Transformasi geometri

Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang.

Perubahan yang (mungkin) terjadi:• Kedudukan / letak• Arah• Ukuran

Definisi :

Jenis-jenis Transformasi Geometri• Proyeksi• Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi)• Pencerminan (Refleksi)• Pemutaran (Rotasi)• Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi)• Pergeseran merubah bentuk(shear)

Proyeksi• Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis

acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar dengan garis acuan.

• Proyeksi merupakan jarak terpendek.

Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu x.

Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu y

A

B

C

O x

y

Proyeksi titik terhadap garis x= y

Titik A(a,b) diproyeksikan pada garis y = x menghasilkan titik A’(a’,b’)

Cara mencari matrik transformasi- nya adalah sebagai berikut : Perhatikan bahwa :a= r cos θ dan b = r sin θa’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45OA’=r cos (45 – θ)

Maka :a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos 45 cos θ + r cos 45 sin 45 sin θ =

Karena a’ = b’, maka b’ = 2 2

a b+

2 2

a b+

Sehingga diperoleh :

1 12 2

1 12 2

2 2A

2 2

a ba a

b b a b

+ ′ ′ = = = ′ +

Matrik transformasi untuk titik yang diproyeksikan pada garis y = x

Translasi • Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun

tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama.

• Contoh : Sebuah titik P(x,y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’,y’).

P(x,y)

O

Y

a

bT= ab

X

P’(x’,y’)

x

y

x’

y’ = P’(x+a,y+b)

Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier.

P(x,y)

P’(x’,y’)

dx

dy

x’ = x + dxy’ = y + dy

Model Matrik:

+

=

dy

dx

y

x

y

x

'

'

• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut harus bergeser sejauh h juga.

Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif

• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?

• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M,

dan titik B menjadi titik N dengan

Th

s

=

adalah :

A( , ) M( , )a c a h c s+ +T

h

s

=

B( , ) N( , )b c b h c s+ +T

h

s

=

Contoh soal :

Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9

jika ditranslasikan oleh :

Jawab :

Misalkan titik P(a,b) adalah titik pada lingkaran, sehingga

persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9.

Titik P ditranslasi dengan

3T

4

=

3T

4

=

diperoleh titik T’ sbb :

P( , ) P'( 3, 4)a b a b+ +

3T

4

=

Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3

Substitusi ke persamaan :

(a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9

(a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

Cara lain :

Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2,1). Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh :

Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9

a = a’ – 3 dan b = b’ – 3

O(2,1) O'(2 3,1 4) O '(5,5)+ + =

3T

4

=

Pencerminan (refleksi)• Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan

bayangan yang tergantung pada acuannya.

• Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.

Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 1 0

0 -1xT

=

Dengan notasi matrik :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 0

0 -1x

x x xT

y y y

′ = = ′

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a, c) sumbu y

Dengan notasi matrik :

-1 0

0 1y

x x xT

y y y

′ = = ′

•Refleksi terhadap sumbu y

-1 0

0 1yT

=

• Refleksi terhadap titik asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

(0,0)

-1 0

0 -1T

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0

0 -1

x x xT

y y y

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = x

Menghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

0 1

1 0y xT =

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(c,a) y = x

0 1

1 0y x

x x xT

y y y=

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = - x

Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

0 -1

-1 0y xT =−

=

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-c,-a) y =- x

0 -1

-1 0y x

x x xT

y y y=−

′ = = ′

Dengan notasi matrik :

• Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

1 0 0

0 -1 2

x x

y y h

′ = + ′

Bukti :

Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

0 x x x

y y h y h

′ = − = ′ −

1 0

0 -1

x x x

y y h y h

′′ = = ′′ − − +

0

2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x x

y y h h y h

x x

y h y h

′′′ = + = ′′′ − + − +

= + = +

• Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-a,c)x=k

-1 0 2

0 1 0

x x k

y y

′ = + ′

Dengan notasi matrik :

Contoh Soal :

Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik

sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan

terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi

terhadap sumbu-y.

Jawab :

Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap

yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari

refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang

terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan

titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Coba pikirkan :

Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada

suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu

kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan

mengunakan satu tahap saja ?

Perputaran (rotasi)• Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke

titik P’, dengan cara diputar dengan sudut θ

x

y

P(x,y)

P’(x’,y’)

θ

x’ = x cos(θ) - y sin(θ)y’ = x sin(θ) + y cos(θ)

• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik :

dengan :

- sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ- x’ kombinasi linier dari x dan y- y’ kombinasi linier dari x dan y

cos -sin

sin cos

x x

y y

θ θθ θ

′ = ′

Bukti :

Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a,b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’,b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)).

Maka, diperoleh :

Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0,0)

Penskalaan (dilatasi)• Merupakan transformasi suatu titik atau sistem

terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu.

(Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar m kali titik P)

x

y

P(x,y)

P’(x’,y’)

mx.x

my.y

x’ = mx x y’ = my y

• Dalam bentuk matrik dituliskan :

• Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk,

hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak

titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan

tertentu terhadap acuan.

0

0 x

y

mx x

my y

′ = ′

• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebab-kan perbesaran atau perkecilan suatu sistem.

• Jika nilai k (bilangan nyata): k> 1 : hasil dilatasi diperbesar -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya. • Contoh :

Gambar disamping dilakukan dilatasi dengan faktor k = 2. Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’ !

• Jawab :

Transformasi dapat dilakukan dengan :

Jadi hasil dilatasi terhadap titik O(0,0): A’(4,6), B’(10,6)C’(12,10), D’ (6,10) Notasi :

A(a,b) A’(ka,kb)

(0,k)

Shear

• Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya

perubahan bentuk disebut transformasi shear.

• Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada

komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek

jika dilihat dari sudut pandang berbeda.

• Ada dua macam transformasi shear yaitu shear

terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y

• Shear terhadap sumbu-x

Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-x dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)

• Shear terhadap sumbu-y

Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-y dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)

Contoh soal :

Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun segitiga ABC dengan A(2,0), B(6,0), C(0,4) jika segitiga tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor shear k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk.

Jawab :

Sketsa bayangan :

Koordinat Homogen• Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2

dimensi dengan 3 vektor

1

xx

yy

Koordinat homogen

cos - sin 0

sin cos 0

0 0 1otasiR

θ θθ θ

=

0 0

0 0

0 0 1kala

a

S b

=

1 0

0 1

0 0 1

x

ranslasi y

T

T T

=

Komposisi Transformasi• Komposisi transformasi adalah menggabungkan

beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks

• Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah matrik tunggal :

- operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik

- ketika mentransformasikan suatu titik, tidak ada penangan khusus : matrik . Vektor

- transformasi gabungan : matrik . matrik

• Macam komposisi transformasi :

Rotasi sebagai titik perubahan :

Translasi – Rotasi – Translasi

Skala sebagai titik perubahan :

Translasi – Skala – Translasi

Perubahan sistem koordinat :

Translasi – Rotasi – Skala

Latihan :• Jika titik (a,b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian

dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik menghasilkan titik (1, -8).

Tentukan nilai a dan b. • Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat (0,0)

dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x.

6. Buktikan bahwa :

merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik P(m,n)

-2 1

1 2