transformaciones conformes

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307Anlisis matemtico para Ingeniera. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPTULO 6 Geometra de las transformaciones complejas En este captulo se estudia la geometra de las funciones complejas, que estaninteresanteporsmismacomoporlamagnficavisingeomtricaque proporciona,yqueademstienemuchasaplicacionesenlafsicayenla tcnica.Comoseestudiencaptulosanteriores,esdifcilrepresentar grficamenteunaaplicacincomplejaf:A_CC,yaquenoesposiblesu representacin grfica de la misma manera que se realizaba la de las funciones realesdeunavariablereal,aunquesinembargoadmiteunainteresante interpretacingeomtricacomotransformacindeunplanocomplejocon coordenadasxeytalesquez=x+iyenotroplanocomplejocon coordenadas u y v tales que w = f(z) = u + iv; de este modo a cada punto z e C se le asocia un punto w = f(z) e C. Siseconsideraquezdescribeunacurvaounafiguracualquiera(una recta, una circunferencia, un disco...) se puede analizar la curva o la figura que describew=f(z).DeestaformaunsubconjuntoAdelplanocomplejose transforma a travs de una funcin f en el subconjunto f(A). El conocimiento de fpermitiraveriguardequformasetransformanlasfigurasdelplanozen figuras del plano w. 308 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 6.1.TRANSFORMACIONES CONFORMESIntuitivamente se dice que una funcin f es conforme en z0 si conserva la magnitud y el sentido de los ngulos en z0, es decir, si se verifica que para dos curvas cualesquiera, y o, que pasen por z0, se tiene que sus curvas imgenes (f o ) y (f o o) forman en f(z0) el mismo ngulo que y o formaban en z0.Cadanmerocomplejoz,distintodecero,determinaunadireccina partirdelorigen,definidaporelpuntodelcrculounidadA[z]= zz.Seafuna aplicacin de una regin O en el plano complejo, sea z0 un punto de esa regin O,yseaBr(z0)unentornoreducidoenelcualf(z)=f(z0).Sedicequef conserva ngulos en z0 si el lmite: 00 00> + u u r )), z ( f ) re z ( f ( A e lmi ir existe y es independiente de u.Enlenguajemenospreciso,sepidequeelnguloqueformencualquier parderayosLyLconorigenenz0,coincidaconelnguloqueformensus imgenes f(L) y f(L) en f(z0), tanto en amplitud como en orientacin.La propiedad de conservar ngulos en una regin es caracterstica de las funcionesholomorfascuyaderivadanotieneningnceroenesaregin.Esta es la razn por la que a esas funciones se les da el nombre de aplicaciones conformes.Definicin 6.1.1: M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 309 Sea f una aplicacin de un abierto O en el plano complejo, f: O _ C C y seaz0unpuntodeesareginO,sedicequefesunatransformacin conforme en z0 si f es holomorfa en z0 y f (z0) = 0. Teorema 6.1.1:SeaOunaregindelplanocomplejoyfunaaplicacindeOenC.Si existe f(z0) en algn z0 e O y f(z0) = 0, entonces f conserva los ngulos en z0. Recprocamentesiladiferencialdefexisteyesdiferentede0enz0,ysif conserva los ngulos en z0, entonces f (z0) existe y es distinto de cero. En efecto, sea una curva diferenciable, : [a, b] O _ C, sea t0 un punto del intervalo abierto (a, b) y sea z0 = (t0). La direccin de en este punto viene dadaporelvectortangentede92,(t0),siendolapendientedelacurvael argumento de (t0) en el caso en que (t0) sea distinto de cero, o0 = arg((t0)), (si (t0) = 0 se tienen problemas para precisar la direccin de la curva). Seaf:O_CCunatransformacinenelplanocomplejo,ysequiere analizar como vara la pendiente de la curva al aplicar f. Se obtiene una nueva curva: f : [a, b] C, que pasa por f(z0) para t = t0: (f )(t0) = f((t0)) = f(z0). La direccindefent0vienedadaporelvectortangente(f)(t0)quesifes holomorfa en z0 se obtiene como (f )(t0) = f((t0))(t0) y si (t0) es distinto de cero,entoncessuargumentoeselproductodedosargumentos,arg(f(z0))y arg((t0)), pues: arg((f )(t0)) = arg(f((t0))(t0)) = arg(f((t0))) + arg((t0)) = arg(f(z0)) + arg((t0)) queseinterpretacomoquelapendientedelacurvaenelpuntoz0,al 310 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA aplicarle la transformacin f, aumenta en la cantidad arg(f(z0)), sea cual sea la curva . Por lo tanto, si 1 y 2 son dos curvas que se cortan en z0 bajo un ngulo ,sustransformadasf1yf2secortanenf(z0)bajoelmismongulo, puesto que la transformacin f hace girar a ambas curvas un mismo ngulo de medida arg(f(z0)).Corolario6.1.2:SifesholomorfaeinyectivaenunabiertoOentonces f(z0) = 0 para todo z0 e O.Es sencillo comprobar que si una funcines holomorfa e inyectiva en un abierto O, entonces su derivada no se anula en ningn punto de O, por lo que es holomorfa en todo punto z de O. Sifesholomorfaenz0,loesenunentornodez0,yalserlafuncinf continuaenz0,existeunentornodez0dondef(z0)esdistintodecero,ypor tanto, si f es conforme en z0, lo es en un entorno de z0, y como consecuencia, existelafuncininversalocalcuyaderivada:(f-1)(w0)=1/f(z0)existeyes distinta de cero, luego es tambin una transformacin conforme en un entorno de w0 = f(z0). Definicin 6.1.2:Sea f una aplicacin de un abierto O en el plano complejo, f: O _ C C, sedicequefesunatransformacinconformeenOsifesholomorfae inyectiva en O. Observaciones 1.Algunosautoresdefinentransformacinconformecomoaquella M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 311 que conserva los ngulos. 2.OtrosautoresdefinentransformacinconformeenunabiertoO comolaaplicacinqueesconformeentodoslospuntosdel abierto.Noexigenquelaaplicacinseainyectiva.Estadefinicin tieneelinconvenientedenogarantizarlaexistenciadelafuncin inversalocal.Porejemplo,lafuncinexponencial,cuyaderivada no se anula en ningn punto, segn esta definicin, sera conforme entodoelplanocomplejo,mientrasquesloloesenbandas horizontalesdeanchuramenoroiguala2t,sienladefinicinse impone que debe ser inyectiva. 3.EnmuchasocasionesenFsicaexisteelproblemadeencontrar unafuncinholomorfaybiyectiva,yportantoconforme,loque conduceadefinirunaaplicacinconformecomounaaplicacin holomorfaybiyectivaenunaciertaregin,conloque,como consecuenciaesconformeentodopuntodedicharegin.Siuna funcinesholomorfaybiyectivaentredosdominiosentoncessu inversa tambin es holomorfa y biyectiva. A estas funciones se las sueledenominarbiholomorfas.Elhechodeescogeresta definicingarantizaportantolaexistenciadelafuncininversa, aunquesegnladefinicin6.1.2,queesunadefinicinms restrictiva, slo se garantiza la existencia de inversa local. Ortogonalidad Naturalmentelastransformacionesconformesrespetanlaortogonalidad. En particular transforman haces de rectas horizontales y verticales en haces de 312 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA curvasortogonales.Estopermiteobtenerconfacilidadparesdefamiliasde curvas ortogonales.Equivalencia conformeUnodelosaspectosmsinteresantesdeestateoraeseldela equivalencia conforme.Definicin6.1.3:DadasdosregionesO1yO2sedicequeson conformemente equivalentes, O1 ~ O2, si existe una funcin f definida en O1, holomorfa e inyectiva, cuyo rango sea O2.Dos regiones conformemente equivalentes son homeomorfas.Proposicin 6.1.3: La relacin conformemente equivalentes entre conjuntos es una relacin de equivalencia. Demostracin: En efecto, verifica las propiedades reflexiva, simtrica y transitiva:a)O ~ O al ser la funcin identidad, f(z) = z, una aplicacin conforme. b)Si O1 ~ O2, entonces O2 ~ O1, pues si f: O1 _ C O2 es una aplicacin conforme,suaplicacininversaesunaaplicacinconformedeO2 sobre O1.c)Si O1 ~ O2 y O2 ~ O3, entonces O1 ~ O3, ya que la composicin de dos aplicacionesconformesesunaaplicacinconforme,ysif:O1_C O2_C,yg:O2_CO3_C,sonconformesenO1yO2 respectivamente,entoncesfg:O1_CO3_C,esholomorfae M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 313 inyectiva luego es conforme, y en consecuencia O1 ~ O3.6.1.1.Teoremasdelaaplicacinabiertaydelaaplicacin de Riemann Existeunarelacinmuyimportanteentreregionesconformemente equivalentes:SeaH(O)elconjuntodetodaslasaplicacionesconformes definidas sobre la regin O; si f es una aplicacin conforme f: O1 _ C O2 _ C, y g: O2 _ C queda definida una aplicacin: H(O2) H(O1) g g o f queesinyectiva,suprayectivayconservalassumasylosproductos,estoes, setratadeunisomorfismodeanillosdeH(O2)sobreH(O1).As,problemas sobreH(O2)puedenserconvertidosenproblemassobreH(O1),ylas soluciones pueden ser transportadas de nuevo a H(O2).Dospropiedadesimportantesdelasaplicacionesconformessonlos siguientes teoremas: Teorema de la aplicacin abiertaSeafunaaplicacinconformeynoconstanteenunconjuntoabiertoO, entonces f(O) es abierto. ElcasomsimportanteestbasadoenelteoremadelaAplicacinde Riemann, que afirma que toda regin simplemente conexa en C y distinta de C es conformemente equivalente al disco unidad abierto. La demostracin del teorema de la Aplicacin de Riemann es complicada, 314 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA pero al menos es interesante enunciarlo pues permite asegurar que dadas dos regiones simplemente conexas existe una aplicacin conforme que transforma una de ellas en la otra. Teorema de la aplicacin de Riemann SeaOunsubconjuntodeCabiertoysimplementeconexodistintodel planocomplejo;entoncesexisteunaaplicacinconforme(holomorfay biyectiva)fquetransformaelconjuntoOeneldiscounidadconcentroenel origen, es decir, tal que f(O) = B1(0).Adems,dadocualquierpuntoz0 eOlafuncinfanterioresnicasise exigen las condiciones f(z0) = 0 y f (z0) > 0. ApartirdelteoremadelaaplicacindeRiemannsetienequedos subrregionespropiasysimplementeconexasdeCsonconformemente equivalentes,alserequivalenteslasdosaldiscounidad.Estaesuna propiedad muy especial de las regiones simplemente conexas de C.Se plantea la cuestin de si esto puede extenderse a situaciones sencillas parecidas,comoelcasodedoscoronascirculares,siendolarespuesta, generalmente, negativa.Dadasdoscoronascirculares:{z;r1 0, 0 < y < t} se transforma en {w = u + iv; |w| > 1, v > 0} b) B = {z = x + yi; x < 0, 0 < y < t} se transforma en {w = u + iv; |w| < 1, v > 0} c) C = {z = x + yi; 0 < y < t} se transforma en {w = u + iv; v > 0}. Sesabequelasrectasparalelasalejedeordenadas,x=a,se transformanencircunferenciasdecentroelorigenyradioea,ylasrectas paralelas al eje de abscisas,y = b, se transforman en semirrectas de extremo el origen y argumento b.Las fronteras de las regiones estudiadas son, por tanto, x = 0, y = 0 e y = t; x = 0 se transforma en la circunferencia de radio uno y centro el origen, y = 0 enelsemiejerealypositivo,y=tenelsemiejerealynegativo.Six>0se obtienencircunferenciasderadiomayorqueunoysi00},yladoizquierdooreginalaizquierdadeal conjunto {z e C{}; Im(z, z1, z2, z3) < 0} segn la orientacin dada.As,porejemplo,en9{},dadalaorientacin(1,0,)suparte derechaeselsemiplanosuperior.Sisetomalaorientacin(1,,0)el semiplano superior es la parte izquierda. Y con la orientacin (1, 2, 1)? Esta orientacin coincide con la orientacin (1, , 0). Deestaformalarespuestaalapreguntaplanteadaanteriormenteviene dada por el principio de orientacin que dice: Proposicin 6.3.15. Si1y2sondoscircunferenciasdeC yTesunatransformacinde Mbiustalquetransformalaunaenlaotra,sisefijaunaorientacinen1 entoncesTaplicaelladoderechode1sobreel ladoderecho de2,yellado 340 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA izquierdode1sobreelladoizquierdode2,respectodelaorientacin transformada.EstoesunaconsecuenciadequelastransformacionesdeMbius conservan las razones dobles. As si (z1, z2, z3) determinan una orientacin en ,yTesunatransformacindeMbiusentonceslapartederecha(y respectivamente, la parte izquierda) de segn esa orientacin, se transforma enlapartederecha(yrespectivamente,laparteizquierda)deT()segnla orientacin (T(z1), T(z2), T(z3)). Definicin 6.3.5: Sea una circunferencia que pase por los puntos z1, z2 y z3. Se dice que los puntos z y z* son simtricos respecto de si: ). z , z , z , z (3 2 1 3 2 1) z , z , z (z*, =En apariencia la definicin no depende nicamente de la circunferencia sino tambin de los puntos z1, z2, z3, pero esta dependencia es aparente.Si es una recta los puntos z y z* son simtricos si equidistan de y se encuentransobrelamismarectaperpendiculara.Esdecir,zyz*son simtricos respecto de la recta , si es la mediatriz del segmento [z, z*] Si es una circunferencia en C de centro a y radio r, entonces los puntos zyz*sonsimtricosrespectodelacircunferenciasiverificanlarelacin: 2r ) a z ( ) a * z ( = .Conocidounodelospuntospuedeconstruirsegeomtricamenteelotro mediante una figura, ya que a, z y z* estn en la misma semirrecta. En efecto: M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 341 ) r arg( )) a z ( ) a * z arg((2= arg(z* a) + arg( a z ) = 0 y por tanto: arg(z* a) = arg(z a). Porotrolado,seobtieneunasemejanzadetringulos,pues: 2r ) a z ( ) a * z ( = |z* a| | z a| = r2 a zrra * z=. En general:aa zr* z +=2. Se comprueba que: a)Elpuntosimtricorespectodelacircunferenciadelpuntodel infinito es el centro de la circunferencia. b)El punto simtrico respecto de la circunferencia de un punto de la circunferencia (o de la recta) es l mismo. c)El simtrico de z respecto de 9{} es su conjugado:z . d)Si z* es el simtrico de z respecto de , entonces z es simtrico de z* respecto de . Circunferencias de Apolonio La expresin: =21z zz z, con e 9+, representa una recta si es igual a uno, y una circunferencia si es distinto de uno. En efecto, si = 1 |z z1| = |z z2| (x x1)2 + (y y1)2 = (x x2)2 + (y y2)2 342 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 2(x1 x2)x + 2(y2 y1) + x12 + y12 x22 y22 = 0,queeslaecuacindelarectamediatrizdelsegmento(x1,y1),(x2,y2),porlo que z1 y z2 son simtricos respecto de la recta |z z1| = |z z2|. Si=1sepuedecomprobarquelaecuacin|zz1|=|zz2| representa la circunferencia de centro 22 11 =z zay radio 22 11 =) z z (r . Definicin 6.3.6: Se denomina circunferencia de Apolonio a la circunferencia: =21z zz z, con e 9+. Proposicin 6.3.16: Lospuntosz1yz2sonsimtricosrespectodelacircunferenciade Apolonio: =21z zz z, = 1, de centro 22211 =z zay radio 22 11 =) z z (r . Demostracin: El simtrico de z, z* es:aa zr* z +=2 por lo que el simtrico de z2, z*2, es: aa zr* z +=222 = ( ) ( )( )+ 222122222 111z zzz z22211 z z = M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 343 ) z z )( () z z )( z z ( ) z z (1 221 2 22122 121 + = z1.Como consecuencia se tiene: Corolario 6.3.17: Si los puntos z1 y z2 son dos simtricos respecto de la circunferencia , la ecuacindepuedeexpresarseenlaforma: =21z zz z,conconstantee independiente de z, rz z2 1= . Demostracin: Sean z1 y z2 dos puntos simtricos fijados respecto de la circunferencia , de centro a y radio r. Entonces:221r ) a z ( ) a z ( = aa zrz +=221. Seazunpuntocualquieradelacircunferencia.Sevaaprobarque =21z zz z es independiente de z. En efecto: =21z zz z=+222z z) aa zr( z= ) a z )( z z (r ) a z )( a z (2 222 = ) a z )( z z () a z )( a z ( ) a z )( a z (2 22= + ) a z )( z z () a z a z )( a z (2 22=ra z2 cte.Proposicin 6.3.18: ElprincipiodesimetradicequesiTesunatransformacindeMbius 344 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA queaplicalacircunferenciageneralizada1sobrelacircunferencia generalizada2,todopardepuntossimtricosrespectode1setransforman por T en un par de puntos simtricos respecto de 2. Demostracin: Essencillocomprobarquelastransformacioneslinealesconservanla simetra. Bastara, pues, probar que la inversin: in(z) = 1/z, la conserva. Sea =21z zz zunacircunferenciadelaquesesabequez1yz2son simtricos respecto de ella. Su transformada por la inversin w = 1/z es: =2111zwzw =w zw z2111 =221111zw zzw z 122111zzzwzw= = constante. Enconsecuencialacurvatransformadaestambinunacircunferencia para la que los puntos 111wz =y 221wz=son simtricos respecto a ella, por lo quelainversinconservalasimetra,yportanto,lastransformaciones bilineales conservan la simetra. Ejemplos resueltos Ejemplo6.3.1:SeaDeldiscounidad,B1(0).Encontrartodaslas transformaciones de Mbius, T, que transformen al disco unidad en s mismo. AlgnpuntoaeDtendrquetransformarseenelorigen,T(a)=0,y mediante la conservacin de la simetra se puede garantizar que el simtrico de M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 345 a se transformar en el simtrico del centro, esto es, en el punto del infinito:El simtrico de a es a* a1=y T(a*) = T(1/ a ) = .Por tanto T(z) = ka / za z1 = k1 z . aa z para algn nmero complejo k.SiTesunatransformacindeMbiustalqueT(D)=Dentonces transformarelbordedeDenelbordedeD,porloquesiz=1entonces T(z) = 1. Como T(1) ha de estar en el borde del disco D, T(1) = k1 11 aa |T(1)| = |k||1 11 aa| = |k| Por lo que k tiene que tener mdulo 1, luego ser de la forma k = ei para algn nmero real . En consecuencia T(z) = ei1 z aa z para cierto nmero real yciertonmerocomplejoadeldiscounidad,porloquesepuedeelegirde formaarbitrariaunparmetroreal,,yotrocomplejo,a.Sepuedeentonces afirmarquelastransformacionesbilinealesdeldiscoensmismotienentres gradosdelibertad.Esosparmetrospermitenelegirqupuntosetransforma en el origen y cul es el argumento de la derivada en ese punto.Ejemplo 6.3.2: Encontrar una transformacin de Mbius T que transforme T(1) = 1, T(2) = 2 y T(7) = 3. Se sustituyen estos puntos en la expresin: 2 13 1w ww w.32w ww w = 2 13 1z zz z.32z zz z y se obtiene: 2 13 1.32ww = 2 17 1.72zz 2.32ww = 6.72zz w = 1 24 7+zz. Si z = x e 9 entonces se transforma en w = 1 24 7+xx e 9. luego transforma 346 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA larectarealenlarectareal.Sisequieresaber,porejemplo,enquse transformalacircunferenciadecentroelorigenyradiouno,sebuscanlos transformados de tres puntos de dicha circunferencia: T(1) = 1, T(i) = 2 + 3 i y T(1) = 11. Estn sobre la circunferencia de centro 6 y radio 5: |z| = 1 |w 6| = 5. Ejemplo6.3.3:Hallareltransformadodelacircunferenciadecentroel origen y radio 1, y de la recta real, mediante la transformacin: w = ii++ zz. Se buscan los transformados de tres puntos de la recta real, y se obtiene: T(1) = i, T(0) = 1 y T(1) = i. Los trasformados no estn alineados por lo que estn en una circunferencia, la circunferencia de centro el origen y radio 1.Se buscan ahora los transformados de tres puntos de la circunferencia de centroelorigenyradiouno:T(1)=i,T(i)=0yT(1)=i.AdemsT(i)=. Estn alineados. Es la recta imaginaria. Por tanto: 9 |w| = 1 y |z| = 1 {z = x + yi; x = 0}. Ejemplo 6.3.4: Encontrar una transformacin de Mbius T que transforme T(1) = i, T(0) = y T(1) = 1.Se sustituyen estos puntos en la expresin:2 13 1w ww w.32w ww w = 2 13 1z zz z.32z zz z y se obtiene: w = z( z ) (21) - i 1 i + +. Ejemplo6.3.5:ComprobarquelasaplicacionesdeMbiusque transformanelsemiplanosuperiorImz>0eneldiscoabierto|w|0debetransformarseenwdel interior del crculo, |a za z| < 1, de donde se obtiene que Im a > 0. Ejercicios 6.9.Encontrar la imagen del crculo de centro el origen y radio 1 mediante las transformaciones:a) 12=zzw .b) 1 =zzw . c) zzw2 =d) 4 ii 2 3=zzw6.10.Encontrarlaimagendelafranja0 0} y B = {w = u + iv; |w| < 3}. 6.14.Determinar la transformacin de Mbius que transforma el crculo unidad es s mismo y tal que T(2) = 3. 6.4. APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES CONFORMES 350 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 6.4.1. Transformaciones de funciones armnicas ElTeoremadelaaplicacindeRiemanndecaquesiOesun subconjuntodeCabiertoysimplementeconexodistintodelplanocomplejo; entoncesexisteunanicabiyeccinconformefquetransformaelconjuntoO eneldiscounidadconcentroenelorigen,talquef(z0)=0yf (z0)seaun nmero real positivo. LademostracindeesteteoremaestenellibrodeMarsden-Hoffman. Puedecomprobarsetambin,usandoellemadeSchwarz,quelasnicas transformacionesbiyectivasyconformesdeDenDsonlasbilineales;yla posibilidadderepresentarOsobreDdemaneraconformepermiteresolverel importante problema, conocido como problema de Dirichlet. 6.4.2. Ecuacin de Laplace con condiciones de contorno MuchosproblemasqueplantealaFsicaseresuelvenbuscando solucionesdelaecuacindeLaplace:02222=cc+ccyfxf.Estaecuacinnotiene solucinnica;sinembargo,cuandoseestablecencondicionesinicialeso condicionesdecontornoseestudia,bajoquecondiciones,dichasolucines nica. El problema de hallar una funcin armnica en un dominio especfico que satisfagasobresucontornocondicionespreviamenteestablecidasesmuy importanteenmatemticaaplicada.Siseconocenlosvaloresdelafuncin sobrelafronteraelproblemasedenominacomounproblemadecontornode primeraespecie,oproblemadeDirichlet.Siseconocenlosvaloresdela derivada normal a la funcin sobre la frontera, se dice que es un problema de M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 351 contorno de segunda especie, o problema de Neumann.Problema de Dirichlet: Encontrar una funcin u(x, y) derivable dos veces en un dominioO queverifique la ecuacindeLaplace en todo punto de dicho dominio,(u(x,y)armnica),cuyosvaloresentodopuntodelafronteradeO son especificados, est determinada en forma nica. ProblemadeNeumann:Encontrarunafuncinu(x,y)derivabledos veces en un dominio O que verifique la ecuacin de Laplace en todo punto de dichodominio,suponiendoqueseconoceladerivadadireccionaldeuenla direccin del vector normal a la curva que define la frontera de O Losdominiosmsfrecuentessonsimplementeconexos,yyaseha estudiadoenelcaptulo2queunafuncinarmnicaenundominio simplementeconexotienesiempreunaarmnicaconjugada,porloqueen ocasioneslasolucindeunproblemadecontornoparatalesdominiosesla parterealoimaginariadeunafuncinholomorfa.Elxitodeeste procedimiento depende de la simplicidad del problema.Un problema de Dirichlet se transforma mediante una aplicacin conforme en otro problema de Dirichlet, y un problema de Neumann se transforma en un problema de Neumann.Lascondicionesdecontornomencionadaspuedenquedarinalteradas bajocambiosdevariablesasociadosaunatransformacinconforme.La tcnicabsicaconsisteentransformarunproblemadecontornodadoenel planoxyenotromssencilloenelplanouv,resolverlo,yescribirlasolucin del problema original en trminos de la solucin obtenida para el ms sencillo. Porloquesisedisponedeunatablalosuficientementeampliaqueindique 352 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA como se transforman unos recintos en otros resultar que el conocimiento de la solucin en un determinado recinto va a determinar la solucin en otros. Sepuedenutilizarlastransformacionesconformespararesolver problemas relativos a la ecuacin de Laplace en dos variables independientes, loquepermitircomentaraplicacionessobreconduccintrmica,potencial electrosttico o flujo de fluidos.6.4.3. Aplicaciones a la hidrodinmica Lasecuacionesdelahidrodinmica2sonecuacionesenderivadas parcialesquerigenelmovimientodeunfluidoyexpresanlaconservacinde losmomentos,laconservacindelamasa,olaecuacinconocidacomo ecuacindeestado.Sondemasiadocomplicadas,porloquesedebenaadir hiptesisparapoderabordarlas.As,sepuedesuponerque:i)elfluidoes incompresible, ii) no existen las fuerzas externas, iii) se consideran nicamente movimientosestacionarios,yiv)serestringeelproblemaaflujos bidimensionales.Secompruebaentoncesqueunadelasecuacionesesla segundaecuacindeCauchy-Riemann,loquellevaalautilizacindelas funciones holomorfas para resolver estos problemas.3 6.4.4. Aplicaciones a la teora del calor En la teora de la conduccin del calor, el flujo a travs de una superficie interioraunslido,enunpuntodelasuperficie,eslacantidaddecalorque fluyeenladireccinnormalalasuperficieporunidaddetiempoyporunidad derea.Portantovaraconladerivadanormaldeladelatemperaturaenel

2 Pueden encontrarse en Hydrodynamics de H. Lamb. 3EnPolya&Lattaseencuentraexplicadoelflujoencanalesconfuentessumiderosy dipolos. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 353 puntoencuestin.Separtedelahiptesisdequenisecreanisedestruye energatrmicaenelinteriordelslido,yquetantolatemperaturacomosus derivadasparcialessonfuncionescontinuas,ysisloseconsiderandos variables, esto permite concluir que la temperatura es una funcin armnica de xey.LassuperficiesT(x,y)=Csonisotermas,ylascurvasquetienenal gradientedeTcomovectortangentesonlaslneasdeflujo.EnChurchill4se puedenencontraraplicacionesalastemperaturasestacionariasenun semiplano y en un cuadrante. 6.4.5. Aplicaciones a la electrosttica Enuncampodefuerzaselectrostticolaintensidaddecampoenun puntoesunvectorquerepresentalafuerzaejercidasobreunacargapositiva unidadcolocadaenesepunto.Elpotencialelectrostticoesunafuncincon valoresrealesdelascoordenadasdelpunto,talque,encadapunto,la derivada direccional en cualquier direccin es la opuesta de la componente de laintensidaddecampoenesadireccin.Paradospartculascargadas estacionarias,lamagnituddefuerzadeatraccinorepulsinejercidaentre ellasesdirectamenteproporcionalalproductodelascargaseinversamente proporcionalalcuadradodelasdistanciasentrelaspartculas.Porloqueel potencialenunpuntodebidoaunasolapartculaenelespacioes inversamenteproporcionalaladistanciaentreelpuntoylapartcula.Entoda reginlibredecargassepuededemostrarqueelpotencialdebidoauna distribucindecargasexternaalareginsatisfacelaleydeLaplaceparael espaciotridimensional.Ysilascondicionessontalesqueelpotencialesel

4 Churchill, R. V.; Brown, J. W.: Variable compleja y sus aplicaciones. Mc Graw-Hill. (4 edicin). 1998. 354 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA mismo en todos los planos paralelos al plano xy entonces ste es una funcin armnicadedosvariables.Elpotencialenelflujoestacionariodeelectricidad enunalminaconductoraplanaestambinunafuncinarmnicaenzonas libresdefuentesosumideros.Elpotencialgravitatorioesotroejemplode funcinarmnicaenFsica.Losproblemasdecontornoparaelpotencialson los mismos que para las temperaturas estacionarias.5 6.4.6. La transformacin de Schwarz-Christoffel LatransformacindeSchwarz-Christoffelqueaplicaelejexyel semiplanosuperiorenelinterioryfronteradeunpolgonocerradosimplese utiliza para dar solucin a ciertos problemas de teora de fluidos y de teora del potencial. Un ejemplo adecuado es hallar el potencial complejo para el flujo de un fluido en un canal con un cambio abrupto en su anchura, que se denomina canal con recodo.6 6.5. EJERCICIOS 6.15. Estudiar dnde es conforme la aplicacin f(z) = log z. 6.16.Comprobar que la transformacin w = iz es una rotacin de ngulo 2t del plano z. Hallar la imagen de A = {z = x + iy; 0 < x < 2 } mediante w

5EnellibrodeChurchill&Brownpuedenverseotrosejemplosdepotencialcomoel potencial en un espacio cilndrico. 6 Estas aplicaciones de la transformacin de Schwarz-Christoffel estn desarrolladas en Churchill&Brown:flujodeuncanalatravsdeunarendija,flujoenuncanal conrecodo,potencialelectrostticoenelbordedeunaplacaconductora...En Polya&Lattatambinseexplicaelflujoencanalesutilizandoesta transformacinconforme,ycomoejemplos,elflujoalrededordecuerposfijos, el flujo con fronteras libres, y el bocal de borda. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 355 = iz. (Solucin: {w = u + iv; 0 < v < 2}). 6.17.HallarlaimagendeAmediantelatransformacinw=f(z),y representar grficamente la regin inicial y la regin imagen, para: a)A = { z = x + iy; e C; x > 0}; w = f(z) = (i 1) z + 2i. b)A = { z = x + iy; e C; y > 0}; w = f(z) = i z + 1 + i. c)A = { z = x + iy; e C; x > 1}; w = f(z) = (1 + i) z + 1. d)A = { z = x + iy; e C; x > 0, 0 < y < 2}; w = f(z) = (i 1) z + 2i. 6.18.HallarlaimagendeA={z=x+iy;eC;x 1, y > 1}. d)A = { z = x + iy e C; 1 < x < 3}. Representargrficamente,encadacaso,laregininicialylaregin imagen. 6.20.Describir geomtricamente la transformacin w = 11+ z. 356 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 6.21.Demostrar que aunque w = z1 transforme una circunferencia en una circunferencia,elcentrodelacircunferenciainicialnosetransforma en el centro de la circunferencia imagen. 6.22.Hallar la imagen de A mediante la transformacin J(z) = z + z1, para: a)A = {z e C; (z(= 1} b)A = {z e C; (z(< 1/2, Im z > 0} c)A = {z e C; (z(< 1/2} d)A = {z e C; (z(< 1} 6.23.Comprobar que f(z) = z2 transforma la circunferencia {z e C; (z r(= r}enlacardiode=2r2(1+cosu).(Ayuda:Escribirlasecuaciones paramtricas de la circunferencia). 6.24.Comprobarquew=senztransformarectashorizontales(y=b)en elipses ||.|

\|= + 12222) b senh (v) b (coshuyrectasverticales(x=a)en hiprbolas ||.|

\|= 12222) a (cosv) a sen (u.Comprobartambinquela familia de las elipses es ortogonal a la familia de las parbolas. 6.25.DemostrarquelacomposicindedostransformacionesdeMbius es tambin una transformacin de Mbius. 6.26.DeterminarlaimagendelareginAmediantelatransformacinT, siendo: M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 357 a)A = {z e C; Re z > 0 y Im z > 0} y T(z) = i 2i 3 2+zz. b)A = {z e C; 4t< arg z < 4t} y T(z) = i 3i 2zz. c)A = {z e C; (z(< 2} y T(z) = i 3 2i2+ zzi . 6.27.Transformar el semicrculo de centro el origen y radio 1, con Im z > 0, mediante las transformaciones:a) 31+=zzw .b) 2i+=zzw . c) i 42 3+=zzwd) 3 ii 2 3=zzw6.28.Transformarlacoronacircular10,mediantelas 358 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA transformaciones:a) 25=zzw .b) i zzw+=i. c) i 42 3+=zzwd) 3 ii 7+=zzw6.30.Transformar la regin limitada por las circunferencias: |z i| = 1, |z 1| = 1, mediante las transformaciones:a) 31 2+ =zzw .b) 2i 2+ =zzw . c) i 44 3++=zzwd) 3 i3=zzw . 6.31.EncontrarlatransformacindeMbiusTquetransformeT(1)=i, T(0) = 1 y T(1) = i.(Solucin: w = ii++ zz). 6.32.Hallar la transformacin de Mbius que aplica los puntos z1 = i, z2 = 0 y z3 = i en los puntos: a)w1 = 2, w2 = 2 y w3 = 4. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 359 b)w1 = 1, w2 = i y w3 = i.c)w1 = 2i, w2 = i y w3 = 2i.d)w1 = 0, w2 = i y w3 = .Indicar, en cada caso, en qu curva se transforma el eje imaginario x = 0. 6.33.Hallar los puntos fijos de las transformaciones de Mbius siguientes: a)w = iz. b) 11+=zzw . c) zzw9 6 = . d)w = z + 3. (Solucin: a ) z = 0, ; b) z = i, i; c) z = 3; d) z = ). 6.34.Determinar todas las transformaciones bilineales que dejan invariante la circunferencia de centro el origen y radio uno. 6.35.Determinar todas las transformaciones bilineales que dejan invariante el eje real Im z = 0. 6.36.Determinar todas las transformaciones bilineales que dejan invariante el semiplano superior Im z > 0. 6.37.DeterminartodaslasaplicacionesdeMbiusquetransformenla regin A en la regin B, siendo A = {z = x + iy; x > y} y B = {w = u + iv; |w| < 1}. 6.38.DeterminartodaslasaplicacionesdeMbiusquetransformenla regin A en la regin B, siendo A = {z = x + iy; x < y} y B = {w = u + iv; 360 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA |w| > 2}. 6.39.Comprobar que todas las transformaciones de Mbius que aplican el crculounidadensmismoydejaninvarianteelorigen,son rotaciones. 6.40.Hallar las transformaciones de Mbius que aplican A en B, siendo A = {z e C; (z(= 1} y B = {w e C; (w 2(= 2} y que transforman 1 en 0 y 0 en 2i. Calcular T(9). (Solucin: T(z) = 2(1 + i)i zz ++1 21; T(9) = {w e C; (w i(= 1}). 6.41.Hallar las transformaciones de Mbius que aplican A en B, siendo A = {z e C; (z + 2i(= 1} y B = {w e C; (w 3(= 1} y que transforman lascircunferenciasdecentroelorigenenlascircunferenciasde centro el punto 1. 6.42.Hallarlaimagendelsemiplanosuperiorporlatransformacin:w= Log z iz i+. 6.43.Encontrar una transformacin conforme que transforme la regin A = {z e C; 4t< arg z < 4t} en la regin B = {w e C; (w 2(< 3}. 6.44.Encontrar una transformacin conforme que transforme la regin A = {z e C; 4t< arg z < 4t} en la regin B = {w = u + iv e C; u > v}. 6.45.SeaTunatransformacindeMbius d czb az) z ( T w++= = .Demostrar que T-1 = T s y slo si a = d. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 361 6.46.Determinar y representar la imagen de A = {z = x + iy e C; x2 + y2 + 2x < 0} mediante las transformaciones: a)T1(z) = z + 3; b)T2(z) = 31+ z; c)T3(z) = 31+zz; d)T3(z) = 13+zz. 6.47.DeterminarlaimagendeA={zeC;,arg(z),st/4}mediantela transformacin f(z) = z2. (Solucin: T(A) = {w e C; Re w > 0}). 6.48.Hallar la transformacin bilinealw = T(z) que aplicaA = {z e C; ,z 4i, s 2} en el semiplano B = {w = u + ive C; v > u} y tal que T(2i) = 0 y T(0) = i. (Solucin: T(z) = z ) i ( izi2 63 6+ +). 6.49.Sea B la imagen mediante T1(z) = zz 5 de A = {z = x + iy e C;y > x}. Hallar la imagen de B mediante la transformacin T2(z) =1 +zz. (Solucin: T2(T1(A)) = {z = x + iy e C;y < x}). 6.50.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el crculo A = {z e C; ,z, < 2}, en el crculo B = {w e C; ,w, < 3}, tal que T(i) = 0 y arg(T(i)) = t/2. Obtener T(2i). 362 Captulo 6: Variable Compleja M .MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA (Solucin: T(z) = 6i zi z4 ; T(i) = 3). 6.51.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el semiplano A = {z e C; Im(z) > 0}, en el crculo B = {w e C; ,w, < 1}, tal que T(4i) = 0 y arg(T(4i)) = 3t/4. Obtener T(0). (Solucin: T(z) = 21 2 ) i ( i zi z44+; T(0) = 21 2 ) i ( +). 6.52.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el semiplano A = {z e C; Im(z) > 0}, en el crculo B = {w e C; ,w, < 1}, tal que T(3i) = 0 y T() = 21 i . Obtener T(i). (Solucin: T(z) = 21 i i zi z33+; T(i) = 2 21 i). 6.53.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el crculo A = {z e C; ,z, < 1}, en el crculo B = {w e C; ,w, < 1}, tal que deja invariantes a los puntos: 1 y 2i. Obtener T(i). (Solucin: T es la identidad; T(i) = i). 6.54.DeterminarlaimagendeA={zeC;,z,=4,Im(z)>0}mediantela transformacin T(z) = 44+zz. (Solucin: T(A) = {w = u + ive C; u = 0, v > 0}). 6.55.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el semiplano A = {z e C; Im(z) > 0}, en el crculo B = {w e C; ,w 1, < 6}, tal que T(i) = 1 y T(i) = 3. Obtener T(1). M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIATransformaciones complejas 363 6.56.Obtenerlatransformacinbilinealcomplejaw=T(z)quetransforma el semiplano A = {z e C; Re(z) > 0}, en el crculo B = {w e C; ,w 1, < 2}, tal que T(1) = 1 y T(0) = 1 2i. Calcular T(9). 6.57.Dada la transformacin zzi w+=112 , determinar: a)La imagen del eje real. b)La imagen del eje imaginario. c)La imagen de cada uno de los cuatro cuadrantes. (Solucin: a) T(9) = {w = u + ive C; u = 0}. b) {w e C; ,w, = 2}. c) C1 = {w = u + iv e C; ,w, > 2, u < 0}; C2 = {w = u + iv e C; ,w, < 2, u < 0}; C3 = {w = u + iv e C; ,w, < 2, u > 0}; C4 = {w = u + iv e C; ,w, > 2, u > 0}.). 6.58.Determinar la transformacin bilineal w = T(z) tal que T(i) = 0, T(0) = 1+iyT()=2i.Obtenersudesarrolloenseriedepotencias positivasdez+i.CalcularlosresiduosdeTyTensus singularidades.Determinarlaimagendelarectay=xmediantela transformacin T.