Kelompok 10

• Tyas Haryadi (09650169)• Villa Nanda Sahara (09650172)• Asasun Najakh (09650179)

Transformasi Linier

Definisi : Transformasi

Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari Rn(domain) ke Rm (codomain) dituliskan : T : Rn

w = T(v)v : variabel tak bebasw : variabel bebasSebagai suatu fungsi f : RMisalkan :

Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A

vektor

1 0 1

A 2 -1 dan v-1

3 4

1 0 1 1

Av 2 -1 3-1

3 4 -1

Rm

R, contoh : f(x) = x2

Secara umum persamaan matrik transformasi :

Transformasi matrik A oleh vektor

vektor

Dituliskan sebagai berikut :

TA : R2

1 0 xx

2 -1 2x yy

3 4 3x 4y

x

y

x

2x y

3x 4y

A

xx

T 2x yy

3x 4y

dalam R2 menjadi

dalam R3.

R3

A

1 1

Bayangan v adalah w T (v) 3-1

-1

A

x 1 0x

T 2x y x 2 y -1y

3x 4y 3 4

Range

Dengan kata lain : range(jarak) TA merupakan ruang

kolom dari matrik A

Definisi : Transformasi Linier

Transformasi T : Rn

Jika :

1.T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam Rn

2.T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam Rn dan skalar c

Contoh :

T : Rn

Buktikan bahwa T adalah transformasi linier.

xx

T 2x yy

3x 4y

Rm disebut transformasi linier

Rm dinyatakan dengan

Jawab :

Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)

1 2

1 2

x xMisalkan: u dan v

y y

1 21 2 1 2

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

x xx x x x

T(u v) T T 2(x x ) (y y )y y y y

3(x x ) 4(y y )

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

x x x x

2x 2x y y (2x y ) (2x y )

3x 3x 4y 4y (3x 4y ) (3x 4y )

1 21 2

1 1 2 21 2

1 1 2 2

x xx x

(2x y ) (2x y ) T T T(u) T(v)y y

(3x 4y ) (3x 4y )

Syarat 2 : T(cv) = cT(v)

Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan transformasi linier

xMisalkan: v dan c skalar

y

x cxT(cv) T c T

y cy

cx cx

2(cx) (cy) c(2x y)

3(cx) 4(cy) c(3x 4y)

xx

c 2x y cT cT(v)y

3x 4y

• Diketahui dengan Apakah T merupakan transformasi Liniear?

Jawab:MisalkanSyarat 1

maka:

32: RRT

y

x

yx

y

xT

2

2

1

1 ,y

xv

y

xu

21

21

yy

xxvu

2

2

22

1

1

11

21

21

2121

21

21

y

x

yx

y

x

yx

yy

xx

yyxx

yy

xxTvuT

vTuT

Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan mengkombinasikan kedua syarat yaitu :Transformasi T : Rn jika : T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)

untuk semua v1, v2 dalam Rn dan skalar c1, c2

Matrik transformasi (TA) adalah transformasi linier.

Bukti :

sehingga : T = TA dengan A =

x 1 0 1 0x x

T 2x y x 2 y -1 2 -1y y

3x 4y 3 4 3 4

1 0

2 -1

3 4

Rm disebut transformasi linier

Transformasi TA: Rn

linier jika : TA(x) = Ax

untuk x dalam Rn dan A adalah matrik m x n

Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam Rn dan c :

skalar,kemudian : TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v)

dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v)

Dengan demikian : TA merupakan transformasi linier.

Rm disebut transformasi

Misalkan T: Rn Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya T = TA dengan A adalah matrik m x n

Maka :

disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T Bukti : x adalah vektor dalam Rn dapat dituliskan: x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen

Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen)

= x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en )

1 2 nA T(e ) T(e ) ............ T(e )

1

21 2 n

n

x

xT(e ) T(e ) ......... T(e ) Ax

x

Rm merupakan transformasi linier.

Contoh :

Jadi, matriks standar untuk

Dengan

110

101

011

022

AT

zy

zx

yx

yx

z

y

x

A

22

Sifat-sifat transformasi linier :

Jika T : V

1. T(0) = 0

2. T(– v) = – T(v) untuk semua v dalam V

3. T(u – v) = T(u) – T(v) untuk semua u dan v dalam VContoh :Anggap T adalah transformasi linier dari R2 ke P2 seperti

Carilah :

2 21 2T 2 3x x dan T 1 x

1 3

1 a

T dan T 2 b

W adalah transformasi linier, maka :

Jawab :

Karena :

setiap vektor dalam R2 berada dalam jangkauan (B)

Maka :

Diperoleh nilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga :

1 2B ,

1 3

1 2

1 2 -1c c

1 3 2

1 1 2 1 2T T 7 3 7T 3T

2 1 3 1 3

2 2 27(2 3x x ) 3(1 x ) 11 21x 10x

adalah basis dari R2 , sehingga

Dengan cara yang sama diperoleh bahwa :

Maka :

a 1 2(3a 2b) (b a)

b 1 3

a 1 2T T (3a 2b) (b a)

b 1 3

1 2

(3a 2b)T (b a)T1 3

2 2(3a 2b)(2 3x x ) (b a)(1 x )

2(5a 3b) ( 9a 6b)x (4a 3b)x

Komposisi dari suatu transformasiKomposisi dari dua transformasi T: Rm diikuti S: Rn

Jika : T: Rm kemudian S T: Rm maka matrik standarnya adalah : S T S T

Rn yangRp dituliskan : S T

vT(v)

S(T(v)) = (S T)(v)

Rm Rn Rp

T S

S TRn dan S: Rn Rp transformasi linier,

Rp adalah transformasi linier,

Contoh :Transformasi linier T: R2

Transformasi linier S: R3

Cari : S T : R2

11

1 22

1 2

xx

T 2x xx

3x 4x

1 31

2 32

1 23

1 2 3

2y yy

3y yS y

y yy

y y y

R3 didefinisikan sebagai :

R4 didefinisikan sebagai :

R4

Jawab :Matrik standar :

dan

2 0 1

0 3 -1S

1 -1 0

1 1 1

1 0

T 2 -1

3 4

S T S T

2 0 1 5 41 0

0 3 -1 3 -72 -1

1 -1 0 -1 13 4

1 1 1 6 3

Cara lain :

Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :

1 2

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

5x 4x 5 4

x x 3x 7x 3 -7S T

x -1 1 x x x

6 3 6x 3x

1 11

2 1 22

3 1 2

y xx

y T 2x xx

y 3x 4x

1 2

11 1 2

1 22 1 2

1 21 2

5x 4x2 0 1 x

x 3x 7x0 3 -1S T 2x x

x 1 -1 0 x x3x 4x

1 1 1 6x 3x

Anggap : T : R2

S : P1

yang ditunjukkan oleh :

Carilah :

Jawab :

transformasi linier

aT a (a b)x dan S(p(x)) xp(x)

b

3 aS T dan S T

2 b

2 3 3S T S T S(3 (3 2)x) 3x x

2 2

2a aS T S T S(a (a b)x) ax (a b)x

b b

P1

P2

Invers dari Transformasi LinierDefinisi :Transformasi linier T: V transformasi linier T: WMaka : T’ disebut invers dari T

Contoh : Tunjukkan bahwa pemetaan T : R2

dinyatakan sebagai :

merupakan invers !

a cT a (a b)x dan T c dx

b d c

W memiliki invers jika ada

V sehingga T’ T = Iv dan T T’ = Iw

P1 dan T’: P1 R2 yang

Jawab :

Dan :

c +(c+(d – c))x= c + dx

Jadi :

Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers

a a

(a b) a b

cT T (c dx) T(T (c dx) T

d c

a aT T T T T (a (a b)x)

b b

21PR

T T I dan T T I

Kernel dan range transformasi linier

Definisi :Jika T : VKernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua

vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0 dalam W.

Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V hasil T

W adalah transformasi linier

ker (T) = {v dalam V : T(v)= 0

range (T) = {T(v) : v dalam V} = {w dalam W: w = T(v) untuk semua v dalam V}

Jika T : VMaka :a. Kernel T merupakan subruang V dan dimensi

kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T)b. Range T merupakan subruang W dan dimensi

range dikenal sebagai rank : rank (T)

W adalah transformasi linier

Kernel dan range dari T : V W

TV

W

0 0

range(T)ker(T)

Transformasi satu - satuT : VT merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor

dalam W

T : satu - satu Untuk semua u dan v dalam V u ≠ v T(u) ≠ T(v) T(u) = T(v) u = v

W adalah transformasi linier satu - satu jika

T

WV

T

WVT : bukan satu - satu

Transformasi Onto :

T : Vw dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga :

W adalah transformasi linier onto untuk semua

T : onto T : bukan onto

w = T(v)

Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier T: V onto.Bukti : Jika T adalah satu – satu, maka nulity (T) = 0Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = nOleh karena itu T adalah onto.

Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = nTeorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu

W adalah satu – satu, jika dan hanya jika :

Contoh : Transformasi T : R2

merupakan transformasi satu-satu atau onto ?

Jawab : Misalkan :

Sehingga diperoleh : x1 = x2 dan y1 = y2

Jadi :

R3 dinyatakan dengan : 2x

xT x y

y 0

1 2

1 2

x xT T

y y

1 2

1 1 2 2

2x 2x

x y x y

0 0

1 2

1 2

x x

y y

,maka :

maka T adalah satu-satu

T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R2 seperti :

Contoh : Tunjukkan bahwa T : R2

sebagai :

adalah transformasi linier satu - satu

0x

T 0y

1

aT a (a b)x

b

P1 dinyatakan

Jawab :

Jika

Sehingga diperoleh :

Akibatnya : ker (T) =

Dengan menggunakan teorema rank : Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R2

Maka T adalah onto

a

b

adalah ker (T),

maka :

a0 T a (a b)x

b

a 0

b 0

0

0

dan T adalah satu - satu

Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektorDefinisi : Transformasi linier T : Vsatu – satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor

yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan dituliskan : V

Sifat-sifat isomorph : 1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T-1

2. T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan range (T) = W

3. Jika v1, v2 ……..vk adalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk)

adalah basis dalam W4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V

isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W).

W dikatakan isomorph, jika

W

Latihan :1.Tunjukkan apakah T : R3 dalam :

merupakan transformasi linier !2. Tunjukkan apakah T : R3 dalam :

merupakan transformasi linier !

P2 yang dinyatakan

2( ) ( ) ( )

a

T b abc a b x a c x

c

M2x2 yang dinyatakan

2

aa b c b

T ba b b c

c

Jenis – jenis Transformasi Linier bidang

1.Rotasi (Perputaran)

Matrik baku untuk T adalah : 2.Refleksi

Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing – masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

3.Ekspansi dan kompresi Jika koordinat x dari masing – masing titik

pada bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k

4.Geseran Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengansumbu x sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)Matrik baku untuk transformasi ini adalah :

Terimakasih

By: Kelompok 10