Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control

8/17/2019 Transformadas de Laplace aplicadas a sistemas de control

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TRANSFORMADA DE LAPLACE – Aplicación a la teoría

de control

IntroducciónEl presente trabajo pretende introducir conceptos básicos de la Teoría de

Control Clásica y la aplicación de la Transformada de Laplace para resolver

problemas simples de Sistemas de Lazo abierto.

Transor!ada de LaplaceSi tenemos una función f(t dependiente del tiempo! de"nida para todo t#$!

multiplicamos la misma por un valor y se inte%ra desde cero a in"nito como

se muestra&

e−st

f (t )dt =¿ L {f (t ) }

F (s)=∫0

∞

¿

Si dic'a inte%ral eiste! da como resultado una función de"nida en el

dominio )s*! y la denominamos la transformada de Laplace de la función

ori%inal.

+e la misma forma! la función ori%inal es la transformada inversa de la

función resultante&

L−1{ F (s)}=f (t ) Con esta 'erramienta! se resuelven ecuaciones diferenciales

y problemas de valor inicial si%uiendo los pasos&

• ,rimer paso& transformamos la ecuación )difícil* en una ecuación

simple (llamada subsidiaria• Se%undo paso& resolvemos la misma simplemente con ecuaciones

al%ebraicas• Tercer paso& la solución de la ecuación se obtiene al aplicar la

transformada inversa de la ecuación -ue ya fue trabajada.

Este cambio de operaciones de cálculo a operaciones al%ebraicas se

denomina cálculo operacional.

Transor!ada de la deri"ada de #t$En trminos %enerales! la derivación de funciones corresponde a la

multiplicación de transformadas por )s*.

Si f(t es continua para t#$ y derivable y eiste su transformada de Laplace!

esta es&

L {f ' }=s L {f }−f (0)


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,odemos etenderlo a la se%unda derivada

L {f ' ' }=s L {f ' }− f ' (0 ) L {f ' ' }=s (s L {f }−f (0) )−f

'

(0 ) L {f ' ' }=s2 L {f }−s f (0 )−f

'

(0 )

/inalmente! si la función es derivable n veces! su transformada será

L {f n }=sn L { f }−sn−1 f ( 0)−sn−2

f '

(0)−(… )−f n−1

(0)

Linealidad de la transor!ada de Laplace+ecir -ue es una operación lineal! es a"rmar -ue para cual-uier par de

funciones f(t) y g(t)! cuyas transformadas eistan! y cual-uier par de

constantes a y b! se cumple&

L {a f ( t )+b g (t ) }=∫0

∞

e−st (a f (t )+b g( t )) dt L {a f ( t )+b g (t ) }=a L {f (t )}+b L {g(t )}

Con"oluciónSi bien la adición de transformadas no presenta nin%0n problema como ya

se mostró! la multiplicación de las mismas no es tan simple. La

transformada de la multiplicación de funciones! por lo %eneral! no es i%ual al

producto de sus transformadas

Si f (t ) g(t )=h(t ) L {f (t )} L {g(t )}≠ L {h(t )}

,ara resolver este problema! utilizamos el teorema de la Convolución& si dos

funciones f(t) y g(t) presentan sus transformadas / y 1! el producto de las

mismas será 23/1! donde 2 es la transformada de la convolución de las

primeras! h(t)

h( t )= ( f ∗g ) (t )=∫0

t

f (τ )g(1−τ )dτ

Siste!as de controlEl control automático 'a sido vital en el avance de la in%eniería y la ciencia

y se lo puede encontrar como una parte inte%ral de sistemas de ve'ículos!

sistemas robóticos! procesos industriales modernos y cual-uier proceso -ue

re-uiera controlar la temperatura! 'umedad! presión! 4ujo! entre otros.

El primer trabajo si%ni"cativo fue el re%ulador de velocidad centrífu%o de

5ames 6att para su má-uina de vapor! en el si%lo 78999. 8arios aportes

fueron realizados en a:os posteriores! 'asta -ue alrededor del ;


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in%enieros desarrollar sistemas lineales en lazo cerrado -ue cumplían los

re-uisitos de comportamiento. Estos mtodos son n0cleo de la teoría de

control cl%sica. En %eneral! estos sistemas son aceptables! pero no

óptimos. >demás! la misma contempla sistemas con una sola entrada y

salida.

2acia ;


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perturbaciones. Bn ejemplo simple es la lavadora! ya -ue todas sus

tareas son funciones solamente del tiempo no mide la limpieza de la

ropa.• Sistema de lazo cerrado& son a-uellos en los -ue se mantiene una

relación entre la salida y la entrada de referencia! comparándolas y

utilizando la diferencia como medio de control. Son llamados tambinsistemas retroalimentados. Se alimenta al controlador con la se:al de

error de actuación con el "n de reducir el error y llevar la salida a un

valor deseado.

Modelo !ate!%ticoBn modelo matemático de un sistema dinámico se de"ne como un conjunto

de ecuaciones -ue representan la dinámica del sistema con una precisión

su"cientemente aceptable. Bn mismo sistema puede tener varios modelos

diferentes! como consecuencia de -ue puede ser representado de muc'as

maneras diferentes! dependiendo de cada perspectiva.La dinámica de muc'os sistemas se de"ne con la ayuda de ecuaciones

diferenciales! obtenidas de la aplicación de principios -ue %obiernan el

sistema en cuestión (leyes de @eDton para sistemas mecánicos! leyes de

irc'oF para sistemas elctricos! etc. En estos casos tambin se asume

válido el principio de causalidad! estableciendo -ue las salidas son

dependientes solamente de las entradas pasadas (no de entradas futuras.

@ormalmente! debe ele%irse entre simplicidad y precisión al momento de

modelar un sistema. >l obtener un sistema razonablemente sencillo! debe

tenerse en cuenta -ue la precisión de los resultados será menor! puesto -ue

al simpli"car el planteo se consideran despreciables ciertos fenómenos opropiedades. Si los efectos de los mismos son realmente poco importantes!

los resultados tendrán una buena precisión. ,ara mejorar la misma!

deberían tenerse en cuenta todos los fenómenos y la posible no linealidad

de las ecuaciones. @o obstante! es preferible -ue al plantear un problema!

primero se realice un modelo simple para tener una idea de la solución y

lue%o comenzar a considerar los demás factores.

Bn sistema se denomina lineal si cumple con el principio de superposición.

Es decir! -ue la respuesta producida por m0ltiples entradas puede ser

considerada como la suma de las respuestas de cada entrada! analizada de

manera independiente.>l mismo tiempo! los sistemas lineales pueden ser invariantes en el tiempo.

Es decir! las ecuaciones diferenciales -ue ri%en el fenómeno poseen

coe"cientes -ue son constantes para todo el tiempo (como los circuitos

elctricos en r%imen estacionario. Si dic'os coe"cientes están en función

del tiempo! se dicen -ue son lineales variantes en el tiempo (como una nave

espacial! en el -ue la masa varía de acuerdo al consumo de combustible!

-ue aumenta su velocidad.

Función de transerenciaBna función de transferencia es un modelo matemático -ue relaciona! en un

sistema lineal invariante en el tiempo! la respuesta de un sistema con la

entrada! a travs de un cociente entre la transformada de Laplace de la


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salida (función respuesta y la entrada (función de ecitación. Es un mtodo

operacional para relacionar la variable de salida con la de entrada.

H (s )= Salida

Entrada=

X ( s)

Y (s )+e esta relación podemos determinar el valor de salida

para cada valor de entrada

Y ( s)= H ( s)∗ X ( s)

G lue%o podemos llevarla al dominio del tiempo

Y ( s)

y (t )= L¿¿−1

Es una propiedad del sistema! independiente de la ma%nitud y la naturalezade la entrada o función de ecitación.

Como tan solo relaciona la entrada con la salida! no nos brinda información

sobre la estructura física del sistema.

Esta 'erramienta matemática nos permite probar el sistema para distintas

entradas y poder determinar su estabilidad.

Los sistemas pueden presentar H condiciones&

• Estable

• Críticamente estale• 9nestable

La estabilidad puede ser analizada en función de los polos de la función de

transferencia. Estos son los valores -ue 'acen cero el polinomio del

denominador y pueden ser&

• Aeales distintas

• Aeales i%uales

• Complejas y conju%adas

Si las raíces son reales y ne%ativas! o complejas pero con la parte realne%ativa! el sistema será estable.

E(e!plos pr%cticos

)*Siste!a !ec%nicoB3 /uerza eterna

Consideramos una distancia positiva desde tierra 'acia arriba


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V != ! i (t ) V L= L d

d t i (t ) V C =

1

C ∫ i( t ) dt

>plicamos la ley de irc'oF de voltaje en malla y resulta

V !+V L+V C =Ve ! i( t )+ L d

d t i (t )+

1

C ∫ i(t ) dt =Ve

>plicamos la transformada de Laplace

L (s " ( s)−i (0 ) )+ ! " ( s)+ " ( s)

sC =Ve (s ) " ( s )( Ls+ !+ 1Cs )=Ve ( s) " ( s ) ( LC s2+ !Cs+1 )=Ve ( s) Cs

Entonces! la función de transferencia de este sistema es

" ( s)

Ve ( s)=

Cs

( LC s2+ !Cs+1 )

-*Siste!a .idr%ulico de ni"el de lí/uidoConsideramos el 4ujo a travs del tubo -ue sale del tan-ue. Si

consideramos el 4ujo como laminar podemos plantear un modelo lineal para

describir el sistema. ,rimeramente tenemos -ue realizar dos de"niciones&

Resistencia para el 0u(o lí/uido1 se de"ne como el cambio de diferencia

de nivel necesario para producir un cambio en el caudal de salida. La

relación entre el caudal en estado estable y la altura estable en el estado de

restricción viene dada por

#= $H I3 Caudal del lí-uido en r%imen laminar

3coe"ciente

23altura en estado estable

!l=

%ambi& de diferen%ia de ni'el

%ambi& de %a(dal =

dh

d)=

H

#

8emos -ue para el r%imen laminar! la resistencia es constante y análo%a a

la elctrica

Capacitancia del tan/ue1 se de"ne como el cambio necesario en la

cantidad de lí-uido almacenado para producir un cambio en una unidad en

el potencial (altura.

C =%ambi& enel &l(men del*)(id& alma%enad&

%ambi&enlaalt(ra


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Considerando el sistema de la "%ura! las variables se de"nen de la si%uiente

manera&

#́ 3Caudal en el estado estable

´ H 3>ltura en estado estable

)i 3pe-ue:a desviación del caudal en la entrada

)& 3pe-ue:a desviación del caudal en la salida

h 3pe-ue:a desviación de la altura a partir de su valor estable

Btilizamos el principio de conservación de masa! y sabemos -ue la

diferencia del caudal a la entrada y a la salida debe ser i%ual a la cantidad

de lí-uido almacenado en ese periodo de tiempo (asumimos la densidad

constante. El tipo de lí-uido -ue entra es el mismo -ue el contenido y -ue

el saliente. Entonces&

Cdh=()i−)& ) dt > partir de la de"nición de resistencia

)&= h !

Entonces! tenemos la ecuación diferencial (con el valor constante de

resistencia

!C dh

dt +h= ! )i

Si aplicamos la transformada de Laplace a ambos trminos y consideramos

valores iniciales nulos


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( !C s+1 ) H ( s)= ! #i (s )

Considerando)i como la entrada y h como la salida! tenemos la función

de transferencia epresada de la si%uiente manera

H (s )

#i (s )=

!

!C s+1

Si decimos -ue)i es la entrada! pero

)& como la salida! tenemos la

función de transferencia

# & (s )

#i (s )

= 1

!C s+1

+onde utilizamos la relación

#&(s )=1

! H ( s)

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