Pedro Henrique da Silva

TRANSFORMAES GEOMTRICAS NO CONTEXTO ESCOLAR:

UMA EXPERINCIA DE APRENDIZAGEM NO 8 ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

OURO PRETO

2017

Pedro Henrique da Silva

TRANSFORMAES GEOMTRICAS NO CONTEXTO ESCOLAR:

UMA EXPERINCIA DE APRENDIZAGEM NO 8 ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Dissertao apresentada Banca

Examinadora, como exigncia parcial

obteno do Ttulo de Mestre em Educao

Matemtica pelo Mestrado Profissional em

Educao Matemtica da Universidade

Federal de Ouro Preto, sob orientao do

Profa. Dra. Marger da Conceio Ventura

Viana.

OURO PRETO

2017

ii

Catalogao: www.sisbin.ufop.br

S381t Silva, Pedro Henrique .

Transformaes geomtricas no contexto escolar [manuscrito]: uma

experincia de aprendizagem no 8 ano do ensino fundamental / Pedro

Henrique Silva. - 2017.

158f.: il.: color; grafs; tabs.

Orientador: Profa. Dra. Marger da Conceio Ventura Viana.

Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de

Cincias Exatas e Biolgicas. Departamento de Matemtica. Programa de Ps-

Graduao em Educao Matemtica.

rea de Concentrao: Educao Matemtica.

1. Geometria - Conhecimentos e aprendizagem. 2. Ensino fundamental. I.

Viana, Marger da Conceio Ventura . II. Universidade Federal de Ouro Preto.

III. Titulo.

CDU: 514

iii

iv

Dedicatria

Aos meus pais, que me apoiaram por mais esta fase de minha vida.

v

Agradecimentos

Aos meus pais, Marila e Vandel que desde cedo me ensinaram os valor dos estudos, do

trabalho e da honestidade.

minha irm Rafaela e minha namorada Marina que me apoiaram nos momentos mais

difceis, fazendo com que chegasse ao final deste ciclo.

Professora Marger da Conceio Ventura Viana, minha orientadora, que esteve sempre a

disposio para me ajudar e apoiar e tambm de ser rgida quando necessrio (vrias

vezes). Lembrando tambm, de sua grande contribuio para meu crescimento acadmico,

incentivando e dando oportunidade de estudarmos juntos, desde a graduao, com

iniciaes cientficas e apresentao em diversos eventos.

Aos professores do Programa de Mestrado Profissional em Educao Matemtica da

UFOP, em especial aos professores Maria do Carmo Vila, Ana Cristina Ferreira e Dale

Willian Bean (in memorian), pelos ensinamentos, pelas discusses e pelos conselhos dados

durante a realizao do mestrado.

Banca Examinadora, professores Frederico da Silva Reis e Eliane Gazire, por aceitarem

o desafio de contribuir para esta importante etapa de minha vida acadmica.

Aos colegas e amigos que fizeram parte do meu percurso acadmico me ajudando,

incentivando e apoiando nos momentos de maior desnimo.

Aos meus alunos, participantes da pesquisa que contriburam para a realizao deste

trabalho.

Aos meus familiares, que de forma direta ou indiretamente fizeram parte da minha

formao.

vi

RESUMO

A pesquisa foi desenvolvida na Linha 2: Formao de Professores de Matemtica, Cultura

e Ensino-aprendizagem de Matemtica, do Mestrado Profissional em Educao

Matemtica da UFOP. Trata-se de um estudo de cunho qualitativo, que foi desenvolvido

com alunos do 8 ano do Ensino Fundamental de uma escola privada do interior de Minas

Gerais. O tema foi: o ensino-aprendizagem de transformaes geomtricas por alunos do 8

ano do Ensino Fundamental. A partir de levantamento bibliogrfico, de um questionrio e

seguindo os passos da teoria Histrico Cultural de Vigotski, foi elaborada uma proposta de

atividades. Esta proposta utilizou-se de matrias manipulativas, tarefas e do software

GeoGebra. Os instrumentos para a coleta de dados foram questionrios, registro

documental, dirio de campo e filmagens. Finalizando a pesquisa, foi realizado um

questionrio final a fim de verificar alguns resultados. Para a interpretao e anlise dos

dados, foi utilizada a fundamentao terica elaborada para este fim.

Palavras-chave: transformaes geomtricas, ensino-aprendizagem, Ensino Fundamental.

vii

ABSTRACT

The research was developed in Line 2: Training of Teachers of Mathematics, Culture and

Teaching-learning of Mathematics, of the Professional Master in Mathematics Education

of UFOP. This is a qualitative study, which was developed with 8th grade students from a

private school in the interior of Minas Gerais. The theme was: the teaching-learning of

geometric transformations by students of the 8th year of Elementary School. From a

bibliographical survey, a questionnaire and following the steps of the Cultural Historical

theory of Vygotsky, a proposal of activities was elaborated. This proposal was made using

manipulatives, tasks and GeoGebra software. The instruments for data collection were

questionnaires, documentary record, field diary and filming. At the end of the research, a

final questionnaire was carried out to verify some results. For the interpretation and

analysis of the data, the theoretical basis elaborated for this purpose was used.

Keywords: geometric transformations, teaching-learning, Elementary School.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou Geometria das

Transformaes por ano

Figura 2- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou Geometria das

Transformaes por instituio.

Figura 3- Nmero de produes por tema e a interseco.

Figura 4 - Exemplo de translao

Figura 5 - Reflexo de uma figura

Figura 6 Moinho de vento

Figura 7 - Rotao de centro O e ngulo alfa, no plano OXY.

Figura 8 - (a) Rotao de centro C e ngulo de um ponto C.(b) Rotao de centro C de

uma figura.

Figura 9 - Modelos de Geoplano.

Figura 10 - Igreja do Carmo

Figura 11 - Igreja de So Pedro

Figura 12 - Catedral Nossa Senhora da Assuno

Figura 13 - Ilustraes de P3

Figura 14 - Setor de um estdio de futebol um estdio de futebol

Figura 15 - LETRA A P3.

Figura 16 - Mensagem da P2 descoberta por P1.

Figura 17 - Plano cartesiano da atividade 2

Figura 18 - Pontos no plano cartesiano realizado por P9

Figura 19 - Troca de coordenadas pelo participante P3

Figura 20 - Plano cartesiano da Atividade 3

Figura 21 Soluo da letra a, P8.

Figura 22 Soluo da letra a, P4.

Figura 23 - Segmentos de reta no Plano cartesiano

Figura 24 - Retangulo ABCD no plano cartesiano

Figura 25 - Plano cartesiano da atividade 6 do 2 Encontro

Figura26 - Plano cartesiano da atividade 7 do 2 Encontro

Figura 27 - Representao grfica da equao 1

Figura 28 - Representao grfica das equaes 1 e 2

Figura 29 Bloco de Atividades

ix

Figura 30 - Translao na horizontal

Figura 31 - Translao na vertical

Figura 32 - Translao horizontal e vertical 1

Figura 33 - Translao horizontal e vertical 2

Figura 34 - Translao sobreposta.

Figura 35 - Figuras geomtricas criadas por P5

Figura 36 - Figuras geomtricas criadas por P3

Figura 37 - Figuras geomtricas criadas por P4

Figura 38 - Exemplo de uma translao

Figura 39 - Translao de um tringulo

Figura 40 - Translao de um octgono

Figura 41 - Translao de uma figura para a tarefa 3 do 1 bloco de atividades

Figura 42 - Resposta do participante P1

Figura 43- Translao de um tringulo na Tarefa 4 do 1 bloco de atividades

Figura 44 - Resposta do participante P7 s letras a e d da tarefa 4

Figura 45 - Translao de um quadrado na Tarefa 5 do 1 bloco de atividades

Figura 46 - Translao da letra a Tarefa 6

Figura 47 - Translao da letra b Tarefa 6

Figura 48 - Translao da letra b Tarefa 6

Figura 49 - Translao da letra c Tarefa 6

Figura 50 - Translao da letra d Tarefa 6

Figura 51 - Translao da letra b Tarefa 6

Figura 52 - Tarefa 6, letra a, P5.

Figura 53 - Tarefa 6, letra b, P1.

Figura 54 - Tarefa 6, letra e, P11.

Figura 55 - Pssaros de Escher

Figura 56 - Figura construda pelos P4 e P11

Figura 57 - Figura construda pelos P6 e P8

Figura 58 - Figura construda pelos P5 e P8

Figura 59 - Figura construda pelos P6 e P11

Figura 60 - Reflexo de um quadrado realizado pelos participantes P6 e P11

Figura 61 - Reflexo de um quadrado realizado pelos participantes P1 e P9

Figura 62 - Telefone feito pelo participante P1 (Atividade 3)

Figura 63 - Casa feita pelo participante P1 (Atividade 3)

x

Figura 64 - Computador feito pelo participante P1, (Atividade 3).

Figura 65 - Casa feita pelo participante P4 (Atividade 3)

Figura 66 - Reflexo do triangulo para realizao da atividade 4

Figura 67- Reflexo de um polgono para realizao da atividade 4, item 2.

Figura 68 - Reflexo de uma figura em relao aos eixos coordenados

Figura 69 - Resposta do P11 Atividade 5

Figura 70 - Resposta do P4 Atividade 5

Figura 71 Logomarca da Volkswagen

Figura 72 Logomarca da Honda

Figura 73 logomarca da BMW

Figura 74 logomarca da Pepsicola

Figura 75 Logomarca da Audi

Figura 76 De Escher

Figura 77 Igreja do Carmo Mariana - MG

Figura 78 Segmento de reta da tarefa 2 do terceiro bloco

Figura 79 Rotao de uma bandeira

Figura 80 Segmento de reta da tarefa 2 do terceiro bloco

Figura 81 Quadrado e seu centro de rotao

Figura 82 - Timo de um barco

Figura 83 - Janela de visualizao da tarefa 2

Figura 84 - Janela de visualizao da tarefa 3

Figura 85 Malha isomtrica da tarefa 3

Figura 86 - vetor

Figura 87 - Tringulo da tarefa 3

Figura 88 Controle deslizante

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Feixes de retas Paralelas e Feixes de retas Concorrentes.

Quadro 2 - A resposta dos participantes stima pergunta.

Quadro 3 - Encontros Realizados, datas, contedos e objetivos.

Quadro 4 - Quadro de decodificao

Quadro 5 - Figuras geomtricas para serem usadas na Atividade 2 do 2 Bloco de

atividades

xi

Quadro 6 - Figuras geomtricas para reflexo da atividade 3.

Quadro 7 - Quadro da atividade 6 segundo bloco

Quadro 8 - Quadro de rotaes

Quadro 9 - Figuras para reflexo no Geogebra

Quadro 10 - Resumo da frequncia s atividades da pesquisa

LISTA DE GRFICOS

Grfico 1 - Idade dos participantes

Grfico 2 - Relao dos participantes da pesquisa com a aprendizagem de matemtica

xii

SUMRIO

LISTA DE ILUSTRAES ............................................................................................ viii

LISTA DE GRFICOS ...................................................................................................... xi

INTRODUO .................................................................................................................. 13

CAPTULO 1

UM CAMINHO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DAS TRANSFORMAES

GEOMTRICAS NO ENSINO BSICO ....................................................................... 18

1.1 Levantamento das produes brasileiras atuais: Histria da Educao Matemtica e

Geometria das Transformaes ....................................................................................... 19

1.1.1 Trabalhos relacionados Geometria das transformaes ................................... 21

1.1.2 Histria da Educao Matemtica e Geometria das Transformaes ................. 26

1.2. As Transformaes Geomtricas .............................................................................. 27

1.2.1.Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas ...................................... 27

1.2.2 Transformaes Geomtricas ............................................................................. 29

1.2.3. A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais .............................. 35

1.2.4 O ensino da Geometria das Transformaes ...................................................... 36

1.3. O processo de ensino-aprendizagem na direo do paradigma histrico-cultural 37

CAPTULO 2

O CAMINHO PERCORRIDO: METODOLOGIA DA PESQUISA ........................... 47

2.1. Opes metodolgicas .............................................................................................. 47

2.2. Os instrumentos de coleta de dados .......................................................................... 51

2.3. O Contexto: A escola e os sujeitos participantes da pesquisa .................................. 51

2.4. Informaes obtidas do Questionrio 1 .................................................................... 53

2.5. A proposta de atividades ........................................................................................... 60

2.6. A anlise dos dados ................................................................................................... 61

2.7 Os resultados esperados ............................................................................................. 62

CAPTULO 3

DESCRIO E ANLISE DAS ATIVIDADES DA PESQUISA ................................ 63

3.1. Atividades Preliminares: localizao no plano e plano cartesiano ........................... 63

3.2 Blocos de Atividades ................................................................................................. 79

3.2.1 Primeiro bloco de atividades - Translao .......................................................... 80

3.2.3 Terceiro bloco de atividades ............................................................................. 107

3.2.4 Quarto bloco de atividades ............................................................................... 114

CONCLUSES E CONSIDERAES FINAIS .......................................................... 129

REFERNCIAS ............................................................................................................... 134

13

INTRODUO

O pesquisador deste estudo nasceu na cidade de Nazareno, no interior do estado de

Minas Gerais, na primeira metade da dcada de 1990. Cursou o Ensino Fundamental I na

Escola Municipal Dr. Walfrido dos Mares Guia e o Fundamental II na Escola Estadual

Prof. Baslio de Magalhes, sendo que, nesse ltimo segmento, se interessou pela

Matemtica, que se tornou a matria de que mais gostava.

No 9 ano do Ensino Fundamental, participou das Olimpadas Brasileiras das

Escolas Pblicas (OBMEP), conseguindo chegando sua segunda fase. Embora no tenha

sido premiado, esse fato foi muito significativo, pois foi a primeira vez que participou de

uma competio do gnero.

No primeiro ano do Ensino Mdio, seus pais se mudaram para a cidade de Itabirito,

tambm em Minas Gerais. Nesse ano surgiram algumas complicaes, visto que foi

necessria a adaptao a cidade e tambm a nova escola. J no segundo ano do Ensino

Mdio, j mais adaptado aos estudos, comeou a realizar atividades paralelas, como:

trabalhar, no perodo vespertino, em um escritrio de Contabilidade e ingressar em um

Curso Tcnico em Minerao.

O curso tcnico era oferecido pelo Centro Federal de Educao Tecnolgica de

Minas Gerais (CEFET-MG), Campus Itabirito. Com isso, passou a estudar em dois

perodos e a trabalhar num terceiro.

Embora se ocupar em trs expedientes fosse cansativo, a experincia com a

contabilidade o ajudou a compreender a importncia da Matemtica no dia a dia, e o curso

tcnico o auxiliou no desenvolvimento da autonomia para os estudos, pois a cobrana dos

contedos era maior.

No ano seguinte, concluindo o Ensino Mdio, prestou o exame vestibular para o

curso de Matemtica na Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP), e, para seu

contentamento, foi aprovado. E assim, como realmente desejava estudar Matemtica,

ingressou no Curso de Licenciatura em Matemtica da UFOP.

Embora estivesse prestes a concluir o Curso Tcnico em Minerao, teve que optar

por abandon-lo, pois o curso de Matemtica tambm era oferecido no perodo noturno, de

forma que no havia a possibilidade de cursar os dois ao mesmo tempo.

Com o ingresso no Curso de Licenciatura em Matemtica, comeou a perceber, a

importncia e implicaes das disciplinas referentes a prticas de ensino, na rea de

educao, discutidas em sala de aula. Por isso, eram interessantes para a sua formao

14

profissional.

Quanto s disciplinas de contedos exclusivos de Matemtica, eram ensinadas quase

totalmente, sob a forma de aulas expositivas e sem nenhuma discusso sobre a sala de aula

e o ensino. Como estava se preparando para ser professor de Matemtica, desejava

ministrar aulas mais interessantes para os alunos, aulas diferentes daquelas expositivas que

tive em grande parte do seu ensino bsico.

Com o decorrer do curso, no 4 perodo, ao cursar a disciplina Histria da

Matemtica, percebeu quanto era fascinante entender como surgiram determinados

conceitos matemticos, e como eles poderiam ser interessantes para meus futuros alunos.

Com isso, ficou bastante interessado pelo estudo dessa disciplina, pois observou que a

Histria da Matemtica poderia ser usada como uma metodologia de ensino para a

aprendizagem de Matemtica.

No incio do ano de 2011, foi convidado pela professora da disciplina Histria da

Matemtica, atual orientadora desse estudo, a fazer uma pesquisa de Iniciao Cientfica

sobre o Movimento da Matemtica Moderna (MMM). Considerando que o projeto

envolvia Histria da Matemtica e ensino, julgou que seria interessante para sua formao.

Com isso, aceitou o convite e estudei o MMM nos livros didticos de autores

mineiros, uma vez que os livros didticos so considerados importantes elementos da

cultura escolar presentes na relao professor aluno, j que grande parte dos professores os

utiliza como guia para aulas, importante estud-los. (SILVA, 2012).

Ao pesquisar os livros, encontrou uma coleo que abordava a geometria com um

ponto de vista diferente, isto , por meio de transformaes geomtricas, um enfoque

sugerido pelo MMM (SILVA, 2012).

No ano seguinte, participou de outro projeto de Iniciao Cientfica, tambm

relacionado ao MMM e aos livros didticos, porm, dirigido ao estudo da geometria

abordada nos livros didticos de autores mineiros daquela poca. Nessa pesquisa,

constatou que, de fato, alguns autores mineiros enfocaram a geometria de um modo

diferente, isto , fazendo uso das transformaes geomtricas (SILVA, 2013).

Desejando conhecer como havia sido o tratamento desse tema por autores de outros

estados, decidiu por Osvaldo Sangiorgi, um dos mais importantes divulgadores do MMM

no Brasil, um dos fundadores do Grupo de Estudos do Ensino da Matemtica (GEEM),

grande divulgador da Matemtica Moderna no Brasil por meio de cursos e publicaes,

pois seus livros foram editados e vendidos aos milhares (VALENTE, 2006).

Analisando alguns volumes da coleo de Sangiorgi, foi possvel constatar que a

15

Geometria das Transformaes constava em apenas um dos livros de sua coleo, em um

apndice. Quanto ao ensino da Geometria das Transformaes, segundo Viana (2004),

muitos professores no a ensinaram, deixando tambm de ensinar a Geometria Euclidiana.

Alm das pesquisas de Iniciao Cientfica, o pesquisador lecionou para turmas de 8

e 9 anos do Ensino Fundamental. Com a experincia pedaggica adquirida na prtica,

percebeu o quanto difcil conduzir o processo de ensino-aprendizagem de Matemtica de

forma produtiva, isto , fazer com que os alunos aprendam efetivamente.

Foi ento que percebeu que no estava conseguindo auxiliar os alunos no

entendimento da Geometria, pois apenas a apresentava de forma terica como haviam lhe

ensinado na escola. Diante disso, constatou que, de fato, necessitava enfocar a Matemtica

de forma diferente.

Com isso, ao refletir sobre sua prtica, o pesquisador concluiu que precisava estudar,

buscar algo diferente, isto , pesquisar. Necessitava buscar novas metodologias e estudos

sobre as inovaes que ocorrem na Educao.

De fato, baseando-me em Vigotski (1896-1934), concluiu que o docente precisa ser

um mediador, um animador das atividades que o aluno ir realizar. Com isso, o professor

necessita experimentar em sua aula, ou seja, fazer dela um laboratrio, considerando

diferentes facetas dos processos de ensino-aprendizagem.

Portanto, procurando algo para levar para a sala de aula, iniciou por utilizar materiais

concretos, criando atividades para os alunos realizarem. Buscava, assim, diferentes

caminhos para lecionar de modo produtivo, fazendo com que os alunos aprendessem,

recorria proposta do MMM, que estudara no projeto de iniciao cientfica.

Assim, se interessou por abordar a Geometria por meio das transformaes

geomtricas, lanando mos delas na sala de aula, embora em sua trajetria acadmica, isto

, no curso de licenciatura, no houvesse cursado nenhuma disciplina relacionada a esse

tema.

De fato, segundo Bilac (2007), embora sugerido nos Parmetros Curriculares

Nacionais (PCN), esse assunto poucas vezes tratado nas Licenciaturas em Matemtica e,

assim, os professores, em geral, no abordam esse contedo nas escolas.

Ao finalizar o curso de graduao, sentindo grande necessidade de aperfeioamento,

decidiu continuar os estudos, realizando o processo seletivo do Programa de Ps-graduao

do Mestrado Profissional em Educao Matemtica da UFOP.

Para a seleo, alm das provas escritas, exigido um pr-projeto que deve ser

exposto a uma Comisso. Para isso, elaborou um pr-projeto voltado para o ensino de

16

Transformaes Geomtricas com o auxlio da Histria da Matemtica.

Conseguiu ser aprovado com o pr-projeto apresentado e, ento, iniciou-se um

levantamento de pesquisas brasileiras relacionadas s Transformaes Geomtricas, tendo

percebido que o tema teria algo de inovador, pois haviam poucas produes relacionadas

ao assunto. Assim no havia risco de elaborar um estudo repetido com pouca relevncia.

Alm disso, era necessrio que o projeto tivesse potencial para ser utilizado na sala

de aula, pois uma das exigncias do Programa a produo de um produto educacional que

pudesse ser til aos professores para o desenvolvimento de suas aulas.

Sendo assim, foi realizada uma delimitao do tema de estudo, que antes, pr-

projeto, constava Histria da Matemtica e Transformaes Geomtricas, passou a ser

constitudo por Transformaes Geomtricas e, mais especificamente, pelas isometrias no

plano.

Com o decorrer do tempo, aps algumas discusses nas disciplinas do mestrado e em

conjunto com a orientadora, decidiu-se por elaborar propostas de atividades que

contribussem para a aprendizagem de Transformaes Geomtricas.

Para desenvolver atividades educativas relacionadas comas Transformaes

Geomtricas, foram utilizados os conceitos de mediao e de zona de desenvolvimento

prximo, isto , este estudo se baseiateoricamente na teoria Histrico Cultural de Vigotski.

Tais atividades se referem a translaes, reflexes e rotaes, utilizando recursos

manipulveis, como: folhas de papel, dobraduras, desenhos, o geoplano, alm de projees

com uso do datashow e, por ltimo, o software GeoGebra.

Julga-se que tais atividades poderiam ser teis para minha sala de aula, gerando um

produto educacional adequado para ser utilizado por outros professores de Matemtica.

Pelo exposto, a questo de investigao desta dissertao a seguinte: Que

contribuies uma proposta de atividades pode oferecer ao processo de ensino e

aprendizagem de transformaes geomtricas de alunos do 8 ano do Ensino

Fundamental?

Logo, objetivo desvendar quais contribuies tal proposta de atividades podem

trazer para o processo ensino-aprendizagem de Transformaes Geomtricas em uma

turma de 8 ano do Ensino Fundamental.

Com isso, alm do levantamento inicial de dissertaes e teses sobre o tema da

pesquisa, foi feito um levantamento da literatura pertinente para elaborar a fundamentao.

A partir de reflexes sobre o que foi encontrado na reviso da literatura sobre o

tema, da fundamentao terica elaborada e de minha experincia profissional, foi

17

preparada uma proposta de atividades que favorecesse o processo de ensino-aprendizagem

de Transformaes Geomtricas aos alunos do 8 ano do Ensino Fundamental.

A proposta de atividades a serem realizadas pelos alunos participantes da pesquisa,

visando o processo de ensino e aprendizagem de Transformaes Geomtricas, foram

concretizadas com o auxilio de materiais diversificados como papel, lpis, rgua, cartolina,

do geoplano, de apresentaes em PowerPoint e do software GeoGebra.

Os participantes da pesquisa foram alunos de uma escola da rede particular de

ensino, localizada em uma cidade do interior do estado de Minas Gerais.

Os alunos participantes da pesquisa faziam parte de uma turma da qual o

pesquisador regente, selecionada pela maior facilidade de se conseguir a autorizao de

sua realizao na escola por parte da direo e dos pais.

Como o pesquisador tambm o professor dos participantes, pesquisou a sua

prtica, isto , realizou a pesquisa para o melhoramento de suas prticas dirias em sala de

aula. E o professor ao assumir a sua realidade escolar como um objeto de pesquisa, de

reflexo e de anlise considerado um professor pesquisador (NVOA, 1992), dai, no

decorrer do texto desta dissertao, serei intitulado professor pesquisador.

Espera-se que a abordagem das Transformaes Geomtricas possa contribuir para

a aprendizagem de conceitos geomtricos importantes e necessrios compreenso da

realidade e de outros temas transversais, gerando um Produto Educacional.

Esta dissertao composta por uma Introduo, Captulo1, Captulo2, Captulo 3,

Captulo 4 e pelas Consideraes Finais, alm das Referncias, Apndices e Anexos.

Na Introduo apresentada a trajetria acadmica do professor pesquisador e sua

inquietao que originou a questo de investigao.

O Captulo 1 contm o levantamento das teses e dissertaes relacionadas ao tema

da pesquisa, assim como a fundamentao terica da pesquisa.

O Captulo 2 se refere ao caminho percorrido pelo professor pesquisador em sua

busca por respostas para a questo de investigao a qual se props.

No Captulo 3 est a descrio da proposta de atividades, direcionando para as

contribuies que as mesmas podem oferecer.

Ao final, encontram-se as Consideraes Finais a respeito da pesquisa, os

possveis caminhos, ou seja, as contribuies e alguns equvocos que podem ser

verificados.

18

CAPTULO 1

UM CAMINHO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DAS TRANSFORMAES

GEOMTRICAS NO ENSINO BSICO

O tema escolhido para este estudo a aplicao da Geometria das Transformaes

nos anos finais do Ensino Fundamental. Sendo assim, foi realizado um levantamento

bibliogrfico de obras cuja temtica que abarcasse a Geometria das Transformaes, de

modo a reunir, identificar, avaliar e sintetizar resultados e obter uma ideia precisa sobre o

estado da arte atual, suas lacunas e contribuies que a investigao pode oferecer ao

desenvolvimento do conhecimento sobre esse tema. Com isso, evita-se, tambm, a

duplicao de esforos na busca de respostas para uma questo j respondida em pesquisa

anterior.

Alm disso, conforme Cardoso et al. (2010, p.7) cada investigador analisa

minuciosamente os trabalhos dos investigadores que o precederam e, s ento,

compreendido o testemunho que lhe foi confiado, parte equipado para a sua prpria

aventura.

Na busca de respostas para a questo de investigao: Que contribuies uma

proposta de atividades pode oferecer ao processo de ensino e aprendizagem de

transformaes geomtricas de alunos do 8 ano do Ensino Fundamental?, foi necessrio

o desenvolvimento, ou seja, a construo e implementao, de uma proposta de atividades

sobre transformaes geomtricas dirigida aos alunos de uma turma do 8 Ano do Ensino

Fundamental.

Assim, para constru-la, alm de um estudo sobre Transformaes Geomtricas, foi

necessrio realizar uma pesquisa sobre o processo de ensinoaprendizagem. Para

fundament-la, optou-se por utilizar a Teoria Histrico-cultural de Vigotski como

embasamento terico.

Com isso, apresenta-se na sequncia:

1.1. Levantamento das produes brasileiras atuais: histria da educao

Matemtica e Geometria das Transformaes;

1.2.As Transformaes Geomtricas;

1.2.1. Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas;

1.2.2.A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais;

1.2.3.O ensino das Transformaes Geomtricas;

19

1.3.O processo de ensino-aprendizagem na direo do paradigma histrico-cultural.

1.1 Levantamento das produes brasileiras atuais: Histria da Educao

Matemtica e Geometria das Transformaes

Para esse tpico, foi realizado um levantamento no banco de teses da Coordenao

de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), no perodo de 01 a 08 de maio

de 2015, em busca de pesquisas relacionadas ao referido tema. Naquele momento, estavam

disponveis dissertaes e teses apenas dos anos de 2011 e 2012, ento se estendeu o

levantamento para o Diretrio dos Grupos de Pesquisa do CNPQ, buscando pesquisas

realizadas de 2005 a 2015.

A pesquisa foi feita por meio de consulta parametrizada com os seguintes termos de

busca disponveis no diretrio: Geometria das transformaes e Histria da Educao

Matemtica. Foram encontrados 60 grupos de pesquisa relacionados Histria da

Educao Matemtica, porm nenhum grupo sobre Geometria das Transformaes.

Em seguida, a partir dos grupos encontrados no resultado dessa primeira pesquisa,

foram procuradas as instituies de ensino relacionadas a cada um deles, assim como os

programas de ps-graduao nas reas de Educao Matemtica, Educao e Ensino de

Cincias. Dentro desses programas, encontraram-se tanto produes (dissertaes e teses),

quanto a direcionamentos para a busca na biblioteca digital das instituies.

Aps esse levantamento, a buscou-se, nesses bancos, pelas seguintes palavras-

chave: Histria da Educao Matemtica, Geometria das Transformaes e

Transformaes Geomtricas. Foram localizadas 16 produes.

No banco de teses da Capes, por sua vez, a pesquisa foi realizada pela busca da

palavra-chave Geometria das Transformaes. Nessa pesquisa, o professor pesquisador

descartou as dissertaes j encontradas focalizando, ento, nas instituies ainda no

pesquisadas: a PUC-SP e o Centro Universitrio Franciscano-UNIFRA. A partir de ento,

foi realizada uma busca por produes nos programas de Ps-Graduao em Educao

Matemtica dessas duas instituies, tendo sido encontradas 11 dissertaes relacionadas

aos temas de Histria da Educao Matemtica e Geometria das Transformaes.

Somando os 16 trabalhos encontrados nos grupos de pesquisa do CNPQ com os 11

das outras duas instituies pesquisadas, totalizaram 27 produes analisadas. A Figura 1

apresenta a distribuio dessas dissertaes e teses sobre a Histria da Educao

20

Matemtica ou Geometria das Transformaes pelo ano em que foram defendidas.

Figura 1- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou Geometria das Transformaes

por ano

Fonte- Arquivo do pesquisador

Observa-se que entre 2010 e 2012 houve um crescimento no nmero de pesquisas

nessa rea, pois foram defendidas 14 produes no total, ou seja, mais de 50% do total

levantado nos ltimos 10 anos.

A Figura 2, a seguir, apresenta a distribuio das produes por instituio.

Figura 2- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou Geometria das Transformaes

por instituio.

Fonte-Arquivo do pesquisador

A partir deste levantamento foi elaborada uma tabela contendo os seguintes dados:

21

Autor; Ttulo; Modalidade/nvel; Instituio; ano de defesa; Orientador (a);

Propsito/pergunta/tema; Referencial terico; Metodologia; e Resultados. A seguir, os

resultados dos referidos levantamentos sero apresentados.

Percebe-se que h uma grande concentrao de produes na regio sudeste,

destacando-se a PUC-SP, com nove produes referentes s Transformaes Geomtricas.

Na sequncia, as produes foram divididas em dois temas: Histria da Educao

Matemtica e Geometria das Transformaes. A Figura 3 apresenta o nmero de

produes em cada um dos referidos temas. E tambm a interseo destes apenas uma

produo.

Figura 3- Nmero de produes por tema e a interseco.

Fonte-Arquivo do pesquisador

Sero apresentadas algumas referncias, uma breve descrio de cada um dos

trabalhos encontrados relativos Geometria das Transformaes, finalizando com o nico

trabalho que ficou na interseco dos dois temas.

1.1.1 Trabalhos relacionados Geometria das transformaes

No levantamento relacionado Geometria das Transformaes, foram encontrados

16 trabalhos que esto categorizados de acordo com o pblico alvo a que se dirigiram:

Ensino Fundamental II, Ensino Mdio, Ensino Superior, Formao continuada de

professores e duas pesquisas que esto relacionadas Anlise Bibliogrfica.

1.1.1.1 Para o Ensino Fundamental II

22

A primeira publicao se intitula Potencialidades e possibilidades no ensino das

transformaes geomtricas no ensino fundamental, na qual Rodrigues (2012) procurou

examinar as possibilidades e potencialidades do ensino das Transformaes Geomtricas,

com o desenvolvimento de atividades com professoras e alunos do Ensino Fundamental.

Antes, porm, para que as propostas fossem realizadas, Rodrigues fez um resgate histrico

do ensino da Geometria, constatando que a introduo do tema Geometria das

Transformaes ocorreu na poca do MMM.

As professoras participantes da pesquisa perceberam relaes entre as

Transformaes Geomtricas e outros temas tratados usualmente em sala de aula, alm de

destacarem o carter esttico, tendo em vista o uso de cores, figuras e formas, como sendo

uma nova abordagem da matemtica (RODRIGUES, 2012, p. 147).

Tambm foi realizada outra proposta de atividades com uma turma do 6 ano.

Segundo Rodrigues (2012), os alunos do 6 ano inicialmente no reconheceram as

atividades como dotadas de contedo matemtico, pois tinham a ideia de que a Matemtica

era um conjunto de procedimentos algortmicos. Sendo assim, a proposta os levou a

perceber outro modo de pensar a Matemtica, o que os auxiliou em seu desenvolvimento

no decorrer do ano letivo.

O segundo trabalho recebe o ttulo de O ensino e aprendizagem de polgonos e de

transformaes geomtricas no plano: relacionando arte e matemtica por meio de frisos

e dos ladrilhos. Nele, Rossi (2009) procurou analisar as contribuies (no 7 ano) que a

utilizao dos frisos e dos ladrilhos das igrejas da Quarta Colnia de Imigrao Italiana do

Rio Grande do Sul, juntamente com a utilizao de um programa computacional como o

Cabri-Gomtre II, pode trazer para a construo de conceitos e explorao das

propriedades geomtricas dos polgonos, bem como das transformaes geomtricas no

plano.

Bilac (2008), por sua vez, realizou o terceiro estudo aqui apresentado sob o ttulo

Possibilidades da aprendizagem de transformaes geomtricas com o uso do Cabri-

Gomtre. (BILAC, 2008), no qual buscou apresentar uma sequncia didtica (no 8 ano)

em que as atividades envolvendo a simetria axial e a simetria de rotao favorecesse ao

aluno uma evoluo no desenvolvimento das noes geomtricas durante o processo de

ensino-aprendizagem das transformaes geomtricas. Para isso, formulou a seguinte

questo de pesquisa: em que medida os recursos e ferramentas do softwareCabri-Gomtre

favorecem a aprendizagem das transformaes geomtricas, em especial a simetria axial e

http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4214982P3

23

a simetria de rotao.

Por fim, Accioli (2005) trabalhou inicialmente com os 2 e 3 anos e depois com o

6 e o 8 ano, com a finalidade de investigar as funcionalidades e as potencialidades do

ambiente robotizado ROBOLAB ao funcionar como um micro mundo no sentido de

possibilitar a construo de novos significados para a Simetria. As metodologias e

referenciais tericos utilizados foram: Pesquisa-ao, Transformaes geomtricas

(RODRIGUES, 2012); Engenharia Didtica, Ensino e aprendizagem de geometria

(LEDERGERBER-RUOFF, 1982; ROSSI, 2009); Design Experiment, desenvolvimento

das noes geomtricas (GRAVINA, 1996; BILAC, 2008); e Design Experiment Piaget e

(GARCIA 1983; ACCIOLI 2005).

1.1.1.2Ensino Mdio

A primeira obra referente ao Ensino Mdio foi escrita por Stormowski (2008) e tem

como objetivo a elaborao, implementao e reflexo sobre uma sequncia didtica para o

estudo de matrizes a partir de transformaes geomtricas. Essa se utilizou do referencial

de Luz (2007) e Mabushi (2000) que discutem sobre a Geometria das Transformaes e de

Eves sobre a Histria da Matemtica. A metodologia utilizada foi a da Engenharia

Didtica. Conclui-se que o objetivo da pesquisa foi alcanado, uma vez que a abordagem

referente s propriedades das operaes com matrizes foi elaborada e implementada,

propiciando a obteno das definies como ocorrido na histria da matemtica.

O segundo estudo foi realizado por Freitas (2010), que busca discutir e avaliar a

construo de uma THA (Trajetrias Hipotticas de Aprendizagem) a respeito do tema

Isometrias. O referencial que discute sobre a THA Simon (1995). Trata-se de uma

pesquisa qualitativa que envolve dois professores de Matemtica, de duas escolas pblicas

do Estado de So Paulo, e sua atuao junto a 58 alunos da 2 srie do Ensino Mdio.

Pode-se concluir que: (a) a elaborao de uma THA uma tarefa mais condizente aos

pesquisadores que aos professores; (b) a utilizao de pesquisas em Educao Matemtica

permite aos professores elaborar atividades que possibilitem aos alunos enfrentar suas

dificuldades, porm preciso pensar em maneiras para que os professores tenham acesso a

elas; (c) a elaborao de atividades que tenham perspectivas construtivistas no suficiente

para que a aprendizagem ocorra segundo esse aspecto, pois a atuao do professor tem

papel decisivo neste processo; (d) o uso de novas tecnologias potencializa a compreenso

de conceitos, mas , ainda, uma estratgia pouco utilizada pelos professores.

http://www.lume.ufrgs.br/browse?type=author&value=Stormowski,%20Vandoir

24

Miranda (2009) desenvolve, nessa terceira pesquisa uma ferramenta computacional,

utilizando tcnicas de PLN (Processamento de Lnguas Naturais) e inserindo nela

sequncias didticas no campo da Geometria das Transformaes. Na pesquisa utilizado

como referencial a Teoria das Situaes Didticas de Guy Brousseau e Registros de

Representao Semitica de Raymond Duval, alm da utilizao dos princpios da

Engenharia Didtica.

Na quarta pesquisa, Salazar (2009) possui por propsito observar como estudantes

do segundo ano do Ensino Mdio apropriam-se das transformaes geomtricas no espao,

quando interagem com o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D. A pesquisa tem

como referencial e metodologia a Engenharia Didtica - Artigue (1988), Abordagem

Instrumental - Rabardel (1995a), Teoria dos Registros de Representao Semitica-Duval

(1995).

Evangelista (2011), autor do quinto estudo, procura atravs de sua pesquisa

possibilitar que alunos de Ensino Mdio de uma escola pblica estadual da Regio

Metropolitana de So Paulo, aplicassem e desenvolvessem o conhecimento do objeto

matemtico Transformaes Isomtricas por meio da Rotao, Translao e Reflexo.

Possui por referencial e metodologia respectivamente, Piaget e Garcia (1983) e Design

Experiment. O desenvolvimento deste trabalho permitiu concluir, aps as anlises feitas

dos protocolos das atividades propostas, que a Etnomatemtica, com apoio do GeoGebra,

favoreceu a aprendizagem das Transformaes Isomtricas.

1.1.1.3Ensino superior

Entre as pesquisas relacionadas com o Ensino Superior, a primeira pertence

aRamos (2012) e descreve um experimento que envolveu um grupo de sessenta alunos do

curso de Bacharelado em Design, no qual procurou compreender o impacto causado sobre

a capacidade cognitiva de rotao mental dos estudantes, a partir da administrao de uma

srie de conceitos e exerccios relacionados ao tpico das Transformaes Isomtricas. A

pesquisa tem carter quantitativo, utilizando-se de dois testes para a anlise a posteriori: O

MRT (mental rotationtest) e TS (teste de simetria) possuem como referencial Bastos (2007,

2009) que estuda a Geometria das Transformaes.

A segunda pesquisa pertence aRefatti (2012), que fez sua pesquisa em uma turma

de Licenciatura em Matemtica, na qual questionou se os ambientes de Geometria

Dinmica promovem o desenvolvimento das competncias geomtricas dos alunos; se a

25

interao propiciada pelos softwares, auxiliaram no processo de construo do

conhecimento relativo s transformaes geomtricas; e a maneira como os alunos se

apropriam das ferramentas e/ou recursos do GeoGebra e do Cabri 3D na aprendizagem do

contedo de transformaes geomtricas. O referencial e a metodologia respectivamente

que auxiliaram esta pesquisa foram a Engenharia Didtica - Artigue (1996) e as

contribuies desta metodologia juntamente com os softwaresGeoGebra e Cabri 3D na

compreenso do conceito de transformao geomtrica.

Os softwares, alm de auxiliarem na visualizao, ofereceram aos alunos a

oportunidade de manipulao virtual de formas geomtricas e entes geomtricos

(REFATTI, 2012, p.164), podendo tambm explorar propriedades contidas nos

movimentos de translao, reflexo e rotao.

1.1.1.4Pblico alvo os professores

Nesse ponto se encontram trs pesquisas, que so Neves (2011), Medeiros (2012) e

Medeiros (2011).Apesar de se enquadrarem nesta categoria, as aplicaes so bastante

distintas, pois, Neves (2011) utiliza-se Caleidoscpio para professores formados e em

formao, Medeiros (2012) do software GeoGebra enquanto Medeiros (2011) faz sua

pesquisa em curso de formao continuada a distncia.

Sendo assim, Neves (2011) realiza um estudo qualitativo segundo Bogdan&Biklen

(1994) (Caleidoscpio com professores formados e em formao). Elaborou uma proposta

de ensino baseada na metodologia de Resoluo de Problemas, promovendo atividade a

fim de fazer com que os alunos usassem o caleidoscpio para reproduzir ornamentos

planos e, a partir de ento, discutissem, com base em argumentos geomtricos e algbricos,

quais as possibilidades (e impossibilidades) que esse instrumento oferece para obteno

desses ornamentos e suas respectivas justificativas.

Medeiros (2012), por sua vez, teve por alvo a formao continuada a distncia e

teve por referencial terica Construo do conhecimento (Vygotsky); pensamento

matemtico (Duval), tecnologia e aprendizagem da matemtica (Balachef;Gravina),

possuindo como concepo, implementao e validao uma proposta para o ensino de

transformaes geomtricas.

26

1.1.1.5Anlise Bibliogrfica

No grupo de pesquisas relacionadas anlise bibliogrfica,Sousa (2008) busca

respostas na Histria da Matemtica com referncias em Boyer (1993); Eves (2004), j

Lino (2014) utiliza-se do referencial na noo de quadro evidenciado de Douady

Rogalski eRegistros de Representao Semitica - Duval, baseando-se em documentos de

domnio cientfico tais como livros, artigos, dissertaes e teses que tratavam do objeto de

estudo. Concluiu que foi possvel descobrir um lado da Histria da Matemtica, inserida

por Felix Klein, que sempre muito atual, afinal, a humanidade tem uma ligao muito

grande com o assunto simetria, podemos ver isso claramente nas gravuras antigas como

tambm nas atuais e nas grandes construes.

O segundo estudo pertence a Lino (2014), que realizou sua pesquisa a fim de

propiciar um caminho para o ensino-aprendizagem da Geometria das Transformaes.

Concluiu que o estudo contribuiu para o alcance do objetivo uma vez que nos permitiu

olhar as transformaes geomtricas e apresent-las em um estudo desde as sries

iniciais com dobraduras at o ensino superior abordando-as no quadro da lgebra, no

quadro da Geometria Analtica e no quadro da Geometria.

1.1.2Histria da Educao Matemtica e Geometria das Transformaes

A interseo dos temas foi encontrada apenas no Trabalho de Luz (2007), no qual

abordado um estudo focado no ensino das Transformaes Geomtricas com base na

anlise de exerccios propostos em livros didticos publicados no estado de So Paulo, a

partir dos anos 60, poca na qual se iniciava o Movimento da Matemtica Moderna o

estudo caminhou da seguinte maneira:

Inicialmente, procedemos a um estudo da organizao matemtica

relativa a transformaes geomtricas, estudo no qual so examinadas as

simetrias presentes em elementos da natureza e das artes, as definies

das principais transformaes que fazem parte do programa do Ensino

Fundamental, alm da identificao de elementos histricos relacionados

ao desenvolvimento da geometria. Em seguida, passamos ao estudo da

organizao didtica, no qual se averiguaram pesquisas sobre ensino e

aprendizagem de isometrias, textos oficiais como Guias, Proposta e

Parmetros Curriculares, alm de alguns aspectos do movimento de

reforma da Matemtica Moderna no Brasil, e sua relao com o mesmo

movimento nos Estados Unidos e na Frana. A anlise dos livros foi feita

a partir do agrupamento dos exerccios em tipos de tarefas, qualificao

27

essa utilizada tanto para a identificao da tcnica de resoluo, como

para a distino da tecnologia apropriada justificao da primeira. Em

seguida, efetuamos um estudo do conjunto dos exerccios propostos, no

qual se encaminhou o cumprimento do acima exposto, como objetivos da

anlise desenvolvida (LUZ, 2007, p.10).

Para o desenvolvimento do referido estudo a autora apoiou-se na teoria

Antropolgica do didtico, de Yves Chervallard, alm da Histria das Disciplinas

Escolares de Andre Chervel.

A autora concluiu que os problemas relacionados ao ensino das Transformaes

Geomtricas no perodo estudado no foram resolvidos. Luz (2010) acredita que estes

problemas, no foram solucionados devido a dois fatores relevantes: o primeiro

corresponde reforma da Matemtica Moderna, no qual enfatizou essas estruturas

matemticas, porm verificou que nas obras referidas a Geometria das Transformaes no

teve visibilidade. O segundo fator se refere aos Parmetros Curriculares Nacionais que

determinaram a relao de isometrias e homotetias com nveis superiores de determinao

matemtica, que no vigoraram devido ausncia de aparatos tecnolgicos.

1.2. As Transformaes Geomtricas

1.2.1. Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas

A Geometria das Transformaes teve seus primeiros passos no perodo do

renascimento. Segundo Mabushi (2000), os arquitetos se interessaram pela representao

plana de figuras espaciais a partir do ponto de vista constitudo pelo prprio olho.

Desenvolveram o estudo da projeo central, ainda chamada de projeo cnica, e, em

particular, a noo de ponto de fuga.

No sculo XV, surgiram alguns elementos de perspectivas. A relao entre a arte e

a Matemtica tambm era forte na obra de Leonardo da Vinci (1452-1519), e a mesma

combinao de interesses artsticos e matemticos se encontra em Albrecht Durer (1471-

1528), na Alemanha. As noes renascentistas sobre perspectiva matemtica seriam

expandidas mais tarde para um ramo da geometria. A preocupao dos pintores e artistas

em representar objetos do espao fez surgir a ideia de projees centrais e paralelas e,

consequentemente, aparecerem as noes de geometria projetiva e de descritiva,

importante na gnese do conceito de transformaes.

28

Um personagem importante na histria da Geometria das Transformaes e, de

certa forma, tambm do MMM foi o Matemtico Alemo Felix Christian Klein (1849-

1925), que impressionado com as possibilidades unificadoras do conceito de grupo,

dedicou-se a desenvolver, aplicar e popularizar tal conhecimento.

Numa aula inaugural em 1872, quando se tornou professor na Universidade de

Erlangen, mostrou como o conceito de grupo podia ser aplicado para caracterizar as

diferentes geometrias elaboradas at o sculo XIX, na conferncia que ficou conhecida

como Programa de Erlanger. Com relao ao MMM, pode-se verificar que nas dcadas de

30 e 40 do sculo XX, em Nancy (Frana), o grupo Bourbaki buscou a unificao da

Matemtica em estruturas gigantescas, a algbrica e a topolgica, unidas pela estrutura de

espao vetorial. Nesse contexto, pensou-se em reformular o ensino de Matemtica na

escola pr-universitria, tendo como objetivo a modernizao, pela reformulao dos

contedos a serem abordados, aliando-se ao tipo de Matemtica ensinada na universidade

(VIANA, 2004).

Segundo o estudo de Viana (2004) a atualizao do currculo da Matemtica

decorreu das ideias do matemtico Felix Klein no incio do sculo XX, que sentia

necessidades de reforma do ensino de Matemtica, o que de fato ocorreu aps as duas

guerras, na dcada 50 do mesmo sculo. Da ideia de atualizao passou-se de

modernizao. Este esforo gerou um movimento que ficou conhecido como o Movimento

de Matemtica Moderna (MMM). Segundo Matos (2006),

Designa-se por Matemtica Moderna uma reforma curricular que ocorre

um pouco por todo o mundo entre a segunda metade dos anos 50 e a

primeira metade dos anos 70 do sculo passado. Trata-se de um

movimento procurando renovar fundamentalmente o ensino da

Matemtica. Um seu trao marcante a preocupao com uma renovao

dos contedos, adotando grandes eixos organizadores do currculo, que

vai ser centrado em grandes estruturas que na poca se pensava estarem

na base de toda a matemtica conhecida (MATOS, 2006, s/p grifos do

autor).

Nos EUA,de onde vieram importantes contribuies para a difuso do MMM na

Amrica Latina, principalmente com financiamento dos projetos relacionados

implementao da Matemtica Moderna, a reforma do currculo de Matemtica comeou a

ser feita em 1952, pela Comisso de Matemtica Escolar da Universidade de Illinois,

presidida pelo professor Max Beberman (VIANA, 2004).

Mas Viana (2004) afirma que os EUA contriburam financeiramente com esse

movimento e os europeus com a ideologia. Nesse direcionamento, Matos (2006)

29

argumenta que:

A origem das ideias essencialmente europeia (francfona, espanhola ou

italiana) e apenas Gonalves refere materiais anglo-saxnicos como uma

via alternativa. Contrariamente ao que por vezes referido, nenhum

destes autores menciona a rivalidade com os pases de Leste ou o

lanamento do Sputnik como motivao para os seus trabalhos. Todos

procuram melhorar o ensino da matemtica como condio essencial de

progresso do pas, quer de aproximao a outros pases europeus, quer

como fator de desenvolvimento econmico, social e cultural (MATOS,

2006, s/p).

No entanto, segundo Viana (2004) as propostas no eram uniformes, pois:

O grupo francs, por exemplo, preconizou lgebra Linear desde o antigo

curso ginasial. J o belga insistiu nas transformaes geomtricas. Nos

EUA destacou-se o School Mathematics Study Group (SMSG), cuja

proposta eram contedos tradicionais acrescidos de outros, como

conjunto, mudana de base, estudo de congruncias, desigualdades,

matrizes, lgica simblica, lgebra de Boole, grupo, anel corpo. J

Zoltan P. Dienes (ingls, professor da Universidade de Sherbrook,

Canad, no perodo) enfatizou o uso de material concreto e

transformaes em planos finitos e estruturas algbricas (VIANA, 2004,

p.31).

Ainda segundo Viana (2004), ocorreu influncias nos contedos, com valorizao

de sentenas matemticas na resoluo de problemas e da lgebra em detrimento da

Geometria. Muitos professores, no dominando os novos contedos, repetiam o que

continham os livros-textos. No abordaram a Geometria de Transformaes e na

Euclidiana, ocasionando o chamado abandono da geometria.

1.2.2 Transformaes Geomtricas

Nesta seo dada uma breve introduo s transformaes geomtricas e em

especial s isometrias no plano, isto , translaes, reflexes e rotaes. Consistir na

apresentao das definies com ilustraes e no demonstraes de teoremas relativos ao

tema, pois no objetivo deste trabalho realizar um estudo completo sobre as

transformaes geomtricas.

As transformaes geomtricas foram estudadas por um matemtico alemo, que

com apenas 23 anos de idade, foi aprovado para ser professor titular da Universidade de

Erlangen. Este foi Felix Christian Klein com um trabalho que interligava a teoria dos

grupos com a geometria, unificando a definio da mesma. Tal trabalho resultou de uma

30

pesquisa em teoria dos grupos desenvolvida por ele e Sophus Lie. Apresentou uma

classificao das geometrias de acordo com seus grupos de transformaes (isometrias,

similitudes, inverses etc.). Assim, estabeleceu a chamada Diviso Kleiniana das

Geometrias, unificando o conceito de geometria. Este trabalho ficou conhecido como

Programa de Erlangen.

Assim, como esse trabalho envolve o estudo das transformaes geomtricas de

figuras planas, ser apresentada uma ideia inicial sobre como Klein as utilizou para

construir a chamada Diviso Kleiniana das Geometrias. Para isso, so apresentadas as

definies de grupo e de grupos transformaes para adentrar nas transformaes que so

abordadas nesta dissertao.

Um grupo G um conjunto G, dotado de uma operao tal que

i) e G, tal que eg = g e = gg G;

ii) Para cada g G, existe um g-1

G, tal que g g-1

= g-1g = e

iii) associativo, a, b. c G a (b c) = (a b) c

Quanto s transformaes geomtricas, de um modo prtico, uma Transformao

Geomtrica uma aplicao bijetora entre duas figuras geomtricas, no mesmo plano ou

em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geomtrica original, se forma

outra geometricamente igual ou semelhante primeira.

Formalmente, seja S um conjunto no vazio. Uma transformao de S uma funo

bijetora t: S > S.

Uma isometria uma transformao T: R> R2

tal que d(t(x), T (y)) = d(x, y).

d= distncia

Translaes, reflexes e rotaes so exemplos de isometrias, isto , so

transformaes que preservam as distncias entre pontos e as amplitudes dos ngulos,

convertendo as figuras originais noutras figuras geometricamente iguais. Por isso, figuras

obtidas a partir de isometrias so ditas congruentes.

Mas nem todas as transformaes geomtricas do plano preservam distncias.

Neste caso, as figuras tm a mesma forma, porm com dimenses diferentes, sendo assim,

as figuras so semelhantes. Em termos matemticos, duas figuras no plano so semelhantes

quando uma a imagem da outra por meio de uma transformao de semelhana do plano.

31

Uma transformao de semelhana uma transformao T: R2>R

2 tal que d(t(x),

T(y)) = k d(x, y), para algum k > 0. Se k > 1 chamamos de dilatao, se 0 < k < 1, a

chamamos de contrao. Se k = 1 tem-se uma isometria. Assim, enquanto as isometrias

preservam distncia, nas semelhanas as distncias so proporcionais.

Se P e Q so dois pontos da figura original cuja distncia dada por PQ e se os

pontos, P' e Q' so, respectivamente, os pontos obtidos a partir de P e Q, por uma

transformao de semelhana, temos que a distncia P'Q' igual a k (PQ), para algum

nmero positivo k, isto , a distncia de P' a Q' igual a k vezes a distncia de P a Q. Se a

constante k igual a 1, esta transformao preserva as distncias e uma isometria.

Retornando ao conjunto S, o conjunto de todas as transformaes de S, dotado da

operao de composio, constitui um grupo. Tal grupo, assim como os seus subgrupos,

so genericamente chamados de grupos de transformaes de S.

Exemplos

1) S = R2 , G = Grupo das isometrias. Seu elemento neutro a identidade.

2) S = R2, G = Grupo das semelhanas.

A cada grupo de transformao correspondia uma das geometrias existentes poca

de Klein: a Geometria Hiperblica, a Geometria Euclidiana e as demais.

Retornando ao tema deste trabalho e ao seu objetivo dirigido aprendizagem de

alunos do 8 ano do Ensino Fundamental, de modo prtico, considerando que uma

Transformao Geomtrica uma aplicao bijetora entre duas figuras geomtricas, no

mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura geomtrica

original se forma outra geometricamente igual ou semelhante primeira (BILAC, 2007).

Como o estudo da congruncia de figuras planas o que compe o currculo do 8

ano do ensino fundamental, aqui sero tratadas somente as isometrias.

Numa linguagem coloquial, Medeiros (2012) considera isometrias as

transformaes geomtricas que mudam a figura de lugar, mas mantm distncias,

ngulos e reas.

Luz (2007) define isometrias da seguinte maneira:

Uma isometria F uma aplicao do plano nele mesmo tal que, dados

dois pontos quaisquer, P e Q, do plano, a distncia entre P e Q igual

distncia entre suas imagens. Um ponto P no plano invariante por uma

isometria F se F(P) = P. Da mesma forma, um subconjunto A do plano

invariante por uma simetria F se F(A) = A (LUZ, 2007, p.29)

Com isso, pertencem categoria isometria todos os movimentos que conservam a

32

distncia e a posio relativa entre pontos, isto , translaes, reflexes e rotaes.

Translao

A translao o tipo mais simples de isometria. como se uma figura deslizasse

sobre o plano em uma linha reta, em qualquer direo, tomando o cuidando para que no

gire. Com isso, os pontos se movem ao longo de linhas paralelas formando a imagem da

figura original. Todos os pontos da figura obtida por translao so equidistantes da figura

original, ou seja, possui a mesma magnitude (RAMOS, 2012).

A Figura 4 seguir ilustra a translao de uma figura poligonal.

Figura 4 - Exemplo de translao

Fonte: Ramos, 2012, p.78.

Formalmente, se, num dado sistema de eixos ortogonais, as coordenadas de um

vetor v so (, ), ento, para cada ponto P = (x, y) tem-se T (P) = ( X+ , y + ).

A translao Tv transforma toda figura F de pontos P = (x, y) numa figura Tv (F) =

F, cujos pontos P + v so obtidos transladando-se os pontos P de F pelo mesmo vetor v.

Em particular, uma reta r transformada na reta Tv(r) = r + v = {P + v; Pr } que paralela

a v. Um sistema de eixos ortogonais OX e OY transformado por Tvno sistema OXY,

cujos eixos so paralelos aos eixos coordenados, e tm o mesmo sentido deles.

Reflexo

Numa reflexo, cada ponto da figura original e o correspondente da figura refletida

esto sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexo e a igual distncia desse eixo.

Na prtica, faz-se a reflexo de uma figura em relao a uma reta dobrando ao

longo dessa reta a folha de papel onde est gravada a figura. Cada ponto da figura obtida

o simtrico de cada ponto da figura original, conforme ilustrado na Figura 5 a seguir.

33

Figura 5 - Reflexo de uma figura

Fonte: adaptado de LIMA, 2002.

Segundo Lima (2002),

O ponto P chama-se o simtrico do ponto P em relao reta r quando r

a mediatriz do segmento P P. Se P pertence a r, diremos que seu

simtrico em relao a r ele prprio. Evidentemente, se P o simtrico

de P relativamente a r ento, reciprocamente, P o simtrico de P

relativamente mesma reta r. (LIMA, 2002,p.150).

Formalmente, podemos entender uma reflexo em torno de uma reta r, como uma

transformao T que faz corresponder a cada ponto P do plano o ponto P = T (P),

simtrico de P em relao ar. (LIMA, 2002).

Rotao

Numa rotao a figura resultante (imagem) obtida de uma figura que foi girada

em torno de um ponto fixo (o centro da rotao) e todos os outros pontos sofreram

deslocaes ao longo de ngulos de certa amplitude. A rotao ser positiva se o giro forno

sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio, e negativa, se for ao mesmo sentido dos

ponteiros dos relgios. Exemplos de rotaes so dados por uma roda gigante que gira em

torno de um eixo a uma distncia constante; o movimento dos ponteiros de um relgio, de

um moinho de vento, de bssolas ou de um volante de carro. Um exemplo dado na

Figura 6a seguir.

34

Figura 6 Moinho de vento

Fonte: Reproduo.

A rotao abordada por Lima (2002)da seguinte maneira: uma rotao de centro

O e ngulo alfa, em um sistema de eixos ortogonais no plano OXY, transforma o ponto P =

(x, y) no ponto P = (x , y ) segundo a frmula:

P = x cos y sen, y1 = x sen + y cos , conforme ilustrao na Figura 7 a

seguir.

Figura 7 - Rotao de centro O e ngulo alfa, no plano OXY

Fonte: Lima, 2002, p. 145.

Lima (2002) ainda destaca o caso de rotao de uma partcula, de 180 em torno do

centro O (origem). Nesse caso, um ponto P = (x, y) tem como imagem o ponto P = (x , y).

Independentemente do ponto P, o ponto O ponto mdio do segmento PP. Ainda mais,

pode-se dizer que essa rotao coincide com a reflexo central de centro O.

Ramos (2012)descreve uma rotao no plano R2como uma operao de simetria em

35

torno de um ponto predeterminado (centro ou piv) da maneira seguinte:

Todos os pontos da figura giram em torno de um ponto fixo em idntico

valor em graus. O intervalo entre a figura original e sua imagem

rotacionada, valorada em graus (ngulo da rotao), determina o valor da

rotao. Caso se d no sentido anti-horrio, o valor da rotao descrita

por ngulos positivos, enquanto deslocamentos rotacionais que se

desenvolvam no sentido horrio, assumem valores negativos (RAMOS,

2012, p.80).

Na Figura 8 possvel visualizar no desenho (a) a rotao de um ponto de centro C

e ngulo e no (b) a rotao da figura F de centro C.

Figura 8 - (a) Rotao de centro C e ngulo de um ponto C.(b) Rotao de centro C de uma figura

Fonte: Ramos, 2012, p.80.

1.2.3. A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais

O ensino de Geometria no Brasil, segundo Bilac (2008), pode-se dividir em trs

perodos: entre os anos de 1955-1965, em que se destaca a aprendizagem da nomenclatura

de linhas e figuras, o clculo de permetros, reas e volumes (BILAC,2008 p.14). Entre

os anos de 1966-1975, quando o ensino foi influenciado pelo Movimento da Matemtica

Moderna, ocasionando uma diminuio no estudo da geometria que enfocava pontos, retas

e planos com foco na teoria dos conjuntos. Entre os anos de 1976-1998, onde surge

interesse pelo resgate da geometria, dando origem ao desenvolvimento dos Parmetros

Curriculares Nacionais (PCN).

Como citado anteriormente, no terceiro perodo (1976-1998), os PCN foram se

desenvolvendo e a geometria foi resgatada. Este resgate, focando-se na Geometria das

36

Transformaes, pode ser verificado em alguns recortes dos PCN, que tem um dos

objetivos:

[...] produzir e analisar transformaes e ampliaes/redues de figuras

geomtricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes,

desenvolvendo o conceito de congruncia e semelhana; ampliar e

aprofundar noes geomtricas como incidncia, paralelismo,

perpendicularismo e ngulo para estabelecer relaes, inclusive as

mtricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais (BRASIL, 1998, p.

82).

Em relao seleo de contedo, os PCN destacam a importncia das

transformaes geomtricas, a fim de desenvolver habilidades de percepo espacial e

induo de forma experimental descoberta, alm disso, fundamental que os estudos

sejam realizados a partir de objetos do mundo fsico, de obras de arte, pinturas, desenhos,

esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexes entre a

Matemtica e outras reas do conhecimento (BRASIL, 1998, p.48).

As orientaes dos PCN esto de acordo com o trabalho que ser desenvolvido,

pois o estudo das Transformaes isomtricas (transformaes do plano euclidiano que

conservam comprimentos, ngulos e ordem de pontos alinhados) um excelente ponto de

partida para a construo das noes de congruncia (BRASIL, 1998 p.124).

1.2.4 O ensino da Geometria das Transformaes

No Ensino Fundamental as transformaes geomtricas estudadas se resumem a

isometrias (com destaque para as simetrias) e homotetias.

Segundo Bastos (2007) na Educao Bsica existe uma discusso sobre o ensino-

aprendizagem das transformaes geomtricas. De uma maneira geral, essa discusso

envolve as isometrias, as translaes as rotaes, as reflexes e todas as suas composies.

No entanto, quando se aborda o conceito de semelhana no ensino bsico, raramente se

trabalha o tema encaixado no das transformaes geomtricas do plano ou do espao.

Normalmente, limita-se a ensinar figuras semelhantes, em especial tringulos (lados

proporcionais e ngulos congruentes) e utilizar isto em exerccios e problemas (BASTOS,

2007).

Com relao ao enfoque desses contedos, Alves (2005) explica ser possvel lanar

mo de ferramentas que do suporte pedaggico ao ensino-aprendizagem de alguns

37

conceitos matemticos ligados Geometria, sugerindo associar seu estudo arte, pois com

isso desenvolvem-se habilidades de percepo e de visualizao dos conceitos

geomtricos. Alm disso, afirma ser necessrio utilizar diferentes contextualizaes, pois

no processo de ensino-aprendizagem um conceito no pode simplesmente

ser reduzido sua definio, e atravs da contextualizao por meio de

diferentes atividades e situaes-problemas que ele adquire um

significado para o aprendiz (ALVES, 2005, p. 57).

Num levantamento bibliogrfico foram encontradas dissertaes e teses envolvendo

as transformaes geomtricas, o que confere importncia a este tema. A seguir,

apresentam-se como resultado de tal levantamento algumas produes brasileiras.

1.3. O processo de ensino-aprendizagem na direo da Teoria Histrico-Cultural

Aps anlise do levantamento bibliogrfico das pesquisas brasileiras, citadas

anteriormente concluiu-se que os materiais manipulveis e softwares matemticos

poderiam auxiliar no processo de ensino aprendizagem das Transformaes Geomtricas.

Sendo assim, aps leituras sobre esses tipos de recursos de didticos e aliando ao tema da

pesquisa, as Transformaes Geomtricas, optou-se por utilizar nesta pesquisa os materiais

manipulveis: dobraduras, Geoplano, rgua e compasso e o software GeoGebra.

Tais recursos didticos sero descritos a seguir, e logo aps apresenta-se um breve

resumo da Teoria Histrico-Cultural de Vigostski, escolhida para dar fundamentao

terica ao processo de ensino-aprendizagem, no qual os referidos recursos didticos

auxiliaro na mediao.

Os materiais manipulveis

Os materiais didticos manipulveis podem ser ferramentas teis ao processo de

ensino-aprendizagem de matemtica e nesta pesquisa foram utilizados os materiais

didticos manipulveis: Geoplano, dobraduras, rgua e transferidor.

De fato, os materiais podem tornar as aulas de Matemtica mais dinmicas e

compreensveis, uma vez que permitem a aproximao entre a teoria matemtica e a

constatao na prtica, por meio da ao manipulativa. Porm, no basta que o professor

disponha de um bom material didtico para que garantir uma aprendizagem significativa.

38

Mais importante do que isso saber utiliz-los corretamente em sala de aula

(RODRIGUES;GAZIRE, 2012; LORENZATO, 2006).

De acordo com Leandro (2016), os materiais manipulveis e concretos possuem

relevncia especialmente no ensino de geometria, pois deve basear-se na experimentao

e na manipulao, privilegiando o desenvolvimento da capacidade de visualizao

espacial (LEANDRO, 2016, p.1). Fiorentini e Miorim (1990) destacam que embora os

professores possuam grande interesse por materiais didticos e jogos, necessrio destacar

contextos nos quais esses materiais esto inseridos.

Por vezes, os professores no conseguindo alcanar resultados satisfatrios na

aprendizagem de seus alunos e ainda no repensando suas prticas pedaggicas, procuram

por novas informaes que possam auxili-los na melhora deste quadro. Essas novas

informaes, por muitas vezes, so entendidas como meras receitas de como ensinar, o que

um equvoco. Quanto a isso, Rodrigues e Gazire (2012) explicam sobre a atuao do

professor perante os materiais:

[o material] dever atuar como um mediador na construo do

conhecimento matemtico, orientando o aluno a realizar uma ao

reflexiva sobre o seu objeto de estudo durante a atividade experimental.

Nesse caso, a eficincia do material didtico manipulvel no processo de

ensino aprendizagem, depende mais da forma como o professor ir

utiliz-lo no momento em que est a mediar uma atividade com este

material, do que simplesmente considerar o uso pelo uso (RODRIGUES;

GAZIRE, 2012, p.195).

Quanto ao geoplano, esse pode ser explorado por diversos contedos matemticos

ligados Aritmtica, lgebra, Trigonometria e Geometria (plana e analtica). Sendo assim,

ele entra como recurso nas aulas de matemtica, onde o professor pode fazer conjecturas, a

fim de gerar um conhecimento, fazendo com que o aluno possa trabalhar, em diversos

contextos, o mesmo contedo (BARROS, 2015, p.2).

Existem diversos tipos de Geoplano, diferenciados pela malha utilizada, que podem

ser triangular, oval, circular, quadrada entre outros. Nesta pesquisa, optou-se por utilizar o

mais simples, isto , o deforma quadrada.

De acordo com Gelsa Knijnik (2004), o [geoplano] foi criado pelo professor Dr.

Caleb Gattegno, do Institute of Education, London University, em 1961. A partir desse,

muitos outros pesquisadores em Educao Matemtica passaram a utilizar o Geoplano no

ensino de Geometria e no ensino de fraes, dentre outros.

De acordo com Machado (1993), o

39

Geoplano um recurso didtico-pedaggico, dinmico e manipulativo

(construir, movimentar e desfazer). Contribui para explorar problemas

geomtricos e algbricos, possibilitando a aferio de conjecturas e

podendo-se registrar o trabalho em papel quadriculado. Alm disso, o

Geoplano facilita desenvolvimento das habilidades de explorao plana,

comparao, relao, discriminao, sequncia envolvendo conceitos de

fraes e suas operaes, simetria, reflexo, rotao e translao,

permetro, rea. O Geoplano um meio, uma ajuda didtica, que oferece

apoio representao mental e uma etapa para o caminho da abstrao,

proporcionando uma experincia geomtrica aos participantes

(MACHADO, 1993, p.1).

O Geoplano pode ser encontrado em diversos modelos. A malha mais comum a

quadriculada. Existem, porm, outros tipos de malhas: a trelissada, a circular e a oval,

dentre outras, conforme Figura 9 a seguir:

Figura 9: Modelos de Geoplano.

Fonte: Machado (1993, p.2)

O software GeoGebra

O computador uma ferramenta que pode auxiliar na aprendizagem dos alunos,

pois carrega consigo vrias possibilidades de explorao e experimentao, muitas vezes

40

difceis ou at mesmo impossveis de serem realizadas somente com o uso de rgua e

compasso. Com o grande avano tecnolgico, os aplicativos e softwares esto cada vez

mais inseridos no cotidiano dos estudantes, assim como no interior das escolas, e so

importantes ferramentas para o ensino-aprendizagem.

Porm, muitas escolas o utilizam inadequadamente ou ainda no dispem dessa

tecnologia, principalmente as de ensino pblico. Como esta pesquisa foi realizada em uma

escola da rede privada de ensino, que possui sala de informtica com vrios computadores,

alm de datashow e lousa digital, foi vivel a utilizao de um software de geometria

dinmica.

Segundo Silva (2008), os softwares de Geometria Dinmica so aqueles com os

quais se pode construir e manipular objetos geomtricos na tela do computador. O que

diferencia um software de Geometria Dinmica dos demais a possibilidade de arrastar

a figura construda utilizando o mouse. Esse procedimento permite a transformao da

figura em tempo real(SILVA, 2008, p.5).

Devido natureza indutiva do SGD [software de geometria dinmica],

novas possibilidades experimentais e tericas podem ser exploradas, uma

vez que com esta tecnologia a elaborao de conjecturas e suas

respectivas justificativas podem ser favorecidas. Desse modo, possvel

estabelecer uma importante discusso acerca das possibilidades da

incluso de SGD no contexto educacional em seus diferentes nveis

(SANTOS, 2006, p.33).

Com isso, e em concordncia ao referencial terico, o professor-pesquisador

empregou em parte da proposta de atividades o software GeoGebra, pois esse software, de

geometria dinmica, pode ser acessado gratuitamente no link https://www.geogebra.org/, e

o download pode ser realizado neste mesmo site.

O GeoGebra teve sua origem em 2001, como tese de doutorado de Markus

Hohenwarter, na Universidade de Salzburg ustria, e tem prosseguido seu

desenvolvimento na Florida Athantic University.

Atualmente existem Organizaes para o desenvolvimento do software GeoGebra

em vrios pases. Esses realizam Congressos anuais do GeoGebra, inclusive no Brasil.

A Teoria Histrico-Cultural

O processo de ensino-aprendizagem concebido de acordo com as correntes

filosficas, psicolgicas e pedaggicas assumidas. Nessa dissertao, considera-se este

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41

processo fundamentado na Teoria Histrico cultural segundo seu fundador L. Seminovich

Vigotski. Os meios de ensino so considerados como tecnologias educacionais.

Considerou-se o papel, o lpis, instrumentos de desenho, dobraduras, o Geoplano e o

software GeoGebra. Estes ltimos sero contemplados com uma seo.

Segundo Viana (2002), fundamentada em Shuare (1990), o paradigma Histrico

Cultural da psicologia devido em primeiro lugar a Vigotski, j que ele conseguiu

formular uma nova cincia do desenvolvimento psquico denominado enfoque histrico -

cultural do psiquismo humano a partir de sua concepo materialista dialtica e histrica.

Pois, de acordo com Shuare (1990), Vigotski foi o primeiro a aplicar criativamente o

materialismo dialtico e histrico cincia psicolgica, provocando uma verdadeira

revoluo copernicana na psicologia.

Shuare (1990) explica que as investigaes de Vigotski partiam das hipteses: as

funes psquicas do homem so de carter mediatizado e os processos interiores

intelectuais provm de uma atividade inicialmente exterior, interpsicolgica que ocorre no

plano social entre pessoas e depois, no plano psicolgico como funo individual, como

funo intrapsicolgica. Shuare (1990, p.66) explica que para Vigotski a

interiorizaono uma simples passagem da funo do exterior para o interior, mas

implica na transformao da estrutura da funo, a constituio da prpria funo

psicolgica superior.

Duarte (1996), afirma que

Podemos dizer que o processo de desenvolvimento psquico dos

indivduos, sendo tambm histrico-social, no um pressuposto natural

do processo de ensino-aprendizagem escolar, mas sim um produto social,

um produto das atividades do indivduo (DUARTE, 1996, p.46).

Segundo Viana (2013), para Vigotski a aprendizagem uma atividade social, e no

s um processo de realizao individual como se pensava. Alm disso, de acordo com

Leontiev (1978),

Devemos sublinhar que esse processo [de apropriao do conhecimento]

sempre ativo do ponto de vista do homem. Para se apropriar dos objetos

ou dos fenmenos que so o produto do desenvolvimento histrico,

necessrio desenvolver em relao a eles uma atividade que reproduza,

pela sua forma, os traos essenciais da atividade acumulada no objeto

(LEONTIEV, 1978, p.268).

Para La Taille (1992, p.24),as concepes de Vigotski sobre o funcionamento do

crebro humano fundamentam-se em sua ideia de que as funes psicolgicas superiores

42

so construdas ao longo da histria social do homem. Assim, as funes psicolgicas

especificamente humanas se originam nas relaes do indivduo e seu contexto cultural e

social (REGO 1999, p.41).

Com isso, de acordo com Rego (1999, p.61), para Vigotski, o desenvolvimento do

sujeito humano se d a partir das constantes interaes com o meio social em que vive, j

que as formas psicolgicas mais sofisticadas emergem da vida social. Assim, o

desenvolvimento do psiquismo sempre mediado por outro (escola, colegas, pessoas do

seu grupo cultural),que indica, delimita e atribui significados realidade. Com isso, a

modificao da estrutura do conhecimento do indivduo se d atravs de atividades de

interao em ambientes familiares, escola, dentre outros (VIANA, 2013).

Viana (2013, p.17) elaborou um breve resumo das ideias de Vigotski:

As funes psicolgicas tm um suporte biolgico, pois so frutos da

atividade cerebral. - O funcionamento psicolgico fundamenta-se nas

relaes sociais entre o indivduo e o mundo exterior, que se

desenvolvem num processo histrico. - A relao homem-mundo uma

relao mediada por sistemas simblicos1.

De acordo com Oliveira (1992, p.24) o entendimento de Vigotski sobre o

funcionamento do crebro, est ligado ideia de que as funes psicolgicas superiores

so construdas ao longo da vida social do homem. Sendo assim, a relao do homem

com o mundo, mediada de instrumentos e smbolos, oriundos de sua cultura, que formam

aes distintas de outros animais. A mediao uma ideia central para compreender as

concepes de Vigotski, sobre o desenvolvimento humano como processo scio-histrico-

cultural.

Para Moyss (2012, p 23) assim como Marx concebeu o instrumento mediatizando

a atividade laboral do homem, Vigotski concebeu a noo de que o signo instrumento

psicolgico por excelncia estaria mediatizando no s o seu pensamento, como o

prprio processo social humano.

Para Hila (2010, p.562) os instrumentos podem ser materiais/fsicos ou simblicos

(os signos e os sistemas de signos) como a linguagem, a escrita, as obras de artes, os

esquemas, os vrios sistemas de clculo, os mapas.

Neste sentido, sobre os instrumentos, entende-se que a atividade do indivduo sobre

o objeto no direta, e sim mediada e tripolar. Pensando na relao ensino-aprendizagem,

devemos olhar sobre: (a) o trabalho do professor; (b) sobre o trabalho do aluno; e (c) sobre

1Por exemplo, a linguagem. Sistema de signos (representaes mentais dos objetos do mundo real).

43

os elementos mediadores desse trabalho que promovem tanto a aprendizagem como o

desenvolvimento.

Segundo Hila (2010),

Enquanto os instrumentos fsicos potencializam as aes do aluno (e

tambm do professor) para o seu objetivo externo; os signos, por sua vez,

como instrumentos simblicos, agem como reguladores da atividade

psicolgica, analogamente ao papel de um instrumento material de

trabalho, e auxiliam o desenvolvimento do contedo da atividade mental

do homem sobre o mundo (controlam e regulam as aes internas e

psicolgicas) (HILA, 2010, p.563).

Moyss (2012) exemplificando um processo de mediao utilizado por Vigotski,

afirmou que com o passar do tempo, a criana deixa de necessitar de um elemento externo,

e passa a utilizar signos internos. Esses nada mais so do que representaes mentais que

substituem os objetos do mundo real.

De acordo Rego, (1999, p.62) ao internalizar as experincias fornecidas pela

cultura, a criana reconstri individualmente os modos de ao realizados externamente e

aprende a organizar os prprios processos mentais.

Rego (1999) explica ainda que, segundo Vigotski, no processo de aprendizagem, o

indivduo passa por dois nveis de desenvolvimento. Em primeiro lugar o nvel de

desenvolvimento real

[que] pode ser entendido como referente quelas conquistas que j esto

consolidadas na criana, aquelas funes ou capacidades que ela j

aprendeu e domina, pois j consegue utilizar sozinha, sem assistncia de

algum mais experiente da cultura (pai, me, professor, criana mais

velha etc.). Este nvel indica, assim, os processos mentais da criana que

j se estabeleceram, ciclos de desenvolvimento que j se completaram.

(REGO, 1999, p. 72)

Em seguida, Rego (1999) considera como nvel de desenvolvimento potencial

aquilo que a criana capaz de fazer com a ajuda de outrem (o professor, colegas, etc.)

Nesse caso, a criana realiza tarefas e soluciona problemas atravs do dilogo, da

colaborao, da imitao, da experincia compartilhada e das pistas que lhe so

fornecidas (REGO, 1999, p. 73).

E a distncia entre os dois nveis de desenvolvimento conhecida como zona de

desenvolvimento prximo (ZDP), isto , aquilo que ela [o estudante] capaz de fazer de

forma autnoma (nvel de desenvolvimento real) e aquilo que [o estudante] realiza em

colaborao com os outros elementos de seu grupo social (nvel de desenvolvimento

44

potencial)(REGO, 1999, p. 73).

E baseando-se em Vigotski (1995), considerando esses nveis de desenvolvimento

Viana (2013), caracteriza a aprendizagem:

A aprendizagem uma atividade social, uma atividade de produo e

reproduo do conhecimento mediante o qual a criana assimila os

modos sociais de atividade e de interao, e, mais tarde, na escola, os

fundamentos do conhecimento cientfico, sob condies de orientao e

interao social. Este conceito de aprendizagem coloca no centro de

ateno, o sujeito ativo, consciente, orientado para um objetivo: sua

interao com outros sujeitos (o professor e outros estudantes), suas aes

com o objeto, com a utilizao de diversos meios em condies scio-

histricas determinadas. (VIANA, 2013, p. 18).

Completando, La Taille (1992, p.76-77), afirma que para Vigotski o pensamento

tem sua origem na esfera da motivao, a qual inclui inclinaes, necessidades, interesses,

impulso, afeto e emoo. E [...] uma compreenso completa do pensamento humano s

possvel quando se compreende sua base afetivo-volitiva.

Assim, Viana (2013) baseando-se em Vigotski explica que:

necessrio que o processo de ensino/aprendizagem tenha um carter

comunicativo, isto , pressuponha uma relao dialogal franca, amistosa,

afetiva, motivante e participativa. O processo de ensino/aprendizagem

tem que ser motivante para que promova a realizao dos interesses do

aluno, propiciando o surgimento de outros motivos cognoscitivos e

sociais que o impulsionem a agir, isto , o aluno tem que desejar atuar.

Com isso, necessrio que seja consciente, isto que o aluno tenha

conscincia da finalidade da ao, da atividade, que est realizando

(VIANA, 2013, p. 19-20).

A escola pode possibilitar que o aluno se aproprie do conhecimento

hierarquicamente sistematizado, mas para isso o professor, percebido como mediador entre

o aluno e o objeto do conhecimento, opera buscando reconstruir o saber por meio de

estratgias intencionalmente planejadas. Durante as aulas, h uma interao do professor

com o aluno e entre os prprios alunos.

Para Davidov (1983),

[...] a escola deve ser capaz de desenvolver nos alunos capacidades

intelectuais que lhes permitam assimilar plenamente os conceitos

acumulados. Isto quer dizer que ela no deve se restringir transmisso

de contedos, mas, principalmente, ensinar o aluno a pensar, ensinar

formas de acesso e apropriao do conhecimento elaborado, de modo que

ele possa pratic-las autonomamente ao longo de sua vida, alm de sua

permanncia na escola. (DAVIDOV, 1988, p. 3 apud REGO, 1999, p.

108).

45

Assim, retornando ao conceito de zona de desenvolvimento prximo, para

desenvolver nos alunos capacidades intelectuais, a escola precisa nela interferir para

permitir que o aluno adquira e acumule novos conhecimentos (REGO, 1999).

Para isso, Viana (2013, p.19) afirma que agora, a tarefa do professor orientar e

guiar o estudante com a finalidade de potencializar suas possibilidades, e converter em

realidade as potencialidades de sua zona de desenvolvimento prximo.

Fundamentando-se nas ideias de Vigotski, Viana (2013, p.19), reafirma a

importncia da atividade conjunta, da relao de cooperao dos alunos entre si e com o

professor: no se podem conceber mais um professor que ensina e um aluno que aprende.

O processo de ensino/aprendizagem algo que realmente no d para separar; E

prossegue: esta concepo muda a relao tradicional de autoridade e distncia existente

entre os participantes do processo (VIANA, 2013, p.13). Cita Labarrere Sarduy (1997, p.

36), afirmando que somos propensos a considerar os processos de ensino e aprendizagem

como complexas redes