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Transformaciones Isométricas. Introducción. El trabajo que se presenta a continuación está enfocado a desarrollar la 3ª unidad de primer año medio, Transformaciones Isométricas en base a talleres para ser aplicados en el aula y la sala de computación. Esta unidad fue subdividida en 4 subunidades para obtener un mejor aprendizaje de los alumnos. En primer lugar se desarrolla el concepto de simetría con guías origami y figuras en las cuales podemos observar simetrías de ambos tipos, central y axial. También se utiliza el procesador geométrico Geogebra, que al ser libre no limita el uso en establecimientos públicos. La parte correspondiente a rotación, se estudia igualmente con guías y con el procesador geométrico Geogebra. Primeramente en aula y posteriormente en la sala de computación. A continuación, se desarrollan ejercicios relacionados con traslación, para esto, se diseñan 2 guías que se sugiere trabajen en equipos de 5 alumnos. Igualmente, como segunda parte se les hace trabajar con el Geogebra. Para el concepto de teselaciones, el trabajo que se sugiere en las guías es mas manual, trabajando con tijeras y papeles que permiten diseñar plantillas para teselar el plano. También se incluye una guía con fotografías en las que se puede observar teselaciones en nuestro entorno, para terminar con el software libre. Cada clase es comenzada con una introducción de parte del profesor; quien estimulará utilizando diversos medios para motivar a los alumnos y alumnas. En los anexos se adjunta una prueba de diagnóstico que evalúa las conductas de entrada indispensables para comenzar esta unidad, posteriormente se presenta una prueba de diagnóstico con su respectiva tabla de especificaciones. Al final del trabajo se anexa una guía que queda a criterio del docente si la desea ocupar, para realizarla en el laboratorio de computación con el software Regla y Compás, este software También es de uso libre, por lo que no presenta mayores problemas para el docente que quiera hacer uso de este material. Esta guía se sugiere realizarla al final de la unidad, ya que abarca todos los conceptos de ésta.

Trans.isom eI

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Transformaciones Isométricas.

Introducción.

El trabajo que se presenta a continuación está enfocado a desarrollar la 3ª unidad de

primer año medio, Transformaciones Isométricas en base a talleres para ser aplicados

en el aula y la sala de computación.

Esta unidad fue subdividida en 4 subunidades para obtener un mejor aprendizaje de los

alumnos. En primer lugar se desarrolla el concepto de simetría con guías origami y

figuras en las cuales podemos observar simetrías de ambos tipos, central y axial.

También se utiliza el procesador geométrico Geogebra, que al ser libre no limita el

uso en establecimientos públicos.

La parte correspondiente a rotación, se estudia igualmente con guías y con el

procesador geométrico Geogebra. Primeramente en aula y posteriormente en la sala

de computación.

A continuación, se desarrollan ejercicios relacionados con traslación, para esto, se

diseñan 2 guías que se sugiere trabajen en equipos de 5 alumnos. Igualmente, como

segunda parte se les hace trabajar con el Geogebra.

Para el concepto de teselaciones, el trabajo que se sugiere en las guías es mas

manual, trabajando con tijeras y papeles que permiten diseñar plantillas para teselar el

plano. También se incluye una guía con fotografías en las que se puede observar

teselaciones en nuestro entorno, para terminar con el software libre.

Cada clase es comenzada con una introducción de parte del profesor; quien estimulará

utilizando diversos medios para motivar a los alumnos y alumnas.

En los anexos se adjunta una prueba de diagnóstico que evalúa las conductas de

entrada indispensables para comenzar esta unidad, posteriormente se presenta una

prueba de diagnóstico con su respectiva tabla de especificaciones.

Al final del trabajo se anexa una guía que queda a criterio del docente si la desea

ocupar, para realizarla en el laboratorio de computación con el software Regla y

Compás, este software También es de uso libre, por lo que no presenta mayores

problemas para el docente que quiera hacer uso de este material. Esta guía se sugiere

realizarla al final de la unidad, ya que abarca todos los conceptos de ésta.

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Transformaciones Isométricas.

UNIDAD: “TRASFORMACIONES ISOMÉTRICAS”

La Unidad Nº 3 “Transformaciones Isométricas”, de primer año medio, es una unidad nueva entregada por el Ministerio de Educación, es por esta razón que resulta conveniente ampliar la enseñanza de está a través de la utilización de un software matemático y esto se ve reflejado en los contenidos entregados en los Planes y Programas del MINEDUC, como se muestra a continuación:

Contenidos (planes y programas del MINEDUC)

• Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con algunos polígonos. Aplicaciones de las transformaciones geométricas en las artes, por ejemplo, M.C. Escher.

• Traslaciones, simetrías y rotaciones de figuras planas. Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60, 90, 120 y 180 grados.

• Uso de regla y compás; de escuadra y transportador; manejo de un programa computacional que permita dibujar y transformar figuras geométricas.

• Traslación y simetrías de figuras en sistemas de coordenadas.

Aprendizajes Esperados

i. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación, rotación o simetría.

• Construyen, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras simétricas, trasladadas y rotadas.

• Diseñan composiciones sencillas que incorporan traslaciones, simetrías y rotaciones.

Evaluación Formativa

Se sugiere realizar una evaluación formativa de estos tres conceptos,traslación,rotación

y simetría para comenzar con la subunidad de teselaciones. Para ello se ha diseñado una

guía para realizar transformaciones isométricas en el plano cartesiano y hacer que los

alumnos expliquen los procedimientos. Es necesaria una evaluación sin nota, solo a

través de la observación por parte del profesor de las dificultades que presentan los

alumnos para proceder en el desarrollo de la guía. Si el tiempo lo permite se puede

hacer una sintesís en la pizarra de los resultados de la guía, con participación de los

alumnos.

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Transformaciones Isométricas.

1. Simetría Axial y Simetría Central de figuras planas.

Objetivo de la unidad: Al término de esta unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de resolver situaciones problemáticas que involucren en su resolución la aplicación Simetría Axial y/o Central de figuras planas. Utilizando propiedades de los elementos geométricos en el plano.

Conductas de Entrada:

Identificar los Números Reales. Identificar figuras geométricas planas. Identificar el concepto de ángulo en el plano. Identificar el concepto de recta en el plano. Identificar el concepto de rectas paralelas en el plano. Identificar el concepto de Traslación de figuras planas. Identificar el concepto de Rotación de figuras planas. Distinguir las Propiedades de las figuras geométricas en el plano. Construir ángulos en el plano. Construir rectas en el plano. Aplicar las Operaciones Básicas en los Números Reales. Resolver problemas que involucren medición de ángulos. Manejo de simbología Matemática. Manejo del Software Regla y compás.

Objetivo Fundamental: Al término de la clase, el alumno o alumna será capaz de resolver problemas en los cuales deberá aplicar Simetría Axial y/o Central de figuras planas. Utilizando propiedades de los elementos geométricos en el plano.

Aprendizajes Esperados: Al término de esta subunidad, el alumno o alumna debe ser capaz de:

Relacionar y analizar propiedades de figuras geométricas en la construcción de simetrías Axial y Central de figuras planas.

Caracterizar la Simetría Axial y Central en el plano. Describir los cambios que observan entre una figura y su imagen simétrica. Construir, utilizando un programa computacional con figuras Simétricas.

Recursos: • Guías• Regla• Lápiz• Papel lustre• Espejo plano

Tiempo: 6 horas.

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 1: Origami

Descripción

Las acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted experimente isometrías a través de un antiguo arte japonés: el Origami. Para ello solo necesitará un papel lustre cuadrado o similar.

Recursos

Papel lustre cuadrado o similar

Creando una paloma de papel

Con el papel cuadrado realice dobleces paso a paso tal como se indica en las imágenes.

• Tome el papel cuadrado

• Dóblelo por la mitad, tal como se muestra en la imagen

• Vuelva a repetir el doblez, pero en el otro sentido

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Transformaciones Isométricas.

• Ahora doble el papel cuadrado por la diagonal

• Repita el doblez usando la otra diagonal

• Conjunto de dobleces que se tienen hasta el momento

• Ahora efectúe un nuevo doblez siguiendo la diagonal, tal como se muestra en la imagen

• Repita el doblez con el otro lado del papel

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Transformaciones Isométricas.

• Los dos dobleces anteriores se repiten, pero ahora partiendo desde el vértice opuesto. Como para esto se ha utilizado sólo una de las diagonales, la idea es repetir el proceso completo con la otra diagonal

• Así se ve hasta hora el papel, luego de los dobleces realizados. ¿Puede apreciar la simetría de las líneas?

• Aprovechando el primer doblez que se hizo al doblar el cuadrado por la mitad (formando una cruz), disponga el papel tal como se muestra en la imagen

• Así se ve la nueva figura (cuadrado)

• Aprovechando los dobleces, introduzca los vértices laterales tal como se muestra

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Transformaciones Isométricas.

• La nueva figura corresponde a una cometa

• Ahora tomando uno de los lados, la figura se abre hacia arriba

• Lo anterior se repite con el otro lado

• Ahora se dobla la figura en el sentido que se muestra

• Con una de las puntas se forma la cabeza del pájaro

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Transformaciones Isométricas.

• Con el otro extremo se forma la cola, doblando levemente hacia atrás casi en línea con el lado inferior izquierdo de la cometa

• Doblando como se muestra en la imagen aparecen las alas

• Se repite con la otra ala

• Doblando hacia abajo se completa un ala

• Doblando hacia abajo se completa la otra ala

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Transformaciones Isométricas.

• Finalmente se obtiene el pájaro de papel

• Tomando desde abajo y tirando la cola, ¡las alas pueden moverse!

• Felicitaciones tienes una Paloma.

¿Logró hacer la paloma de papel? ¿Fácil o difícil? Piense ahora en qué conceptos geométricos están involucrados en las acciones que realizó hasta concluir el trabajo.

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 2: Simetrías con regla y lápiz

Buscando los ejes de simetría

Descripción

Trabajo individual.Las acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted encuentre y marque los ejes de simetría en cada figura.

Recursos

• lápiz• Regla

Buscando los ejesEn cada caso marque los ejes de simetría, si es que los hay, designándolos con las letras ES más un subíndice (ES1, ES2, ES3, ...)

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº3: Espejo y simetrías

DescripciónTrabajo individualLas acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted encuentre y marque los ejes de simetría en cada figura. Esta vez utilizará un espejo plano, que lo ubicará en posición perpendicular a la hoja de la guía; y luego lo acomodará a su visión para que el lado en contacto con la guía sea el Eje de Simetría..

Recursos

• lápiz• Regla• Espejo en mano

Buscando ejesEn cada caso marque los ejes de simetría, si es que los hay, designándolos con la letra E más un subíndice (E1, E2, E3,...) ¿Cuándo usted está seguro de que ha encontrado un eje de simetría? Describa un método.

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Transformaciones Isométricas.

Simetría rotacional

Observe nuevamente las figuras anteriores e indique cuáles tienen simetría rotacional. En el caso de que exista tal simetría, determine cada cuántos grados de rotación la figura ocupa la misma posición en el plano.

Guía Nº 4: Plano Cartesiano y transformaciones

Recursos:

Recursos Lápiz Regla Compás

Isometrías con cuadrículas

1.Complete la figura para que sea simétrica respecto al eje dado:

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Transformaciones Isométricas.

2. Figuras reflejadas.• Encuentre la imagen del ABC reflejada con respecto al eje L. Etiquete los

vértices de la nueva figura como A’ B’ C’

• Si el eje de simetría L fuese el eje Y (ordenadas) y las coordenadas de los vértices del ABC fuesen A(-3,4), B(-4,12) y A(-9,9), ¿cuáles serían las coordenadas de los vértices del A’ B’ C’ reflejado?

• Considerando las mismas coordenadas anteriores para el ABC, ¿cuáles serían las coordenadas de los vértices del A’ B’ C’ si la reflexión ocurre con respecto al eje X (abscisas)?

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 5. Los espejos de la figuras geométricas.

Descripción

Las siguientes acciones tienen el propósito de explorar propiedades relacionadas con las Transformaciones Isométricas, específicamente simetría axial y central.

Recursos

Software Geogebra.

Geogebra: Construyendo un mar de Isometrías; Los espejos de la figuras geométricas.

Visualizando una Simetría Axial.

Las acciones que realizarás a continuación, te permitirán visualizar la simetría Axial de una figura geométrica.

1. Construye el polígono ABCDEF en el área de trabajo.

figura 1

Activa las opciones del Botón que se muestra en la figura 1

figura 2

De ellas, seleccione Polígono, como se muestra en la figura 2.

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Transformaciones Isométricas.

figura 3

Construye el polígono ABCDEF que se muestra en la figura figura 3.

Luego construye una recta vertical, a la cual rotulas Eje.

2. Usando rectas perpendiculares al eje de simetría.

figura 4

Construye una recta perpendicular al Eje y que pase por el vértice A figura 4.

figura5

Con centro en I y radio AI construye una circunferencia figura 5.

Rotula el nuevo punto de intersección, sea J dicho rotulo.

Oculta la circunferencia y la recta perpendicular,

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Transformaciones Isométricas.

figura 6

Utilizando el procedimiento de las rectas perpendiculares construye los otros vértices del polígono como se muestra en la figura6.

A medida que construyas cada uno de los vértices del polígono, oculta la circunferencia y la recta perpendicular que permitieron la respectiva construcción

Construye el polígono imagen del polígono ABCDEF utilizando los vértices J, L S, U, Q, N y J, en ese orden.

figura7

Construye el polígono imagen del polígono ABCDEF utilizando los vértices J, L S, U, Q, N y J, en ese orden, como se muestra en la figura 7.

3. Visualizando las propiedades de las construcción.

Sobre la distancia de los vértices con respecto al Eje.

Une con un segmento los vértices A y J. Define el punto de intersección entre AJ y el Eje. Sea W dicho punto.

Permite observar la medida de AW .

Permite observar la medida de WJ .

Se observa que las medidas obtenidas son:__________________________

Luego, la distancia de vértice A al Eje es ___________ a la distancia de J al Eje.

Entonces, el punto de intersección de AJ y el Eje es punto __________ del segmento ____.

Sobre los ángulos conformados por el Eje y los segmentos cuyos extremos son los vértices de los polígonos.

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Transformaciones Isométricas.

Visualiza los ángulos que se forman en la intersección del segmento AJ con el Eje.

Estos ángulos tienen como medida _____________, luego son _______________

Entonces, el segmento AJ es ____________________ al Eje.

Finalmente, puedes señalar que los segmentos AJ , BN , CQ , DU , ES ’, FL son ____________ al Eje.

Mueve los vértices del polígono ABCDEF.

¿Qué ocurre con las distancias entre los vértices del polígono ABCDEF , su imagen y el Eje de simetría? Explica la situación.

¿Qué ocurre con las medidas de los ángulos comprendidos por los vértices del polígono ABCDEF, del polígono JLSUQN, y el Eje de simetría? Explica la situación.

Como síntesis, se puede señalar que la simetría Axial tiene la propiedad de:

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Transformaciones Isométricas.

Visualizando una Simetría Central.

Las acciones que realizarás a continuación, te permitirán visualizar la simetría Central.

1. Construye el polígono ABCDE en el área de trabajo.

figura 8

Construye el polígono ABCDE que se muestra en la figura figura 8.

Dibuja un punto exterior del polígono. Sea este F.

Ahora, debes construir la imagen de los vértices A, B, C, D y E a través de un punto F como centro de simetría.

figura 9

Dibuja la imagen del vértice A.

Dibuja una semirrecta con origen en A y que pase por F.

Con radio AF y centro en F, construye una circunferencia.

Rotula el punto de intersección G figura9.

Oculta la circunferencia y la semirrecta.

Repite los pasos anteriores para construir los vértices H, I, J y K, como lo muestran las figura 10 y 11.

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Transformaciones Isométricas.

figura 10

figura 11

2. Visualizando las propiedades de la construcción.

Mueve los vértices del polígono ABCDE.

Responde las siguientes preguntas.

¿Qué ocurre al mover el polígono ABCDEF? Explica la situación.

¿Qué ocurre con la distancia entre los vértices del polígono ABCDE, el polígono GHIJK y el punto F? Explica la situación..

Sintetizando lo aprendido.

Para terminar, tu profesor sintetizará y formalizará lo aprendido en esta oportunidad. En la siguiente sección, anota lo que te señale.

Para terminar, tu profesor sintetizará y formalizará lo aprendido en esta oportunidad. En la siguiente sección, anota lo que te señale.

Registro Sintético

Definiciones importantes:

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Transformaciones Isométricas.

Simetría Axial:

Simetría Central

Guía: M Galáz

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Transformaciones Isométricas.

2. ROTACIÓN.

Objetivo de la Unidad:

Al término de esta unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de resolver situaciones problemáticas que involucren en su resolución la aplicación de rotaciones de figuras planas. Utilizando propiedades de los elementos geométricos en el plano.

Conductas de Entrada Identificar los Números Reales. Identificar figuras geométricas planas. Identificar el concepto de ángulo en el plano. Identificar el concepto de recta en el plano. Identificar el concepto de rectas paralelas en el plano. Distinguir las Propiedades de las figuras geométricas en el plano. Construir ángulos en el plano. Construir rectas en el plano. Aplicar las Operaciones Básicas en los Números Reales. Resolver problemas que involucren medición de ángulos. Manejo de simbología Matemática. Manejo del Software de Regla y compás Utilizar regla y compás.

Objetivo Fundamental: Al término de esta mini unidad los alumnos serán capaces de resolver problemas de aplicaciones de rotaciones de figuras planas utilizando las propiedades de las figuras geométricas.

Aprendizajes Esperados: Al término de esta mini unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de:

Relacionar y analizar propiedades de figuras geométricas en la construcción de una Rotación de figuras planas.

Caracterizan la Rotación de figuras en un plano. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen de Rotación. Construyen, utilizando un programa computacional figuras Rotadas.

Recursos: • Guías• Regla• Compás• Transportador• Papel mantequilla

Tiempo: 4 horas

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº1: Rotando figuras : Buscando el ángulo de giro

Descripción

Las acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que Ud. realice isometrías usando regla, compás, transportador y lápiz. Aquí aplicará un método para determinar el ángulo de giro al rotar una figura respecto a un punto fijo.

Centro de rotación fuera de la figura

1. Determine la imagen del rombo ABCD aplicando una rotación de centro O y ángulo 60º, en sentido contrario a los punteros del reloj.

2. Determine la imagen de la figura, al rotarla en el sentido de los punteros del reloj con centro en A y ángulo 120º. Etiquete los vértices de la figura y posteriormente los de la imagen.

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Transformaciones Isométricas.

Buscando el ángulo de giro:

Observe la siguiente figura.

• Calque y recorte el polígono ABCD y etiquételo por A’ B’ C’ D’ respectivamente.

• Superponga la figura recortada sobre la Fig. original. Desplácela en sentido contrario a los punteros del reloj, de modo que el vértice A’ y D’ sigan sobre las respectivas circunferencias concéntricas hasta una nueva posición (el giro debe ser menor que 180º). Pegue el recorte en esa posición.

• Una el centro O de la circunferencia con A y A’ formando un ángulo AOA’, de la misma forma hágalo con los vértices restantes, DOD’, COC’ y EOE’.

• Mida estos ángulos con el transportador.

• ¿Cómo son las medidas de estos ángulos?

• ¿En qué ángulo giró la imagen del polígono ABCD?

Centro de rotación en la figura:__________________________________

Una forma abreviada de pedir la rotación en torno a un punto es R (P, ), que significa rotar la figura con centro en P y ángulo .

De acuerdo a la figura (cuadrado ABCD), indica la imagen que se obtiene al efectuar una rotación “antihorario”, según se indica. a) El punto A por R (E, 90º) b) El punto A por R (E, 180º) c) El punto C por R (A, 360º) d) Triángulo AEB por R (E, 180º)e) Triángulo DEC por R (E, 90º)

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 2: Buscando el centro de rotación Y el ángulo de giro

Descripción:Las acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted determine el centro de rotación de una figura que ha sido rotada. Además debe encontrar el ángulo de giro.

Buscando el centro:

En la figura de la izquierda etiquete los vértices por ABCDEF y su imagen (figura derecha) por A’ B’ C’ D’ E’ F’, en el mismo orden para que los vértices homólogos coincidan. Siga las instrucciones.

Instrucciones:

El polígono A’ B’ C’ D’ E’ F’ es la imagen del polígono ABCDEF mediante una rotación.

Para determinar el centro de esa rotación, siga los siguientes pasos:

Una cualquier par de puntos homólogos, por ejemplo, A con A’ y B con B’. Trace la simetral en cada uno de los segmentos escogidos. ¿Se interceptan? Si

es así, llame O al punto encontrado. Dibuje y mida los ángulos AOA’ y BOB’ ¿Cómo son entre sí esos ángulos?

Entonces, ¿cuál es el centro de rotación y ángulo?

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 2: Los giros son los que dejan.... imágenes

de figuras geométricas en el plano.

Descripción

Con las acciones que se te invita a trabajar con esta guía de aprendizaje, aprenderás a describir y reconocer los cambios que se observan entre una figura y su imagen por rotación. Pare ello, utilizarás en software Cabri Geometre.

Recursos:

Software Cabri Geometre II Plus.

Guía de uso: Un geómetra virtual llamado Cabri.

Rotación en torno a un punto de una figura:

Realiza las siguientes acciones.

Figura 1

1. Activa el software educativo “Cabri”, abre un archivo nuevo.

2. Construye un ABC en el área de trabajo de Cabri, como el que se muestra en la Figura 1.

3. Del botón “Texto y Símbolo”, activa “Número”.

4. En la parte superior del área de trabajo, haz un clic y digita 120. Esta medida corresponde al ángulo de giro.

Para construir la imagen del ABC, a través de rotación, girarás en 120° los vértices A y B, en torno al vértice C. Para ello, la construcción consiste en

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Transformaciones Isométricas.

dibujar una circunferencia de radio CB y centro en C, luego otra circunferencia de radio CA y el mismo centro.

1. Del botón “Curvas”, activa “Circulo”.

2. Con centro en C y radio CB dibuja una circunferencia como se muestra la Figura 2.

3. Del botón “Transformaciones”, activa “Rotación”.

4. Haz un clic en el vértice B. 5. Haz un clic en el vértice C. 6. Haz un clic en 120. 7. Este punto, que es la imagen de B,

etiquétalo B’. 8. Oculta la circunferencia de centro en

C y radio CB .

Figura 2

Figura 3

De igual manera, construye la imagen de A.

• Con centro en C y radio CA , dibuja una circunferencia.

• Activa “Rotación”. • Haz un clic en el vértice A.

• Haz un clic en el vértice C. • Haz un clic en 120. • Este nuevo punto, etiquétalo

A’. • Oculta la circunferencia con

centro en C y radio CA .

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Transformaciones Isométricas.

Dibujando la imagen del ABC.

• Activa “Polígono”, del botón “Líneas”.

• Haz un clic en A’, B’ y C.

Comprueba que el ángulo de giro es 120°.

1. Activa “Medida de ángulo”, del botón “Medida”.

2. Haz un clic en A, C y A’ respectivamente.

3. Haz un clic en B, C y B’ respectivamente.

Figura 4

Visualizando las propiedades de la rotación

1. Activa “Manipulación”, del botón “Apuntador”.

2. Haz doble clic sobre el ángulo de giro 120°.

3. Reemplaza el ángulo por 180°. 4. Vuelve a cambiar el ángulo, esta vez

60°.

Si cambias el ángulo de giro a 30°, 60°, 120°, etc ¿ cuál es el sentido de la rotación ? en sentido contrario a la agujas del reloj o en sentido de las agujas del reloj?Respuesta: ________________________ Figura 4

Si ingresas ángulo negativos, por ejemplo –30°, -60° que puedes señalar sobre el ángulo y el giro de la figura?Respuesta:_____________________________________________________________________________________________________________________________

Cuando se produce una rotación, ¿giran sólo los vértices del ABC o toda la figura?Respuesta:__________________________________________________________

Cuando se produce una rotación, ¿el ABC cambia su forma?¿cambia su tamaño?Respuesta:__________________________________________________________

(3)

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Transformaciones Isométricas.

Cuando se produce una rotación, la distancia entre el vértice A y el punto de rotación C no es igual a la distancia entre el vértice A’ y el mismo punto de rotación?Respuesta:__________________________________________________________

Para rotar una figura geométrica, que elementos se necesitan?Respuesta:__________________________________________________________

Guarda este trabajo.

Rotación en torno a un punto interior de una figura.

Dibuja en el área de trabajo de Cabri, un polígono que se presenta en la Figura 5:

Figura 5

1. Del botón “Líneas”, activa “Polígono”.

2. Construye un polígono similar al de la Figura 5.

3. Etiqueta los vértices del polígono con A, B, C y D.

4. Dibuja un punto en el interior del polígono ABCD. Etiquétalo con O.

5. Ingresa el ángulo 180°.

Rotando el polígono:

1. Del botón “Transformación”, activa “Rotación”.

2. Haz un clic sobre uno de los lados del polígono ABCD.

3. Haz un clic sobre el punto O. 4. Haz un clic sobre 180°. 5. Etiqueta los vértices del polígono

imagen con A’, B’, C’ y D’.

Visualizando las propiedades de esta rotación

Figura 6

Figura 6

Ubica el indicador del mouse sobre el punto O.

(3)

(4)

(2)

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Transformaciones Isométricas.

Mueve el punto, ubícalo sobre el vértice B, luego sobre el vértice A, sobre el lado BC del polígono.

¿Puedes describir lo que ocurre con el polígono A’B’C’D’? ¿Cambia su tamaño y forma? Respuesta: __________________________________________________

Mueve el punto O a su posición original. Cambia el ángulo de giro a 60°, 110°.

El polígono A’B’C’D’? ¿Cambio su tamaño y forma? Respuesta:________________________________________________________________________

Guarda este trabajo.

Rotación en torno a un punto exterior de una figura.

Dibuja en el área de trabajo de Cabri, un polígono que se presenta en la Figura 5:

Figura 5

6. Del botón “Líneas”, activa “Polígono”.

7. Construye un polígono similar al de la Figura 5.

8. Etiqueta los vértices del polígono con A, B, C y D.

9. Dibuja un punto en el interior del polígono ABCD. Etiquétalo con O.

10.Ingresa el ángulo 180°.

Rotando el polígono:

6. Del botón “Transformación”, activa “Rotación”.

7. Haz un clic sobre uno de los lados del polígono ABCD.

8. Haz un clic sobre el punto O. 9. Haz un clic sobre 180°. 10.Etiqueta los vértices del polígono

imagen con A’, B’, C’ y D’.

Visualizando las propiedades de esta rotación Figura 6

Page 30: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Ubica el indicador del mouse sobre el punto O. Mueve el punto, ubícalo sobre el vértice B, luego sobre el vértice A, sobre el

lado BC del polígono.

¿Puedes describir lo que ocurre con el polígono A’B’C’D’? ¿Cambia su tamaño y forma? Respuesta: __________________________________________________

Mueve el punto O a su posición original. Cambia el ángulo de giro a 60°, 110°.

El polígono A’B’C’D’? ¿Cambio su tamaño y forma? Respuesta:_____________________________________________________________

Guarda este trabajo.

Rotación en torno a un punto exterior de una figura.

Dibuja en el área de trabajo de Cabri, un cuadrado como el que se presenta en la Figura 7:

Figura 7

1. Construye un cuadrado ABCD y el punto O similar al de la Figura 7.

2. Etiqueta los vértices del cuadrado con A, B, C y D, y el punto con la letra O.

3. Ingresa el ángulo 60°.

Construyendo las imágenes de los vértices del cuadrado ABCD a través de rotación.

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Transformaciones Isométricas.

Figura 8

1. Con un segmento, une los puntos A y O.

2. Del botón “Atributos”, activa “Punteado”.

3. Activa el botón de línea punteada y haz un clic sobre el segmento OA .

4. Dibuja una circunferencia con centro en O y radio OA como se observa en la Figura 8.

5. Del botón “Transformaciones”, activa “Rotación”.

6. Haz un clic sobre el segmento OA.

7. Haz un clic sobre el punto O. 8. Haz un clic sobre 60°. 9. A la imagen del vértice A,

etiquétala A’. 10. Oculta la circunferencia de centro

en O y radio OA . 11.Del botón “Medida”, activa

“Medida de ángulo”. 12. Haz un clic sobre los puntos A, O

y A’, en ese orden.

13.Repite los pasos 1 hasta 10 para construir las imágenes de los vértices B, C y D.

14. Etiqueta estos puntos B’ , C’ y D’ como se muestra en la Figura 9.

15.Rota el cuadrado ABCD, alrededor del punto O según el ángulo de 60°, como se observa en la Figura 10.

Figura 10

Figura 9

Visualizando la rotación.

1. Activa el botón “Manipulación”.

2. Mueve el punto O y ubícalo en el centro del cuadrado ABCD.

3. Cambia el ángulo de giro por 30°, 110° y 270°.

Responde las siguientes preguntas.

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Transformaciones Isométricas.

¿Qué ocurre al mover el cuadrado ABCD? Explica la situación.

Respuesta:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

La rotación del cuadrado ABCD está determinada por:________________________

Guarda este trabajo.

Determinando el centro de una Rotación.

En esta oportunidad trabajarás en una construcción ya diseñada, en la cual deberás encontrar el centro de rotación que permitió que el ABC tenga como imagen el A’B’C’.

Figura 11

1. Del Menú “Archivo”, selecciona “Abrir”.

2. Solicita a tu profesor, el lugar donde debes buscar el archivo “guia3_centro_rotación.fig”.

3. Abre ese archivo. Las figuras que encontrarás en él son ABC y A’B’C’ como lo muestra la Figura11.

Sigue los siguientes pasos para determinar el centro de rotación.

Page 33: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

1. Con un segmento, une los vértices A y A’.

2. De “Construcciones”, activa “Mediatriz”.

3. Haz un clic sobre el segmento 'AA como lo muestra la Figura12.

Figura 12

Figura 13

4. Repite las acciones 1 hasta la 3 con los vértices B y B’, C y C’ respectivamente.

5. Marca el punto de intersección de las mediatrices como lo muestra la figura 13.

6. Etiqueta este punto con la letra O.

Para descubrir el ángulo de rotación.

1. Del botón “Medida”, activa”Medida de ángulo”. 2. Haz un clic en los puntos A, O y A’, en ese orden. 3. Repite la acción 2 con los vértices B, O y B’, luego C, O y C’ respetando el orden.

Entonces, el ángulo de rotación que permite que el ABC tenga como imagen el A’B’C’ es:_________________________

Mueve uno de los lados del ABC y observa que sucede.

Según lo que has observado, Rotación es:_________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(3)

(5)

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Transformaciones Isométricas.

Sintetizando lo aprendido.

Para terminar, en esta oportunidad, tu profesor sintetizará y formalizará lo aprendido. En la siguiente sección, anota lo que se acuerde.

Registro Sintético

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Definición importante:

Rotación : _______________________________________________

ACTIVIDAD de síntesis:1. En cada caso, señala el tipo de rotación de la figura, marcando con una X al

que corresponda. Luego determina el punto de rotación.

I.- a. Rotación en torno a un punto exterior de la figura.

b. Rotación en torno a un punto interior de la figura.

c. Rotación en torno a un punto del contorno de la figura.

Page 35: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

II.- a. Rotación en torno a un punto exterior de la figura.

b. Rotación en torno a un punto interior de la figura.

c. Rotación en torno a un punto del contorno de la figura.

III.- a. Rotación en torno a un punto exterior de la figura.

b. Rotación en torno a un punto interior de la figura.

c. Rotación en torno a un punto del contorno de la figura.

2. En cada caso, determina el ángulo de giro según el punto O.

I.- a. 90°.

b. 60°.

c. 180°.

d. 45°.

Page 36: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

II.-

a. 90°.

b. 125°.

c. 180°.

d. 45°.

III.- a. 90°.

b. 125°.

c. 180°.

d. 45°.

3. Marca con una X aquella situación que corresponden a una rotación.

A B

Page 37: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

C D

4. Marca con una X aquellas situaciones que no corresponde a una rotación.

A B

C D

5. ¿Cuáles de las siguientes palabras se transforman en ellas mismas al rotarlas en 180°? Márcala con una X.

a.- MOM b.- WOW c.- pod d.- Mud e.- buM

Page 38: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

6. Si ''BA es la imagen de AB en una rotación con centro O, ¿qué angulo debe medirse para encontrar el ángulo de rotación?

AOB. AA’O. A’B’O. BOB’. BB’O.

3. TRASLACIÓN.

Objetivo de la unidad:_ ____________________________________

Al término de esta unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de resolver situaciones problemáticas que involucren en su resolución la aplicación de traslaciones de figuras planas. Utilizando propiedades de los elementos geométricos en el plano.

Conductas de Entrada Identificar los Números Reales. Identificar figuras geométricas planas. Identificar el concepto de ángulo en el plano.

Page 39: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Identificar el concepto de recta en el plano. Identificar el concepto de rectas paralelas en el plano. Identificar el concepto de vector en el plano. Distinguir las Propiedades de las figuras geométricas en el plano. Construir ángulos en el plano. Construir rectas en el plano. Aplicar las Operaciones Básicas en los Números Reales. Aplicar las propiedades de vector en el plano. Resolver problemas que involucren medición de ángulos. Manejo de simbología Matemática. Manejo del Software de Cabrí Utilizar regla y compás.

Objetivo Fundamental: Al término de esta mini unidad los alumnos serán capaces de resolver problemas de aplicaciones de traslaciones de figuras planas utilizando las propiedades de las figuras geométricas.

Aprendizajes Esperados: Al término de esta mini unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de:

Relacionar y analizar propiedades de figuras geométricas en la construcción de una traslación de figuras planas.

Caracterizan la traslación de figuras en un plano. Describen los cambios que observan entre una figura y su imagen de traslación. Construyen, utilizando un programa computacional figuras trasladadas.

Recursos: • Guía Nº 1• Software geométrico Geogebra.

Guía Nº 1: Traslaciones con Geogebra

INSTRUCCIONES

El propósito de este Guía es que seas capaz de reconocer, caracterizar, describir, construir y diseñar una Traslación de figuras Planas con la ayuda del Software Geogebra.

El trabajo es de dos personas como máximo, se pueden realizar consultas al Profesor, con el propósito de aclarar dudas, por cuanto, el objetivo es aprender y no solo trabajar por una calificación.

Tiempo: 4 horas

Guía Nº1: Un vector genera una Traslación.

Traslación:___________________________________________

Page 40: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Una Traslación es una transformación isométrica que hace corresponder a cada punto del plano otro punto (imagen) del mismo plano de acuerdo a un vector determinado;dicho vector es llamado vector de traslación.

Vector:

Un Vector es una figura plana que tiene forma de flecha, que representa desplazamientos en el plano a través de sus tres componentes: sentido, dirección y magnitud, que están definidos de la siguiente forma:

- El Sentido de un vector está dado por la orientación de la flecha.

- La Dirección de un vector está indicada por la recta que contiene al vector.

- La Magnitud de un vector es el valor numérico de la longitud del vector.

Ejemplo:

Se quiere trasladar el segmento AB según el Vector ν

Al aplicar la traslación sobre el punto A según el vector ν se obtiene el punto A’ y al aplicar la traslación sobre el punto B según el vector ν se obtiene el punto B’, como se muestra a continuación:

El segmento AB se ha trasladado de acuerdo al vector ν obteniéndose el segmento A’B’.

ACTIVIDAD:

Page 41: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Responda y/o comenta según corresponda cada una de las siguientes preguntas en los espacios indicados en esta guía y también en el software, ya que se revisará tanto la guía escrita como lo virtual. Recuerda que debes comentar toda construcción realizada, para esto cuenta con las opciones de Etiqueta y Comentarios, que se encuentran en la barra de herramientas del Geogebra.

1) Construyendo una Traslación.

a) Dibuja con la ayuda del software un segmento CD y un vector ν que representará la traslación que aplicaremos al segmento CD.

b) Traza dos rectas paralela al vector en cada extremo del segmento CD, es decir una en el punto C y la otra en el punto D.

c) Con la opción “Circunferencia por centro y radio”, traza una circunferencia de centro C, cuyo radio esta dado por la longitud del vector. Marca el punto de intersección C’, entre la circunferencia y la recta paralela correspondiente, este punto debe intersectar a la circunferencia en la dirección del vector, es decir la dirección en que apunta la flecha.

d) Con la opción “Circunferencia por centro y radio”, traza una circunferencia de centro D, cuyo radio esta dado por la longitud del vector. Marca el punto de intersección D’, entre la circunferencia y la recta paralela correspondiente, este punto debe intersectar a la circunferencia en la dirección del vector, es decir la dirección en que apunta la flecha.

e) Une ambos puntos creando el segmento C’D’.

f) Oculta la construcción, sólo dejando los segmentos CD, C’D’ y el vector.

g) Con la opción “Distancia” mide el segmento CD, el segmento C’D’ y el vectorν .

Paso 1: Verifica que la medida del segmento CD y la medida del segmento C’D’ sea igual si es así continua, sino debes volver al paso (b), (c) o (d).

Paso 2: verifica que la distancia entre el punto C y C’ corresponda a la medida del vector ν , si es así continua, sino debes volver al paso (c) o (d). Lo mismo para D y D’

Si se corroboran ambos pasos entonces podemos asegurar que el segmento C’D’ corresponde al segmento CD trasladado según el vector ν .

Comenta lo realizado:

Page 42: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

2) Dibuja con la ayuda del software un triángulo ABC y un vector ν , que representará la traslación que le aplicaremos al triángulo ABC.

Realiza cada uno de los pasos de la actividad anterior. Para esto utiliza la opción “Polígono” y “Vector” de la barra de herramientas.

Comenta lo realizado:

____________________________________________________________

____________________________________________________________

3) Dibuja con la ayuda del software un Polígono y construye un vector de traslación cuya dirección este entre los 50º a 55º con la horizontal hacia arriba, cuyo sentido sea hacia la izquierda y su magnitud este entre los 4 cm. a 5cm.

Para realizar el ángulo que se pide debes dibujar dos segmentos con un punto en común, que harán de lados del ángulo y luego utiliza la opción “Angulo” para de esta forma obtener la medida de ángulo pedida. Para realizar la construcción de la traslación guíate por las actividades anteriores.

Comenta lo realizado:

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

1) Dibuja con la ayuda del software un polígono y un vector de traslación. Utilizando la opción “Traslada objeto por vector” que se encuentra en la barra de herramientas. Realiza la traslación al polígono de acuerdo al vector ν de la siguiente forma: con el Mouse has click en la opción “Traslada objeto por vector” del software luego has click en el polígono y luego en el vector de traslación.

Page 43: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

¿Cómo comprobarías que se realizó una traslación?

Comenta lo realizado:

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

Page 44: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Sugerencias al profesor

El propósito de esta Guía es que los alumnos sean capaces de reconocer, caracterizar, describir, construir y diseñar una Traslación de figuras Planas, concepto involucrado en la Unidad de Transformaciones Isométricas, con la ayuda del Software de geometría Geogebra.

El software Geogebra fue elegido por ser un procesador geométrico muy poderoso, con el cual se puede construir figuras planas, vectores, segmentos, determinar longitudes, trazar paralelas, entre otras operaciones geométricas y algebraicas, permitiendo poner a prueba teoremas, propiedades, axiomas, etc, contribuyendo a que el alumno, a partir de sus conocimientos, descubra y cree nuevas ideas, modelándolas de una forma practica y visible.

Esta guía puede ser personal o grupal, dependiendo de los recursos y de la actitud del grupo curso. El objetivo de esta guía es que el alumno utilice el software para realizar traslaciones a diferentes figuras planas y que a través de esto descubra propiedades de la traslación.

Desarrollo de la Guía y Comentarios:

A continuación se entrega un análisis de la guía, con comentarios para su resolución:

- Recordando: en la primera parte se entregan algunos conceptos que ayudarán al alumno a ambientarse con la actividad que realizará, de forma que los atrasados se pongan al día y no presenten problemas de reconocer y utilizar ciertos conceptos.

- Actividad:

I. Comentario: La actividad Nº 1 tiene por objetivo que el alumno realice la construcción de una traslación paso a paso, lo importante es verificar que se entienda cada paso y que se siga el orden pedido. Además, se debe dejar en claro que la parte de comentario no es solo para detallar lo realizado sino que también para registrar problemas que puedan surgir en la construcción y/ o sugerencias.

1) Construyendo una Traslación.

a) Dibuja con la ayuda del software un segmento CD y un vector ν que representará la traslación que aplicaremos al segmento CD.

Page 45: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

b) Traza dos rectas paralela al vector en cada extremo del segmento CD, es decir una en el punto C y la otra en el punto D.

c) Con la opción “Circunferencia por centro y radio”, traza una circunferencia de centro C, cuyo radio esta dado por la longitud del vector. Marca el punto de intersección C’, entre la circunferencia y la recta paralela correspondiente, este punto debe intersectar a la circunferencia en la dirección del vector, es decir la dirección en que apunta la flecha.

d) Con la opción “Circunferencia por centro y radio”, traza una circunferencia de centro D, cuyo radio esta dado por la longitud del vector. Marca el punto de intersección D’, entre la circunferencia y la recta paralela correspondiente, este punto debe intersectar a la circunferencia en la dirección del vector, es decir la dirección en que apunta la flecha.

Page 46: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

e) Une ambos puntos creando el segmento C’D’.

f) Oculta la construcción, sólo dejando los segmentos CD, C’D’ y el vector.

g) Con la opción “Distancia” mide el segmento CD, el segmento C’D’ y el vectorν

.Luego habriendo la ventana algebraica comprueba que estas distancias sean las mismas.

Paso 1: Verifica que la medida del segmento CD y la medida del segmento C’D’ sea igual si es así continua, sino debes volver al paso (b), (c) o (d).

Page 47: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Paso 2: verifica que la distancia entre el punto C y C’ corresponda a la medida del vector ν , si es así continua, sino debes volver al paso (c) o (d). Lo mismo para D y D’

Si se corroboran ambos pasos entonces podemos asegurar que el segmento C’D’ corresponde al segmento CD trasladado según el vector ν .

II. Comentario: La actividad Nº 2 tiene por objetivo que el alumno realice la misma construcción anterior pero esta vez aplicada a un triángulo. Descubriendo de esta forma la existencia de una construcción general para la traslación de figuras planas.

2) Dibuja con la ayuda del software un triángulo ABC y un vector ν , que representará la traslación que le aplicaremos al triángulo ABC. Realiza cada uno de los pasos de la actividad anterior. Para esto opción “polígono” y “Vector entre dos puntos” de la barra de herramientas.

Desarrollo:

III. Comentario: La actividad Nº 3 tiene por objetivo que el alumno construya el vector de traslación a partir de sus propiedades y que posteriormente realice la traslación sobre un polígono.

3) Dibuja con la ayuda del software un Polígono, y construye un vector de traslación cuya dirección este entre los 50º a 55º con la horizontal hacia arriba, cuyo sentido sea hacia la izquierda y su magnitud este entre los 4 cm. a 5cm.

Para realizar el ángulo que se pide debes dibujar dos segmentos con un punto en común, que harán de lados del ángulo y luego utiliza la opción “Angulo”, como se muestra a continuación, para de esta forma obtener la medida de ángulo pedida. Para realizar la construcción de la traslación guíate por las actividades anteriores.

Desarrollo:

Page 48: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

IV. Comentario: La actividad Nº 4 tiene por objetivo que el alumno realice una traslación sobre una figura, pero esta vez no construyéndola sino que aplicando una herramienta del Geogebra. Se espera que el alumno compruebe que se realizó una traslación y que verifique cada condición necesaria de la traslación.

4) Dibuja con la ayuda del software un polígono y un vector ν de traslación. Utilizando la opción “Traslación” que se encuentra en la barra de herramientas.

Realiza la traslación al polígono de acuerdo al vector ν de la siguiente forma: con el mouse haga clic en la opción “Traslada objeto por vector” del software luego haga clic en el polígono y luego en el vector de traslación.

¿Cómo comprobarías que se realizó una traslación?

Comentario:

La opción “Traslada objeto por vector” permite realizar de forma rápida y fácil cualquier traslación a figuras planas, sin importar su forma o tamaño. Se puede comprobar midiendo la distancia entre los puntos, verificando con respecto al vector de traslación.

Nota : Al término del taller el profesor muestra unos aplets realizados por el.

Page 49: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

4. Teselaciones en el plano.

Ojetivode la subunidad: Al término de esta mini unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de resolver situaciones problemáticas que involucren en su resolución la construcción de embaldosamiento del plano utilizando distintos tipos de polígonos.

Conductas de Entrada:

Identificar los Números Reales. Identificar figuras geométricas planas. Identificar el concepto de ángulo en el plano. Identificar el concepto de recta en el plano. Identificar el concepto de rectas paralelas en el plano. Identificar el concepto de Traslación de figuras planas. Identificar el concepto de Rotación de figuras planas. Identificar el concepto de Simetría Axial de figuras planas. Identificar el concepto de Simetría Central de figuras planas. Distinguir las Propiedades de las figuras geométricas en el plano. Construir ángulos en el plano. Construir rectas en el plano. Manejo de simbología Matemática.

Objetivo Terminal: Al término de la clase, el alumno o alumna será capaz de resolver problemas en los cuales deberá construir teselaciones en el plano.

Aprendizajes Esperados: Al término de esta mini unidad, el alumno o alumna debe ser capaz de:

Relacionar y analizar propiedades de traslación, rotación, simetría axial y simetría central en la construcción de teselaciones en el plano.

Construyen, utilizando plantillas, teselaciones en el plano.Recursos:

• Guía Nº 1, Nº 2 y Nº 3

Tiempo: 6 horas, 2 horas por guía

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº1: Quita y Pone Un juego motivador

Descripción

Maurits Escher diseñó grandes obras, en las cuales aplicaba un ingenioso método para hacer recubrimientos. A partir de una figura básica, sometida a transformaciones isométricas, era posible generar la obra completa. El propósito de esta guía es que usted aplique algunos elementos del método de Escher.

Recursos Papel lustre Hoja de oficio o carta Lápiz Tijeras PegamentoConstruyendo una figura para teselar

Siga las siguientes instrucciones para construir una figura patrón.

d. Figura inicial, un cuadrado.

e. Recorte una región o trozo de la figura a un lado. El corte puede ser poligonal, curvo o mixto y puede realizarse en más de un lado. Por ejemplo:

f. Traslade la parte recortada paralelamente al lado opuesto, como muestra la figura.

Page 51: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

g. Una vez terminada la figura, cubra con ella la hoja de oficio. Reprodúzcala cada vez que sea necesario. Puede usar papeles de diferentes colores.

A partir del cuadrado inicial ensaye otro corte (por ejemplo, curvo o mixto) y repita los pasos anteriores. Este método le permite una gran variedad de posibilidades para crear figuras que teselen el plano.

¿Es posible hacer cortes en más de una cara del cuadrado, de modo que se cree una nueva figura que cubra el plano? Muestre un ejemplo haciendo dos cortes en caras distintas y aplique el método.

¿Qué transformación isométrica está presente en el método anterior?

_____________________________________________________________

Page 52: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 9: ¿Quién puede teselar el plano?

DescripciónLas acciones que se presentan en esta guía tienen como propósito que usted analice qué polígonos regulares pueden teselar (recubrir) el plano. Primero con un sólo tipo de polígono regular, luego usando combinaciones de ellos. Para esto le proponemos que recorte las figuras y las pegue sobre una hoja de oficio.

Recursos

Hoja de oficio de matemática Pegamento Tijeras Plantilla A (triángulos equiláteros,

cuadrados, pentágonos, hexágonos, heptágonos y octágonos)

Plantilla B (triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos y octágonos)

Teselar el plano con un mismo polígono regular

Utilice las figuras de la plantilla A para recortar. Con un mismo tipo de polígono intente recubrir una parte de la hoja de oficio de matemática como si estuviera embaldosando. La idea es que no queden espacios entre “baldosas”, ni que las figuras se traslapen (superpongan). Repita el proceso con cada uno de los polígonos regulares de la plantilla.

¿Qué polígonos regulares de los presentados pueden teselar el plano?, ¿cuáles no?

Teselar el plano combinando polígonos regulares

Utilice las figuras de la plantilla B para recortar. Combinando polígonos regulares intente recubrir una parte de la hoja de oficio de matemática. Con los polígonos presentados, ¿cuántas posibilidades encontró?

¿Cuál será la condición para que una figura (polígono) o una combinación de ellas tesele el plano?

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Transformaciones Isométricas.

Guía Nº 3: Cubriendo el plano con figuras geométricas

Descripción

Con las acciones que realizarás en esta guía de aprendizaje, aprenderás a reconocer la forma en que se cubre el plano con figuras geométricas y comprender la propiedad que permite hacerlo. Pare ello, utilizarás en software Cabri Geometre.

Recursos

Software Cabri Geometre II Plus.

Guía de uso: Un geómetra virtual llamado Cabri.

Teselación regular.

Diseña una teselación regular cubriendo con cuadrados el área de trabajo.

Figura 3

Figura 2

1. Activa el software educativo “Cabri” y abre un archivo nuevo.

2. Del botón “Líneas”, activa “Polígono regular”.

3. En la parte superior izquierda del área de trabajo, construye un cuadrado como el que se muestra en la Figura 1.

4. Activa “Simetría axial”. 5. Haz un clic sobre uno de los lados del

cuadrado, cuando aparezca el texto “Simétrico de este polígono”.

6. Haz un clic sobre el lado derecho del cuadrado, cuando aparezca el texto “con respecto a este lado del polígono”.

7. Repite los pasos 5 y 6 hasta cubrir la hoja de trabajo como se muestra en la Figura 2.

(6)

Page 54: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Veamos a continuación, que ocurre con los ángulos interiores de los cuadrados que concurren a un mismo vértice.

4. Del botón “Medida”, activa “Medida de ángulo”.

5. Mide los ángulos , , y indicados en la Figura 3.

6. Completa la tabla que se presenta a continuación.

Figura 3

N° de cuadrados que concurren a un

vértice

Medida del ángulo

Medida del ángulo

Medida del ángulo

Medida del ángulo

Valor de

Entonces, los ángulos interiores que concurren a un mismo vértice suman: ________7. Del botón “Atributos”, activa “Rellenar...”. c8. Pinta las figuras geométricas que conforman la teselación. 9. Mueves el punto A ( luego el B, C y D ). ¿Qué ocurre con la

teselación?_____10. Guarda este trabajo.

Diseñando una teselación regular con triángulos equiláteros. 7. En un archivo nuevo, construye un triángulo equilátero como el de la Figura

4. 8. Con la opción “Simetría Axial”, cubre el área de trabajo como lo muestra la

Figura 5. 9. Mueve el vértice A ( y luego B y C ).

¿Qué ocurre con la teselación?________________________________________________Veamos a continuación, que ocurre con los ángulos interiores de los triángulos equiláteros que concurren a un mismo vértice.

(1)

(2)

Page 55: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

1. Del botón “Medida”, activa “Medida de ángulo”.

2. Mide los ángulos , , , , y indicados en la Figura 6.

3. Completa la tabla que se presenta a continuación.

Figura 6

N° de polígonos que concurren a un vértice

Medida de

Medida de

Medida de

Medida de

Medida de

Medida de

Valor de

Entonces, los ángulos interiores que concurren a un mismo vértice suman ________

4. Del botón “Atributos”, activa “Rellenar...”. 5. Pinta las figuras geométricas que conforman la teselación. 6. Mueve el punto A. 7. Guarda este trabajo.

Diseñando una teselación regular con hexágonos regulares.

4. En un archivo nuevo, construye un Hexágono regular como el de la Figura 7.

5. Con la opción “Simetría Axial”, cubre el área de trabajo como lo muestra la Figura 8.

6. Mueve uno de los puntos del hexágono.

Figura 7

Figura 8

Veamos a continuación, que ocurre con los ángulos interiores de los hexágonos regulares que concurren a un mismo vértice.

(1)

(2)

Page 56: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

7. Del botón “Medida”, activa “Medida de ángulo”.

8. Mide los ángulos , y indicados en la Figura 9.

9. Completa la tabla que se presenta a continuación.

Figura 9

N° de polígonos que concurren a un vértice

Medida de

Medida de

Medida de

Valor de

Entonces, los ángulos interiores que concurren a un mismo vértice suman ________

10.Pinta las figuras geométricas que conforman la teselación. 11.Mueve el vértice A, luego los restantes . 12.Guarda este trabajo.

En conclusión, una teselación regular consiste en cubrir el plano con ___ _____________ _________ y cumplen que los ángulos que concurren en un vértice suman ____.

Intenta teselar con un Pentágono regular.

¿ Es posible hacerlo? ¿por qué? Respuesta ______________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Los ángulos interiores de este polígono que concurren a un vértice, suman 360°?______________________________________________________________________________________________________________________________________

Teselación semiregular.

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Transformaciones Isométricas.

Diseña una teselación semiregular.

4. En un archivo nuevo, en la parte superior izquierda del área de trabajo, construye un hexágono regular como el que se muestra en la Figura 10.

Construye cuadrados de lados igual a la medida del lado del hexágono. Para ello, rota en 90°, el punto A con centro en el punto B. Así obtienes C. Esta acción la repites para construir los otros cuadrados.

5. Ingresa el valor 90°. 6. Luego, activa “Rotación”. 7. Haz un clic sobre el punto A. Luego en

el punto B y finalmente en 90°. Asi obtienes C.

8. Ahora, haz un clic en el punto B, luego en el Punto C y finalmente en 90°. Asi obtienes los puntos que formarán un cuadrado como se muestra Figura 11.

9. Activa “Polígono” . 10.Haz un clic sobre los puntos A, B, C y

D respectivamente. 11.Repite las acciones de los puntos 3

hasta la 7, para construir los 4 cuadrados de lados de igual medida al lado del hexágono como se muestra en la Figura 12.

12.Con la opción “Polígono”, construye los 3 triángulos como se muestra en la figura 13.

13. Pinta las figuras geométricas.

A continuación, responde las siguientes preguntas:

¿Cuál es la suma de los ángulos que concurren en B? Respuesta __________

¿Y los que concurren en otros vértices interiores? Respuesta _______________________

Figura 10

Figura 11

Figura 12

Figura 13

¿Cuántas figuras geométricas distintas has utilizado para construir el patrón de teselación? Respuesta ________________________

¿Observas espacios sin cubrir en el vértice A o en los otros vértices interiores? Respuesta ______________

(1)

(8)

(9)

Page 58: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Ahora, cubrirás el área de trabajo con el modelo diseñado.

Figura 14

1. Activa la opción “Vector”.

2. Construye un vector con origen en el vértice E hasta el vértice A, como se muestra en la figura 14.

3. Activa la opción “Traslación”.

4. Traslada las figuras geométricas que componen el modelo, utilizando el sentido del vector antes construido.

5. Utilizando otro vector, con origen en F hasta el vértice G, traslada las figuras del modelo para cubrir el área de trabajo como lo muestra la Figura 15.

Figura 15

6. Completa la teselación y guarda este trabajo.

En conclusión, una teselación semiregular consiste en cubrir el plano con un patrón compuestos por ____________ _________ y cumple que los ángulos que concurren en un vértice suman ____.

Teselación del plano con un cuadrilatero.

(2)

Page 59: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Figura 16

Figura 17

1. Dibuja un cuadrilátero como el que se muestra en la figura 16.

2. Determina el punto medio entre los puntos A y B. Etiquétalo E.

3. Ingresa el ángulo 180º.

4. Activa la opción “Rotación”.

5. Gira el polígono ABCD en 180° con centro de giro en E.

6. Pinta los cuadriláteros con colores distintos.

7. Dibuja un vector con los vértices C y A del cuadrilátero.

8. Traslada los cuadriláteros en el sentido del vector.

9. Realiza el cubrimiento como se muestra en la figura 18, utilizando los pasos antes señalados.

Figura 18

Nota: Prueba que sucede en la teselación, si aplicas “Simetria Central” en lugar de una Rotación de 180°.

Sintetizando lo aprendido.

Page 60: Trans.isom eI

Transformaciones Isométricas.

Para terminar, en esta oportunidad, tu profesor sintetizará y formalizará lo aprendido. En la siguiente sección, anota lo que se acuerde.

Registro Sintético_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Definición importante:

Teselacion : ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Teselacion regular: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Teselacion semiregular: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Actividades de ejercitación.

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Transformaciones Isométricas.

3. ¿Cuál de las siguientes figuras corresponde NO corresponde a una teselación?

5) 6)

7) 8)

9)

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Transformaciones Isométricas.

4. Construye el siguiente patrón de teselación en Cabri y luego elabora el cubrimiento. Sigue la siguiente secuencia de pasos.

i.

ii. iii.

iv. v. vi.

vii. viii.

ix.

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Transformaciones Isométricas.

5. Diseña en Cabri los siguiente patrones y la teselaciona respectiva.

i.

ii. iii.

6. Distinguiendo patrones en las obra de Mauritis Cornelis Escher

El holandés Mauritis Cornelis Escher (1898-1972) es, quizás, el artista más estimado por los matemáticos. Sin duda es el artista contemporáneo de más éxito en el llamado "arte matemático" ( http://www.worldofescher.com/gallery/ visita esta página).

Dedicó buena parte de su carrera a diseñar grabados que contenían recubrimientos con piezas en forma de criaturas vivientes. Estos grabados, que entrelazan animales y personas, han inspirado asombro en todo el mundo.Su obra se encuentra en mosaicos que decoran edificios y en grabados, litografías y acuarelas.

En su obra hay un profundo conocimiento geométrico.

Obra Nº1 Obra Nº2 Obra Nº3

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Transformaciones Isométricas.

a. En relación a las imágenes anteriores, sombrea el patrón que identifiques:

¿Cuántos patrones pudiste distinguir en cada una de estas obras?

Nº 1Nº 2Nº 3

b. . Elige una de las obras. N°____

¿Qué transformaciones isométricas distingues? marca con una X la que identifiques.

_____rotaciones_____reflexiones_____traslaciones

_____simetría central

7. Teselación semiregular: es aquella que utiliza más de un tipo de polígono regular. Sólo hay ocho tipos de teselaciones semiregulares.

Encuentra estas teselaciones semirregulares apoyándote con Cabri. Puedes facilitar esa búsqueda registrando los siguientes datos.

Polígono regular Número de lados

Medida de un ángulointerior

TriánguloCuadradoPentágonoHexágonoHeptágonoOctógonoDecágonoDodecágono

Efectúa combinaciones posibles, sumando la medida de un ángulo de cada polígono regular.

guarda el archivo y entrégalo a tu profesor.

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Transformaciones Isométricas.

8. En una Teselación, los ángulos interiores de los polígonos que concurren a un vértice siempre deben sumar:

a. 180°.

b. 360°.

c. 270°.

d. 90°.

e. Cualquier valor de ángulo.

9. En una Teselación regular, el patrón de teselación puede ser :

a. Cualquier polígono regular.

b. Sólo aquellos polígonos regulares cuyos ángulos interiores concurren a un vértice y suman 360°.

c. Sólo aquellos que no sobrepasen los diez lados.

d. Sólo aquellos que cuenten, a lo mas, con diez vértices.

e. Sólo los polígonos regulares cuyo ángulo interior no sea superior a 180° .