1

Transformacións xeométricas.

TRANSFORMACIÓNS ISOMÓRFICAS.

Nas transformacións isomórfica (mantéñense os ángulos e as magnitudes son proporcionais) temos a homatecia e a semellanza. Onde

a homotecia é unha semellanza, pero onde non todas as semellanzas son homotecias, por iso estudarémolas por separado.

Tamén a homotecia é unha homoloxía no espazo pero co plano de transformación no infinito. (a homoloxía a vai en 2º bach.)

HOMOTECIA.

É unha transformación isomórfica do plano onde a un punto A sea fai

corresponder outro punto A' segundo unha razón k e aliñado cun punto O chamado Centro de homotecia.

Razón de homotecia:

É unha proporcionalidade directa e é a

relación entre puntos homólogos,segmentos homólogos ou figuras homotéticas.

K=OA'/OA=A'B'/AB=F'/F. As figuras F e F' chámanse figuras

homotéticas. Os puntos A e A'... chámanse puntos

homólogos.

AB e a 'B' son segmentos homólogos (son paralelos)

K= OA'/OA=OB'/OB=A'B'/AB

Cando k é positiva temos unha homotecia directa

Cando K é negativa temos unha homotecia inversa.

Aínda que se chamen directa e inversa non ten que ver nada co sentido das figuras como na simetría axial.( na homotecia non se cambia o

sentido da figura). Segundo o valor de k o tamaño da transformada varia:

OA =K

O A A'

OA'

0

A

B

C

A'

B'

C'

K=2/1

F' F

A' O A

A O A'

2

- Si K>1, Si K es mayor que 1, la figura transformada es mayor , es una homotecia

directa.

- Si 0<k<1, Si K es menor de 1 pero mayor que 0 (entre 0 y 1), la figura transformada es

menor, es una homotecia directa.

- Si-1<k<0, Si k es menor que 0 y mayor que -1 (entre 0 y -1), la transformada es menor

pero la homotecia es inversa.

- Si k< -1, Si K es menor que de -1 (ej.-1.5,-2...) la transformada es mayor , la homotecia

es inversa. -

- Si k=1, Si K es igual a 1 las figuras homólogas coinciden y se convierten en una

identidad.

- Si K=-1, Si K es igual a -1 la homotecia se convierte en una Simetría Central.

0

C' C

B B'

A

A' k=2/1=2

0

A'

A

B'

C' C

B

K=1/2=0.5

k=-2/1=-2

A B

C

B' 'A

C'

O

C'

A' B'

O

B A

C

k=-1/2=-0.5

0

Á' C C'

B B'

k=1

A'

B'

C'

O B C

A

k=-1

3

- La transformada de una recta que pasa por el centro de homotecia es la propia recta, es

decir es una recta doble (coincide con la

original), pero sus puntos no son dobles, solamente sería punto doble aquellos que

coinciden con el centro.

- La recta homóloga o la transformada de una recta que no pasa por el centro de homotecia

es una paralela. - Los ángulos de dos rectas, segmento...

homólogos que no pasan por el centro, son iguales ya que son paralelas que se cortan por

un haz de rectas.

- El producto de dos homotecias de igual centro

es otra homotecia de centro común y razón de homotecia el producto de las homotecias

factores(primeras). k3= k1. k2 . Donde k1= OA'/OA

Donde k2= OA”/OA', k3= OA'/OA. OA”/OA' Donde k3 =OA”/OA

Ejercicio: Hallar el producto de homotecia de igual centro dado el punto A y razones k=2/1 y k'=2/3

- Trazamos la primera homotecia de centro 0 y razón 2/1 . k1= OA'/OA

- Trazamos la segunda homotecia de centro 0 y

razón 2/3. k2= OA”/OA'

- Comprobamos el producto de la homotecia que tiene que cumplir k3= k1. k2 .

k3= 2/1.2/3=4/3

0 r

r'

s s'

0

r r'

s s'

A B

B' A'

0

A

A'

B B' 0

B

A

A'

B'

A' A

0

0

A A' A"

A'

A"

A 0

4

- Producto de homotecias de distinto centro es

otra homotecia de centro O3 alineado con los otros dos y razón k3= k1. k2 . Dónde

k1=OA'/OA , k2 =O'A”/O'A' , k3 =O”A”/O”A

Ejercicio: Hallar el producto de homotecia de centros O y O' dado

el segmento AB y razones k=2/1 y k'=2/3

k3 =2/1.2/3=4/3

Se traza la primera homotecia de centro O y razón 2/1 y nos dará el segmento A'B'.

Se traza la segunda homotecia de centro O', razón 2/3 y segmento A'B', nos dará el segmento A”B”.

Si unimos la última transformada con el primer segmento nos dará el centro de homotecia O” que cumplirá k3= k1. k2 La homotecia de centro O” tendrá una razón de 2/1.2/3=4/3 y estarán alineados los centros.

Producto de movimiento: cuando se hace varias transformaciones (ya bien sean iguales o distintas) reciben el

nombre de producto de movimientos.

A

B O

O'

A

B O

O'

A'

B'

A"

O

A B

B

B'

O'

A'

O'

B'

O B

O"

r

A

A'

A"

B"

5

- Teorema de las tres homologías:

Hallar la homotecia de centro de homtecia O”y de razón k”=

K'/K. Dado los centros O y O' el segmento AB y razones k=2/1 y

k'=1/2. - Dado un segmento AB, este se transforma en

otro segmento A'B' por una homotecia de centro O y razón 2/1.

- Dado un segmento AB, este se transforma en

otro segmento A”B” por una homotecia de centro O' y razó

- Se puede trazar una tercera homotecia de centro O” y razón

k”=1/2/2/1= ¼

RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS FIGURAS HOMOTÉTICAS.

La relación entre las superficies de dos figuras homotéticas y su razón de homotecia es la siguiente: k2= superficie f'/superficie f.

EJEMPLO. Dibujar un heptágono de área tres veces mayor que la del heptágono. Si la razón de las superficies k2= S'/S; k2= 3/1

(se coje el centimetro como unidad). k= 3. y k la hallamos por la

media proporcional.

B O

A O'

O B

B" B' O"

A" A O'

A'

B

B'

A O'

A'

O

A"

B"

k= 3

10 40

17.3

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

1

2

3 4

5

6

7

0 10 17.3

6

HOMOTECIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS.

Las circunferencias son siempre homotéticas ya que son siempre

semejantes. - Si las circunferencias son concentricas

tendrán un centro de homotecia localizado en el centro común de las circunferencias y su

razón será el existente entre los radio.

- Si las dos circunferencias no son concentricas, la homotecia tendrá

dos centros de homotecia uno directo y otro inverso. El centro de homotecia directo se podrá hallar con las rectas tangentes exteriores.

El centro de homotecia inverso se podrá hallar con las rectas tangentes interiores.

Esto quiere decir que existen dos homotecias que convierten una circunferencia C en su transformada C'. La primera homotecia será

una homotecia de centro O (directa) y razón r'/r. La segunda homotecia será una homotecia de centro O' (inversa) y razón -r'/r.

SEGMENTOS HOMOTÉTICOS.

Dous segmentos paralelos son sempre son sempre homotéticos respecto de dous centros 0 e 0', un directo e outro inverso.

Os centros de homotecia son as interseccións das rectas que unen os extremos dos dous segmentos.

EXEMPLO: Acha céntroos de homotecia de dous segmentos

paralelos dados.

A A'

0

R20 R30

K=3/2

C' C 0'

0

B

A'

B'

A A

A'

B B'

0' 0

7

nº1.- Acha a homotecia do pentágono dado de

razón¾

Únense os vértices co centro de homotecia. Divídese por exemplo OA en 4 partes iguais cóllense 3 e será 0 A', para

os diferentes homoteticos pódense trazar paralelas aos segmentos.

nº2.- Acha a homotecia do triángulo dado, de razón

3 cm. Cando a razón non é unha fracción senón un número enteiro, tense que

considerar como unidade o centímetro e trazar a proporción segundo o teorema de Thales. (O cm non varía a ecuación)

K=3, collemos 1 cm como unidade k=3/1, OA'/OA=30/10mm. Utilízase o primeiro procedemento por ser máis doada e directa a execución.

0

A

B

C

D

F

C

F

D

A

B 0

A'

0 A

B C

10

30

13.3 39.9

0 A A' 39.9 30

10

13.3

0 A' 0

A

30

10

B C

0 A

C'

A'

B'

8

nº3.- Acha a homotecia do cadrado dado, de razón -

3/2.

nº4.- Acha a homotecia do triángulo dado, de razón

-2.5 cm.

Sobre os triángulos equiláteros hai que saber que ademais dos segmentos paralelos e as circunferencias, os triángulos equilátero

sempre son homotéticos sempre que teñan dous lados paralelos.

nº5.- Acha as rectas tanxentes exteriores a dúas circunferencias dadas.

Únense dous puntos homólogos, únense os centros e asi búscase o

centro de homotecia. Trázase o exercicio de rectas tanxentes a unha circunferencia por un punto exterior, dándonos dous puntos de

tanxencias. Para buscar os outros dous trázanse paralelas.

D C

B

0

A

0

A B

C D

14.8

14.8 D'

A' B'

C'

0

A

B

C

10

20.5

B

A

0 C

A'

C'

0 0' 0 0'

A

A'

T

T

T

T

9

nº6.- Acha as rectas tanxentes interiores a dúas circunferencias dadas.

nº7.- Acha as circunferencias tanxentes a dúas rectas dadas, e que pasen por P. Trazamos a bisectriz das dúas rectas (na bisectriz estarán os centros buscados). Na recta bisectora búscase un punto calquera C e trázase

unha circunferencia auxiliar tanxente ás dúas rectas. Trázase unha recta dende o centro de homotecia O con P, que corta á circunferencia auxiliar

en M e N estes son puntos homólogos a P. Únense CM,CN e trázanse paralelas aos segmentos CM,CN que corta á bisectriz en 0 e 0'.

0 0' 0 0'

A

A'

O

T

T T

T

P

r

r'

r'

P

r

T

T

T

T

0

0'

C M N O

10

SEMELLANZA

É unha transformación isomórfica, e adóitase definir como o

produto dunha homotecia por un movemento (de translación normalmente).

Mantén iguais os valores angulares e proporcionais os seus valores lineais. Ao ter os seus valores lineais proporcionais posúe unha razón de

semellanza: É a relación de proporción que se establece entre dous lados dunha figura semellante. (outra definición: É a relación de

proporción entre segmentos homólogos).

Recordar que todas as homotecias son semellanzas, pero non todas as

semellanzas son homotecias

Os elementos denomínanse:

- F e F': figuras semellantes. - A, A': puntos homólogos.

- AB, a 'B': segmentos homólogos.

- K=A'B'/AB: razón de semellanza.

- se K é >, = ou < que 1, será maior, igual ou menor a figura

semellante á dada. - K compórtase moi parecido á homotecia se temos K positiva ou

negativa teremos unha semellanza directa ou inversa. Normalmente

K non adoita ser negativa, xa que nese caso nos estarían a obrigar a realizar unha homotecia de razón negativa.

Condicións de semellanzas de Triángulos. Son os datos que necesitamos para crear polígonos semellantes.

- Cando dous dos seus ángulos son iguais. É

dicir cando os seus lados son paralelos. - Cando ten un ángulo igual e os lados

comprendidos son proporcionais. - Cando ten os tres lados proporcionais Dous triángulos rectángulos son semellantes

cando teñen un ángulo agudo igual (un ángulo

agudo + un ángulo recto)

0

A

B

C

A'

B'

C'

K=2/1

F' F

A A'

B'

B C

C' B'

C'

A' A

B B'

C C'

11

É semellante o triángulo rectángulo e os formados ao trazar a súa altura sobre a

hipotenusa.

Semellanza de triángulos formados entre rectas antiparalelas.

RECTAS ANTIPARALELAS: dado dúas rectas a e b que se cortan nun punto V, dado outras dúas rectas c e d que cortan ás anteriores,

dinse que son rectas antiparalelas se o ángulo A=A', PARA QUE PASE ISTO, os vértices A,B,A',B' TEÑEN QUE ESTAR circunscrito a un

cuadrilátero, e para que isto pase os ángulos opostos do cuadrilátero teñen que ser suplementarios.

Os triángulos formados por AVB e a ' B 'V, son semellantes por ter dous ángulos iguais.

Condicións de semellanzas de polígonos.

Son os datos que necesitamos para crear polígonos semellantes.

- Todos os polígonos regulares son semellantes. - Cando se compoñen do mesmo número de

triángulos semellantes de dous en dous e igualmente dispostos.

- Cando todos os seus lados menos un son proporcionais e os seus ángulos iguais.

- Cando teñen todos os ángulos menos dous iguais, e os seus lados

son proporcionais menos un.

A

B C D

90º

90º 90º

ABC ADC ABD

A

B C

D

ánguloA+C=B+D=180º

V

A

A' B

B'

V B

A

A'

B'

A

B C D

E

F G

A'

B' C' D'

E'

F' G'

12

Como nos polígonos regulares son todos semellantes, os seus lados,

apotemas, radios, perímetros..también sono e a razón de semellanza tamén sería o cociente entre as súas radios, apotemas, perímetros...

PROCEDILMIENTOS PARA A REALIZACIÓN DE FIGURAS SEMELLANTES

Por homotecia: Trazar a figura semellante dada k=2/3. Trazar a figura semellante dada k=-2/3.

Se busca un centro de homotecia cualquiera que puede ser un punto en

el espacio O , o un punto en la propia figura.

Por Coordenadas: Trazar a figura semellante dada k=1/2.

Por Cuadrícula: Traza a figura semellante dada k=3/4

Exercicios de transformacións xeométricas

A B

C

D

E

B A

E

D

C

A' B'

C'

D'

E'

0 A" B"

C"

D"

E"

B A

E

D

C

E

D

C

A B

D'

E' A' B'

C'

7.5

13

nº 1.- Traza o produto dos seguintes movementos.

translación e simetría.

Nº2.- Trazar o produto de dúas simetrías axiais.

Nº 3.- Ejectuar as seguintes

transformacións no triángulo equilátero dado:

Unha translación da

magnitude M, dirección e sentido D dado.

A continuación un xiro, de centro o punto O e ángulo 3º

en sentido horario.

nº4.- Determinar o centro

de xiro destes dous segmentos.

Nº5.- Determinar o centro de

xiro de dúas semirrectas.

A

B

C

e

B

A

e1 e2

C

M D

A

B

C

O

B1

B

A

A1

r

r'

14

Nº6.- Dado el triángulo

ABC, traza dous xiros un de 30º e outro de 45º

nº7.- Dado o punto P e as

rectas r e s, debuxar unha recta que defina en r e en s dous

puntos A e A' de tal modo que PA=P'A'.

nº8 Dibujar segmentos

iguales y paralelos al segmento s dado, de modo que sus extremos

estén en las circunferencias.

nº9.- Trazar un triángulo equilátero de lado l, cun vértice

apoiado en cada unha das rectas

dadas

nº10.- Dadas as rectas r e s

e o segmentos PQ, determinar o segmento que, coa mesma

lonxitude e dirección que o dado,

teña os extremos sobre as rectas r e s (non resolvelo a tenteo)

nº11.- Dado o segmento AB e o segmento a 'B' pertencendo

a un pentágono regular, Achar o

o centro e o pentágono mencionado.

O

A

B

C

r

s

P

s

o1

o2

t

l

r

s

r

s

P Q

A

B B'

A'

15

nº12.- Dados os puntos A e

B e a recta e, determinar sobre a recta un punto P que cumpra que

a distancia AP+PB sexa mínima.

nº13.- Trazar un cadrado

inscrito nun triángulo OPQ dado (é unha homotecia)

nº14.- Trazar un heptágono regular de diagonal AE 4 cm.

nº15.- Debuxar un triángulo

equilátero cun vértice apoiado en cada unha das tres rectas

paralelas dadas, r, s, e t.

nº 16.- ¿Que homotecias

relacionan estas dúas figuras?

nº 17.- trazar un triángulo que teña a área dúas veces

maior que o triángulo dado.

nº18.- Centros de homotecia de tres circunferencias dadas.

A

B

e

A B

C

t

s

r

A B

C

3

1

2

16

nº19.- Dadas as

circunferencias C e C', acha os posibles centros de homotecia

que transforman C en C' e indica

as correspondentes razóns de homotecia.

nº20.- Definida unha homotecia de centro O e razón -

1, debuxa o triángulo a ' B 'C'

homotético do ABC.

nº22.- Debuxar a figura

homotética da circunferencia dada, sendo O o centro de

homotecia e a súa área a

metade da do círculo coñecido.

Nº21.- Achar a

transformada da figura respecto a O mediante xiro de

30º e homotecia 5/2.

nº24.- Dada a figura de diámetro 8 cm. Debuxar unha

corda que corte a ese diámetro e á circunferencia

segundo dous segmentos de lonxitude 2 e 3 cms.

1 2

O

C

A B

0

0

17

nº25.- Debuxar o triángulo

de lados proporcionais a 4, 5 e 6 e radio da circunferencia

circunscrita de 60 mm.

nº26.- Nun triángulo ABC,

ángulo A 75º, ángulo B 60º e radio da circunferencia inscrita

10 mm, debuxar o triángulo.

nº27.- Debuxar o triángulo

de lados proprcionales a 2, 3 e 4, de forma que a súa

circunferencia inscrita teña de radio 2cms.

nº28.- Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é

a metade dos lados iguais,

inscrito na circunferencia de radio 4cms.

nº30.- Debuxa a figura semellante á dada, sendo a

razón de semellanza 3/5.

nº31.- Determinar a figura homotética da dada, sendo a

razón de homotecia -5/4.

nº32.- Debuxa un

pentágono regular coñecida a distancia dun vértice ao lado

oposto de 6 cm.

a1

b1

c1 d1

a b

c d

o

18

Exercicios de transformacións xeométricas

nº 1.- Traza o produto dos seguintes movementos.

translación e simetría.

Nº2.- Trazar o produto de dúas simetrías axiais.

Nº 3.- Ejectuar as seguintes transformacións no triángulo

equilátero dado: Unha translación da magnitude M, dirección e sentido D dado.

A continuación un xiro, de centro o punto O e ángulo 3º en sentido horario.

A

B

C

e

B

A

e1 e2

C

M D

A

B

C

O

B

O A

C

M D

26

B1

C1

A1

A2

B2 C2

e

B

A

C

e

36.6

A1 B1

C1

A2

C2 B2

B

A

e1 e2

C

0

C1 C2 B2

B1

A1

A2

19

nº4.- Determinar o centro de xiro destes dous segmentos.

soamente é trazar as

mediatrices dos puntos xirados, onde se corte é o

centro de xiro.

Nº5.- Determinar o centro de xiro de dúas semirrectas.

Se prolongan las semirrectas y se traza la

bisectriz del ángulo

comprencido, que corta a la mediatriz de la recta

creada al unir los extremos de la

semirrecta.

Nº6.- Dado o triángulo ABC, traza dous xiros un de 30º e

outro de 45º.

O produto de dous xiros do mesmo centro é outro xiro do mesmo

centro e ángulo de xiro a suma dos ángulos de xiro.

O produto de dous xiros de distinto centro de xiro

e distinto ángulo, é outro xiro de distinto centro e

distinto ángulo de xiro

A1 0

B1

A

B

B1

B

A

A1

r'

0

r r

r'

A

B

C

O A2

B2

C2

O

A

B

C

20

nº7.- Dado o punto P e as rectas r e s, debuxar unha

recta que defina en r e en s dous puntos A e A' de tal modo que PA=P'A'.

A solución sería a realización de dous simetrias centrais unha coa recta s e outro coa recta r.

Dónde corten as dúas simétricas serán os puntos A,A' buscados que cumpren a condición, PA=P'A'.

- Por P trázase unha perpendicular a s e áchase o simetrico s'.

- Por P trázase unha perpendicular a r e áchase o simétrico r'.

Os dous simétricos córtanse coas rectas contrarias en A e A'. Unimos

PA=P'A'.

nº8 Dibujar segmentos iguales y paralelos al segmento s

dado, de modo que sus extremos estén en las circunferencias.

- En realidad es una translación, de la circunferencia o2 a la circunferencia o3. Todos los segmentos que sean paralelos a uno

dado s y que se apoyen en una circunferencia o2, también se apoyarán en la circunferencia o3 (estos segmentos paralelos son en

realizad los rayos de traslación). Los puntos de corte de la

r

s

P s

s'

P P

r'

r

r

s

P

r'

A

A'

s

o1

o2 s

o2

o1

15.8

15.8

o3 M

N

21

circunferencia o3 con o1 son los extremos de la soluciónes (ya que

los segmentos tienen que tocar también esta circunferencia).

nº9.- Trazar un triángulo equilátero de lado l, cun vértice apoiado en cada unha das rectas dadas.

O exercicio é unha translación: Búscase un punto A calquera na recta r. Con centro en A e radio l, trázase un arco que nos dá na recta s o punto

B. Trázase o triángulo equilátero ABC, Se traza unha paralela por C a r ys, onde corte será o vértice C' (primeiro punto buscado), trázanse

paralelas aos lados por C' e darannos os puntos A',B'.

nº10.- Dadas as rectas r e s e o segmentos PQ, determinar o

segmento que, coa mesma lonxitude e dirección que o dado, teña os extremos sobre as rectas r e s (non resolvelo a tenteo)

El problema se reduce a dos traslaciones. Se busca un punto

cualquiera Q1 en la recta s. De une Q,Q1. Se traza una recta paralela por

P a Q,Q1. Se traza otra recta paralela a PQ por Q1. que corta a la recta

anterior en P1. Desde P1 se traza una paralela a s por P1 que corta a la

recta r en P2. Se traza otra paralela a

PQ por P2 que corta a la recta s en Q2. P2Q2 es el resultado final

buscado.

t

r

s

l

r

s

t

l

A

B

C

A'

B'

C'

r

s

P Q

r

s

P Q

P1 Q1

P2 Q2

22

nº11.- Dado o segmento AB e o segmento a 'B' pertencendo a

un pentágono regular, Achar o o centro e o pentágono mencionado.

nº12.- Dados os puntos A e B e a recta e, determinar sobre a

recta un punto P que cumpra que a distancia AP+PB sexa

mínima.

Trazamos o simétrico dun dos puntos dados

respecto á recta. Unimos AB' e o punto de corte con

a recta e, será o punto buscado, pois a distancia en

liña recta AP+PB', que é a mínima, é igual á

distancia AP+PB, xa que os segmentos simétricos teñen a mesma magnitude.

nº13.- Trazar un cadrado inscrito nun triángulo OPQ dado (é unha homotecia)

A

B B'

A'

B B'

A' A

54°

A

B

e

A

B

e

B'

P

A B

C

B A

C

1' 2'

3' 4'

16.5

16.5

3 4

1 2

23

Trázase un cadrado auxiliar que teña tres vértices nos lados do

triángulo dado a ' B 'C'. Trázase a homotecia que pasa polos vértices do cadrado auxiliar ata que corte os límites do triángulo. Os puntos 3

e 3' son puntos homólogos e un vértice buscado, á traza unha

paralela e unha perpendicular a AB, dándonos os vértices 2 e 4. Dende 4 perpendicular a AB e dá 1.

nº14.- Trazar un heptágono regular de diagonal AE 4 cm.

nº15.- Debuxar un triángulo equilátero cun vértice apoiado

en cada unha das tres rectas paralelas dadas, r, s, e t.

O exercicio soluciónase cun xiro de 60º de

centro de xiro, nunha dunha das rectas ata que corte a terceira recta. O centro de xiro

e a intersección da recta xirada determinaranos o lado do triángulo

equilátero.

Buscamos un punto calquera A trazamos

unha recta perpendicular a outra das rectas onde localizamos o punto P. Xírase o punto

P e a recta t uns 60º. Daranos a recta t' e o punto P'.

A

B D

E

F G H

B' D

E'

F'

G'

H'

t

s

r

t

r

s

t'

P'

P

A

B

t

t'

s

r A

P

P'

B B

24

O punto de corte da recta t' coa terceira recta s (ou a recta r, segundo

que exemplo) será o vértice B. Xa temos o lado do triángulo equilátero e polo tanto o triángulo.

nº 16.- ¿Que homotecias relacionan estas dúas figuras?

A homotecias de dúas circunferencias concentricas, a razón é o cociente entre os seus radios. É o mesmo que pasa cos polígonos

regulares.

nº 17.- trazar un triángulo que teña a área dúas veces maior

que o triángulo dado.

k2=2

nº18.- Centros de homotecia de tres circunferencias dadas.

15

30

A

A' A

A' K=A'/A

O

K=30/15=2

k=15/30=0.5

A B

C

A B

C

B'

C'

A'

14.1

K=14

3

1

2 01

02

03

04 05

06

1

2

2

25

Como se pode ver que dous dos centros de homotecia inversos estan

aliñados cun centro de homotecia directo e que os tres centros de homotecia directo estan aliñados.

nº19.- Dadas as circunferencias C e C', acha os posibles centros de homotecia que transforman C en C' e indica as

correspondentes razóns de homotecia.

- sólamante temos que unir os puntos

homólogos, como son por exemplo os

extremos do eixe de simitria. A razón vai ha

ser k=2 e K=-2.

nº20.- Definida unha homotecia de centro O e razón -1,

debuxa o triángulo a ' B 'C' homotético do ABC.

1 2

A

A'

A'

01 02 1 2

O

C

A B A B

C B'

A'

C'

O

26

Nº21.- Achar a transformada da figura respecto a O mediante xiro de 30º e homotecia 5/2.

0 0

1 2

3

4 1 2

0

4

3

1' 4'

2'

3'

4'

1'

2' 3'

1

2

4

0

3

11.3

1"

4"

T

T'

2" 3"

27

nº22.- Debuxar a figura homotética da circunferencia dada,

sendo O o centro de homotecia e a súa área a metade da do círculo coñecido.

Nº23.- Traza os centros de homotecias das dúas

circunferencias.

O primeiro centro de

homotecia será O1. Buscamos dous pares de

puntos homólogos AA? e BB', que debuxa dous

segmentos homólogos,

recórdase que o centro de homotecia se forma

unindo os vértices dos segmentos.

nº24.- Dada a figura de diámetro 8 cm. Debuxar unha corda

que corte a ese diámetro e á circunferencia segundo dous segmentos de lonxitude 2 e 3 cms.

k= 0.5=0.7

7.1

7.1 10

A

A'

01 02 1 2

A

A'

B

B'

01 02

0

A2

50

30

A

B

B1

B2 P

P'

118°

0

28

O exercicio son dous xiros un de ángulo calquera e outro de 118.

Búscase un punto calquera A e trázase un segmento de 50 cm, (3+2cms), este fáiseo xirar con centro en A e ángulo que corte ao

devandito segmento coa circunferencia dando o punto B1. Búscase o

punto P (que son as partes nas que ten dividir a corda o diámetro), unimos OP, Se medimos o ángulo dende OP co diámetro buscado é de

118º. Unimos OA e transportamos o devandito ángulo. Unimos OB e transportamos o devandito ángulo.

nº25.- Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4, 5 e 6 e

radio da circunferencia circunscrita de 60 mm.

O problema resólvese por semellanza de triángulos, onde o centro da

circunferencia circunscrita vai ser o centro de homotecia.

Trazo un triángulo auxiliar que teña os lados 4,5 e 6, porque teñen que

ser proporcionais a eses datos (máis proporcionais imposible). Búscase o circuncentro O.

Con centro en O e radio 60 trázase o circuncentro do triángulo buscado.

Únense os vértices a ' B 'C' con O e prolónganse ata que corten coa

circunferencia de radio 60.

Os puntos de corte son os do triángulo buscado, como se pode apreciar os seus lados son paralelos ao triángulo auxiliar.

A' B'

C'

R50 R60 R60

A B

O

C

29

nº26.- Nun triángulo ABC, ángulo A 75º, ángulo B 60º e radio

da circunferencia inscrita 10 mm, debuxar o triángulo.

Trázase por semellanza de triángulos. onde o centro

de homotecia vai ser o centro da circunferencia inscrita.

Trázase un triángulo auxiliar calquera que teña os ángulos 75º e 60º. Trázase as bisectrices

para achar o incentro. Trázase a circunferencia inscrita de radio 10 e búscanse os puntos de

tanxencia do triángulo auxiliar. Trázanse paralelas ao triángulo auxiliar e dá ABC

nº27.- Debuxar o triángulo de lados proprcionales a 2, 3 e 4, de forma que a súa circunferencia inscrita teña de radio 2cms.

É igual que o exercicio

nº25.

A'

A B

B'

C

C'

O

T

T'

T'

T' T T

A1 B1

C1

C

A B

0

T

T T

T

T T

40

20 30

30

nº28.- Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a

metade dos lados iguais, inscrito na circunferencia de radio 40cms.

Por semellanza de triángulos.

Trázase un triángulo auxiliar de 4,2,4cms por cumprir o indicado no

exercicio.

Trázase o circuncentro xa que o

triángulo ten que estar inscrito na circunferencia que agora trazamos de

radio 40cms.

Únense o circuncentro cos

extremos do triángulo auxiliar e prolóngase ata que corte á

circunferencia de 40cms.

Unimos os devanditos puntos

de corte e dá o triángulo buscado.

nº29.- Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa circunferencia inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale

75º. Distancia XO=60mm. Radio de C= 20 mm. O= centro de C.

Trázanse os datos

dados polo problema, trázanse

as rectas tanxentes á circunferencia.

Por un punto calquera Y1 trázase o ángulo de 75º.

Dende O trázase unha recta perpendicular á recta de ángulo 75º e dános o punto T1 e T por onde trazamos o segmento que nos falta.

A1 B1

C1

C

A B

O

X O R20

T

Y

Z

75°

90°

T1

Y1

31

nº30.- Debuxa a figura semellante á dada, sendo a razón de

semellanza 3/5.

nº31.- Determinar a figura homotética da dada, sendo a

razón de homotecia -5/4.

nº32.- Debuxa un pentágono regular coñecida a distancia dun vértice ao lado oposto de 6 cm.

a1

b1

c1 d1

a,a1

b b1

c1

c

d1

d 3/5

a b

c d

o

21.1

21.1

a b

c d

a1

b1

c1 d1

o

a a1 b1 b

c

d

e

e1

d1

c1

M