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TRANSFORMAÇÕES LINEARES Cristianeguedes.pro.br/cefet 1 Profª Cristiane Guedes

Transformações lineares - SpeedServ - cristianeguedes.pro.br · Verificar se as funções abaixo são transformações ... denomina-se Imagem da ... Verifique se as seguintes TL

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TRANSFORMAÇÕES

LINEARES

Cristianeguedes.pro.br/cefet

1 Profª Cristiane Guedes

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Transformação Linear

Definição: Sejam U e V dois espaços vetoriais reais.

Uma função T (ou aplicação) é denominada

Transformação Linear de U em V se:

a) 1 2 1 2 1 2, ,T u u T u T u u u U

b) 1 1 1, ,T u T u u R U

Obs: Se então a transformação

linear é chamada de Operador Linear.

U V

2

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Exemplos

1) Transformação Linear Nula T(v) = 0, v

2) Operador Linear Identidade T(v) = v , v

3) tal que

4) dada por

5) definida por

:T U V

, fixo,T u u u R U

2 3:T R R

, 2 ,0,T x y x x y

: n nT P R P R

´f

T f x f xx

3

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Contra-exemplo

definida por

:T R R

2 ,T x x x R

2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 22T u u u u u u u u

pois temos que:

2 2

1 2 1 2T u T u u u

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Propriedades

Sejam dois espaços vetoriais reais e uma

transformação linear entre eles. Então:

P1) 0 0T

P2) ,T u T u u U

P3) , ,T u v T u T v u v U

P4) Se U é um subespaço de V, então a imagem de U

pela transformação linear é um subespaço vetorial

de V, isto é, T(U) é subespaço vetorial real.

P 5) 1 1

n n

i i i i

i i

T u T u

5

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Exercício

Verificar se as funções abaixo são transformações

lineares e determinar seus núcleos e imagens:

2:T R R dada por , 2 3T x y x y a)

b)

c)

3

2: definida porT P R R

2

2 1 0 1 0 2 1 02 , ,3T a x a x a a a a a a

2

2: tal queT R M R 2

,x x y

T x yy x

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Núcleo e Imagem

Dados dois espaços vetoriais reais e uma

transformação linear entre eles, denomina-se Núcleo da

Transformação o subconjunto do domínio da função

dado por:

ker( ) ( ) ( ) 0T N T u T u U

Dados dois espaços vetoriais reais e uma

transformação linear entre eles, denomina-se Imagem da

Transformação o subconjunto do contra-domínio da

função dado por:

Im( ) onde ( )T v u T u v V U

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ou seja, Im .F B

Função Injetora e Função Sobrejetora

Definição: Uma Função do conjunto A no conjunto B

é dita:

1. Injetora se:

1 2 1 2, , entãoa a A a a 1 2( ) ( )F a F a

1 2 1 2 1 2ou seja, , ,a a A F a F a a a

, tal queb B a A F a b

2. Sobrejetora se:

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Teorema

Proposição: Uma transformação linear é injetora se

e somente se

0N T

Teorema do Núcleo e da Imagem: Dados dois espaços vetoriais reais de dimensão finita. Dada uma transformação linear entre eles, então:

dim dim dim ImN T T U

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Proposição

Proposição: Dada uma transformação linear, temos

que se base de U

As imagens de uma base geram o conjunto Imagem.

1 2

1 2

, ,..., então

Im , ,...,

n

n

u u u

T T u T u T u

U

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Determinação de uma TL

• Uma transformação linear L:R2R2 fica

completamente determinada quando se

conhecem L(e1) e L(e2), onde (e1, e2) formam uma

base do R2.

L(e1) = ae1 + be2 , L(e2) = ce1 + de2

p = xe1 + ye2 L(p) = xL(e1)+yL(e2) =

= x(ae1+be2)+y(ce1+de2) = (ax+cy)e1 + (bx+dy)e2

Matriz da

transformação

L(e1) L(e2)

y

x

db

ca

y

x

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Transformações Geométricas no R2

• O mais comum é representar uma transformação

linear com respeito à base canônica do R2: e1 = (1, 0), e2 = (0,1).

• Transformações lineares preservam elementos

lineares (retas, planos, etc)

e1

e2

L(e1)

L(e2)

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• Algumas transformações lineares correspondem a

transformações geométricas importantes.

– Escalas.

– Reflexões.

– Rotações.

– Cisalhamento.

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Escala

Redução (0< sx <1) ,

Aumento (sy >1)

x

y

c

b

y

x

s

s

ys

xs

y

x

y

x

y

x

0

0

'

'

y

xa

y

xa

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Espelhamento

x´ = -1.x

y´ = y

x

y

y

x

y

x

y

x

10

01

Espelhamento em

relação ao eixo y

y

xp

y

xp

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Rotação

y

x

yx

yx

y

x

cossin

sincos

cossin

sincos

'

'

sincoscossin

sinsincoscos

)sin(

)cos(

'

'

rr

rr

r

r

y

x

x

y

r r r

sin

cos

ry

rx

y

xp

y

xp

y

xyxR

cossin

sincos),(

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Cisalhamento

x

y

x

y

y

x

y

yx

y

x

10

tan1tan

'

'

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Exemplo

Considerando B1 a base canônica e :

Seja B2 a base que se obtém a partir

de uma rotação de =600 em B1.

Determinar:

Resp:

3

21Bv

2Bv

2

3232

332

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Transformações 3D

tz

tytx

z

yx

z

yx

'

''

z

y

x

s

s

s

z

yx

z

y

x

00

00

00

'

''

Translação

z

y

x

z

yx

100

0cossin

0sincos

'

''

Escala

Rotação ao redor do

eixo z

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cos0

010

0cos

:)(

sen

sen

Ry

100

0cos

0cos

:)(

sen

sen

Rz

cos0

cos0

001

:)(

sen

senRx

Rotação ao redor do

eixo z

Rotação ao redor do

eixo y

Rotação ao redor do

eixo x

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Matriz de uma TL

Dados dois espaços vetoriais reais e uma

transformação linear entre eles temos:

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

...

...

......................

...

p p

p p

n n n np p

T u v v v

T u v v v

T u v v v

1 2, ,..., nB u u u U 1 2, ,..., pG v v v VBases

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Assim

11 21 1

12 22 2

,

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

B G

p p np

T

É dita Matriz da Transformação Linear T em

relação às bases B e G.

OBS: As colunas dessa matriz são as coordenadas das

imagens dos vetores da base B em relação à base G.

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Exercícios:

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1) Seja a TL T(v) = u x v. Sabendo que u = (1, 1, 1),

escreva a forma matricial da transformação.

2) Escreva a matriz da TL tal que:

T(1, 0, 1) = (0, 0, 1)

T(1, 1, 1) = (1, 0, 1)

T(0, 0, 1) = (1, 1, 1)

3) Verifique se as seguintes TL admitem inversa:

T(x, y) = (2x, x+y)

T(x, y, z) = (2x+y+z, x+y+z, x)

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4) Dada a matriz da TL abaixo, determine, se existir,

a matriz da TL inversa.

5) Dada a TL : T(1, 1, 0) = (1, 1, 0), T(0, 1, 0) = (1,

1, 1) e T(1, 1, 1) = (0, 1, 0), determine:

a) A matriz da TL.

b) A Imagem da TL.

c) O vetor u, tal que T(u) = 0.

d) A matriz da TL inversa, se existir.

011

110

111

T