6 -

mm/m 300,0

mm 95,26433,005495,095453,52 3

1

726388

s,,P

UPUPQU ==

=

mm/m 189,0

mm 95,263,00549433,095457,39 3

1

827399

s,,P

UPUPQU ==

=

Para comprobar que lo que hemos hallado es el hidrograma unitario, podemos calcular su volumen de escorrenta directa. Sumando todas las ordenadas del hidrograma unitario obtenemos 10,107 m3/s/mm. Si multiplicamos este valor por la amplitud del intervalo de tiempo considerado de media hora, o bien, 1800 segundos, hallaramos el volumen de escorrenta directa, que es 10,107 m3/s/mm1800s = 18192,6 m3/mm. Dividiendo este valor por el rea de la cuenca, que es de 18,2 km2 y haciendo las conversiones de unidades correspondientes, comprobaremos que el volumen de escorrenta directa del hidrograma unitario es de 1 mm. Si no se cumpliera este requisito, habr que ajustar todas las ordenadas del hidrograma unitario, de tal manera de que su volumen sea de 1 mm (o 1 cm, en su caso). Si hubisemos comenzado a resolver el sistema de ecuaciones desde abajo hacia arriba, habramos obtenido:

mm

/m 194,0mm 95,45

/m 9,8 33

3

119

ssP

QU ===

mm/m 304,0

mm 95,45449,050,19 - 5,23 3

3

92108

sP

UPQU ==

=

que no difieren mucho de los valores encontrados anteriormente. Algunas veces, el hidrograma unitario resultante, puede mostrar algunas variaciones errticas e incluso tener valores negativos. La causa de las variaciones errticas puede deberse a la no linealidad en la relacin lluvia neta-escorrenta directa en la cuenca considerada. Adems, las tormentas reales no son siempre uniformes en el tiempo y en el espacio, tal como requiere la teora, incluso dividiendo el hietograma de lluvia neta en bloques de corta duracin. 1.1.3 Clculo matricial del Hidrograma Unitario La ecuacin de convolucin discreta puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

=

+

+

N

N

M

M

MN

M

MM

MM

MMM

QQ

QQ

QQQ

U

UUU

PPP

PPPPPPPP

PPPPP

P

1

1

3

2

1

1

3

2

1

1

121

121

123

12

1

.

00000000000

000000

000000000000000

M

M

M

KKKK

MMMMMMMKKLK

MMMMMMMLLLLLL

[ ] [ ] [ ]QUP =


- 7 -

Dados [P] y [Q], usualmente no existe solucin para [U] que satisfaga todas las N ecuaciones. Si se da una solucin [U] que da como resultado un [Q] estimado como:

[ ] [ ] [ ]QUP = que satisface todas las ecuaciones. Se busca una solucin que minimice el error [Q] [Q] entre los hidrogramas observado y estimado. Solucin por regresin lineal La solucin por regresin lineal consiste en calcular las ordenadas del hidrograma unitario [U], conociendo las ordenadas de la lluvia efectiva [P] y los caudales de escorrenta directa de la cuenca [Q]:

[P][U] = [Q] [Nx(N-M+1)][(N-M+1)x1] = (Nx1)

[P]T[P][U] = [P]T[Q]

[(N-M+1)xN][Nx(N-M+1)][(N-M+1)x1] = [(N-M+1)xN](Nx1)

[PTP][U] = [PTQ] [(N-M+1)x(N-M+1)][(N-M+1)x1] = [(N-M+1)x1]

[U] = [PTP]-1[PTQ]

[(N-M+1)x1) = [(N-M+1)x(N-M+1)][(N-M+1)x1]

Solucin por optimizacin La solucin por optimizacin consiste en proponer a priori las ordenadas del hidrograma unitario mediante algn mtodo (HU triangular, SCS, etc), encontrar con ese hidrograma unitario un hidrograma de caudales calculadoQ y comparar esta solucin con el hidrograma de caudales observado Qn (Figura 1.3).

Figura 1.3: Diferencias entre un hidrograma unitario obtenido del clculo y otro observado. Fuente: Chow et al. 1994.


- 8 -

El objetivo sera minimizar el error entre los hidrogramas calculado y observado, a travs de la modificacin de las ordenadas del hidrograma unitario previo. Dicha minimizacin puede hacerse por programacin lineal, en donde la funcin a minimizar sera la siguiente:

=

=

N

nnn QQf

1

O bien por mnimos cuadrados, en donde la funcin a minimizar sera:

( )=

=

N

nnn QQf

1

2

1.1.4 Aplicacin del mtodo del Hidrograma Unitario Una vez que se ha obtenido el hidrograma unitario correspondiente a una duracin de lluvia efectiva determinada, la aplicacin del mtodo del hidrograma unitario para encontrar el hidrograma de escorrenta directa puede resumirse en los siguientes pasos: Determinar el hietograma de la lluvia de diseo. Determinar el hietograma de lluvia efectiva a travs de la estimacin de las abstracciones. Ajustar la duracin del hidrograma unitario segn se necesite, a travs del hidrograma en S.

Esto puede ser necesario dado que el intervalo de tiempo utilizado para definir las ordenadas del hietograma de lluvia efectiva debe ser el mismo que el especificado para el hidrograma unitario.

Calcular el hidrograma de escorrenta directa a travs de la ecuacin discreta de convolucin.

Calcular el hidrograma de caudal sumando un flujo base estimado al hidrograma de escorrenta directa.

Ejemplo 1.2: Calcular el hidrograma de caudal para una tormenta de 150 mm de lluvia neta, con 50 mm en la primera media hora, 75 mm en la segunda media hora y 25 mm en la tercera media hora. Utilizar el hidrograma unitario de media hora calculado en el ejemplo 1.1 y suponer el flujo base constante e igual a 14,2 m3/s. Comprobar que el volumen total de escorrenta directa es igual al total de lluvia neta. El rea de la cuenca es de 18,2 km2. Solucin: El clculo del hidrograma de escorrenta directa por medio de la ecuacin de convolucin se muestra en la Tabla 1.2. El tiempo est dividido en intervalos de media hora. Para el primer intervalo de tiempo, se tiene que: Q1 = P1U1 = 50 mm 0,449 m3/s/mm = 22,4 m3/s Para el segundo intervalo de tiempo: Q2 = P2U1 + P1U2 = 75 0,449 + 50 1,205 = 33,675 + 60,25 = 93,9 m3/s Y as sucesivamente, como se muestra en la Tabla 1.2


- 9 -

Tabla 1.2: Clculo del hidrograma de escorrenta directa y el hidrograma de caudales.

T Pe Ordenadas del HU [m3/smm] Qe Q x 0,5 h mm 0,449 1,205 2,607 2,796 1,628 0,500 0,433 0,300 0,189 m3/s m3/s

1 50 22,45 22,4 36,6 2 75 33,68 60,25 93,9 108,1 3 25 11,22 90,38 130,4 232,0 246,2 4 30,13 195,5 139,8 365,4 379,6 5 65,18 209,7 81,4 356,3 370,5 6 69,9 122,1 25,0 217,0 231,2 7 40,7 37,5 21,65 99,8 114,0 8 12,5 32,48 15,0 60,0 74,2 9 10,83 22,5 9,45 42,8 57,0

10 7,5 14,18 21,7 35,9 11 4,73 4,7 18,9 1516

El volumen total de escorrenta directa es:

363

11m 10x729,2

h 1s 3600/sm 1516h 5,0 ====

==

N

nn

N

nne QttQV

y la altura correspondiente de escorrenta directa se encuentra dividiendo por el rea de la cuenca:

mm 150 mm 9,149m 1mm 1000

m 1000000km 1

km 2,18m 2729000

2

2

2

3

===

AVr ed

que es igual al volumen total de lluvia neta. Finalmente, el caudal total se obtiene sumando el caudal base de 14,2 m3/s al hidrograma de escorrenta directa, tal como se muestra en la ltima columna de la Tabla 1.2. En la Figura 1.4 se muestra grficamente los hidrogramas obtenidos.

Figura 1.4: Hidrograma de caudal obtenido en la aplicacin del hidrograma unitario del ejemplo 1.2.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Intervalo de tiempo [x 0,5 h]

Caud

al [m

3/s] Q (25 mm)

Q (75 mm)Q (50 mm)Q base


- 10 -

1.1.5 Hidrograma unitario instantneo Si la lluvia efectiva o neta es unitaria y su duracin es infinitesimal, el resultado a la salida de la cuenca es el hidrograma unitario instantneo, HUI, que es la funcin impulso respuesta de la cuenca. Aunque el concepto de hidrograma unitario instantneo es un concepto terico, ideal, es til porque permite caracterizar la respuesta de la cuenca ante un impulso de lluvia neta, sin tener en cuenta la duracin del mismo, en funcin de la geomorfologa de la cuenca. La integral de convolucin en su forma continua es:

= 0 )()()( dtuItQ donde la funcin impulso respuesta es u(t - ) y son las ordenadas del HUI. Las propiedades del HUI son: 0 u(t - ) algn valor mximo positivo para (t - ) > 0 u(t - ) = 0 para (t - ) 0 u(t - ) 0 para (t - )

1)(0 = dtu y Ltdttu = 0 ))(( = tiempo de retardo del HUI 1.1.6 Hidrogramas Unitarios Sintticos El hidrograma unitario calculado a partir de la informacin de lluvia y caudal de una cuenca se aplica solamente a la cuenca y al punto del cauce en donde se midieron los caudales. Los hidrogramas unitarios sintticos se utilizan para calcular hidrogramas unitarios en otros puntos del cauce dentro de la misma cuenca, o bien, en cuencas adyacentes de carcter similar. Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintticos:

1) Los que relacionan las caractersticas del hidrograma unitario con las caractersticas de la

cuenca (Snyder, Gray) 2) Los basados en hidrogramas unitarios adimensionales (SCS) 3) Los basados en modelos de almacenamiento y trnsito de la cuenca (Clark) 1.1.7 Hidrograma unitario sinttico de Snyder Snyder realiz estudios en cuencas de los Montes Apalaches (EEUU), con reas de 30 a 30000 km2 y encontr relaciones sintticas de un hidrograma unitario estndar (Figura 1.5a) a partir de las cuales pueden calcularse las caractersticas de un hidrograma unitario requerido (Figura 1.5b). Para una duracin de lluvia efectiva determinada, los parmetros del hidrograma unitario requerido son: 1. Retardo de la cuenca, tpR: diferencia de tiempo entre el centroide del hietograma efectivo y

el pico del hidrograma unitario 2. Caudal punta o pico por unidad de rea de la cuenca, qpR 3. Tiempo base, tb 4. Ancho W50 [T] del hidrograma unitario al 50 % del caudal pico 5. Ancho W75 [T] del hidrograma unitario al 75 % del caudal pico


- 11 -

Snyder defini el hidrograma unitario estndar como aquel que cumple que:

5,5p

rt

t =

donde tr es la duracin de la lluvia efectiva y tp el tiempo de retardo, ambos del hidrograma unitario estndar. Adems encontr que para un hidrograma unitario estndar el tiempo de retardo es:

tp =0,75Ct(LLc)0,3 [h] donde L es la longitud del cauce principal hasta la divisoria de aguas arriba [km], Lc es la distancia desde la salida de la cuenca hasta el punto del cauce principal ms cercano al centroide del rea de la cuenca [km] y Ct es un coeficiente que vara entre 1,35 (pendientes altas) y 1,65 (pendientes bajas). Tambin para el hidrograma unitario estndar se encontr que el caudal pico por unidad de rea es:

p

pp t

Cq

75,2= [m3/skm2]

donde Cp es un coeficiente que vara entre 0,56 y 0,69. Para calcular los coeficientes Ct y Cp de una cuenca instrumentada se sigue el siguiente procedimiento: Se miden L y Lc de un mapa de la cuenca. De un hidrograma unitario deducido con una lluvia efectiva y un hidrograma de caudales,

que ser nuestro "hidrograma unitario requerido", se obtiene tR, tpR y qpR. Si tpR 5,5 tR, entonces se considera tpR = tp, qpR = qp y se calculan Ct y Cp de las ecuaciones

correspondientes.

Si tpR es muy distinto de 5,5 tR, el tiempo de retardo estndar es 4Rr

pRptttt += ; que se

resuelve junto con tp = 5,5 tr para calcular tr y tp, luego se calculan Ct y Cp con tpR = tp y qpR = qp

Las restantes relaciones necesarias para encontrar el hidrograma unitario correspondiente a nuestra cuenca son:

pR

pppR t

tqq =

pRp q

t 56,5=

08,1

50 14,2

= pRqW

08,175 22,1

= pRqW


- 12 -

Se acostumbra distribuir el ancho W de manera tal que quede una tercera parte antes del tiempo al pico y dos terceras partes despus del tiempo al pico.

Figura 1.5: a) Hidrograma unitario estndar (tp = 5,5 tr);

b) Hidrograma unitario requerido (tp 5,5 tr). Fuente: Chow et al. 1994. Espey, Altman y Graves (1977) han adaptado estas relaciones para hidrogramas unitarios de 10 minutos de duracin, basndose en datos experimentales de 41 cuencas con tamaos desde 0,04 hasta 43 km2 y con porcentajes de impermeabilidad del 2 al 100%. Ejemplo 1.3: En una cuenca dada de 3500 km2 de rea, se mide L = 150 km y Lc = 75 km. Se tiene tambin el hidrograma unitario de la cuenca, en el cual se mide: tR = 12 h, tpR = 34 h y Qp = 157,5 m3/s/cm. Determinar los coeficientes Ct y Cp del hidrograma unitario sinttico de la cuenca. Solucin: Primero calculamos 5,5 tR = 66 h, lo cual es muy distinto de tpR = 34 h, por lo cual encontramos tr y tp, utilizando la ecuacin del retardo del hidrograma unitario estndar:

41234

4

+=

+= rRrpRpttttt

junto con: tp = 5,5 tr

que resolviendo da: tr = 5,9 h y tp = 32,5 h. Como sabemos que el retardo de la cuenca es tambin: tp = 0,75Ct(LLc)0,3, podemos calcular Ct como:

64,2)75150(75,0

5,32)(75,0 3,03,0

=

==

c

pt LL

tC

El caudal pico por unidad de rea es:

2

3

2

3

kmcmsm 045,0

km 3500/s/cmm 5,157

===

AQ

q pRpR


- 13 -

Como sabemos que el caudal pico es tambin: pR

ppR t

Cq

75,2= , podemos calcular Cp como:

56,075,2

=

=pRpR

ptq

C

Ejemplo 1.4: Calcular el hidrograma unitario sinttico de seis horas de duracin (tR = 6 h) para una subcuenca de 2500 km2 de la cuenca del ejemplo 1.3, en la que se ha medido L = 100 km y Lc = 50 km. Solucin: Como esta subcuenca tiene aproximadamente las mismas caractersticas que la cuenca del ejemplo 1.3, podemos utilizar Ct = 2,64 y Cp = 0,56. Podemos calcular:

tp = 0,75Ct(LLc)0,3 = 0,752,64(10050)0,3 = 25,5 h

h 64,45,5

==p

rt

t

h 8,254

664,45,254

=

+=

=Rr

ppRtttt

cmkmsm 0604,0

5,2556,075,275,2

2

3

=

==

p

pp t

Cq

cmkmsm 0597,0

8,255,250604,0

2

3

=

=

=

pR

pppR t

tqq

cmsm 2,149km 2500

cmkmsm 0597,0

32

2

3

=

== AqQ pRpR

h 9,440597,014,214,2 08,108,150 ===

pRqW 0,50QpR = 74,6 m3/s/cm

h 6,250597,022,122,1 08,108,175 ===

pRqW 0,75QpR = 111,9 m3/s/cm

h 1,930597,056,556,5

===

pRp q

t

El hidrograma unitario as obtenido, quedara como muestra la Figura 1.6.


- 14 -

Figura 1.6: Hidrograma unitario sinttico calculado en el ejemplo 1.4 por el mtodo de Snyder (Chow et

al. 1994). Por ltimo se verifica que el volumen del hidrograma es efectivamente la unidad. Calculamos la superficie del hidrograma descomponindola en figuras simples:

Ve = 0,5 [(93,1 + 44,9) 74,6 + (44,9 + 25,6 ) (111,9 - 74,6) + 25,6 (149,2 - 111,9)] =

= 6940 m3h/s/cm 3600 s/h = 2,498 x 107 m3

La lluvia efectiva correspondiente, puede obtenerse dividiendo el volumen de escorrenta efectiva, Ve, por el rea de la cuenca:

cm 1 cm 999,0m 1cm 100

m 10km 1

km 2500m 10498,2

26

2

2

37

=

==

AVP ee

1.1.8 Hidrograma adimensional del SCS El hidrograma adimensional del SCS (Servicio de Conservacin de Suelos de los EE.UU.) es un hidrograma unitario sinttico en el cual se expresan los caudales en funcin del caudal pico, qp y los tiempos en funcin del tiempo al pico, Tp (Figura 1.7a). Los valores de qp y Tp se estiman basndose en el hidrograma unitario triangular del SCS (Figura 1.7b). Basndose en una gran cantidad de hidrogramas unitarios, el SCS sugiere que el tiempo de recesin puede aproximarse a 1,67 Tp. Como el rea del hidrograma es igual a 1 cm, se demuestra que:

pp T

Aq 08,2=


- 15 -

donde qp es el caudal pico [m3/scm], A es el rea de drenaje [km2] y Tp es el tiempo al pico [hs]

Figura 1.7: a) hidrograma adimensional del SCS; b) hidrograma unitario triangular. Fuente: Chow et al.

1994. Tiempo de concentracin de la cuenca, Tc: es el tiempo que tarda una gota de agua en trasladarse desde el punto ms alejado de la cuenca hasta la salida. De acuerdo con esta definicin, segn anlisis realizados en cuencas espaolas, podra calcularse el tiempo de retardo, tp, tambin llamado tlag, como:

tlag 0,35 Tc De esta manera el tiempo al pico ser:

pr

p ttT +=2

donde tr es la duracin de la lluvia efectiva. Ejemplo 1.5: Sabiendo que la cuenca que vierte al Embalse de Alhama de Granada es de 54,3 km2 y su tiempo de concentracin de 4,5 horas, calcular el hidrograma unitario (1 cm) para una duracin de 15 minutos segn el mtodo del SCS. Solucin: Con la informacin del tiempo de concentracin, podemos calcular el tiempo de retardo, tlag, como 0,35Tc = 0,354,5 horas = 1,58 horas. El tiempo al pico, Tp, ser entonces, con tr = 0,25 horas:

horas 7,158,1225,0

2=+=+= lag

rp t

tT

El caudal pico, qp, ser:

cmsm 44,66

7,13,5408,208,2 3

=

==

pp T

Aq

q/qp


- 16 -

El hidrograma adimensional del SCS puede convertirse en el hidrograma de esta cuenca para una duracin de 15 minutos, multiplicando los valores del eje de abscisas por Tp y los del eje de ordenadas por qp, lo que se hace en la Tabla 1.3.

Tabla 1.3: Clculo del hidrograma unitario del SCS.

t/Tp q/Qp t

[hs] Q

[m3/s/cm] Volumen

[m3] 0 0 0 0 0

0,10 0,013 0,17 0,86 264 0,20 0,076 0,34 5,05 1809 0,30 0,158 0,51 10,50 4757 0,40 0,278 0,68 18,47 8864 0,50 0,430 0,85 28,57 14394 0,60 0,601 1,02 39,93 20961 0,80 0,892 1,36 59,26 60707 1,00 1,000 1,7 66,44 76931 1,20 0,918 2,04 60,99 77988 1,40 0,753 2,38 50,03 67945 1,60 0,532 2,72 35,35 52250 1,80 0,418 3,06 27,77 38628 2,00 0,323 3,4 21,46 30130 2,20 0,241 3,74 16,01 22933 2,40 0,177 4,08 11,76 16996 2,60 0,133 4,42 8,84 12605 2,80 0,095 4,76 6,31 9271 3,00 0,076 5,1 5,05 6953 3,50 0,038 5,95 2,52 11588 4,00 0,019 6,8 1,26 5794 4,50 0,006 7,65 0,40 2541 5,00 0,000 8,5 0 610

544922 Tambin el hidrograma unitario triangular puede dibujarse con tb = 2,67 Tp = 2,671,7 horas = 4,54 horas. Ambos hidrogramas se presentan en la Figura 1.8. El volumen de escorrenta del hidrograma unitario segn el SCS, se muestra en la ltima columna de la Tabla 1.3. La lluvia neta equivalente sera:

cm 00,1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 544922

26

2

2

3

===

AVP ee

El volumen de escorrenta del hidrograma unitario triangular es:

cmm 1043,5

h1s 3600h 54,4

cmsm 44,66

21 353

=

=eV

y la lluvia neta equivalente es:

cm 1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 1043,5

26

2

2

35

=

==

AV

P ee


- 17 -

Figura 1.8: Hidrogramas unitarios de 15 min. para la cuenca de Alhama de Granada, segn el mtodo del

SCS. 1.1.9 Hidrograma unitario de Clark. Mtodo de las isocronas El hidrograma unitario de Clark, tiene en cuenta el trnsito a travs de la cuenca a travs de las curvas isocronas. Las curvas isocronas son curvas que unen los puntos de la cuenca que tienen igual tiempo de desage (Figura 1.9a). Para construir el hidrograma unitario, a partir de las curvas isocronas trazadas cada un cierto intervalo de tiempo (por ej., 1 hora) se dibuja un histograma rea-tiempo (Figura 1.9b). Si se aplica una lluvia efectiva instantnea de 1 cm uniforme en toda la cuenca, el histograma rea-tiempo, multiplicado por 1 cm dar el volumen que es desaguado por la cuenca al final de cada intervalo de tiempo para el cual est definido el histograma y ste ser el hidrograma unitario instantneo de la cuenca. Para transformar las rea en caudales, es necesario aplicar la frmula:

tAq

=

78,2

donde q es el caudal en [m3/scm] cuando A est en [km2] y t, que es el intervalo de tiempo en funcin del cual est definido el histograma rea-tiempo, est en [hs]. Para obtener el hidrograma unitario correspondiente a una duracin cualquiera de lluvia neta, puede usarse el mtodo que se explica en el siguiente apartado. Sin embargo, tambin puede considerarse que el hidrograma unitario obtenido es el correspondiente a una duracin igual al intervalo con que es definido el histograma rea-tiempo, ya que da lo mismo que la lluvia neta unitaria caiga instantneamente o que caiga en un tiempo inferior o igual al de definicin de dicho histograma. Clark propone que este hidrograma sea transitado por algn mtodo de almacenamiento, por ejemplo, un depsito, para simular las retenciones que se producen en la cuenca y atenuar los picos.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8

Tiempo [hs]

q [m

3/s/

cm]

HU SCS HU Triangular


- 18 -

(a) (b)

Figura 1.9: a) Ejemplo de curvas isocronas para una cuenca hidrogrfica; b) Ejemplo de histograma

tiempo-rea. Ejemplo 1.6: En la cuenca vertiente al embalse de Alhama de Granada, de 54,3 km2, se han trazado las lneas isocronas cada media hora, obtenindose la relacin rea-tiempo de la Tabla 1.4. Calcular el hidrograma unitario sinttico de Clark utilizando dicha relacin. Tabla 1.4: Relacin rea-tiempo de la cuenca de Alhama de Granada y clculo del hidrograma unitario de

Clark.

Tiempo [h] %

rea [km2]

q [m3/s/cm]

Volumen [m3]

0 0 0 0 0 0,5 5,16 2,80 15,58 14019 1 8,04 4,37 24,28 35872

1,5 18,36 9,97 55,43 71743 2 17,00 9,23 51,31 96070

2,5 14,72 7,99 44,44 86174 3 13,20 7,17 39,86 75866

3,5 9,86 5,36 29,78 62672 4 7,28 3,96 21,99 46592

4,5 6,37 3,46 19,24 37109 5 0 0 0 17317 100,00 54,3 543434

Solucin: Cada una de las ordenadas del hidrograma unitario de Clark, se calculan aplicando la relacin:

tAq

=

78,2

a cada una de las porciones de rea entre isocronas, obteniendo el hidrograma unitario de la Figura 1.10.


- 19 -

Figura 1.10: Hidrograma unitario de Clark de media hora de duracin, para la cuenca de Alhama de Granada.

Como de costumbre, verificamos que el volumen del hidrograma corresponde a una precipitacin igual a la unidad. El volumen del hidrograma se encuentra calculado en la ltima columna de la Tabla 1.4. La precipitacin correspondiente se obtiene dividiendo dicho volumen por el rea de la cuenca:

cm ,00 1m 1cm 100

m 10km 1

km 3,54m 543434

26

2

2

3

===

AV

P ee

1.1.10 Hidrograma unitario para diferentes duraciones de lluvia. El Hidrograma en S Si se dispone de un hidrograma unitario para una duracin dada, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son mltiplos enteros de la duracin dada, el nuevo hidrograma unitario puede calcularse directamente aplicando los principios de proporcionalidad y superposicin. Existe un mtodo general aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier duracin, basado en estos principios, llamado el mtodo del hidrograma en S. El hidrograma en S es aquel que resulta de una lluvia efectiva continua a una tasa constante de 1 cm/h durante un periodo indefinido (Figura 1.11). Si conocemos el hidrograma unitario para una duracin de lluvia neta cualquiera, t, podemos considerar que el hietograma que produce el hidrograma en S est formado por un nmero indefinido de hietogramas de esa duracin y con una intensidad 1/t, uno tras otro. Esto se puede

( ) )(...)2()()( tnthtthtththtg ++++= Si se acepta el principio de superposicin, el hidrograma de escurrimiento directo ser como el indicado en la Figura 1.11. El caudal mximo del hidrograma en S es el denominado caudal de equilibrio, Qe, que es igual a:

At

iAQe ==

cm 1

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

Tiempo [hs]

q [m

3/s

/cm

]


- 20 -

donde A es el rea de la cuenca, i es la intensidad y t es la duracin de la lluvia efectiva del hidrograma unitario original. El tiempo transcurrido hasta el establecimiento del caudal de equilibrio es el tiempo de concentracin, Tc.

Figura 1.11: Hidrograma en S.

Tericamente, el hidrograma obtenido de esta manera debera ser una curva suave, debido a que se supone que la lluvia efectiva de entrada tiene una intensidad constante y continua. Sin embargo, el proceso de suma producir una forma ondulatoria si existen errores en las abstracciones o en la separacin del flujo base, o tambin si la distribucin temporal y/o espacial de la lluvia efectiva con la que se calcul el hidrograma unitario no fue uniforme. Antes de utilizar este hidrograma para nuestros clculos, se deber suavizar dicho hidrograma, sabiendo que para un tiempo igual al tiempo de concentracin, el caudal ser igual al caudal de equilibrio. Para obtener un hidrograma unitario de diferente duracin de lluvia efectiva, se sigue el siguiente procedimiento (Figura 1.12): Se desplaza el hidrograma en S una duracin igual a la de la lluvia efectiva de la cual

queremos obtener el hidrograma unitario, t'. Se restan las ordenadas del hidrograma en S desplazado a las del hidrograma en S original,

con lo que se obtiene un hidrograma para una duracin de lluvia efectiva de t', pero que no es unitario.

Se transforma el hidrograma obtenido en unitario, teniendo en cuenta que i t = i' t' = 1 cm, por lo cual:

''

ttii

=

siendo i' la intensidad del hidrograma unitario de duracin t'. Por lo tanto, para obtener el hidrograma unitario correspondiente a una duracin t', se deber multiplicar las ordenadas del hidrograma obtenido por t/t'.


- 21 -

Figura 1.12: Uso del hidrograma en S para encontrar el hidrograma unitario de otra duracin. Ejemplo 1.7: Encontrar el hidrograma unitario de una duracin de 1,5 horas, usando como base el hidrograma unitario de 0,5 horas del Ejemplo 1.1 y el concepto del hidrograma en S. Solucin: En la segunda columna de la Tabla 1.5 se muestra el hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin. El hidrograma en S se obtiene aplicando la frmula:

( ) )(...)2()()( tnthtthtththtg ++++= tal como se indica en la tercera columna de la Tabla 1.5. La diferencia entre las ordenadas de la segunda y tercera columna es un hidrograma que corresponde a una duracin de 1,5 horas, pero no unitario. Para que dicho hidrograma sea unitario, se multiplican sus ordenadas por 0,5/1,5, obtenindose los valores que se muestran en la ltima columna. El volumen unitario queda comprobado ya que la suma de las ordenadas es igual en ambos hidrogramas. En la Figura 1.13 se muestran: el hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin, el hidrograma en S, el hidrograma en S trasladado y la diferencia entre stos dos ltimos. En la Figura 1.14 se muestran, con propsitos comparativos, los dos hidrogramas unitarios, el de 0,5 horas y el de 1,5 horas de duracin.

trasladado


- 22 -

Tabla 1.5: Clculos necesarios para cambiar la duracin de un hidrograma unitario utilizando el concepto de hidrograma en S.

T

[hs] HU - 0,5 hs [m3/s/cm]

HU en S [m3/s/cm]

HU en S trasl.[m3/s/cm]

Col.(3) - Col.(4)[m3/s/cm]

HU - 1,5 horas [m3/s/cm]

0 0 0 0 0 0 0,5 0,449 0,449 0 0,449 0,150 1 1,205 1,654 0 1,654 0,551

1,5 2,607 4,261 0 4,261 1,420 2 2,796 7,057 0,449 6,608 2,203

2,5 1,628 8,685 1,654 7,031 2,344 3 0,5 9,185 4,261 4,924 1,641

3,5 0,433 9,618 7,057 2,561 0,854 4 0,3 9,918 8,685 1,233 0,411

4,5 0,189 10,107 9,185 0,922 0,307 5 0 10,107 9,618 0,489 0,163

5,5 0 10,107 9,918 0,189 0,063 6 0 10,107 10,107 0 0 10,107

Figura 1.13: Hidrograma unitario de 0,5 horas de duracin, hidrogramas en S y diferencia entre ellos, para

el ejemplo 1.7.

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

q [m

3/s/c

m]

HU 0,5 horas H en S (H1) H en S, tras. (H2) H1 - H2


- 23 -

Figura 1.14: Hidrogramas unitarios de 0,5 y de 1,5 horas de duracin del ejemplo 1.7.

1.2 Modelos de Depsito 1.2.1 Modelo de sistema hidrolgico general La cantidad de agua almacenada en una cuenca, S, puede relacionarse con los caudales de entrada, I y de salida, Q, de la cuenca (Figura 1.15), a travs de la ecuacin integral de continuidad:

( ) ( )tQtIdtdS

=

Figura 1.15: Representacin simplificada de un sistema hidrolgico.

Como la cantidad de agua almacenada en la cuenca aumenta y disminuye con el tiempo en funcin de I y Q de su variacin con el tiempo, el almacenamiento en cualquier instante podr expresarse por una funcin tal como:

= KK ,,,,,,, 22

2

2

dtQd

dtdQQ

dtId

dtdIIfS

Donde la funcin f estar determinada por la naturaleza del sistema hidrolgico analizado (cuenca o tramo de cauce). La solucin de este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas (I y Q), puede resolverse, por ejemplo, de dos maneras: 1) Diferenciar la ecuacin de almacenamiento, sustituir el resultado en la primera y resolver la

ecuacin diferencial integrando para I y Q.

I(t)

Q(t)S(t)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

q [m

3/s/

cm]

HU - 1,5 hs HU - 0,5 hs


- 24 -

2) Aplicar el mtodo de diferencias finitas a las dos ecuaciones para resolverlas en puntos discretos del tiempo.

1.2.2 Modelo de embalse lineal Un embalse lineal es aquel cuyo almacenamiento, S, est relacionado linealmente con su caudal de salida, Q, a travs de una constante de almacenamiento k:

S = kQ [L3] = [T][L3T-1]

de manera que k debe tener unidades de tiempo. Reemplazando esta definicin del almacenamiento en la ecuacin de continuidad de un sistema hidrolgico, nos queda:

( ) ( )tQtIdtdQk

dtdS

==

Operando, encontramos que: ( ) ( )

=

ktQ

ktI

dtdQ

( ) ( )tIk

tQkdt

dQ 11=+

Multiplicando ambos lados de la ecuacin por el factor integrante et/k, nos queda:

( ) ( )tIek

tQekdt

dQe ktktkt 11 =+

que puede expresarse tambin como:

( ) ( )tIek

Qedtd ktkt 1

=

Integrando con condiciones iniciales Q = Q0 en t = 0 quedar:

( ) ( ) dIek

Qedt kQ

Qkt = 0 10

donde es una variable auxiliar de tiempo en la integracin. Resolviendo:

( ) ( ) dIek

QetQt kkt = 00 1

( ) ( ) ( ) dIek

eQtQt ktkt += 00 1

Suponiendo constantes k y I() y con Q0 igual a 0:

( )t

kt

t kt

eIdek

ItQ0

0

1 ==


- 25 -

Para un instante correspondiente a un tiempo t t0, siendo t0 la duracin de la entrada I, tendremos:

( )

=

kt

eItQ 1

Para un instante correspondiente a un tiempo t > t0, es decir cuando I es igual a 0, entonces:

( )dtdQktQ =

QdQdt

k=

1

Integrando:

Qtk

ln1 =

( )( )

ktt

etQ0

= Ejemplo 1.8: Calcular los hidrogramas de salida de un depsito en el cual entra un caudal constante de 1 m3/s durante 1 hora, considerando valores de la constante de almacenamiento, k, de 0,1; 0,5; 1; 2 y 5 horas. En la Figura 1.16 pueden verse los hidrogramas calculados con las frmulas de los caudales antes deducidas. Obsrvese la influencia que tiene la constante k en la forma del hidrograma de salida.

Figura 1.16: Influencia de la constante de almacenamiento, k, en la forma del hidrograma de salida.

Si contramos con datos de campo de la curva de recesin del hidrograma de salida de una cuenca, podramos estimar el valor de k para esa cuenca, partiendo de la ecuacin:

Caudal de entrada, I = 1m3/sdurante 1 hora

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Tiempo [Hs]

Q sa

lida

[m3/

s]

k=0,1 hk=0,5 hk=1 hk=2 hk=5 h


- 26 -

( )dtdQktQ =

que por diferencias finitas queda:

21

212 tt

QQkQ

=

Si conocemos el caudal de salida Q2 que se produjo en el tiempo conocido t2 y el caudal de salida Q1 que se produjo en el tiempo conocido t1, la constante k del sistema hidrolgico puede calcularse como:

=

21

212 QQ

ttQk

De esta manera, las caractersticas del almacenamiento de la cuenca de estudio quedaran resumidas en el valor de la constante k. 1.3 Modelo de Onda Cinemtica La modelacin del proceso de transformacin lluvia-escorrenta tambin puede efectuarse a travs de la aplicacin de las ecuaciones del movimiento del agua sobre la superficie de la cuenca. Esto permite el conocimiento en detalle de las caractersticas del flujo sobre la superficie de la cuenca, pero como contrapartida, es necesario tener informacin de dicha superficie con el suficiente detalle espacial. La superficie de la cuenca es simulada a travs de porciones de plano inclinado, definidos por una rugosidad, una longitud, un ancho y una pendiente (Figura 1.17). El comportamiento del flujo sobre estos planos inclinados se considerar equivalente al comportamiento del mismo sobre la superficie de nuestra cuenca.

Figura 1.17: Esquema de planos inclinados para simular la escorrenta sobre la superficie de una cuenca.

El movimiento del agua puede describirse a travs de las ecuaciones del flujo no permanente (ecuaciones de Saint-Venant). Existe una simplificacin de estas ecuaciones en funcin de considerar que slo las fuerzas de gravedad y de friccin son relevantes en la descripcin del movimiento, simplificacin que se conoce como aproximacin de la onda cinemtica. Analicemos el flujo en un plano inclinado permeable de rugosidad n y pendiente So que se producira como consecuencia de una lluvia de intensidad i uniforme sobre este plano y de una tasa de infiltracin f tambin uniforme a travs del plano. El caudal unitario, q y el calado y, de


- 27 -

dicho flujo, deben cumplir las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento (o equilibrio de fuerzas) siguientes:

fity

xq

=

+

nSyq

21

03

5

=

Si derivamos la ecuacin de equilibrio de fuerzas con respecto al calado, nos queda:

nSy

yq 2

10

32

35

=

que se transforma, previa multiplicacin del numerador y denominador por el calado, en:

cvyq

ynSy

yq

====

35

35

35 2

10

35

donde c es la celeridad con que se propaga una perturbacin, en este caso una onda de caudal, por efecto exclusivo de la gravedad y de la friccin. Combinando esta ecuacin con la de continuidad, podemos llegar a:

( )ficxqc

tq

=

+

que es una ecuacin diferencial de primer orden en trminos del caudal q. Si consideramos c = dx/dt, igual a la pendiente de una lnea caracterstica, se llega a que la derivada total de q en esa lnea, es igual a la celeridad por la diferencia entre la intensidad i y la tasa de infiltracin f:

( )ficdtdq

=

Para resolver la ecuacin, puede recurrirse a esquemas numricos en diferencias finitas, como el representado en la Figura 1.18.

Figura 1.18: Esquema de solucin en diferencias finitas para la aproximacin de la onda cinemtica.

Utilizando dicho esquema, la ecuacin del movimiento quedara:

x1

t

0

1

x0 x

qX11

qX10qX00

qX01

x

t


- 28 -

( )ficxqqc

tqq xxxx

=

+

10

11

01

11

Para resolver esta ecuacin es necesario proveerle de slo una condicin de contorno, la de aguas arriba. En este caso se toma un caudal nulo en el extremo aguas arriba del plano. Por su formulacin, el modelo de la onda cinemtica no es capaz de reproducir la influencia del flujo desde aguas abajo, lo que no debe preocupar, ya que estamos hablando de lminas de agua de, a lo sumo, pocos centmetros. Tampoco es capaz este modelo de reproducir los efectos de laminacin o atenuacin, aspecto que puede deducirse considerando nulos tanto la contribucin de la precipitacin, i = 0, como la de la infiltracin, f = 0, con lo que la ecuacin quedara:

0=dtdq

Lo cual significa que el caudal es constante a lo largo de la lnea caracterstica. El caudal unitario q obtenido de la aplicacin de esta metodologa es el resultante en el extremo aguas abajo del plano inclinado y ser el que reciba, por ejemplo, el cauce principal de nuestra cuenca si es rural o el colector de la red de drenaje pluvial en el caso de una cuenca urbana. Como se vio al plantear las ecuaciones del movimiento, la informacin de la cuenca necesaria para aplicar este mtodo sera, adems de la intensidad de precipitacin i, las caractersticas de la superficie de la cuenca (rugosidad y pendiente) y las caractersticas del suelo en el caso de que ste sea permeable, necesarias para calcular la tasa de infiltracin. Ejemplo 1.9: Calcular el caudal a la salida de una cuenca de 18,2 km2, simulada a travs de un plano inclinado de una longitud de 6000 m y un ancho de 3033 m, con un coeficiente de Manning de 0,03 y una pendiente de 0,02, como consecuencia del hietograma de lluvia neta del Ejemplo 1.1, es decir, 26,95; 49,05 y 45,95 mm a 30; 60 y 90 minutos. Utilizar el esquema de diferencias finitas descrito anteriormente, con un x de 1000 m y un t de 15 minutos hasta la duracin de la lluvia neta y luego con un t de 30 minutos. Calcular la evolucin de los caudales durante las 4,5 horas posteriores a la finalizacin de la lluvia. Solucin: Se trata de resolver, para cada punto de clculo, la ecuacin implcita en qx11 del esquema en diferencias finitas de la Figura 1.18. Expresando la celeridad, c, en funcin del caudal, de la pendiente y del coeficiente de Manning, quedara:

53

103

05

2

35

35

== nSqyqc

que reemplazado en la ecuacin deducida anteriormente nos da:

( )finSqxqq

nSqtqq

xxx

xxx

=

+ 5

310

3

05

211

10

115

310

3

05

211

01

11

35

35

Resolviendo esta ecuacin para cada punto de clculo, obtenemos la evolucin de los caudales en el tiempo y en el espacio que se muestra en la Tabla 1.6. En la Figura 1.19 se muestra el hidrograma resultante a la salida del plano inclinado de 3033 m de ancho y en la Figura 1.20 los calados resultantes a la salida del mismo plano en dos instantes, en el momento del caudal mximo, t = 1,5 hs y en el ltimo instante de tiempo, t = 6 hs.


- 29 -

Tabla 1.6: Caudales obtenidos de la aplicacin de la aproximacin de la onda cinemtica para la transformacin lluvia-escorrenta del Ejemplo 1.9.

q [m3/s/m] t

[hs] x = 0 x = 1000 m x = 2000 m x = 3000 m x = 4000 m x = 5000 m x = 6000 m Q

[m3/s] 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,25 0 4,58E-03 6,61E-03 7,56E-03 8,01E-03 8,23E-03 8,33E-03 25,26 0,5 0 8,31E-03 1,33E-02 1,63E-02 1,81E-02 1,91E-02 1,97E-02 59,77

0,75 0 1,63E-02 2,77E-02 3,57E-02 4,12E-02 4,49E-02 4,75E-02 144,02 1 0 2,12E-02 3,83E-02 5,17E-02 6,22E-02 7,02E-02 7,63E-02 231,34

1,25 0 2,32E-02 4,37E-02 6,14E-02 7,65E-02 8,90E-02 9,93E-02 301,12 1,5 0 2,43E-02 4,69E-02 6,77E-02 8,63E-02 1,03E-01 1,17E-01 355,51 2 0 1,43E-02 3,11E-02 4,82E-02 6,50E-02 8,08E-02 9,54E-02 289,48

2,5 0 9,06E-03 2,12E-02 3,48E-02 4,89E-02 6,30E-02 7,67E-02 232,77 3 0 6,07E-03 1,49E-02 2,55E-02 3,71E-02 4,92E-02 6,15E-02 186,43

3,5 0 4,25E-03 1,08E-02 1,91E-02 2,85E-02 3,87E-02 4,93E-02 149,56 4 0 3,09E-03 8,07E-03 1,45E-02 2,22E-02 3,06E-02 3,98E-02 120,61

4,5 0 2,31E-03 6,16E-03 1,13E-02 1,75E-02 2,46E-02 3,23E-02 97,97 5 0 1,78E-03 4,80E-03 8,92E-03 1,40E-02 1,99E-02 2,65E-02 80,23

5,5 0 1,39E-03 3,81E-03 7,16E-03 1,13E-02 1,63E-02 2,19E-02 66,28 6 0 1,11E-03 3,07E-03 5,82E-03 9,30E-03 1,35E-02 1,82E-02 55,23

Figura 1.19: Hidrograma a la salida del plano de 3033 m de ancho del Ejemplo 1.9.

Figura 1.20: Evolucin de los calados a lo largo del plano de 6000 m de longitud del Ejemplo 1.9.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6

Tiempo [hs]

Q [m

3/s

]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Distancia [m]

Cal

ado

[m]

t = 1,5 hs t = 6 hs


- 30 -

2. PROPAGACIN DE CAUDALES Se denomina propagacin de caudales al procedimiento a travs del cual se puede determinar el hidrograma de caudal en un punto de un curso de agua utilizando hidrogramas conocidos en uno o ms puntos aguas arriba. Dicho procedimiento puede aplicarse a sistemas agregados o distribuidos. Cuando se aplica a sistemas agregados, el flujo se calcula como una funcin del tiempo en un lugar en particular, lo que tambin se conoce como propagacin hidrolgica. Cuando se aplica a sistemas distribuidos, el flujo se calcula como una funcin del espacio y del tiempo a travs del sistema, lo que se conoce tambin como propagacin hidrulica. 2.1 Propagacin de sistemas agregados o hidrolgica Como ya hemos visto, en un sistema hidrolgico la entrada, I(t), la salida, Q(t) y el almacenamiento S(t), se relacionan por la ecuacin de continuidad:

( ) ( )tQtIdtdS

=

Conociendo I(t), no podemos obtener Q(t) si no se conoce una segunda relacin llamada funcin de almacenamiento, que en general es:

= KK ,,,,,,, 22

2

2

dtQd

dtdQQ

dtId

dtdIIfS

Estas dos ecuaciones nos brindan una combinacin de dos ecuaciones con dos incgnitas que pueden resolverse, por ejemplo, por el mtodo de diferencias finitas. La forma de la ecuacin de almacenamiento depende de la naturaleza del sistema analizado. Existen varios mtodos que se diferencian entre s en la manera de considerar la funcin de almacenamiento: Mtodo del embalse a nivel: el almacenamiento es funcin no lineal de Q

S = f(Q) Mtodo de Muskingum: el almacenamiento es funcin lineal de I y Q

S = f(I,Q) Modelos de depsitos o embalses lineales: el almacenamiento es funcin lineal de Q

S = kQ La relacin que existe entre el almacenamiento, S y el caudal de salida, Q, es invariable cuando se tiene un embalse con superficie de agua horizontal. En este caso, S es funcin nicamente de la altura de la lmina de agua en el embalse y Q es funcin de la altura de agua sobre la estructura de control, de manera tal que combinando ambas relaciones, se llega a una relacin nica entre S y Q: S = f(Q), como se muestra en la Figura 2.1a). La relacin entre S y Q suele ser variable cuando se trata de embalses largos y angostos y de canales o cauces de ros, ya que la superficie del agua suele tener una pendiente debido a los efectos de remanso. En este caso, S depender del nivel variable a lo largo del sistema y ya no existe una funcin nica entre la altura de la lmina de agua y Q, lo que finalmente conduce a una relacin variable entre S y Q, formando un bucle como se muestra en la Figura 2.1b).


- 31 -

Figura 2.1: Relacin entre el caudal y el almacenamiento.

El efecto del almacenamiento sobre el hidrograma de salida es, por un lado, el de modificar la forma del hidrograma, retrasando el tiempo al pico, aumentando el tiempo base y disminuyendo el caudal punta y, por otro lado, el de retrasar el comienzo del hidrograma, especialmente si se trata de cauces muy largos, donde la onda de avenida debe viajar una distancia considerable. De esta manera, el tiempo de movimiento de la avenida puede considerarse compuesto por un tiempo de redistribucin, provocado por el cambio en la forma del hidrograma, ms un tiempo de traslacin, provocado por el viaje de la onda de avenida a lo largo del cauce, tal como se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2: Tiempo de movimiento de una avenida.

la avenida


- 32 -

2.1.1 Propagacin de embalse a nivel El procedimiento para calcular un hidrograma de caudal a la salida de un embalse con una superficie de agua horizontal se lo conoce como mtodo del embalse a nivel. Si se considera la variacin entre los caudales de entrada y de salida a lo largo de un intervalo de tiempo es lineal, lo que es aproximado a la realidad siempre y cuando se tengan en cuenta intervalos de tiempo pequeos, digamos menores a 0,1 veces el tiempo al pico del hidrograma de entrada, la variacin en el almacenamiento en el intervalo puede encontrarse haciendo:

tQQtIISS ++=22

212112

Donde I1 e I2 son los caudales de entrada, Q1 y Q2 son los caudales de salida y S1 y S2 son los almacenamientos correspondientes a los instantes inicial y final del intervalo, respectivamente. En esta ecuacin, las incgnitas son Q2 y S2. Agrupando las incgnitas por un lado y los datos por el otro podemos obtener:

( )

++=

+ 1

1212

2 22 Qt

SIIQt

S

que puede resolverse conociendo la relacin entre S y Q, que ya sabemos que es invariable. La relacin entre S y Q se obtiene a partir de: La relacin entre altura y almacenamiento, S = f(H), obtenida a travs de levantamientos

topogrficos o bien de mapas cartogrficos. La relacin entre altura y caudal de salida, Q = f(H), que son ecuaciones que dependen del

tipo de vertedero o estructura de salida (con o sin compuertas). En la Figura 2.3 se muestra la manera de obtener una relacin entre 2S/t y Q, utilizando ambas relaciones. Figura 2.3: Forma de obtener una relacin entre S y Q para ser utilizada en el mtodo del embalse a nivel.

Q

H

S

H

Q

QtS

+2


- 33 -

Ejemplo 2.1:Un depsito de retencin de aguas pluviales tiene un rea de 4110 m2, paredes verticales y la salida se realiza a travs de una tubera de 1,5 m de dimetro. La relacin entre el nivel de agua dentro del depsito y el caudal de salida se da en la Tabla 2.1. Calcular el hidrograma de salida del depsito por el mtodo del embalse a nivel, considerando el hidrograma de entrada de la Tabla 2.2. Considerar que el depsito est inicialmente vaco.

Solucin: En primer lugar, calcularemos la relacin entre el caudal de salida y QtS

+2 . Como

el depsito tiene paredes verticales, el almacenamiento se obtiene multiplicando el nivel de agua por el rea del depsito, lo cual se indica en la tercera columna de la Tabla 2.1. Finalmente, se

calcula QtS

+2 considerando un t de 10 min.

Tabla 2.1: Relacin entre la funcin de almacenamiento y el caudal de salida.

H Q S QtS

+2

m m3/s m3 m3/s 0 0 0 0

0,3 0,227 1233 4,337 0,6 0,850 2466 9,070 0,9 1,700 3699 14,030 1,2 2,747 4932 19,187 1,5 3,880 6165 24,430 1,8 4,900 7398 29,560 2,1 5,805 8631 34,575 2,4 6,541 9864 39,421 2,7 7,164 11097 44,154 3 7,787 12330 48,887

Los clculos del caudal de salida se realizan aplicando la ecuacin:

( )

++=

+ 1

1212

2 22 Qt

SIIQt

S

en cada uno de los intervalos de tiempo considerados. En el instante de tiempo 1, S1 = Q1 = 0,

porque el depsito est vaco y por lo tanto 02

11

=

Q

tS

. El caudal de entrada, I1 = 0 e I2 = 3,4

m3/s, o sea que I1 + I2 = 3,4 m3/s. Luego calculamos la funcin de almacenamiento para este instante:

( )s

m 4,304,322 3

11

2122

=+=

++=

+

Qt

SIIQ

tS

El valor de Q2 correspondiente a 222

Qt

S+

se obtiene por interpolacin lineal. En este caso

ser:

( )s

Q3

2m 18,004,3

0337,40227,00 =

+=


- 34 -

Luego, el valor de 222 Qt

S

necesario para la segunda iteracin se calcula como:

sm 04,318,024,32

22 322

22

2==

+

=

QQ

tS

Qt

S

Los siguientes intervalos de tiempo se calculan de forma similar y los resultados se muestran en la Tabla 2.2.

Tabla 2.2:Clculo de la propagacin de caudales a travs del depsito de retencin del Ejemplo 2.1.

t I I1 + I2 112

Qt

S

22

2Q

tS

+

Q2

min m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s 0 0 0 0

10 3,4 3,4 3,04 3,40 0,18 20 6,8 10,2 10,12 13,24 1,56 30 10,2 17 18,30 27,12 4,41 40 6,8 17 23,48 35,30 5,91 50 3,4 10,2 22,40 33,68 5,64 60 0 3,4 17,50 25,80 4,15 70 0 13,60 17,50 1,95 80 0 10,34 13,60 1,63 90 0 8,20 10,34 1,07

100 0 6,72 8,20 0,74 110 0 5,64 6,72 0,54 120 0 4,84 5,64 0,40

En la Figura 2.4 pueden verse los hidrogramas de entrada y salida del depsito. Puede verse que el efecto del depsito de retencin es el de bajar el caudal punta de 10,2 m3/s a 5, 91 m3/s y el de retrasar el tiempo al pico en 10 minutos.

Figura 2.4: Hidrogramas de entrada y de salida del depsito de retencin del Ejemplo 2.1.

0

2

4

6

8

10

12

0 20 40 60 80 100 120

Tiempo [min]

Cau

dal [

m3/s

]

Hid. Entrada Hid. Salida


- 35 -

2.1.2 Propagacin en cauces. Mtodo de Muskingum El mtodo de Muskingum fue presentado por McCarthy (1938) y maneja relaciones caudal-almacenamiento variables. Este mtodo modela el almacenamiento en un cauce mediante la combinacin de dos tipos de almacenamientos, tal como se muestra en la Figura 2.5: Un almacenamiento prismtico, formado por un volumen de seccin transversal constante a

lo largo del cauce prismtico. Un almacenamiento en cua, formado por la diferencia entre los caudales de entrada y

salida, o bien, por la pendiente de la lmina de agua en el tramo considerado.

Figura 2.5: Almacenamientos por prisma y por cua en un tramo de cauce.

Durante el avance de la avenida el caudal de entrada es mayor que el de salida y se forma lo que se denomina cua positiva y durante la recesin el caudal de entrada es menor al caudal de salida, formndose una cua negativa. El volumen de almacenamiento prismtico es proporcional al caudal de salida, ya que se supone que el caudal de salida es proporcional al rea de la seccin del cauce:

Sp = KQ El valor de K se considera igual al tiempo de trnsito de la onda de avenida a travs del tramo. El volumen de almacenamiento por cua es proporcional a la diferencia entre las entradas y las salidas:

Sc = KX(I - Q) Donde X es un factor de ponderacin tal que puede tomar valores entre 0 y 0,5, en funcin de la forma de almacenamiento en cua. Cuando X = 0, no existe cua, no hay curva de remanso y el almacenamiento en el cauce ser tipo embalse: S = KQ. En este caso se producira la mxima atenuacin posible. Cuando X = 0,5; se dice que la cua est completamente desarrollada y no existira atenuacin alguna del pico. En cauces naturales muy caudalosos y de baja pendiente, X suele ser prximo a 0 y ser ms cercano a 0,5 cuanta ms pendiente y menos caudal tenga el cauce. En ros espaoles, en general poco caudalosos, se puede tomar como media un valor de 0,3 a 0,35. El almacenamiento total en el tramo de cauce considerado sera entonces:


- 36 -

S = KQ + KX(I - Q) Que puede reordenarse como:

S = K[XI + (1 - X)Q] Esta ecuacin representa el modelo lineal de almacenamiento para la propagacin de avenidas en cauces por el mtodo de Muskingum. Si analizamos el volumen de almacenamiento en dos instantes, 1 y 2, al comienzo y al final de un intervalo de tiempo t, stos pueden determinarse como:

S1 = K[XI1 + (1 - X)Q1]

S2 = K[XI2 + (1 - X)Q2] La variacin en el almacenamiento a travs del tramo sera la diferencia entre ambos almacenamientos:

S2 - S1 = K{[XI2 + (1 - X)Q2] - [XI1 + (1 - X)Q1]}

Utilizando la ecuacin de continuidad, la variacin en el almacenamiento es igual a:

tQQtIISS ++=22

212112

Sustituyendo obtenemos:

( ) ( )( )[ ] tQQtIIQQXIIXK ++=+22

1 21211212

y despejando Q2 nos queda:

( ) ( )( )( ) 1212

21

21

21

2

21

2 QtXK

tXKItXK

tKXItXK

tKXQ

+

++

+

++

+

=

o bien: 1322112 QCICICQ ++=

donde:

( )2

1

21 tXK

tKXC

+

+

= ; ( )

21

22 tXK

tKXC

+

+

= ; ( )( )

21

21

3 tXK

tXKC

+

=

Se verifica que la suma de C1, C2 y C3 debe ser igual que 1. Obtencin de K y X a partir de informacin de campo Si se encuentran disponibles los hidrogramas de entrada y salida observados para un tramo de un ro, pueden determinarse los valores de K y X, utilizando la siguiente metodologa: 1) Se asumen varios valores de X 2) Utilizando la informacin de los caudales de entrada y de salida, se calculan los valores del

numerador y del denominador de la siguiente expresin de K, deducida de una ecuacin anterior:

( ) ( )[ ]( ) ( )( )1212

1212

12

QQXIIX

QQIIt

K+

++

=


- 37 -

3) Los valores calculados del numerador y denominador se colocan en un grfico como ordenadas y abscisas, respectivamente, lo que producir una curva en forma de lazo. El valor de X que produzca un lazo lo ms parecido posible a una recta nica se utiliza para calcular el valor de K, que es la pendiente de dicha recta.

Ejemplo 2.2: En los extremos de un tramo de un ro se han medido los caudales mostrados en la Tabla 2.3. Obtener los valores de K y X para ese tramo de ro.

Tabla 2.3: Hidrogramas de caudales medidos en los extremos de un tramo de ro.

t I Q t I Q [das] [m3/s] [m3/s] [das] [m3/s] [m3/s]

0 59 42 11 252 481 1 93 70 12 203 371 2 129 76 13 158 252 3 205 142 14 130 196 4 210 183 15 105 161 5 234 185 16 90 143 6 325 213 17 80 112 7 554 293 18 68 95 8 627 397 19 59 83 9 526 487 20 59 75

10 432 533 Solucin: Primero se calcula el numerador de la ltima ecuacin de K, es decir:

( ) ( )[ ]12122 QQIItV ++=

que sera el volumen de almacenamiento en el tramo de ro considerado en cada instante de tiempo analizado. Para los instantes de tiempo 1 y 2, sera:

( ) ( )[ ] das

m 20s

m427059932da 1 33

1 =++=V

( ) ( )[ ] das

m 58s

m7076931292da 1da

sm20

333

2 =+++=V

Por otro lado, se calcula el denominador de dicha ecuacin, asumiendo varios valores de X, por ejemplo, 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 y 0,5:

( ) ( )( )1212 1 QQXIIXD += Para X = 0,1 y para los instantes 1 y 2 tendramos:

( ) ( )( )s

m6,28s

m42701,01s

m59931,0333

1 =+=D

( ) ( )( )s

m6,37s

m70761,01s

m931291,0s

m6,283333

1 =++=D

En la Tabla 2.4 se muestran los valores de Vi y de Di para cada instante de clculo. En la Figura 2.6 se muestran los diferentes lazos obtenidos graficando Vi vs. Di, para diferentes valores de X.


- 38 -

Tabla 2.4: Clculo de los pares de valores (V, D) del Ejemplo 2.2.

t V D = X(I2 - I1) + (1 - X)(Q2 - Q1) [m3/s] [das] [m3/sda] X = 0 X = 0,1 X = 0,2 X = 0,3 X = 0,4 X = 0,5

0 1 20 28 28,6 29,2 29,8 30,4 31 2 58 34 37,6 41,2 44,8 48,4 52 3 116 100 104,6 109,2 113,8 118,4 123 4 161 141 142 143 144 145 146 5 199 143 146,2 149,4 152,6 155,8 159 6 279.5 171 180,5 190 199,5 209 218,5 7 466 251 275,4 299,8 324,2 348,6 373 8 711.5 355 376,3 397,6 418,9 440,2 461,5 9 846 445 447,2 449,4 451,6 453,8 456

10 815 491 479,2 467,4 455,6 443,8 432 11 650 439 414,4 389,8 365,2 340,6 316 12 451.5 329 310,5 292 273,5 255 236,5 13 320.5 210 198,9 187,8 176,7 165,6 154,5 14 240.5 154 145,7 137,4 129,1 120,8 112,5 15 179.5 119 111,7 104,4 97,1 89,8 82,5 16 125 101 94 87 80 73 66 17 82.5 70 65,1 60,2 55,3 50,4 45,5 18 53 53 48,6 44,2 39,8 35,4 31 19 27.5 41 36,9 32,8 28,7 24,6 20,5 20 7.5 33 29,7 26,4 23,1 19,8 16,5

Figura 2.6: Obtencin de los parmetros K y X de Muskingum, para el Ejemplo 2.2.

X = 0,2

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]

X = 0,1

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]

X = 0

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]

X = 0,5

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]

X = 0,4

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]

X = 0,3

0

200

400

600

0 500 1000

XI + (1-X)Q [m 3 /s]

V [m

3/s

da

]


- 39 -

Puede observarse en la Figura 2.6, que el valor de X = 0,2 es el que produce un bucle ms cerrado, por lo que se adoptar ste como vlido. El valor de K se obtiene calculando la pendiente de la recta media que se ajusta al bucle y que es de 1,86 das. Como K es el tiempo necesario para que la onda de avenida atraviese el tramo, tambin puede estimarse como el tiempo observado del caudal punta a travs del tramo, que para este ejemplo sera igual a 2 das. Ejemplo 2.3: Calcular el hidrograma resultante aguas abajo de un tramo de cauce de 5,4 km de longitud, con una pendiente media de 0,001, conociendo el hidrograma de entrada que se da en la Tabla 2.3. Considerar un X igual a 0,35. Solucin: Calculamos K en funcin de la longitud del tramo, x y de la pendiente media, S0:

horas 41,2001,0

4,518,018,076,0

25,0

76,0

25,00

=

=

=

SxK

Luego se calculan los coeficientes C1, C2 y C3, utilizando un t de 1 hora:

( )6501,0

0665,23435,1

2135,0141,2

2135,041,2

1 ==

+

+=C

1662,00665,23435,0

0665,22135,041,2

2 =

=

+=C

( )5161,0

0665,20665,1

0665,22135,0141,2

3 ==

=C

Y finalmente se calcula el hidrograma de salida aguas abajo del tramo como:

1211322112 051611662,06501,0 QIIQCICICQ +=++= Los valores resultantes se presentan en la Tabla 2.5 y los hidrogramas estn representados en la Figura 2.7.


- 40 -

Tabla 2.5: Clculo del hidrograma de salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3

t I Q [horas] [m3/s] [m3/s]

0 59 42 1 93 45 2 129 62 3 205 82 4 210 141 5 234 170 6 325 186 7 554 215 8 627 367 9 526 510

10 432 533 11 252 514 12 203 395 13 158 310 14 130 241 15 105 191 16 90 152 17 80 124 18 68 105 19 59 88 20 59 74

Figura 2.7: Hidrogramas de entrada y salida del tramo de cauce del Ejemplo 2.3.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20

Tiempo [horas]

Cau

dal [

m3/

s]

I Q


- 41 -

2.1.3 Modelo de embalse lineal Un embalse lineal es aquel en el cual el almacenamiento est linealmente relacionado con su caudal de salida mediante una constante de almacenamiento k, que tiene dimensiones de tiempo:

S = kQ

El concepto de embalse lineal fue introducido por primera vez por Zoch en 1934 en un anlisis de la relacin entre lluvia y escorrenta. Un embalse lineal nico es equivalente a considerar el modelo de Muskingum con X = 0. El comportamiento de una cuenca puede representarse por medio de una serie de n embalses lineales idnticos, cada uno de ellos con una misma constante de almacenamiento k (Nash 1957). Transitando un flujo de entrada de volumen unitario a travs de los n embalses lineales, puede deducirse un modelo matemtico para el hidrograma unitario instantneo de la serie. La integral de convolucin en forma continua puede expresarse como:

= 0 )()()( dtuItQ La funcin impulso-respuesta para un embalse lineal fue deducida como:

=k

t

ek

tu

1)(

por lo que el caudal de salida del primer embalse lineal, considerando una entrada I() = 1 y un caudal inicial Q0 = 0, estar dado por:

=

011)( dek

tQ kt

Si este caudal se usa como entrada para el segundo embalse lineal, su caudal de salida puede obtenerse como:

kt

kt

kt

ek

dek

ek

tQ

== 202 111)(

Si este caudal se usa como entrada para el tercer embalse lineal y as sucesivamente para n embalses lineales, el caudal de salida del embalse n ser:

ktn

n ekt

nktQ

=

1

)(1)(

Siendo (n) = (n - 1)! Cuando n no es un nmero entero, el valor de puede obtenerse de tablas de la funcin gamma (Abramowitz y Stegun 1965). La ecuacin obtenida de Qn(t) puede considerarse como el hidrograma unitario instantneo de la serie de n embalses lineales y tambin es conocida como la funcin de probabilidad gamma. Puede comprobarse que la integral de esta ecuacin para t desde 0 hasta infinito es igual a 1. Tambin puede demostrarse que el primer y segundo momentos del HUI alrededor del origen t = 0 son:

M1 = nk y M2 = n(n + 1)k2


- 42 -

El primer momento, M1 es el tiempo de retardo del centroide del HUI y debe ser equivalente a la diferencia de tiempo entre los centroides de las reas del hietograma de lluvia neta y el hidrograma de escorrenta directa (Chow 1994). Utilizando los conceptos anteriores, teniendo como datos el hietograma de lluvia neta y su correspondiente hidrograma de escorrenta directa de una cuenca, podra calcularse los parmetros n y k correspondientes a dicha cuenca y con los cuales puede obtenerse su HUI. El clculo de n y k se realiza a travs de la resolucin del siguiente sistema de ecuaciones:

nkMM IQ = 11

( ) 1222 21 IIQ nkMknnMM ++= Donde MI1 y MI2 son el primer y segundo momentos, respectivamente, del hietograma de precipitacin neta dividido por la lluvia efectiva total y MQ1 y MQ2 son el primer y segundo momentos, respectivamente, del hidrograma de escorrenta directa dividido por la escorrenta directa total. Ejemplo 2.4: Dados el hietograma de lluvia neta o efectiva y el hidrograma de escorrenta directa de la Figura 2.8, determinar el valor de los parmetros n y k para el HUI.

Figura 2.8: Hietograma de lluvia efectiva e hidrograma de escorrenta directa del Ejemplo 2.4.

100

300

200

100

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalo de tiempo [x 6hs]

Lluv

ia n

eta

[m3/s

]

010

70

165180

142

79

38

133

0

50

100

150

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Intervalo de tiempo [x 6hs]

Esco

rren

ta d

irec

ta[m

3/s

]


- 43 -

Solucin: Calculamos los momentos MI1, MI2, MQ1 y MQ2, para lo cual necesitamos determinar el volumen total de lluvia neta, que debe ser igual al volumen total de escorrenta directa. Para calcular este volumen, sumamos las ordenadas del hietograma de lluvia neta, que da 700 m3/s, igual a la suma de las ordenadas del hidrograma de escorrenta directa y el resultado lo multiplicamos por el ancho del intervalo de tiempo considerado, es decir, 6 horas, con lo que se obtiene un volumen de 4200 m3/sh. Los momentos se calculan como:

[ ] h 57,11hs

m211001520093003100h

sm 4200

h 6 331 =+++=IM

[ ] [ ]2

3

3332

32222

2 h 3,166h

sm 4200

m10020030010012

h 6hs

m211001520093003100h 6=

+++++++=

sM I

En forma similar se calculan los momentos correspondientes al hidrograma de escorrenta directa: MQ1 = 28,25 h MQ2 = 882,8 h2 Calculamos nk usando la frmula:

h 68,16h 57,11h 25,2811 === IQ MMnk Que reemplazamos en la frmula:

( ) ( ) 121222 221 IIIQ nkMknknknkMknnMM ++=++=

h 57,11h 68,162h 68,16h68,16h 3,166h 8,882 2222 ++= k de la cual se obtiene k = 3,14 h y n = 16,68 h/3,14 h = 5,31. Con estos valores, puede calcularse el HUI de la cuenca de la que provienen los datos utilizados. 2.2 Propagacin distribuida o hidrulica Los mtodos hidrulicos de propagacin se basan en la resolucin de las ecuaciones de conservacin de la masa y de la cantidad de movimiento para flujo no permanente unidimensional, tambin conocidas como ecuaciones de Saint-Venant. La ecuacin de conservacin de la masa o de continuidad est dada, en su forma no conservativa, es decir, para un ancho unitario de flujo, por:

0=

+

+

ty

xVy

xyV

y la ecuacin que expresa la conservacin de la cantidad de movimiento, tambin en forma no conservativa, es:

( ) 00 =

+

+

fSSgxyg

xVV

tV


- 44 -

En ambas ecuaciones, V es la velocidad media del flujo en una seccin transversal, y es el calado o nivel de agua en dicha seccin, g es la aceleracin gravitatoria, S0 es la pendiente de fondo del tramo de cauce considerado, Sf es la pendiente de friccin de dicho tramo de cauce y x y t son las variables independientes, el espacio y el tiempo, respectivamente. Las hiptesis que se tienen en cuenta para la validez de las ecuaciones de Saint-Venant son las siguientes: 1. El flujo es unidimensional: el calado y la velocidad varan slo en la direccin longitudinal;

la velocidad es constante y la superficie del agua horizontal en cualquier seccin transversal perpendicular al eje del cauce.

2. El flujo vara gradualmente a lo largo del canal, lo que implica que la distribucin de

presiones es hidrosttica y que las aceleraciones verticales son despreciables. 3. El eje del cauce es una lnea recta. 4. La pendiente del fondo es pequea y el lecho es fijo, lo que implica que no hay erosin ni

sedimentacin. 5. Los coeficientes de resistencia para flujo uniforme permanente turbulento son aplicables,

por ejemplo, se utiliza la ecuacin de Manning para describir el efecto de la resistencia. 6. El fluido es incompresible y de densidad constante. Cada uno de los trminos con los que cuenta la ecuacin de cantidad de movimiento tiene en cuenta alguno de los procesos fsicos que gobiernan la movimiento del fluido:

+

tV +

xVV

xyg

gS0 +

gSf

= 0

Aceleracin local

Aceleracin convectiva

Fuerza de presin

Fuerza de gravedad

Fuerza de friccin

Aceleracin local: variacin de cantidad de movimiento debido al cambio de velocidad con

el tiempo. Aceleracin convectiva: variacin de cantidad de movimiento debido al cambio de

velocidad a lo largo del canal. Fuerza de presin: variacin en la presin producida por un cambio en la profundidad del

agua. Fuerza de gravedad: fuerza que mueve al fluido, proporcional a su peso y a la pendiente

del lecho. Fuerza de friccin: resistencia a la friccin ocasionada por las paredes del cauce. Los dos trminos de aceleracin representan el efecto de las fuerzas de inercia en el flujo. Los efectos de remanso pueden incorporarse en la propagacin distribuida a travs de los tres primeros trminos de la ecuacin de la cantidad de movimiento. Los mtodos hidrolgicos no poseen mecanismos hidrulicos para describir la propagacin aguas arriba de los cambios de flujo de cantidad de movimiento porque estn basados slo en la ecuacin de continuidad.


- 45 -

La clasificacin de los modelos de propagacin distribuida se realiza en funcin del nmero de trminos de la ecuacin de la cantidad de movimiento que se utilizan para el clculo. El modelo de la onda cinemtica desprecia los trminos de aceleracin y el de presin, por lo que la ecuacin de la cantidad de movimiento quedara como:

S0 = Sf El modelo de la onda difusiva desprecia los trminos de aceleracin y la ecuacin de la cantidad de movimiento queda:

00 =+

fSSxy

Finalmente, el modelo de la onda dinmica considera todos los trminos de la ecuacin. La ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento puede escribirse tambin en formas que tienen en cuenta si el flujo es permanente o no permanente y uniforme o variable.

tV

g

1 xV

gV

xy

+ S0

= Sf

Flujo uniforme y permanente

Flujo variable y permanente

Flujo variable y no permanente

2.2.1 Propagacin mediante el modelo de la onda cinemtica Como se vio anteriormente, en el modelo de la onda cinemtica, la ecuacin de conservacin de la cantidad de movimiento queda expresada como:

S0 = Sf Donde S0 es la pendiente del fondo del cauce en el tramo considerado, calculable a partir de informacin topogrfica o batimtrica y Sf es la pendiente de friccin o de la lnea de energa del flujo, calculable a partir de alguna frmula de resistencia, como por ejemplo la de Manning. Si expresamos la velocidad media del flujo a travs de la ecuacin de Manning, el caudal sera igual a:

32

21

0352

10

32

nP

SA

nSR

AVAQ h ===

Donde A es el rea de la seccin transversal y P es el permetro mojado. Despejando A, tenemos:

QQS

nPA =

=

53

53

21

0

32

Donde hemos llamado = [nP2/3/S01/2]3/5 y = 3/5 = 0,6. Si derivamos A con respecto al tiempo, nos queda:


- 46 -

tQQ

tA

=

1 que sustituyendo en la ecuacin de la continuidad en forma conservativa:

0=

+

tA

xQ

nos da:

01 =

+

tQQ

xQ

Las ondas cinemticas son resultado de cambios en el caudal, Q. La derivada total del caudal con respecto al espacio, x, es igual a:

xt

tQ

xQ

dxdQ

+

=

Comparando esta ecuacin con la de la continuidad en su forma conservativa, vemos que son idnticas si:

0=dxdQ y 1

1

= Qdtdx

con lo que queda demostrado que:

kcdAdQ

dtdx

==

que es la celeridad de la onda cinemtica. Esto significa que un observador movindose a una velocidad ck, vera que dQ/dx = 0, es decir, que el caudal es constante. Estas dos ltimas ecuaciones son las ecuaciones caractersticas para una onda cinemtica, es decir, dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemticamente equivalentes a las ecuaciones de la continuidad y de la cantidad de movimiento. Si derivamos el caudal, Q, con respecto al rea, A, utilizando la ecuacin de Manning, considerando n, S0 y P constantes, lo que es aproximadamente cierto cuando se trata de cauces mucho ms anchos que profundos, podemos encontrar que la celeridad, ck es igual a:

VAQ

AA

nP

SAAA

nP

SdAdQck 3

535

35

35 3

5

32

21

032

32

21

0==

=

==

Es decir, que la celeridad de la onda cinemtica es superior a la velocidad media del flujo y utilizando la ecuacin de Manning, igual a 5/3 la velocidad media del flujo. Solucin analtica de la onda cinemtica Para resolver el valor de Q en funcin del tiempo

Documents

Transformaci 2003