Transformada discreta de Fourier - Universitat …Transformada discreta de Fourier Transformada continua de Fourier (1D) (TF) Todo el desarrollo matemático del tema se verá en clase

1T4. Filtrado. Dominio de la frecuencia

Transformada discreta de Transformada discreta de FourierFourier

Convolución en el espacio = multiplicación de la TDF de la imagen por la TDF de la respuesta impulsional del filtro.

Mayor rapidez de aplicación (algoritmo FFT)Permite aplicar filtros diseñados mediante técnicas de tratamiento de señal (versiones discretas de filtros analógicos conocidos: Butterworth, Chebychev, Elipticos)Principal aplicación: eliminación de ruído, filtrado de ciertas frecuenciasOtras aplicaciones: detección de movimiento, detección de patrones repetidos.



Transformada continua de Fourier (1D) (TF)

Todo el desarrollo matemático del tema se verá en clase.En estas notas solo se dan las principales ideas.

Una señal continua variable, escalar (1D), variable con el tiempo o el espacio, puede también expresarse en función de la frecuencia. h(t) <-> H(f)

Frecuencia: Nueva variable, inversa del periodo espacial o temporal.

Esta transformación es reversible: transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier



La Convolución entre dos señales, la Correlación entre dos señales, la Autocorrelación, la densidad espectral de potencia de una señal, y la potencia total de una señal, pueden expresarse en el dominio de la frecuencia a partir de las transformadas de Fourier de las señales.

Especialmente, la convolución en el dominio del tiempo o del espacio se convierte en una multiplicación en el dominio de la frecuencia. Esto hace más sencilla la aplicación de filtros en el dominio de la frecuencia.

Dichos filtros pueden ser muy complicados en cuanto a su diseño, tener una respuesta impulsional grande, pero su aplicación en el dominio de la frecuencia es siempre sencilla: una multiplicación.



Transformada discreta de Fourier (1D) (TDF)

La TDF se deduce a partir de TF para señales discretas.Se aplican los conceptos de muestreo y reconstrucción.

Aparece el fenómeno de “aliasing”, solo existe un zona limitada de frecuencias únicas, la mayor frecuencia alcanzable en una señal discreta es 1/2∆ (frecuéncia crítica de Nyquist).

Las imágenes son señales de 2 dimensiones ya discretizadas, aunque normalmente no se conoce (ni importa) el periodo de muestreo (distancia entre píxeles). Por ello se suele tomar periodo de muestreo ∆=1. Es decir, ∆=1 pixel, las frecuencias se medirán en píxeles-1.



Transformada rápida de Fourier (1D) (FFT)

La FFT (Fast Fourier Transform) es simplemente un algoritmo rápido para calcular la TDF.

La aplicación de la fórmula de la TDF, en 1D, tiene un coste cuadrático O(N2). La FFT tiene un coste O(N logN)

En 2D la TDF tiene un coste O(N4). La FFT tiene un coste O( (N logN)2 )

El algoritmo es debido a Danielson-Lanczos, 1942.Requiere que la señales tengan una dimensión potencia de

2. En imágenes tanto filas como columnas han de ser potencia de 2.



Frecuencias en la TDF de una imagen

La TDF de una imagen (real) es compleja. Normalmente la guardaremos en dos imágenes, donde los índices de fila y columna representan índices de frecuencias verticales y horizontales.

Al ser la imagen una señal real la parte real de la TDF es simétrica, y la parte imaginaria antisimétrica. Por tanto el módulo de la TDF es simétrico y la fase antisimétrica.

Debido a la simetría existe una zona de frecuencias únicas, que va de 0 a N/2 y de 0 a M/2 en una imagen de N x M. Las zonas restantes son reflexiones de la zona única.



Filtro de Buterworth

Para realizar un filtrado en el dominio de la frecuencia hay que multiplicar la TDF de la imagen por la TDF de la respuesta impulsional de filtro.

Normalmente se conoce ya la TDF del filtro. Existen filtros muy usados en tratamiento de señal analógica, el más sencillo es el filtro de Butterworth.

La expresión de un filtro de Butterworth paso bajo con frecuencia de corte 1, es:

En 1D: En 2D: nffA

211)(

+=

nn ffffA

22

21

211

11

1),(++

=



n: orden del filtro. Indica la caída de ganancia en la zona de transición entre la banda de paso y la banda eliminada. Dicha caída es de 20n dB/década.

El filtro de Butterworth tiene respuesta maximalmente plana en la zona de paso (f=0) y en la zona eliminada (f=infinito).

Las frecuencias de las expresiones anteriores son frecuencias continuas. Se deben calcular a partir de la frecuencia discreta, y esta a partir de los índices de frecuencia, para poder multiplicar la TDF de una imagen por la TDF de un filtro de Butterworth:

Índice de frecuencia -> frec. discreta -> frec. Continua ->-> formula del filtro de Butterworth



Para aplicar técnicas de análisis de señal continua a señales discretas es necesario realizar una aproximación de la frecuencia continua a discreta, pues la frecuencia continua tiene un rango infinito y la frecuencia discreta va de 0 a ½.

Una de las aproximaciones más usadas es la tranformaciónbilineal, cuyo fundamento transciende este curso, pero puede hallarse en cualquier libro de teoría de control.

En dicha transformación la relación entre frecuencias es:

( )discretacontinua ftgf 1 ππ

=



A partir de la expresión del filtro paso bajo de orden n y frecuencia de corte 1, se pueden obtener, mediante cambios de variable, filtros con otra frecuencia de corte y otros comportamientos:

Filtro paso bajo:

Filtro paso alto:

Filtro paso banda:

Filtro elimina banda:

0

'fff =

fff 0' −=

infsupinfsup

22

, ,' fffffffffff cbb

c =−=+=

22'c

b

ffff

f+

=


Manipulación del nivel de grisManipulación del nivel de gris

Bibliografía

Numerical Recipes in C, the art of scientific computing. Cambridge University Press. Capítulos 12 y 13. (www.nr.com)

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