Transient Pada Rangkaian Listrik

8/4/2019 Transient Pada Rangkaian Listrik

1/62

TRANSIENT PADA RANGKAIAN LISTRIK

Pada suatu sistem biasanya mengalami dua kondisi

peristiwa yaitu kondisi gejala perubahan atauperalihan (transient) dan keadaan mantap (steadystate).

Transient adalah peristiwa terjadinya perubahan-perubahan pada suatu sistem yang disebabkan olehpengaruh yang dikenakan pada sistem atau keadaansuatu sistem yang merupakan fungsi waktu f(t),Misalnya suatu sistem mulai dioperasikan maupunpada suatu sistem pada saat bebannya berubah.

Steady State adalah merupakan keadaan suatu sistemdimana gejala transient telah berakhir.

Sedangkan sistem adalah suatu kumpulan elemen-elemen yang dihubungkan satu dengan lainnya sertadapat dinyatakan dalam bentuk ilmu pasti.


2/62

LANJUTAN

Persolan-persoalan gejala peralihan pada rangkaian listrik dapat

diselesaikan dengan dua cara yaitu:

Penyelesaian dengan persamaan diferensial

Penyelesaian dengan methode Laplace

Penyelesaian Dengan Persamaan Diferensial

Transient Rangkaian Seri R-L

Untuk melihat respon arus pada rangkaian seri R-L dapat diperlihatkan

pada rangkaian seri R-L dibawah ini;

Rangkaian diatas adalah suatu rangkaian seri R-L dengan sumbertegangan konstan V, maka pada saat t=0, maka switch ditutup, denganmenggunakan hukum kirchoff tegangan diperoleh persamaan seperti :


3/62

LANJUTAN

Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial orde satu linier,setrusnya persamaan dapat dituliskan ;

Persamaan diatas diintergrasikan sehingga diperoleh persamaan sbb;

dt

tdiLtRiV .(1)

R

V

dt

tdi

R

Lti

dt

tdiRL

RVti

dt

L

R

R

Vti

tdi

dt

L

R

R

Vti

tdi


4/62

LANJUTAN

Setelah diintegrasikan diperoleh persamaan sbb;

KtL

R

R

ViLn

tL

Rt

L

R

KKt

L

R

eKR

Viatauee

R

Viataue

R

Vi

'

t

L

R

eKR

Vi

't

Untuk menentukan nilai konstansta K, sesaat sebelum switch ditutup t=0-,dan sesaat sesudah switch ditutup t=0+, maka arus yang melalui rangkaian

adalah nol, sebab respon arus yang melalui L tidak dapat berubah secaraseketika.

Untuk t=0, yaitu sesaat switch ditutup maka persamaan (2) menjadi;

.(2)

0

'0

LR

eK

R

V

R

VK 'sehingga


5/62

LANJUTAN

Harga K yang telah diperoleh disubsitusikan kepersamaan (2) sehingga

diperoleh persamaan sebagai berikut;

t

LR

eR

V

R

Vi

t

t

LR

eR

Vi 1t .(3)

Dari persamaan (3) terlihat persamaan terdiri dari dua bagian yaitu bagian

pertama dari ruas kanan disebut harga steady state dan bagian kedua

disebut harga transient, sehingga dapat dituliskan respon arus i(t) = iss+it;

Persamaan (3) ini juga memperlihatkan keadaan transient setelah switch

ditutup dan terlihat pada permulaan arus adalah nol t=0.

Respon arusnya dapat digambarkan grafik transient dari arus sbb;

atau


6/62

Contoh

Suatu rangkaian seri dari R=50 dan L=10H, pada saat t=0, maka switch

ditutup sehingga rangkaian terhubung dengan sumber tegangan konstan

yang besarnya 100 volt.

Tentukan persamaaan arus yang mengalir pada rangkaian, dan berapa besar

arus setelah 0,5 detik switch ditutup.

t

ei 1050

150

100t tei 512t atau

Besar arus setelah 0,5 detik switch ditutup adalah

Ampereei 836,1082,01212t 5,05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


7/62

LATIHAN

Dari gambar rangkaian dibawah ini;

Sebelum switch ditutup diketahui rangakaian telah dalam keadaan steady

state, maka arus yang ada dalam rangkaian sebelum switch ditutup adalahi0- = V/(R1+R2).

Tentukan respon arus pada rangkaian apabila saklar ditutup pada saat t =

0, dimana sebelum rangkaian sudah mencapai keadaan steady state dan

besarnya arus ketika waktu mencaapai t=10 detik.


8/62

PEMBAHASAN

Sebelum saklar ditutup, arus pada rangkaian adalah I0-_= V/(R1+R2).

Kalau saklar ditutup persamaan tegangan adalah R2i(t)+Ldi(t)/dt = V,

sehingga diperoleh persamaan arusnya adalah :

i(t) + (L/R2) x di(t)/dt = V/R2.

(i(t) - V/R2) = -(L/R2) x di(t)/dt atau di(t)/(i(t) - V/R2) = -(R2/L) dt

Setelah diintegrasikan diperoleh persamaan arusnya

ln (i(t) - V/R2) = -(R2/L) t+K atau (i(t) - V/R2)=e

-(R2/L) t+K

. maka (i(t) - V/R2) = Ke

-(R2/L) t atau i(t) = V/R2+Ke-(R2/L)t(*).

Karena arus pada saat t = 0_adalah I0-_= V/(R1+R2). Dan karena arus yang

mengalir pada induktor L tidak bisa berubah dengan seketika maka arus

pada t = 0 juga sebesar arus pada t = 0_.

Maka pada saat t = 0, pada rangkaian juga mengalir arus sebesar i= 0_,sehingga pada t = 0 persamaan (*) menjadi

i(t)=i0=i0_= V/(R1+R2)= V/R2+Ke-(R2/L)x0

K =V/(R1+R2)- V/R2=V [R2-(R1+R2)]/R2(R1+R2)= -V.R1/R2(R1+R2)


9/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

Harga K disubsitusikan kembali kepersamaan (*) sehingga diperoleh

i(t) = V/R2(1- R1/(R1+R2) e-(R2/L)t

Ampere (**). Maka besarnya arus setelah saklar ditutup 5millidetik adalah

i(t) = 200V/50(1- 10/(10+50) e -(50/10)t ampere = 3,251 ampere

Maka tegangan di R2 setelah saklar ditutup selama 5 mdetik adalah

VR2 = i(0,005) x R2 = 3,251*50 = 162,552 volt

Besar tegangan pada induktansi L setelah saklar ditutup selama 5mdetik

adalah :

VL= V-VR2 = 200 volt - 162,552 volt = 37,448 volt


10/62

Faktor Integrasi (Integrating Faktor)

Suatu persamaan diferensial orde satu yang tidak homogen dapat juga

diselesaikan dengan bantuan suatu faktor integrasi. Misalkan suatu persamaan differensial ;

QtPi

dt

tdi ...(4)

Dimana dalam hal ini P adalah suatu konstanta sedangkan Q adalah suatu konstantaatau fungsi dari waktu (t). Persamaan (4) ini tidak akan berubah harganya apabiulakedua sisi persamaan dikalikan dengan suatu besaran yang sama, maka apabilapersamaan (4) ini kita kalikan dengan suatu besaran ePt (besaran disebut sebagai faktorintegrasi maka hasilnya adalah

PtPtPt QeetPi

dt

tdie ..(5)

Persamaan (5) dapat disederhanakan menjadi bentuk perkalian

differensial

PtPtPtPt QeetPidt

tdieei

dt

d. .(6)


11/62

LANJUTAN

Jika persamaan (6) diintegrasikan maka diperoleh persamaan sbb;

dteQeidataueQeidtd

PtPtPtPt

....

KdteQei PtPt .. Dari persamaan (7) dapat diperoleh persamaan arusnya sbb;

.(7)

PtPtPt eKdteQei .. .(8)

Dari persamaan (8) dapat dibagi atas dua bagian yaitu

Suku pertama sebelah kanan persamaan arus disebut particular integrasi

Suku kedua sebelah kanan persamaan arus disebut complementary

function atau fungsi komplementer. Terlihat bahwa particular integrasi tidak mengandung konstanta K

demikian pula fungsi complementary tidak tergantung pada Q.

Pada umumnya P adalah konstanta yang positip yang tergantung padaparameter rangkaian, sedangkan Q adalah fungsi penguat atauturunannya.


12/62

Transient Rangkaian Seri R-C

Pada rangkaian seri R-C diperlihatkan seperti gambar dibawah ini;

Pada saat switch ditutup t = 0, dimana sebelummya kapasitor c tidak

memiliki muatan (qo = 0), maka menurut hukum kirchoff tegangan dapat

dituliskan :

dttiC

tRiV 1

0

C

ti

dt

tdiR

Bila persamaan (9) dideferensialkan diperoleh persamaan sbb;

.(9)

...(10)


13/62

LANJUTAN

Jika persamaan (10) disederhanakan diperoleh persamaan arus sbb;

dtRCtitdi 1

Jika persamaan ini diintegrasikan didapat persamaan sbb;

dtRCti

tdi 1

KRC

ttiLn

RCt

RC

t

KK

RC

t

eKeeeti

'. ....(11)

Menentukan harga konstanta K, dengan mensubsitusikan pada saat

t=0,nilai arus adalah io, sehingga persamaan (9) menjadi

R

Visehinggadi

CRiV 000 ,0

1


14/62

LANJUTAN

Harga i(o) (arus awal untuk t=0) disubsitusikan kedalam persamaan (11)

sehingga diperoleh

R

VKmakaeK

R

Vi RC

','

0

0

Harga K ini disubsitusikan kemabli kepersamaan (11) sehinggga didapat

RCt

RC

t

eRVeiti

0 .....(12)

Adapun respon arus terhadap waktu dapat plot seperti gambar dibawah ini;


15/62

LANJUTAN

Hubungan tegangan transient adalah

RCt

RC

t

R eVeR

VRRtiV

....

RCt

RC

t

C eVdteR

V

Cdtti

CV 1.

11

.....(13)

.....(14)

Daya sesaat adalah

RCt

RR eR

VtiVP

22

RC

t

RC

t

CC ee

R

VtiVP

22


16/62

LANJUTAN

Daya total rangkaian seri R-C adalah

RC

t

CRT eR

V

PPP

2

Transient dari muatan q pada rangkaian seri RC

Pada rangkaian seri RC adakalanya diperlukan persamaan yang

menyatakan transient dari muatan q.

Kalau rangkaian seperti dibawah ini pada saat t=0 switch ditutup

sebelumnya C tidak memiliki muatan


17/62

LANJUTAN

Setelah switch ditutup maka dapat dituliskan persamaan menurut hukum

kirchhof tegangan

tiRdttiC

V ..1

Karena arus i(t)=dq/dt, maka persamaan menjadi;

dt

dq

RdqCdt

dq

Rdtdt

dq

CV .

1

..

1

dt

dqR

C

qV . atau dapat dituliskan

CVq

dt

dqRC dt

RCCVq

dq 1

atau dapat dituliskan

Jika persamaan diatas diintegrasikan menjadi;

KRCt

CVq

dtRCCVq

dq

ln

1


18/62

LANJUTAN

Jadi persamaan muatan q adalah sbb;

'KRC

t

eCVq

RC

t

KeCVq

RC

t

KeCVq

Pada saat t = 0, muatan q = 0,sehingga K adalah sbb;

CVK

Sehingga diperoleh persamaan muatan q adalah

RC

t

RC

t

eCVCVeCVq

1


19/62

Contoh Soal

Suatu rangkaian RC seri dengan parameter R=500 dan muatan

kapasitansi q=0,5mF, dimana sebelumnya muatan dari C adalah nol.

Tentukan persamaan arus dari rangkaian setelah switch ditutup.

Rangkaian Transient R-L-C Seri

Pada saat switch ditutup t = 0, dimana sebelummya kapasitor c tidak

memiliki muatan (qo = 0), maka menurut hukum kirchoff tegangan dapat

dituliskan :


20/62

LANJUTAN

Berdasarkan hukum Kirchoff tegangan dapat ditentukan persamaan

tegangan pada rangkaian R-L-C sebagai berikut;

dttiCdttdi

LtRiV1

Jika persamaan (15) dideferensialkan, maka diperolah persamaan sbb;

......(15)

C

ti

dt

tidL

dt

tdiR

2

2

0

02

2

C

ti

dt

tdiR

dt

tidLatau dapat dituliskan

022

LCti

dttdi

LR

dttid Jika p=d/dt, maka persamaan dapat ditulis

012 ti

LCtpi

L

Rtip 0

12

ti

LCp

L

Rpatau ......(16)


21/62

LANJUTAN

Sehingga persamaan karakteristik dari sistem untuk rangkaian diatas yang

berbentuk persamaan diferensial orde dua.

Akar-akar dari persamaan (16) adalah

a

acbbp

2

42

12

a

LCL

R

L

R

p2

42

12

atau

Maka diperolah p1 dan p2 sebagai berikut;

LCL

R

L

Rp

1

22

2

1

dan

LCL

R

L

Rp

1

22

2

2

Jika dimisalkan a = - R/2L dan b = ((R/2L)2-1/LC)1/2; maka dapat dituliskan;

p1 = (a+b) dan p2 = (a-b) .

Nilai Parameter dari b dapat bernilai positip, nol dan negatif

Jika (R/2L)2 > 1/LC, keadaan sistem bersifat overdamp, dalam keadaan iniakar akar p1 dan p2 adalah nyata dan berbeda, sehingga persamaan (16)dapat dituluskan menjadi;


22/62

LANJUTAN

[p-(a+b)][p-(a-b)]i = 0,atau [p-p1][p-p2]i = 0.

Kemudian dimisalkan: (p-p2

)i=u.

maka (p-p1)u = 0.

Seterusnya dapat dituliskan du/dt-p1u = 0, du/u=p1dt , maka diperoleh lnu

= p1t+K, sehingga u=e-(p1t+K) , atau u=e-p1t.eK, maka didapat (p-p2)i = K. e

-p1t

.

atau di/dt-p2i = K. e-p1t

..(17), Kalau persamaan (17) dikalikan dengan faktor integrasi e-p2t, maka didapat

tpptptptptp eKeeKiepdt

die 21212

2

2'.'

Karena ;

tptptp iepdt

dieeid

2

2

22 .........(19)

......(18)

Maka persamaan (19) menjadi ;

tpptp

eKeid

212

'


23/62

LANJUTAN

Bila diintegrasikan

"

21

'.

'.

212

212

Kepp

Kei

eKeid

tpptp

tpptp

tptptpp eKeepp

Ki 2221

21

"'

Persamaan diatas dikalikan dengan ep2.t , sehingga diperoleh persamaanyang baru

tptpeKe

pp

Ki

2

21

"'

1

Jika dimisalkan C1=K/(p1-p2) dan C2= K, maka persamaan dapat dituliskan;

tptp eCeCti 221

1


24/62

LANJUTAN

Karena p1=(ab) dan p2=(ab), sehingga persamaan menjadi ;

tt eCeCti baba .. 21

ttt eCeCeti bba ..21

Atau dapat disederhanakan menjadi;

.........(20)

Nilai parameter C1 dan C2 ditentukan dari kondisi awal, sedangkan a

dan b ditentukan oleh parameter rangkaian.

Kalau digambarkan respon arusnya terhadap waktu seperti

ditunjukkan pada gambar dibawah ini


25/62

KEADAAN II : (R/2L)2=1/LC (Keadaan Critical Damped)

Jika akar akar persamaan karakteristik p1 dan p2 sama, maka persamaan

(16) dapat dituliskan sebagai berikut :

0 tipp aa

Jika akar akar persamaan karakteristik p1 dan p2 sama, dimisalkan:

utip a maka, 0 up a

Jika akar akar persamaan karakteristik ditulis dalam bentuk diferensial :

udt

dua dtu

dua

Jika persamaan diintegrasikan diperoleh rumusan;

'ln Ktu a tKtKt Keeeeu aaa 'Sehingga diperoleh variabel,


26/62

LANJUTAN

Karena variabel u pada persamaan karakteristik telah diperoleh maka

persamaan diferensial terhadap arus dapat diselesaikan;

utip a tKeidt

tdi aa

Persamaan diatas dikalikan dengan faktor e-at; maka persamaan diatas

menjadi;

tttt eeKiedttdieaaaa a ..

Kiedt

tdie

tt

aa

aatau,

Dalam bentuk diferensial,

Persamaan diferensial diatas dapat dibentuk dalam bentuk diferensialkompoud parsial sbb;

ttt iedt

tdieetid

aaa a . maka dapat dituliskan Ketid t a.

diintegrasikan,

dtKetidt

..a '. KKteti t a

tt eKetKti aa '..

maka dihasilkan persamaan

Jika K=C1

dan K=C2

, maka menjadi


27/62

LANJUTAN

Maka diperoleh persamaan karakteristik yang akar-akar sama adalah

tt

etCeCti

aa

..21

.......(21)

0 5 10 15 20 25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6


28/62

KEADAAN III; (R/2L)2


29/62

LANJUTAN

Menurut rumus EULERS

ejbt = cosbt + jsinbt

e

-jb

t

= cosbt jsinbt Jadi persamaan diatas menjadi eperti ditunjukkanm dibawah ini;

tjtCtjtCeti t bbbba sincos.sincos21

tCCjtCCetit

bba

sincos 2121 tjKtKeti t bba sincos

21

Dengan K1=(C1+C2) dan K2 = (C1-C2)

.......(22)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


30/62

LANJUTAN

Kalau digambarkan ketiga respon persamaan sistem orde dua seperti

ditunjukkan pada gambar dibawah ini;

Dengan parameter z= (1/4LC)1/2,


31/62

LATIHAN

Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R=200 , L=0,1 H dan

C=100mF, pada saat t=0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga rangkaian

terhubung dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 200volt, dengan

menganggap bahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol, maka

tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah

penutupan saklar dan gambarkan respon arusnya.

Penyelesaian

Dik : R=200 , L=0,1 H dan C=100mF serta catu daya dc 200V

Dit : Persamaan arus yang mengalir dirangkaian i(t) dan respon arusnya

Persamaan tegangan berdasartkan Hukum Kirchoff setelah saklar tertutup :

VdttiCdttdi

LtRi

1

20010100

11,0200

6

dttidt

tditi

000.2000.100000.2 dttidt

tditi

....(*)

....(**)


32/62

LANJUTAN

Persamaan diatas dideferensialkan menjadi

0000.100000.222

tidttdi

dttid

0000.100000.22 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik

3,512

000.1004000.2000.2

2

1 p

7,948.12

000.1004000.2000.22

2

p

Atau parameter a dan b adalah

000.11,02

200

a 7,948

101001,0

1

1,02

2006

2

bdan


33/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

Melihat akar-akar dari persamaan karakteristik ternyata sistem ini bersifat

over damped. Sehingga dapat dituliskan persamaan arus pada rangkaian

sbb;

ttt eCeCeti bba ..21

ttt eCeCeti 7,9482

7,948

1

000.1..

Untuk menentukan C1 dan C2, maka digunakan dua keadaan awal,pertama pada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka

persamaan (*) diatas manjadi;

2000

10100

11,00200

6

dtdt

tdi

000.2

dt

tdi

....(***)


34/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

Untuk t=0, maka i(t)=0, maka persamaan arus menjadi

07,948

2

07,948

1

0000.1

..0

eCeCe

Sehingga diperoleh konstanta C1 = - C2.

Maka persamaan arus menjadi

tt eeCti 7,948.13,511 Jika dideferensialkan diperoleh

tt eeC

dt

tdi 7,948.13,511

.7,948.1.3,51

Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 2.000.

Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (****) diperoleh persamaan arus

07,948.103,51

1

.7,948.1.3,51000.2 eeC

....(****)


35/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

dan

17,948.113,51000.21

C 7,897.1000.2 1C

0539,11 C 0539,12 C

Selanjutnya subsitusikan nilai parameter C1 dan C2 kepersamaan arus (***) ;

Ampereeeeti ttt .0539,1.0539,1 7,9487,948000.1

Ampereeeti tt 0539,1 7,948.13,51

Atau persamaan arus menjadi

0 0.01 0.02 0. 03 0.04 0. 05 0.06 0. 07 0.08 0.09 0. 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

atau

Gambar respon arus yang mengalir pada rangkaian menjadi


36/62

LATIHAN Critical damperd

Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R = 20, L= 0,5 H dan

C=5.000mF, pada saat t = 0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga

rangkaian terhubung dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 150

volt, dengan menganggap bahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol.

Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah

penutupan saklar .

Gambarkanlah Respon Arus yang mengalir pada rangkaian


37/62

LATIHAN

Suatu rangkaian seri RLC dengan parameter R = 10, L= 1 H dan C=0.04F,pada saat t = 0, saklar dari rangkaian ditutup sehingga rangkaian terhubung

dengan catu daya dengan tegangan konstan dc 10 volt, dengan menganggapbahwa muatan kapasitor mula-mula adalah nol.

Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelahpenutupan saklar .

Gambarkanlah Respon Arus yang mengalir pada rangkaian

Penyelesaian Dik : R=10 , L=1 H dan C=0,04F serta catu daya dc 10V

Dit : Persamaan arus yang mengalir dirangkaian i(t) dan respon arusnya

Persamaan tegangan berdasartkan Hukum Kirchoff setelah saklar tertutup :

VdttiCdttdi

LtRi 1

01104

1.110

2

dttidt

tditi

102510

dtti

dt

tditi

....(*)

....(**)


38/62

LANJUTAN


0251022

tidt

tdi

dt

tid

025102 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik

52

2541010

2

1 p

52

25410102

2

p


512

10

a 0

04.01

1

12

102

bdan


39/62

LANJUTAN PEMBAHASAN


critical damped. Sehingga dapat dituliskan persamaan arus pada rangkaian

sbb;

tCCeti t .21

a

tCCeti t .21

5

Untuk menentukan C1 dan C2, maka digunakan dua keadaan awal,pertama pada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka


100250100 dt

dt

tdi

ikAmpere

dt

tdidet/10

....(***)


40/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

Untuk t=0, maka i(t)=0, maka persamaan arus menjadi

0.0 2105

CCe

Sehingga diperoleh konstanta C1 = 0.

Dari persamaan arus (***) menjadi

tCeti t 25 Jika dideferensialkan diperoleh

2

5

2

55 CetCe

dt

tdi tt

Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 10 A/detik.

Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (*****) diperoleh persamaan arus

....(*****)

2

5

2

5510 CetCe

tt

....(****)


41/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

102 C

Selanjutnya subsitusikan nilai parameter C2 kepersamaan arus (****) ;

atau


2

05

2

050510 CeCe

Ampereteti t10 5

0 0.5 1 1.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


42/62

LATIHAN critical damped

Suatu rangkaian seri yang terdiri dari R=80 ohm, L=0,1 H, dan

C=6.25mF.Pada saat t=0, saklar yang ada pada rangkaian ditutup sehingga

rangkaian terhubung dengan sumber tegangan dc sebesar 100 volt, makadengan mengabaikan semua keadaan awal nol.

Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar

ditutup.

Gambarkanlah respon arus yang mengalir pada rangkaian seri RLC


43/62

LANJUTAN


0000.2005002

2

tidt

tdi

dt

tid

0000.205002 tipp Maka akar-akar persamaan karakteristik

3712502

000.20045005002

1 jp

3712502

000.20045005002

2jp


2501,02

50

a 37110375,1

10.501,0

1

1,02

50 56

2

j

bdan


44/62

LANJUTAN PEMBAHASAN


under damped. Sehingga persamaan arus pada rangkaian dapat dituliskan

sbb;

tKtKeti t bba sin.cos21

Untuk menentukan K1 dan K2, maka digunakan dua keadaan awal, pertamapada saat t = 0_, maka i(t) = 0, dan juga nol pada saat t = 0 +.maka


000.10000.2000500 dt

dt

tdi

ikAmpere

dt

tdidet/000.1

....(***) tKtKeti t 371sin371cos21

250


45/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

Untuk persamaan arus (***) pada t=0, i(t)=0, sehingga menjadi

Sehingga diperoleh konstanta K1 = 0.

Sehingga persamaan arus (***) menjadi

teKti t 371sin2502

Jika dideferensialkan diperoleh

teteKdt

tdi tt371cos371371sin250

250250

2

Karena pada saat t = 0, di(t)/dt = 1.000 A/detik.

Maka subsitusikan nilai di(t)/dt kepersamaan (*****) diperoleh persamaan arus

....(*****)

....(****)

0371sin0371cos0 210250

KKeti

0371cos3710371sin250000.1 025002502

eeK


46/62

LANJUTAN PEMBAHASAN

695,22 K

Selanjutnya subsitusikan nilai parameter K2 kepersamaan arus (****) ;

atau


3710000.12

K

teti t 371sin695,2 250

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


47/62

LATIHAN Under damped

Suatu rangkaian seri yang terdiri dari R=20 ohm, L=0,01 H, dan

C=20mF.Pada saat t=0, saklar yang ada pada rangkaian ditutup sehingga

rangkaian terhubung dengan sumber tegangan dc sebesar 180 volt, makadengan mengabaikan semua keadaan awal nol.

Tentukanlah persamaan arus yang mengalir pada rangkaian setelah saklar

ditutup.

Gambarkan respon arus yang mengalir pada rangkaian


48/62

LANJUTAN

Jika (R/2L)2 < 1/LC, keadaan sistem bersifat underdamp, dalam keadaan

ini akar akar p1 dan p2 adalah nyata dan imaginer, secara umum

persamaan orde dua dapat dituliskan sebagai berikut:

012

ti

LCp

L

Rp

222 nnpp Atau dapat menjadi;

12

1 nnp

122 nnp

Sehingga akar-akarnya menjadi;

Dengan hubunngan parameter sebagai berikut;

n=1/LC dan z=(1/4LC)1/2,

Kedua akar ini membentuk akar pasangan kompleks, akar kembar nyata atau duaakar nyata yang tidak sama, tergantung pada nilai peredaman z1.Ketiga nilai faktor peredaman ini akan menghasilkan tanggapan pada keluaranmenjadi underdamped (z1).

Pada sistem underdamped, pecahan parsial dari persamaan 21 dapat dikembangkan

.........(21)


49/62

Tabel Karakteristik respon masukan pada sistem orde dua

Pada sistem underdamped, pecahan parsial dari persamaan 6 dapatdikembangkan

2122

2

2 pp

C

pp

B

p

A

pp

EsC

nn

n

Faktor peredaman Akar-akar dari

S2+2zn+n2 Respon

z< 1 Underdamp

z 1 Critically damped

z>1 Overdamp

2

,121 nn jp

12

,12 nnp

np ,12


50/62

LANJUT MODEL SISTEM ORDE DUA

Dengan

Melihat persamaan (22) kita tahu bahwa untuk faktor peredaman kurang darisatu akan diperoleh kutub-kutub khayal p1 dan p2 . Kutub-kutub ini terletakpada bidang s dengan koordinat .

Bagian nyata

Bagian khayal

2

11 nn jp

2

21 nn jp

Gambar 6 Konfigurasi kutub pada sistem underdamped

21 nn jj

n


51/62


Dari gambar 6 tampak kutub p1 membentuk sudut yang diukur terhadap

sumbu nyata negatif dengan

Sehingga nilai konstantakonstansta nya adalah

dan serta

Dengan mensubsitusikan A,B, dan C ke dalam persamaan (22)

menghasilkan

Dengan mengambil inverse transformasi Laplace diperoleh respon keluaran

a1

cos 21sin a

Epp

EA

pnn

n

0

22

2

2

a a

sin211

2

2

j

Ee

jpp

EB

j

ppnn

n

a a

sin212

2

2

j

Ee

jpp

EC

j

ppnn

n

21

sin2sin2

pp

j

Ee

pp

j

Ee

p

EsC

ii

aa

aa

tj

itj

innnn

ej

Eee

j

EeEtc

22

11

sin2sin2

a

a

aa

a

2

2

1sin

1

1 te

Etcn

tn

.....(23)


52/62


Respon keluaran sistem berosilasi pada frekwensi d,

Frekwensi ini disebut frekwensi teredam (damped natural frequency) dan

selalu lebih rendah dari frekwensi natural tak teredam n. Tampak pada

gambar 8 bahwa tanggapan untukz


53/62


Melihat tanggapan transien pada gambar 8 dapat ditetapkan beberpa

kriteria yang digunakan dalam menentukan kinerja sistem.

Gambar 9 menunjukkan sistem yang menanggapi masukan fungsi tangga

dengan satu sistem berosilasi.

Gambar 9. Kriteria kinerja dari sistem orde dua


54/62


Dari persamaan (23) dapat dinyatakan bahwa keluaran c(t) akanmencapai

nilai 100% dari harga akhir pada saat c(t)=E, bila

Hal ini akan terjadi jika

Kondisi m=1 bertepatan dengan waktu naik, t=tr. Sehingga untuk sistem

berosilasi

Dengan demikian untuk membuat waktu naik tr yang cepat, maka perlu

dibentuk agar frekwensi natural n lebih besar

Dengan mempergunakan teori min-max kakulus kita dapat menentukan

waktu terjadi harga puncak maksimum (overshoot). Kita awali dengan

menurunkan c(t) pada persamaan (23) kemudian hasilnya disamakan

dengan nol, akhirnya kita bisa menentukan waktu puncak tp.

01sin 2 a tn

,...3,2,1,12 mmtn a

2

1

21

cos

1

a

nn

rt.........(9)



55/62


Persen overshoot POT adalah puncak keluaran pertma yang mengukur

seberapa besar keluaran melebihi harga puncak;

POT hanya tergantung pada nilai , sedang tp tergantung pada nilai n dan

z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika k=2 yaitu

Dalam aplikasi sebeanrnya umumnya diharapkan nila POT serendah

mungkin dan tanggapansistem secepat mungkin. tp bisa digunakan untuk

mengukur kecepatan tanggapanb keluaran.

Settling time ts menandakan suatu titik tempat sistem tersebut mencapaikondisi mantap. Definisi kondisi mantap ini dalam prakteknya dibatasi

dalam lebar jalur dari masukan (yaitu 5% diatas masukan

dan 5% dibawah masukan). Seperti tampak dalam gambar 9

21

%100%100

eE

EtcPOT

p .......(12)

22

1

2

nt

%5%2 atau

........(13)



56/62


Pada saat ini terjadi overshoot maksimum. Dengan demikian

Jadi respon keluaran pada saar waktu puncak adalah sebagai berikut,

Dan karena sin(+a) = sincosa+cossina = -sina Dan

21

kt

pn

a

sin1

12

12

k

p

eEtc

2

2

2

12

2

1

2

1

111

1

sin1

1

a

kk

p

k

p

eEe

Etc

eEtc

......(11)



57/62


Persen overshoot POT adalah puncak keluaran pertma yang mengukur

seberapa besar keluaran melebihi harga puncak;

POT hanya tergantung pada nilai , sedang tp tergantung pada nilai n dan

z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika k=2 yaitu

Dalam aplikasi sebeanrnya umumnya diharapkan nila POT serendah

mungkin dan tanggapansistem secepat mungkin. tp bisa digunakan untuk

mengukur kecepatan tanggapanb keluaran.

Settling time ts menandakan suatu titik tempat sistem tersebut mencapaikondisi mantap. Definisi kondisi mantap ini dalam prakteknya dibatasi

dalam lebar jalur dari masukan (yaitu 5% diatas masukan

dan 5% dibawah masukan). Seperti tampak dalam gambar 9

21

%100%100

eE

EtcPOT

p .......(12)

22

1

2

nt

%5%2 atau

........(13)


58/62


Pada daerah lebar jalur ini, untuk kriteria jalur

Jadi sehingga waktu settling ts adalah

Dan untuk kriteria jalaur diperoleh ts=4t.

Contoh Sebuah sistem orde dua mempunyai fungsi alih

Dengan masukan fungsi tangga, r(t)=40u(t)

Hitung POT

Nilai keluaran c(t) pada harga puncak pertama dan kedua. Serta waktu yang bersesuaian

Waktu naiuk tr, dan waktu menetap ts.

%5

05,011

EeE

st

t

05,0 tst

e

n

st

t3

3

%2

250020

25002

sssR

sC

...........(14)

P h l


59/62

Pemecahan soal

Dilihat dari bentuk persamaan orde dua standar, maka diperoleh kecepatan

frekuensi natural , faktor teredam sebagai berikut;

Karena z < 1, maka respon sistem adalah respon underdamp

POT hanya tergantung pada nilai p, sedangkan waktu puncak tp tergantung

pada nilai n dan z. Keluaran c(t) mengalami harga puncak kedua ketika

k=2, yaitu

502500 n

2,0502

20

2

20

;202

n

n

%66,52%100%10022

2,01/2,01/ eePOT

ikk

t

n

p det128,02,0150

2

122

2

093,511401 22

2,01

2,02

1

eeEtc

k

p

Lanjutan Pemecahan soal


60/62

Lanjutan Pemecahan soal

Keluaran puncak pertama

Waktu naik tr adalah

Waktu menetap (settling time) adalah

065,61140122

2,01

2,0

1

eeEtc p

ikk

t

n

p det0641,02,01501

221

ikmt

nn

r det9,1282,0150

2,0cos

1

cos

12

1

2

1

2

a

ikmtn

s det300502,0

33


61/62

LANJUT SISTEM ORDE DUA

Pada sistem overdamped (z>1)

Bila persamaan C(s) di inverse Laplacekan diperoleh persamaan respon

waktu;

Dengan

dan

dan

222

2nn

n

ssEsC

21 /2

/

11

tt tteAeAEtc

12

1

2

2

1

A

12

1

2

2

2

A

11

21

t

n

11

2

2

t

n

....(15)

Batas


62/62

Latihan Soal

1. Suatu kontrol orde dua mempunyai peak over shoot 25%. Pada peak

magnitude Mp, frekuensi resonansi p =10 rad/detik

Tentukan Nilai frekuensi natural n,

Tentukan Nilai faktor peredaman z,

Tentukan Nilai waktu puncak tp.

Tentukan Fungsi alih loop tertutupnya.

Buatlag gambar respon sinyal keluaran kontrol jika inputnya fungsi

step 5 Volt.

2. Suatu sistem unity feedback mempunyai spesifikasi persentasi overshoot

=5% dan waktu puncak = 1 detik , untuk masukan unit step,

Tentukan open loop transfer fungsinya

Documents

Transient Pada Rangkaian Listrik