T R A N S L A S I

A. Pengertian Translasi

Translasi adalah Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan jarak dan arah

tertentu.

Dengan rumus umum:

P (x,y)

B. Menentukan Bayangan Dari suatu Translasi

Pada dasarnya penggunaan prinsip translasi dapat digunakan dalam semua bentuk

baik bangun datar maupun bangun ruang. Hal yang perlu diingat adalah benda yang akan

ditranslasikan itu mempunyai bentuk yang tetap, sehingga menghasilkan bayangan yang

semula.

Contoh:

1. Tentukan bayangan dari titik-titik berikut jika ditranslasikan oleh T¿(23)

a. P (1,4)b. Q (-1,1)c. R (2,-4)

Penyelesaian:

a. Titik P (1, 4) T=(23)

→

P’ (1 + 2, 4 + 3) = P’(3, 7)

b. Titik Q (-1, 1) T=(23)

→

Q’ (-1 + 2, 1 + 3) = Q’ (1, 4)

c. Titik R (2, -4) T=(23)

→

R’ (2 + 2, -4 + 3) = R’ (4, -1)

1

T (ab) P’ (x +a , y + b)

2. Jika translasi T menentukan titik A(1, -2) ke titik A’(4,3), tentukan Translasi itu!

Penyelesaian:

Misalkan T adalah T¿(ab)

A(1, -2) A’ (1 + a, -2 + b) = A’ (4, 3)

Dari persamaan diatas diperoleh:

1 + a = 4 => a = 3

-2 + b = 3 => b = 5

Jadi translasi T adalah T¿(35)

C. Translasi Ditentukan oleh Suatu Garis

Contoh:

2

P (1, 4)

P’(3, 7)

Q (-1, 1)

Q’ (1, 4)

T (ab)

P’ (x +1 , y + 2)P ( x,y ) = P’ (x’, y’)

‘b)

Jika diketahui garis lurus y = 4x + 1, maka tentukan bayangan dari persamaaan garis

tersebut setelah ditranslasikan oleh T¿(12)!

Penyelesaian:

CARA I :

Y = 4x + 1

Jika ;

x = 1 maka y = 5, => P (1, 5)

x = 2 maka y = 9, => Q (2, 9)

P (1, 5) T=(12)

→

P’(2, 7)

Q (1, 5) T=(12)

→

Q’(3, 11)

Persamaan garis lurus dua titik

y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

y−711−7

= x−23−2

y - 7 = 4(x – 2)y = 4x – 8 + 7y = 4x – 1

CARA II :

Maka x + 1 = x’ maka x = x’ - 1 y + 2 = y’ maka y = y’ – 2

3

Subtitusikan ke persamaan garis.

y = 4x + 1

(y’ – 2) = 4 (x’ – 1 ) + 1

y’ – 2 = 4x’ – 4 + 1

y’ = 4x – 4 + 1 + 2

y’ = 4x - 1

Maka :

Jika x = 0 maka y = 4 (0) – 1 = -1 → titiknya (0,-1)

Jika y = 0 maka 0 = 4x – 1 = 14

→ titiknya (14

, 0 )

D. Translasi Ditentukan oleh Suatu Bangun

∆ ABC T=(ab)→

∆ A ' B ' C '

AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’

Sehingga ∆ ABC ≅ ∆ A ' B'C '

Contoh:

4

A (2,3), B (0,6), dan C (1,4) ditranslasikan T¿(43), tentukan koordinat translasi dan

gambarkan!

Penyelesaian:

A (2, 3) T=(43)

→

A’(6, 6)

B (0, 6) T=(43)

→

B’(4, 9)

C (1, 4) T=(43)

→

C’(5, 7)

E. Komposisi Dua Translasi Berurutan

Misalkan T1 adalah transformasi yang memetakan titik P (x,y) ke titik P’(x’,y’),

kemudian dilanjutkan transformasi T2 yang memetakan titik P” (x”,y”). dapat dinotasikan

sebagai berikut:

T2 T1

Transformasi yang ditulis dalam T1 o T2

(dibaca : T2 komposisi T1), dinamakan komposisi transformasi atau transformasi

majemuk, yaitu suatu transformasi yang didalamnya melibatkan dua atau lebih

transformasi tunggal secara berurutan.

Note:

Notasi T1 o T2 menyatakan transformasi T2 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian

dilanjutkan dengan transformasi T1.

5

P ( x, y ) P’ ( x’, y’ ) P” (x”, y”)

Notasi T1 o T2 menyatakan transformasi T1 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian

dilanjutkan dengan transformasi T2.

Contoh:

Jika diketahui titik A (1, 6) dan T1¿( 2−3), T2¿(3

5) maka tentukanlah:

a. T1 (1, 6)

b. T2 (1, 6)

c. T1 o T2 (1, 6)

d. T2 o T1 (1, 6)

Penyelesaian:

a. A (1, 6) T=( 2−3)→

A1’(3, 3) jadi T1 (1, 6) = (3, 3)

b. A (1, 6) T=(35)

→

A2’(4, 11) jadi T2 (1, 6) = (4, 11)

c. A (1, 6) T=(35)

→

A2’(4, 11) T=( 2−3)→

A’’(6, 8) jadi T1 o T2 (1, 6) = (6, 8)

d. A (1, 6) T=( 2−3)→

A1’(3, 3) T=(35)

→

A’’(6, 8) jadi T2 o T1 (1, 6) = (6, 8)

Jadi dari perhitungan pada contoh tersebut menunjukkan berlakunya sifat komutatif.

F. TRANSLASI PADA LINGKARAN

Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama

terhadap satu titik tertentu yang tetap. Titik tetap tersebut titik pusat lingkaran dan jarak

tetap tersebut disebut jari-jari lingkaran.

1. Persamaan Lingkaran berpusat di titik (0,0)

6

x2 + y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran dengan pusat (a,b)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

3. Persamaan umum Lingkaran

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Contoh :

1. Tentukan persamaan lingkarann yang berpusat di titik O (0,0) dan berjari-jari 3

kemudian di translasikan terhadap T=(12) , sketsa gambarnya!

Penyelesaian

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari 3

x2 + y2 = 32

x2 + y2 = 9

CARA I

Pusat lingkaran di titik O(0,0) maka

O(0,0) O’(0+1,0+2) = O’(1,2)

Jadi pers. Lingkaran mempunyai pusat di O’ (1,2)

Maka persamaannya adalah (x’ – 1)2 + (y’ – 2)2 = 9

CARA II

di translasikan oleh T=(12) maka

Maka

7

P’ (x +1 , y + 2)

T (12)P ( x,y ) = P’ (x’, y’)

T (12)

x + 1 = x’ maka x = x’ - 1

y + 2 = y’ maka y = y’ – 2

Subtitusikan ke pers. Lingkaran

x2 + y2 = 9

(x’ – 1)2 + (y’ – 2)2 = 9

Jadi persamaan lingkaran setelah ditranslasi adalah (x’ – 1)2 + (y’ – 2)2 = 9

2. Sebuah lingkaran mempunyai persamaan x2 + y2 - 4x + 6y – 3 = 0 kemudian

ditranslasikan oleh T (−22 ), sketsa grafiknya

Penyelesaian

A = -4 , B = 6 dan C = -3

Maka pusat adalah titik (−12A ,−1

2B) = (−1

2(−4) ,−1

26) = (2,-3)

Jari-jarinya r=√ 14A2+ 1

4B2−c

r=√ 14

(−4 )2+ 14

(6)2−(−3)

r=√4+9+3

r=√16=4

Kemudian ditranslasikan oleh T (−22 ) maka :

8

Pusat lingkaran P (2,-3) P’ ( 2+1, -3 + 2) = P’ (3,-1)

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat P’ (3,1) adalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 42

3. Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 memiliki bayangan

yang mempunyai persamaan x2 + y2 - 4x – 4y – 1 = 0 tentukan nilai translasinya?

Penyelesaian :

x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0

x2 - 2x + y2 - 6y = -6

(x – 1)2 + (y – 3)2 = -6 + 1 + 9

(x – 1)2 + (y – 3)2 = 4 …………………………(1)

Titik pusat (1,3) dan jari-jari 2

x2 + y2 - 4x - 4y - 1 = 0

x2 - 4x + y2 - 4y = -6

(x – 2 )2 + (y – 2)2 = 1+ 4+ 4

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 9 …………………………(2)

Titik pusat (2,2) dan jari-jari 3

9

T (12)

Dari pers. (1) diperoleh pusat P (1,3)

Dari pers. (2) diperoleh pusat P’(2,2)

Maka :

P (1, 3) P’ ( 1 + a, 3 + b ) = P’ (2,2)

Diperoleh :

1 + a = 2 maka a = 2 – 1 = 1

3 + b = 2 maka b = 2 – 3 = -1

Jadi persamaan lingkaran dan bayangannya di translasikan oleh T ( 1−1)

4. Persamaan lingkaran x2 + y2 +8x - 2y = 19 merupakan yang baru setelah

ditranslasikan T =(31). Tentukan persamaan asalnya

Penyelesaian :

x2 + y2 +8x - 2y = -19

titik pusat = (−12A ,−1

2B) = (−1

28 ,−1

2(−2)) = (-4,1)

r=√ 14A2+ 1

4B2−c

r=√4+1+19

r=√36=6

Maka

M (x,y) M’ ( x + 3, y +1) = M’ (-4,1)

Diperoleh

x + 3 = -4 maka x = -7

y + 1 = 1 maka y = 0

jadi persamaan lingkarannya adalah (x + 7)2 + ( y – 0)2 = 36

x2 + 14x + 49 + y2 = 36

x2 + 14x + 49 + y2 – 36 = 0

x2 + 14x + y2 + 13 = 0

10

T (ab)

T (31)

G. TRANSLASI PADA PARABOLA

Parabola adalah himpunan titik-titik pada bidang datar yang mempunnyai jarak yang

sama terhadap titik tertentu (focus) dan sebuah garis tertentu (direktris).

Contoh soal:

1. Persamaan parabola y2 = 8x ditranslasikan T¿(−13 ) tentukan:

a. Tentukan persamaan bayangan parabola

b. Sketsa gambarnya

Penyelesaian:

Koordinat puncaknya di (0,0)

4p = 8

p = 2

fokusnya terletak di (2,0)

M (x,y) M’ (x – 1 ,y + 3) = M’ ( x’,y’)

Maka

x – 1 = x’ → x = x’ + 1

y + 3 = y’ → y = y’ - 3

Subtitusikan ke pers. Parabola

y2 = 8x

(y’ - 3)2 = 8 (x’+1)

Puncaknya (-1, 3)

Parameter 4p = 8

p = 2

fokusnya ( 2 + (-1), 3) = (1,3)

11

T (−13 )

2. Diketahui persamaan parabola 4x2 - 16 y = 0 ditranslasikan sejauh T¿( 2−1) carilah

persamaan bayangan parabolanya?

Penyelesaian :

4x2 + 16 y = 0

4x2 = 16 y

x2 = 4y

puncaknya di (0,0)

4p = 4

p = 1

fokusnya (0,1)

M (x,y) M’ (x +2 ,y - 1) = M’ ( x’,y’)

Maka

x + 2 = x’ → x = x’ – 2

y - 1 = y’ → y = y’+ 1

Subtitusikan ke pers. Parabola

12

T ( 2−1)

x2 = 4y

(x’ - 2)2 = 4 (y’+1)

Puncaknya (2, -1)

Parameter 4p = 4

p = 1

fokusnya ( 2, 1+ (-1)) = (2,0)

jadi persamaan bayangan parabola adalah (x’ - 2)2 = 4 (y’+1)

13