Transformada Discreta de Fourier. - uv.essoriae/tema_5_pds.pdf · Importancia de la respuesta en frecuencia de un sistema ... Ejemplo de convolucion periódica. Procesado Digital

Procesado Digital de Señales. 4º de Ingeniería Electrónica.Profesor Emilio Soria. E.T.S.E. Universitat de València.

Transformada Discreta de Fourier.


Hasta ahora se ha visto...... Importancia de la respuesta en frecuencia de un sistema

Tenemos otra forma de caracterizar los sistemas L.T.I

Herramienta muy potente para determinar salidas cuando las entradas son sinusoides o combinación de éstas.

Permite realizar aplicaciones que en el dominio temporal son difíciles de comprender (por ejemplo filtrado)

Transformada de Fourier de una señal discreta

Tenemos una forma de expresar la señal como una suma infinita de

sinusoides

Utilizando esta descomposición de la señal junto con la respuesta en

frecuencia tenemos una forma sencilla de determinar la salida de un sistema en

el estacionario.

PROBLEMA: TENEMOS UN SUMATORIO CON LÍMITES ±∞


Desarrollo en serie de Fourier discreto (DFS)Supongamos una señal discreta x(n) periódica (periodo N); esto es x(n+N)=x(n). Sabemos que a nivel temporal esta señal se puede expresar, en el primer periodo y usando deltas desplazadas, como:

!

x(n) = x(k) "# n $ k( )k= 0

N

%

!

x(n) =" # X (k) #e

$ j #2#% #k#n

N

k= 0

N$1

&

!

x(n) "e

j "2"# "s"n

N =$ " X (k) "e

% j "2"# "k"n

N

k= 0

N%1

&'

(

) )

*

+

, , "e

j "2"# "s"n

N

!

x(n) "e

j "2"# "s"n

N

n= 0

N$1

% =& " X (k) "e

$ j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

%k= 0

N$1

%

!

e

" j #2#$ # k"s( )#n

N

n= 0

N"1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

j "2"# "s"n

N

n= 0

N$1

% =& "N " X (s)

!

X (k) = x(n) "e

j "2"# "k"n

N

n= 0

N$1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

$ j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

Podemos plantear otra representación alternativa usando exponenciales complejas que, como ya hemos visto, son la base en el dominio frecuencial, esto es

Evidentemente el objetivo ahora es determinar X(k) y α; para ello algunas operaciones.....

Aplicando la ortogonalidad de las exponenciales complejas, esto es,

!

x(n) = x(k) "# n $ k( )k= 0

N

%

!

x(n) =" # X (k) #e

$ j #2#% #k#n

N

k= 0

N$1

&

!

x(n) "ej "2"# "s"n

N =$ " X (k) "e% j "2"# "k"n

N

k= 0

N%1

&'

(

) )

*

+

, , "e

j "2"# "s"n

N

!

x(n) "e

j "2"# "s"n

N

n= 0

N$1

% =& " X (k) "e

$ j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

%k= 0

N$1

%

!

e

" j #2#$ # k"s( )#n

N

n= 0

N"1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

j "2"# "s"n

N

n= 0

N$1

% =& "N " X (s)

!

X (k) = x(n) "e

j "2"# "k"n

N

n= 0

N$1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

$ j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

k(n) =P

n"1 # xn

1+r x

n

t#P

n"1 #r x

n

!

ˆ e (n) = d (n) "r x

n

t#w

n"1

!

wn

= wn"1 + k(n) # ˆ e (n)

!

Pn

= Pn"1 " k(n) #

r x

n

t#P

n"1

!

J = "n# le2 (l)

l= 0

n

$

!

k(n) =P

n"1 # xn

$ +r x

n

t#P

n"1 #r x

n

!

Pn

=P

n"1 " k(n) #r x

n

t#P

n"1

$

!

x(n) = x(k) "# n $ k( )k= 0

N

%

!

x(n) =" # X (k) #e

j #2#$ #k#n

N

k= 0

N%1

&

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N =% " X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

&'

(

) )

*

+

, , "e

# j "2"$ "s"n

N

!

k(n) =P

n"1 # xn

1+r x

n

t#P

n"1 #r x

n

!

ˆ e (n) = d (n) "r x

n

t#w

n"1

!

wn

= wn"1 + k(n) # ˆ e (n)

!

Pn

= Pn"1 " k(n) #

r x

n

t#P

n"1

!

J = "n# le2 (l)

l= 0

n

$

!

k(n) =P

n"1 # xn

$ +r x

n

t#P

n"1 #r x

n

!

Pn

=P

n"1 " k(n) #r x

n

t#P

n"1

$

!

x(n) = x(k) "# n $ k( )k= 0

N

%

!

x(n) =" # X (k) #e

j #2#$ #k#n

N

k= 0

N%1

&

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N =% " X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

&'

(

) )

*

+

, , "e

# j "2"$ "s"n

N

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WNk"n

= e

# j "2"$ "k"n

N

tomando α=1/N

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WNk"n

= e

# j "2"$ "k"n

N

Ecuación de síntesis

Ecuación de análisis

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WNk"n

= e

# j "2"$ "k"n

N


Ejemplo de DFS.

Consideramos la siguiente señal periódica aquí N=10

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WNk"n

= e

# j "2"$ "k"n

N

!

X (k) = x(n) "

n= 0

N#1

$ e

# j "2"% "k"n

N

!

X ejw( ) = x(n) "e# j "w"n

n=#$

$

%

Aplicando la definición de DFS se tiene

!

X (k) =U (k) 0 " k " N #1

0 otro caso

$ % &

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

4

% =1# e

# j "2"$ "k"5

10

1# e

# j "2"$ "k

10

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *

Agrupando exponenciales (como siempre!!!).

!

X (k) =U (k) 0 " k " N #1

0 otro caso

$ % &

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

4

% =1# e

# j "2"$ "k"5

10

1# e

# j "2"$ "k

10

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e

" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e

" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *


Propiedades del DFS.

!!"#!"$%&'()**+"", -./01223"", !"#$%&$'()(*+,%,'- .($/ 01''!"#$%&$'2&$%&,''''' 11 !"14

!"#$%&'%(&)*(+!"#$%&'%(&)*(+!"#$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&'$()$*+,!"#$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&'$()$*+,

-.#./$*$"0, !"#$%& !"'()*

122"0"3"0, #$%&+,+-$%& '()*,.()*

4"*$5'"0, !"#$%&+,+/"-$%&+ !"'()*,/".()*

6)70"87"+50".* 9 #$%&+"-$%&

:.*3.7)0".* 9 '()*".()*

!"#$%;<"=0"*/ #$%+0 1&

&'$()$*+,%;<"=0"*/ '()+0 2*

!"

#

$

34

52

2*0'(2*.()4

3

!"!"#$%&'()*+"()")*$,"-**./0"&*1,23*#$%&'()*+"()")*$,"-**./0"&*1,23*

!"

#

"$

34

51

1&-$%#$1&

'()*6 7

1)8!9

$

$"

#$%&7

:28!9

6 $%

LinealidadProducto

Convolución periódicaDesplazamiento temporal

Desplazamiento frecuencial.

–N N0 m

x2[m]~

–N N0 m

x2[– m]~

–N N0 m

x1[m]~

–N N0 m

x2 [1 – m] = x2[–(m – 1)]~ ~

x2 [2 – m] = x2[–(m – 2)]~ ~

–N N0 m

Figure 8.3 Procedure for forming the periodic convolution of two periodicsequences.

From Discrete-Time Signal Processing, 2e by Oppenheim, Schafer, and Buck ©1999-2000 Prentice Hall, Inc.

Ejemplo de convolucion periódica


Muestreo de la Transformada de Fourier de una secuencia discreta (I)

Sabemos que la Transformada de Fourier de una secuencia discreta viene definida

por la siguiente expresión:

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WNk"n

= e

# j "2"$ "k"n

N

!

X (k) = x(n) "

n= 0

N#1

$ e

# j "2"% "k"n

N

!

X ejw( ) = x(n) "e# j "w"n

n=#$

$

%

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N

0 n $m & r "N r entero

' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &

Muestreamos (EN EL DOMINIO FRECUENCIAL) considerando N muestras; recordemos que X(jw) es

periódica con periodo

U(k) es periódica (periodo N) se puede corresponder a los coeficientes de un DFS. Estoy interesado en la señal temporal que se obtiene de esos coeficientes

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N


' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N


' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N


' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &

Aplicando

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e

" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N


' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &


Muestreo de la Transformada de Fourier de una secuencia discreta (II)

!

U (k) = X e

" j #2#$ #k

N

%

&

' '

(

)

* *

= x(n) #e

" j #2#$ #k#n

N

n="+

+

,

!

u(n) =1

N" U (k) "e

j "2"# "k"n

N

k= 0

N$1

%

!

u(n) =1

N" x(m) "

m=#$

$

% e

# j "2"& "k"m

N

'

(

) )

*

+

, , "

k= 0

N#1

% e

j "2"& "k"n

N

!

u(n) = x(m) "

m=#$

$

% 1

N" e

j "2"& "k" n#m( )

N

k= 0

N#1

%'

(

) )

*

+

, ,

!

e

j "2"# "k" n$m( )

N

k= 0

N$1

% =N n $m = r "N


' ( )

!

u(n) = x(m) "# (n $m $ r "N )

m=$%

%

& ' u(n) = x(n $ r "N )

r=$%

%

&

!

u(n) = x(n " r #N )

r="$

$

%

!

x(n) =u(n) 0 " n " N #1

0 otro caso

$ % &

Se llega finalmente a

......

–12 0 8N = 12

x [n] = !~ x [n – r12]r = –!

!

0 8

x [n]

(a)

(b)

n

n

Figure 8.8 (a) Finite-length sequence x[n]. (b) Periodic sequence x̃[n] corre-sponding to sampling the Fourier transform of x[n] with N = 12.


......

–12 0 8N = 12

x [n] = !~ x [n – r12]r = –!

!

0 8

x [n]

(a)

(b)

n

n

Figure 8.8 (a) Finite-length sequence x[n]. (b) Periodic sequence x̃[n] corre-sponding to sampling the Fourier transform of x[n] with N = 12.


......

–14 –7 0N = 7

14

x [n] = !~ x [n – r7]r = –!

!

n

Figure 8.9 Periodic sequence x̃[n] corresponding to sampling the Fourier trans-form of x[n] in Figure 8.8(a) with N = 7.



Transformada Discreta de Fourier (DFT).Conclusiones a tener en cuenta.

Si x(n) tiene longitud finita se puede recuperar dicha señal a partir de muestras de su Transformada de Fourier; no es necesario conocer dicha Transformada en todas las frecuencias.

La señal temporal obtenida usando dicho muestreo de la Transformada de Fourier se supone periódica por construcción; aunque a nosotros sólo nos interesa el primer periodo.

Se define la Transformada Discreta de Fourier (DFT) de una señal x(n) como .

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WN = e

" j #2#$

N

!

X (k) = x(n) "WN

k"n

n= 0

N#1

$

x(n) =1

N" X (k) "W

N

#k"n

k= 0

N#1

$

La Transformada inversa queda definida como (ecuación de sintesis)

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WN = e

" j #2#$

N

!

X (k) = x(n) "WN

k"n

n= 0

N#1

$

x(n) =1

N" X (k) "W

N

#k"n

k= 0

N#1

$

Si se define

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WN = e

" j #2#$

N

!

X (k) = x(n) "WN

k"n

n= 0

N#1

$

x(n) =1

N" X (k) "W

N

#k"n

k= 0

N#1

$

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WN = e

" j #2#$

N

!

X (k) = x(n) "WN

k"n

n= 0

N#1

$

x(n) =1

N" X (k) "W

N

#k"n

k= 0

N#1

$

Ec. Análisis

Ec. Síntesis


Ejemplo de DFT (I).

5|X (e j!) |

00

5 101–1

......

2

1

1

3 4 6 7 8 9 11

x [n]~

x [n]

(c)

(b)

(a)

2" 4" !

5

0–1–2 5 101 2 3 4 6 7 8 9 11

X[k]

(d)

......

0 5 10 15 20

0 4 n

n

X[k]~

k

k

Figure 8.10 Illustration of the DFT. (a) Finite-length sequence x[n]. (b) Periodicsequence x̃[n] formed from x[n] with period N = 5. (c) Fourier series coefficientsX̃ [k] for x̃[n]. To emphasize that the Fourier series coefficients are samples of theFourier transform, |X (e j ω)| is also shown. (d) DFT of x[n].

Fro

m D

iscr

ete-

Tim

e Si

gnal

Pro

cess

ing,

2e

by

Op

pen

hei

m,

Sch

afer

, an

d B

uck

©

19

99

-20

00

Pre

nti

ce H

all,

In

c.

Sea la señal x(n); vamos a calcular su DFT con N=5.

Implícitamente suponemos que se tiene la señal

5|X (e j!) |

00

5 101–1

......

2

1

1

3 4 6 7 8 9 11

x [n]~

x [n]

(c)

(b)

(a)

2" 4" !

5

0–1–2 5 101 2 3 4 6 7 8 9 11

X[k]

(d)

......

0 5 10 15 20

0 4 n

n

X[k]~

k

k


Fro

m D

iscr

ete-

Tim

e Si

gnal

Pro

cess

ing,

2e

by O

ppen

hei

m, S

chaf

er, an

d B

uck

©

1999-2

000 P

renti

ce H

all,

Inc.

Aplicando la definición yhaciendo algunos cálculos

!

X (k) = x(n) "e# j "2"$ "k"n

5

n= 0

4

% =1# e# j "2"$ "k

1# e#2" j "$ "k

5

=0 k & 5 " r

5 k = 5 " r r entero

' ( )

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *

5|X (e j!) |

00

5 101–1

......

2

1

1

3 4 6 7 8 9 11

x [n]~

x [n]

(c)

(b)

(a)

2" 4" !

5

0–1–2 5 101 2 3 4 6 7 8 9 11

X[k]

(d)

......

0 5 10 15 20

0 4 n

n

X[k]~

k

k


Fro

m D

iscr

ete-

Tim

e Si

gnal

Pro

cess

ing,

2e

by O

ppen

hei

m, S

chaf

er, an

d B

uck

©

1999-2

000 P

renti

ce H

all,

Inc.

5|X (e j!) |

00

5 101–1

......

2

1

1

3 4 6 7 8 9 11

x [n]~

x [n]

(c)

(b)

(a)

2" 4" !

5

0–1–2 5 101 2 3 4 6 7 8 9 11

X[k]

(d)

......

0 5 10 15 20

0 4 n

n

X[k]~

k

k


Fro

m D

iscr

ete-

Tim

e Si

gnal

Pro

cess

ing,

2e

by

Op

pen

hei

m,

Sch

afer

, an

d B

uck

©

19

99

-20

00

Pre

nti

ce H

all,

In

c.

Lo que obtenemos son infinitas muestras periodicas; sólo nos

interesa el primer periodo


Ejemplo de DFT (II).Ahora consideramos N=10. Implícitamente suponemos

que se tiene la señal

x[n]~

(b)

–10 0 4 10

|X [k]|

(c)

–10 0 10

x [n]

(a)

0

1

1

53.24 3.24

1.241.24

–0.4 !

–0.2 !

0.2 !

0.4 !

1

4

!X [k]

(d)

–10 0 10 k

k

n

nn

Figure 8.11 Illustration of the DFT. (a) Finite-length sequence x[n]. (b) Periodicsequence x̃[n] formed from x[n] with period N = 10. (c) DFT magnitude. (d) DFTphase. (x’s indicate indeterminate values.)


x[n]~

(b)

–10 0 4 10

|X [k]|

(c)

–10 0 10

x [n]

(a)

0

1

1

53.24 3.24

1.241.24

–0.4 !

–0.2 !

0.2 !

0.4 !

1

4

!X [k]

(d)

–10 0 10 k

k

n

nn



x[n]~

(b)

–10 0 4 10

|X [k]|

(c)

–10 0 10

x [n]

(a)

0

1

1

53.24 3.24

1.241.24

–0.4 !

–0.2 !

0.2 !

0.4 !

1

4

!X [k]

(d)

–10 0 10 k

k

n

nn



Operando

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = x(n) "e

# j "$ "k"n

5

n= 0

4

% =1# e# j "$ "k

1# e

# j "$ "k

5

= e# j "$ "0.4"k "

sen$ " k

2

&

' (

)

* +

sen$ " k

10

&

' (

)

* +

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = x(n) "e

# j "$ "k"n

5

n= 0

4

% =1# e# j "$ "k

1# e

# j "$ "k

5

= e# j "$ "0.4"k "

sen$ " k

2

&

' (

)

* +

sen$ " k

10

&

' (

)

* +

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *


Propiedades de la DFTTABLE 8.2

Finite-Length Sequence (Length N) N-point DFT (Length N)

1. x[n] X [k]

2. x1[n], x2[n] X1[k], X2[k]

3. ax1[n] + bx2[n] aX1[k] + bX2[k]

4. X [n] Nx[((−k))N]

5. x[((n − m))N] WkmN X [k]

6. W−!nN x[n] X[((k − !))N]

7.N−1∑m=0

x1(m)x2[((n − m))N] X1[k]X2[k]

8. x1[n]x2[n]1N

N−1∑!=0

X1(!)X2[((k − !))N]

9. x∗[n] X∗[((−k))N]

10. x∗[((−n))N] X∗[k]

11. Re{x[n]} Xep[k] = 12{X [((k))N] + X∗[((−k))N]}

12. jJm{x[n]} Xop[k] = 12{X [((k))N] − X∗[((−k))N]}

13. xep[n] = 12{x[n] + x∗[((−n))N]} Re{X [k]}

14. xop[n] = 12{x[n] − x∗[((−n))N]} jJm{X [k]}

Properties 15–17 apply only when x[n] is real.

15. Symmetry properties

X [k] = X∗[((−k))N]

Re{X [k]} = Re{X[((−k))N]}Jm{X [k]} = −Jm{X[((−k))N]}

|X [k]| = |X[((−k))N]|!{X [k]} = −!{X[((−k))N]}

16. xep[n] = 12{x[n] + x[((−n))N]} Re{X [k]}

17. xop[n] = 12{x[n] − x[((−n))N]} jJm{X [k]}


!

X (k) = x(n) "e# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = x(n) "e# j "$ "k"n

5

n= 0

4

% =1# e# j "$ "k

1# e

# j "$ "k

5

= e# j "$ "0.4"k "

sen$ " k

2

&

' (

)

* +

sen$ " k

10

&

' (

)

* +

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e

" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e

" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *

!

x n( )( )N

[ ] = x n módulo N( )[ ]

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& " X (k) "e

j "2"$ " k#s( )"n

N

n= 0

N#1

%k= 0

N#1

%

!

e

j "2"# " k$s( )"n

N

n= 0

N$1

% =0 k & s

N k = s

' ( )

!

x(n) "e

# j "2"$ "s"n

N

n= 0

N#1

% =& "N " X (s)

!

x(n) =1 0 " n " 4

0 5" n " 9

# $ %

!

X (k) = x(n) "e

# j "2"$ "k"n

N

n= 0

N#1

%

x(n) =1

N" X (k) "e

j "2"$ "k"n

N

k= 0

N#1

%

!

WN = e

" j #2#$

N

!

X (k) = x(n) "WN

k"n

n= 0

N#1

$

x(n) =1

N" X (k) "W

N

#k"n

k= 0

N#1

$


Cuestiones a tener en cuenta con la DFT

Aquí teníamos dos problemas; por una parte tenemos un sumatorio infinito; necesito conocer TODA la secuencia x(n) desde ± ∞ para calcular dicha Transformada de Fourier.Por otra parte, la Transformada de Fourier es función de una variable (w) que puede tomar infinitos valores (intervalo 0-2⋅π).

Las soluciones han sido por una parte restringir el tamaño de x(n); este hecho tendrá una repercusión directa sobre la RESOLUCIÓN de la DFT. Se define dicha resolución como la mínima frecuencia que la DFT puede discernir. De modo intuitivo si tengo una señal de duración 1 s la mínima frecuencia que podré diferenciar es 1 Hz (en ese intervalo temporal la sinusoide completa con frecuencia mínima es la de 1 Hz). Otro efecto relacionado con el anterior es el del enventanado que se comentará más adelante.Por otra parte, se ha muestreado la Transformada de Fourier lo que conduce a efectos parecidos a los que se tenía cuando se muestreaba a nivel temporal; por una parte la repetición de espetros (a nivel temporal) se traduce aquí en una repetición de la señal temporal. Esto además conlleva a tener en cuenta los posible efectos del “aliasing temporal”.

La Transformada de Fourier de una secuencia discreta x(n) viene definida de la siguiente forma

!

X (k) = x(n) "e# j "2"$ "k"n

10

n= 0

9

% = x(n) "e# j "$ "k"n

5

n= 0

4

% =1# e# j "$ "k

1# e# j "$ "k

5

= e# j "$ "0.4"k "

sen$ " k

2

&

' (

)

* +

sen$ " k

10

&

' (

)

* +

!

X (k) =e

" j #$ #k

2

e

" j #$ #k

10

#e

j #$ #k

2 " e" j #$ #k

2

e

j #$ #k

10 " e" j #$ #k

10

= e" j #$ #0.4#k #

sen$ # k

2

%

& '

(

) *

sen$ # k

10

%

& '

(

) *

!

x n( )( )N

[ ] = x n módulo N( )[ ]

!

X ej "w( ) = x l( ) "e j "w" l

l=#$

$

%

Documents

Transformada Discreta de Fourier. - uv.essoriae/tema_5_pds.pdf · Importancia de la respuesta en frecuencia de un sistema ... Ejemplo de convolucion periódica. Procesado Digital