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TRANSFORMAÇÕES
LINEARES
Cristianeguedes.pro.br/cefet
1 Profª Cristiane Guedes
Transformação Linear
Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais.
Uma função T (ou aplicação) é denominada
Transformação Linear de U em V se:
a) 1 2 1 2 1 2, ,T u u T u T u u u U
b) 1 1 1, ,T u T u u R U
Obs: Se então a transformação
linear é chamada de Operador Linear.
U V
2
Profª Cristiane Guedes
Exemplos
1) Transformação Linear Nula T(v) = 0, v
2) Operador Linear Identidade T(v) = v , v
3) tal que
4) dada por
5) definida por
:T U V
, fixo,T u u u R U
2 3:T R R
, 2 ,0,T x y x x y
: n nT P R P R
´f
T f x f xx
3
Profª Cristiane Guedes
Contra-exemplo
definida por
:T R R
2 ,T x x x R
2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 22T u u u u u u u u
pois temos que:
2 2
1 2 1 2T u T u u u
4
Profª Cristiane Guedes
Propriedades
Sejam dois espaços vetoriais reais e uma
transformação linear entre eles. Então:
P1) 0 0T
P2) ,T u T u u U
P3) , ,T u v T u T v u v U
P4) Se U é um subespaço de V, então a imagem de U
pela transformação linear é um subespaço vetorial
de V, isto é, T(U) é subespaço vetorial real.
P 5) 1 1
n n
i i i i
i i
T u T u
5
Profª Cristiane Guedes
Exercício
Verificar se as funções abaixo são transformações
lineares e determinar seus núcleos e imagens:
2:T R R dada por , 2 3T x y x y a)
b)
c)
3
2: definida porT P R R
2
2 1 0 1 0 2 1 02 , ,3T a x a x a a a a a a
2
2: tal queT R M R 2
,x x y
T x yy x
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Profª Cristiane Guedes
Núcleo e Imagem
Dados dois espaços vetoriais reais e uma
transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da
Transformação o subconjunto do domínio da função
dado por:
ker( ) ( ) ( ) 0T N T u T u U
Dados dois espaços vetoriais reais e uma
transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da
Transformação o subconjunto do contra-domínio da
função dado por:
Im( ) onde ( )T v u T u v V U
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Profª Cristiane Guedes
ou seja, Im .F B
Função Injetora e Função Sobrejetora
Definição: Uma Função do conjunto A no conjunto B
é dita:
1. Injetora se:
1 2 1 2, , entãoa a A a a 1 2( ) ( )F a F a
1 2 1 2 1 2ou seja, , ,a a A F a F a a a
, tal queb B a A F a b
2. Sobrejetora se:
8
Profª Cristiane Guedes
Teorema
Proposição: Uma transformação linear é injetora se
e somente se
0N T
Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:
dim dim dim ImN T T U
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Profª Cristiane Guedes
Proposição
Proposição: Dada uma transformação linear, temos
que se base de U
As imagens de uma base geram o conjunto Imagem.
1 2
1 2
, ,..., então
Im , ,...,
n
n
u u u
T T u T u T u
U
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Profª Cristiane Guedes
Determinação de uma TL
• Uma transformação linear L:R2R2 fica
completamente determinada quando se
conhecem L(e1) e L(e2), onde (e1, e2) formam uma
base do R2.
L(e1) = ae1 + be2 , L(e2) = ce1 + de2
p = xe1 + ye2 L(p) = xL(e1)+yL(e2) =
= x(ae1+be2)+y(ce1+de2) = (ax+cy)e1 + (bx+dy)e2
Matriz da
transformação
L(e1) L(e2)
y
x
db
ca
y
x
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Profª Cristiane Guedes
Transformações Geométricas no R2
• O mais comum é representar uma transformação
linear com respeito à base canônica do R2: e1 = (1, 0), e2 = (0,1).
• Transformações lineares preservam elementos
lineares (retas, planos, etc)
e1
e2
L(e1)
L(e2)
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Profª Cristiane Guedes
• Algumas transformações lineares correspondem a
transformações geométricas importantes.
– Escalas.
– Reflexões.
– Rotações.
– Cisalhamento.
13 Profª Cristiane Guedes
Escala
Redução (0< sx <1) ,
Aumento (sy >1)
x
y
c
b
y
x
s
s
ys
xs
y
x
y
x
y
x
0
0
'
'
y
xa
y
xa
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Profª Cristiane Guedes
Espelhamento
x´ = -1.x
y´ = y
x
y
y
x
y
x
y
x
10
01
Espelhamento em
relação ao eixo y
y
xp
y
xp
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Rotação
y
x
yx
yx
y
x
cossin
sincos
cossin
sincos
'
'
sincoscossin
sinsincoscos
)sin(
)cos(
'
'
rr
rr
r
r
y
x
x
y
r r r
sin
cos
ry
rx
y
xp
y
xp
y
xyxR
cossin
sincos),(
16
Profª Cristiane Guedes
Cisalhamento
x
y
x
y
y
x
y
yx
y
x
10
tan1tan
'
'
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Profª Cristiane Guedes
Exemplo
Considerando B1 a base canônica e :
Seja B2 a base que se obtém a partir
de uma rotação de =600 em B1.
Determinar:
Resp:
3
21Bv
2Bv
2
3232
332
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Profª Cristiane Guedes
Transformações 3D
tz
tytx
z
yx
z
yx
'
''
z
y
x
s
s
s
z
yx
z
y
x
00
00
00
'
''
Translação
z
y
x
z
yx
100
0cossin
0sincos
'
''
Escala
Rotação ao redor do
eixo z
19
Profª Cristiane Guedes
cos0
010
0cos
:)(
sen
sen
Ry
100
0cos
0cos
:)(
sen
sen
Rz
cos0
cos0
001
:)(
sen
senRx
Rotação ao redor do
eixo z
Rotação ao redor do
eixo y
Rotação ao redor do
eixo x
20 Profª Cristiane Guedes
Matriz de uma TL
Dados dois espaços vetoriais reais e uma
transformação linear entre eles temos:
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
......................
...
p p
p p
n n n np p
T u v v v
T u v v v
T u v v v
1 2, ,..., nB u u u U 1 2, ,..., pG v v v VBases
21
Profª Cristiane Guedes
Assim
11 21 1
12 22 2
,
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
B G
p p np
T
É dita Matriz da Transformação Linear T em
relação às bases B e G.
OBS: As colunas dessa matriz são as coordenadas das
imagens dos vetores da base B em relação à base G.
22 Profª Cristiane Guedes
Exercícios:
Profª Cristiane Guedes
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1) Seja a TL T(v) = u x v. Sabendo que u = (1, 1, 1),
escreva a forma matricial da transformação.
2) Escreva a matriz da TL tal que:
T(1, 0, 1) = (0, 0, 1)
T(1, 1, 1) = (1, 0, 1)
T(0, 0, 1) = (1, 1, 1)
3) Verifique se as seguintes TL admitem inversa:
T(x, y) = (2x, x+y)
T(x, y, z) = (2x+y+z, x+y+z, x)
Profª Cristiane Guedes 24
4) Dada a matriz da TL abaixo, determine, se existir,
a matriz da TL inversa.
5) Dada a TL : T(1, 1, 0) = (1, 1, 0), T(0, 1, 0) = (1,
1, 1) e T(1, 1, 1) = (0, 1, 0), determine:
a) A matriz da TL.
b) A Imagem da TL.
c) O vetor u, tal que T(u) = 0.
d) A matriz da TL inversa, se existir.
011
110
111
T