TRANSMISSÃO DE CALOR

PROBLEMAS

1. Uma placa plana tem uma superfície isolada e a outra exposta ao sol. A superfície exposta ao sol absorve radiação à taxa de 800 W/m2 e perde calor por convecção e radiação para o ar ambiente a 300 K. Se a emissividade da superfície for 0.9 e o coeficiente de convecção for 12 W /m2 ºC, determine a temperatura da placa em regime estacionário.

2. Uma placa de 50 cm x 50 cm recebe uma potência de 400 W e dissipa calor por convecção e radiação pela outra superfície para o ar ambiente a 290 K. A emissividade da superfície da placa é 0.9 e o coeficiente de convecção é 15 W / m2 ºC. Determine a temperatura da placa.

3. Uma tubagem com 2 m de comprimento e 5 cm de diâmetro exterior transporta água quente, dissipando calor por convecção e radiação para o meio ambiente a 0ºC. Seja 125 ºC a temperatura da superfície exterior da tubagem, a qual pode ser assumida como um corpo negro. Determine a taxa de transmissão de calor para o exterior, sabendo que o coeficiente de convecção exterior é 20 W/m2 ºC.

4. Durante o Inverno, a superfície de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida. A temperatura da água no lago encontra-se a 4º C e a temperatura do ar ambiente é -30 ºC. A temperatura na interface entre a água e o gelo é 0ºC. A condutibilidade térmica do gelo é 2.25 W/m K. Os coeficientes de convecção do lado do ar e do lado da água são 100 W/m2 K e 500 W/m2 K, respectivamente. Calcule a temperatura na superfície do gelo em contacto com o ar e a espessura da camada de gelo.

5. Em determinadas condições, a temperatura na superfície da pele de um indivíduo é 30 ºC, sendo inferior à temperatura do corpo, que é de 36.5 ºC. A transição entre estas temperaturas tem lugar numa camada da pele coma espessura de 1 cm. A condutibilidade térmica é 0.42 W/m K.

(a) Estime o fluxo de calor que se escapa através da pele, considerando-a um meio condutor em repouso.

(b) Supondo que o ar ambiente está a 20 ºC, determine o coeficiente de convecção.

6. Considere a condução de calor numa placa rectangular em regime estacionário. A superfície x = 0 é aquecida electricamente à taxa oq ′′ W/m2. A superfície x = a é mantida à temperatura To.

A superfície y = b é mantida isolada. A superfície y = 0 dissipa calor por convecção para um meio à temperatura T∞ com um coeficiente de convecção h. A condutibilidade térmica do material é uniforme e não há geração interna de energia. Formule o problema de condução de calor, estabelecendo a equação que rege a distribuição de temperaturas na placa e as condições de fronteira.

7. Considere uma esfera de raio ro e condutibilidade térmica k. A bola é inicialmente aquecida num forno até atingir uma temperatura uniforme T1, sendo no instante t = 0 subitamente imersa num banho de óleo à temperatura T∞. Supondo que o coeficiente de convecção é constante, formule o problema que descreve a variação de temperatura na esfera ao longo do

tempo, isto é, estabeleça a equação diferencial que permite determinar a variação da temperatura em função do tempo e do raio para t > 0 e as condições de fronteira.

8. Considere um cone truncado com 30 cm de altura, 15 cm de diâmetro na base e 7.5 cm de diâmetro no topo. A superfície inferior é mantida a 6 ªC e a superior a 40 ºC. A superfície lateral está isolada. Assuma condução unidimensional. Determine a a taxa de transmissão de calor através do cone, supondo que a condutibilidade térmica do material é 1 W /m ºC.

9. Considere um tronco de cone como indicado na figura. As coordenadas x0 e x1 indicam as posições das faces em relação ao vértice do cone de onde esse tronco foi seccionado. Considere que as faces laterais se encontram isoladas e que a temperatura em cada secção x = constante é uniforme. Na face maior conhece-se a temperatura e na face menor o fluxo de calor imposto. Determine a distribuição de temperatura ao longo de x.

10. Uma parede plana é composta por três materiais, A, B e C, dispostos em série, com condutibilidades térmicas diferentes, sendo kA > kB > kC e LA = LB = LC . Suponha que a condução de calor na parede pode ser tratada como unidimensional e que ambas as faces da placa estão em contacto com um fluido, sendo T∞,A e hA a temperatura ambiente e o coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da placa em contacto com o material A e T∞,C e hC a temperatura ambiente e o coeficiente de convecção, respectivamente, do lado da placa em contacto com o material C. Seja T∞,A > T∞,C e hA > hC.

(a) Trace, com o rigor possível, o gráfico T(x), em regime estacionário, sendo x a direcção normal à parede, desde um ponto onde T = T∞,A até outro onde T = T∞,C. Marque a localização das extremidades da placa e das interfaces entre os materais. Tenha em atenção a variação relativa das temperaturas no fluido dos dois lados da placa e em cada material constituinte da placa.

(b) Suponha que, num determinado instante, a temperatura T∞,A aumenta, mantendo-se T∞,C,

hA e hC inalteráveis. Diga, justificando, se a temperatura na extremidade da placa em contacto com material C aumenta, diminui ou não se altera.

11. Uma parede plana é composta por dois materiais, A e B, de igual espessura, mas com

condutibilidades térmicas diferentes, kA e kB, respectivamente. A parede está em contacto com um fluido à temperatura T∞,A do lado do material A, sendo hA o coeficiente de convecção, e com outro fluido à temperatura T∞,B do lado do material B, sendo hB o

x

r

x0, r0

T1, x1, r1

coeficiente de convecção. Considere o caso de regime estacionário com T∞,A > T∞,B. Diga, justificando, em qual dos casos (a) a (d) se pode garantir que a temperatura na interface entre os dois materiais é mais próxima de T∞,A do que de T∞,B, isto é, T∞,A-Tinterface < Tinterface-T∞,B:

(a) kA > kB e hA > hB

(b) kA > kB e hA < hB

(c) kA < kB e hA > hB

(d) kA < kB e hA < hB 12. Considere uma placa plana infinita de espessura 2L com uma distribuição inicial de

temperaturas como mostra a figura:

isto é, na parte central entre - nL e + nL a temperatura inicial é To e entre L e nL, tal como entre - L e –nL, a temperatura inicial é Ta, igual à temperatura ambiente. O coeficiente de transmissão de calor à superfície é h.

(a) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, x), as distribuições de temperatura para t → ∞ e para um instante entre t = 0 e t → ∞.

(b) Esboce com um certo rigor, num gráfico (T, t), as distribuições de temperatura no plano médio da placa e na sua superfície.

13. Uma placa plana, unidimensional, homogénea, com condutibilidade térmica constante, separa

um fluido A, no lado esquerdo da placa, de um fluido B, no lado direito da placa. Os fluidos A e B estão em repouso e as suas temperaturas são TA e TB, respectivamente, sendo TA > TB.

(a) As figuras 1 a 3 representam os perfis de temperatura, em regime estacionário, para diferentes combinações de fluidos (ar e água). Identifique, para cada figura, os fluidos A e B. Justifique.

(b) Na figura 4 está representado o perfil de temperaturas, em regime estacionário, para uma placa constituída por um material diferente. Quais são os fluidos A e B? A

condutibilidade térmica deste material é maior, igual ou menor do que a do material da alínea anterior? Justifique.

∆TA

∆TB

∆TA > ∆TB

Fig. 4

Fig. 2

∆TA

∆TB

∆TA ≈ ∆TB

Fig. 3

∆TA

∆TB

∆TA ≈ ∆TB

Fig. 1

∆TA

∆TB

∆TB >∆TA

14. Considere uma placa plana, de espessura 2L, na qual a face x = 0 é mantida à temperatura T1. A condutibilidade térmica do material da placa varia com a temperatura de acordo com a seguinte expressão:

( )[ ]oo TTakk −+= 1

onde k = ko à temperatura de referência To e a é uma constante.

Determine a distribuição de temperatura na placa, T(x), em função de T1 e do fluxo de calor q” . Esboce, justificando, a distribuição de temperatura na placa para a = 0, a > 0 e a < 0.

15. Considere uma conduta de condutibilidade térmica constante onde circula ar a temperatura

inferior à temperatura ambiente, conforme esquematizado na figura:

A CB

T

r

(a) Qual dos perfis de temperatura representados na figura (A, B, C) está correcto? Justifique.

(b) Suponha que é colocado um material isolante (baixa condutibilidade térmica) na superfície exterior da conduta. Podemos garantir que o calor transmitido para o ar que circula na conduta irá diminuir? Justifique.

16. A principal linha de vapor de uma central termo-eléctrica transporta vapor a 113 bar e 400 ºC.

Foi decidido usar um isolamento com k1 = 0.078 W/m K, mas dado que este não se comporta de modo adequado acima de 300 ºC, será complementado por uma camada de isolamento resistente a temperaturas elevadas, com k2 = 0.2 W/mºC, junto à tubagem de vapor. Tem de ser usado isolamento suficiente para que a temperatura da superfície exterior seja 48 ºC. A tubagem onde circula o vapor é constituída por aço com kaço = 40 W/m K e tem um diâmetro interior de 30 cm, com uma espessura de 3 cm. Os coeficientes de convecção são 4500 W/m2 K do lado do vapor e 12 W/m2 K do lado do ar. Determine as espessuras dos dois isolamentos para uma temperatura ambiente de 30 ºC.

17. Considere um fio condutor (condutibilidade eléctrica = 5,1 x 106 Ω-1m-1), de secção circular (diâmetro = 0,04 m), sem protecção, percorrido por uma corrente contínua I = 450 Amp. A potência gerada por efeito de Joule, por unidade de comprimento do fio, é 31,6 W/m e a condutibilidade térmica do material é 300 W/(m K).

(a) Admitindo uma temperatura máxima no condutor de 80 ºC e uma temperatura ambiente de 20 ºC, calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção.

(b) Considere dois isolantes A e B, com 0,005 m de espessura e condutibilidades térmicas kA = 0,3 W/(m K) e kB = 4 W/(m ºC). Pretendendo-se proteger a superfície exterior do fio condutor, qual dos dois isolantes escolheria de modo a não aumentar a temperatura máxima do condutor em mais de 10% em relação ao anteriormente considerado? Considere para esta alínea h = 3 W/(m2 K).

(c) Qual a temperatura exterior do isolante nas condições da alínea b)?

18. Um cabo de secção circular, com raio R, percorrido por corrente eléctrica, encontra-se num

meio à temperatura T∞. Admita que a potência libertada por efeito Joule, por unidade de volume, é uniforme numa secção transversal do cabo.

(a) Diga, justificando, em que medida a condutibilidade térmica do material influencia a temperatura em r = 0 e em r = R.

(b) Subitamente a corrente eléctrica é cortada. Represente, no mesmo gráfico, o perfil de temperaturas no instante em que a corrente é cortada e num instante posterior, antes de o regime estacionário ter sido restabelecido. Justifique a forma dos perfis traçados e compare, para esses dois instantes, as temperaturas e os gradientes de temperatura em r = 0 e r = R.

19. Considere um reservatório esférico destinado a conter uma mistura de fluidos em reacção exotérmica. O reservatório é formado, tal como indicado na figura, por duas camadas sendo a condutibilidade térmica da camada A igual a kA = 19 W/mK e a condutibilidade térmica do material B kB = 0.21 W/mK. As dimensões do reservatório são R0=0.3 m, R1=0.35 m, R2=0.4 m. Por razões de resistência dos materiais não convém ultrapassar no material A a temperatura de 450 °C e no material B a temperatura de 400 °C. O reservatório encontra-se num ambiente à temperatura de Tamb = 35 °C e o coeficiente de convecção na superfície do lado exterior é igual a hext = 8 W/m2K. O coeficiente de convecção na superfície interior é igual a hint = 200 W/m2K e a mistura dos reagentes é homogénea e encontra-se toda à mesma temperatura. Despreze a resistência térmica de contacto entre os materiais A e B.

(a) Calcule a potência máxima que se pode libertar no interior do reactor.

(b) Nestas circunstâncias, qual é a temperatura no interior do reactor?

(c) Se a taxa de libertação de calor aumentar 50% qual terá de ser o novo valor do raio exterior R2 a usar para garantir um correcto funcionamento do sistema? Suponha que todos os parâmetros mantêm os seus valores.

20. Num reservatório esférico, de raio interior r1 e raio exterior r2, a superfície interior é mantida

à temperatura T1 e a superfície exterior à temperatura T2. Determine a coordenada radial para a qual a temperatura é igual à média das temperaturas T1 e T2 em função das dimensões do reservatório.

21. Calcule a distribuição de temperaturas, em regime estacionário, numa esfera sujeita a uma

geração de calor interna com intensidade uniforme q ′′′& [W/m3], cuja superfície se comporta

como um corpo negro e troca calor por radiação com o ambiente a uma temperatura T∞.

22. Deduza uma expressão para o raio critico do isolamento de uma esfera oca de raio exterior ro, colocada num meio onde a temperatura ambiente é Te e o coeficiente de transmissão de calor

por convecção exterior é proporcional a 21−or . O raio interno da esfera é r i e a sua superfície

interna está à temperatura Ti. A condutibilidade térmica da esfera é k.

23. Um termómetro, constituído por um termopar colocado no fundo de uma baínha metálica que

lhe dá a resistência mecânica necessária, está montado na parede de uma tubagem onde circula vapor de água à temperatura real Tv (ver figura).

A B

R0 R1 R2

(a) Admitindo que o contacto térmico entre o termopar e a baínha é perfeito e desprezando o efeito da resistência do ar no interior da baínha, determine a temperatura real do vapor, Tv. Despreze as trocas de calor por radiação e tenha em atenção que o termómetro pode ser tratado como uma alheta.

(b) Como procederia para diminuir a diferença de temperaturas Tv-Tt encontrada na alínea

anterior? 24. No interior de um tubo de aço (k = 50 W m-1 K-1) de 25 mm de diâmetro (exterior) circula um

fluido que está a condensar à temperatura de 50ºC (h = 3500 W m-2 K-1). A espessura do tubo é de 1mm. Um ventilador faz passar um caudal de ar a 25ºC perpendicularmente ao tubo (v∞ = 20m/s), sendo o coeficiente de convecção igual a 50 W m-2 K-1. De forma a aumentar a troca de calor, foi decidido colocar alhetas anulares com uma espessura de 1.5mm e largura de 1cm, sendo o espaçamento entre alhetas de 5mm.

Justifique se as alhetas devem ser colocadas pelo interior ou pelo exterior do tubo. Para o caso que considerou corresponder ao do maior aumento da troca de calor, calcule:

(a) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo antes da colocação das alhetas.

(b) A troca de calor por unidade de comprimento do tubo após a colocação das alhetas.

25. Água à temperatura de 95 ºC escoa-se no interior de um tubo de aço (k = 41 W m-1 K-1) com 2.54 cm de diâmetro interior. Na superfície exterior do tubo há 8 alhetas longitudinais, com secção rectangular, do mesmo material, com 1.90 cm de comprimento. O tubo e as alhetas têm a mesma espessura, que é 0.25 cm. Os coeficientes de convecção dos lados interior e exterior são 5000 W m-2 ºC-1 e 12 W m-2 K-1, respectivamente. Desprezando a perda de calor através das extremidades das alhetas, calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de comprimento do tubo, supondo que a temperatura do ar exterior é 15 ºC.

26. Numa alheta de secção constante, com comprimento L, foram medidas as temperaturas às distâncias L/3, 2L/3 e L da base, tendo-se registado os valores T1, T2 e T3, respectivamente. Sabendo que a temperatura da base é Tb e a temperatura do meio ambiente é T∞, estime a eficiência da alheta em função das temperaturas conhecidas.

27. Suponha que uma colher de chá, parcialmente mergulhada numa chávena, é modelada como

uma barra de secção transversal circular e uniforme de diâmetro D e comprimento 2l. Seja k a condutibilidade térmica do material constituinte da colher. Os coeficientes de convecção do lado do chá e do ar são h1 e h2, respectivamente. As temperaturas do chá e do ar são uniformes e iguais a To e T∞, respectivamente. Supondo que metade da barra está em contacto com o chá, determine a distribuição de temperaturas na barra em regime estacionário.

28. Considere uma alheta de comprimento 2l. Metade da alheta está isolada, não havendo transmissão de calor através da sua superfície. Essa extremidade da alheta é mantida a uma temperatura Tw. A outra metade da alheta está rodeada por um fluido à temperatura T∞ < Tw, sendo h o coeficiente de convecção. Determine a temperatura no meio da alheta e na outra extremidade.

29. Uma barra de 2.5 cm de diâmetro, 1 m de comprimento e condutibilidade térmica 20 W / m K está apoiada em dois suportes mantidos à temperatura de 50 ºC. A barra está exposta ao ar que se encontra a 300 ºC. Determine a temperatura a meio da barra e a taxa de transmissão de calor do ar para a barra supondo que o coeficiente de convecção é 50 W/m2 ºC.

30. Em muitos casos, o coeficiente de convecção na extremidade de uma alheta, he, difere do coeficiente de convecção na superfície lateral, hl. Determine a distribuição de temperaturas, a taxa de transmissão de calor, a eficiência e a eficácia de uma alheta de secção transversal uniforme nessas condições.

31. Um chip de secção quadrangular, com 16 mm de lado, tem 16 alhetas de alumínio com 2 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento, dispostas num arranjo quadrangular com passos longitudinal e transversal de 4 mm. Um ventilador promove o escoamento do ar a 25 ºC, sendo o coeficiente de convecção de 110 W / m2 K. Qual é a potência máxima do chip de modo a que a sua temperatura, suposta uniforme, não exceda 75 ºC?

32. A pá de uma turbina de gás recebe calor dos produtos de combustão por convecção e por radiação. Suponha que a secção transversal da pá é constante e que a extremidade pode ser considerada adiabática. Se a energia emitida por radiação pela pá for desprezável, determine a distribuição de temperaturas ao longo da alheta.

33. Uma alheta de perfil parabólico com 20 mm de comprimento e 6 mm de espessura na base é constituída por um material com condutibilidade térmica igual a 187 W m-1 K-1 e massa específica 2500 kg m-3. Sabendo que a alheta, cuja base é mantida a 500 K, se encontra num meio a 300 K e que o coeficiente de convecção é 2800 W m-2 K-1, determine a taxa de transmissão de calor através da alheta e a sua massa.

34. Um transístor é arrefecido por uma alheta anular, de alumínio, com 5 mm de raio interior, 20 mm de raio exterior e 0.2 mm de espessura. Determine a eficiência da alheta e o calor

dissipado quando a base se encontra a 380 K, sendo 300 K a temperatura do meio e 8.2 W m-2 K-1 o coeficiente de convecção. Suponha que a condutibilidade térmica do material é 205 W m-1 K-1.

35. Um aquecedor eléctrico com 5 cm de comprimento e 4 mm de diâmetro dissipa 10 W através das suas extremidades, estando a superfície lateral perfeitamente isolada. Em cada extremidade do aquecedor está montada uma alheta cilíndrica com o mesmo diâmetro e com 10 cm de comprimento. Tanto o aquecedor como as alhetas são constituídos por uma liga de alumínio (k = 190 W m-1 K-1). O ar ambiente está a 300 K e o coeficiente de convecção é 50 W m-2 K-1. Determine a temperatura na extremidade das alhetas exposta ao ar.

36. Uma superfície encontra-se a 180 ºC e está em contacto com um fluido a 80 ºC. Determine o acréscimo no calor dissipado se a superfície for revestida por alhetas de perfil triangular com 6 mm de espessura na base, 30 mm de comprimento e espaçadas entre si de 15 mm. Sejam 20 W m-2 K-1 e 50 W m-1 K-1 o coeficiente de convecção e a condutibilidade térmica, respectivamente.

37. Uma placa plana infinita, de espessura 2L, com condutibilidade térmica constante, encontra-se inicialmente a uma certa temperatura uniforme. Subitamente, a placa é exposta a um fluido a uma temperatura mais baixa. A figura 1 representa o perfil de temperaturas num determinado instante, durante o período de arrefecimento da placa. Estime o número de Biot para este problema.

Figura 1

00.10.20.30.40.50.60.70.8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

x*

θ*

38. Num forno de microondas há uma geração de energia térmica aproximadamente uniforme no

interior dos alimentos. Num forno convencional, a superfície dos alimentos é aquecida predominantemente por radiação. Assim, considere uma fatia de carne de forma cilíndrica, com espessura 2L, e represente qualitativamente, para ambos os fornos, a distribuição de temperaturas ao longo do eixo para os seguintes instantes:

(a) Instante inicial, to, em que o forno é ligado. (b) Instante t1 durante o processo de aquecimento. (c) Instante t2 em que o forno é desligado. (d) Instante t3 durante o processo de arrefecimento.

Apresente dois gráficos, um para cada forno, representando em cada gráfico os perfis de temperatura para os 4 instantes indicados. Assuma que a fatia de carne é colocada de modo a que ambas as faces são aquecidas de igual modo.

39. Um corpo de volume V, área superficial A, massa específica ρ e calor específico c está inicialmente a uma temperatura uniforme To. Em t = 0, o corpo é imerso num reservatório que contém um fluido a uma temperatura superior, To + ∆T. Algum tempo depois, em t = t1, o corpo, à temperatura uniforme T = T1, é rapidamente removido do interior do fluido quente e mergulhado num reservatório que contém um fluido a uma temperatura To - ∆T. Considere, em ambos os processos, que os gradientes internos de temperatura no corpo são desprezáveis e, ainda, que o coeficiente de transmissão de calor por convecção tem o mesmo valor, h.

(a) Derive uma expressão para o tempo, t = t2, ao fim do qual a temperatura do corpo atinge de novo o seu valor inicial, To. Apresente o resultado em função dos dados do enunciado.

(b) Mostre que (t2 - t1) é sempre inferior a t1.

(c) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução temporal da temperatura do corpo, desde t = 0 até t → ∞ .

40. Um sólido de volume V e com área superficial A encontra-se à temperatura T∞ e está imerso num fluido à mesma temperatura. A partir de um dado instante, t = 0, começa a libertar-se calor no interior do sólido à taxa ( )tqo β−exp& , em que oq& e β são constantes. Assumindo

propriedades constantes e desprezando os gradientes internos de temperatura, deduza uma expressão para a temperatura no sólido em função do tempo para t > 0.

41. Uma placa plana, unidimensional, de espessura L, com propriedades constantes (ρ e cp), encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme To. Para t > 0, uma das superfícies da placa recebe um fluxo q” , sendo o calor dissipado por convecção na outra superfície para um meio com temperatura uniforme T∞. Seja h o coeficiente de transmissão de calor. Determine a temperatura na placa ao longo do tempo, supondo que os gradientes térmicos são desprezáveis.

42. Uma pequena esfera metálica é mergulhada num líquido a temperatura diferente. Suponha que o volume de líquido é relativamente pequeno, de tal modo que a sua temperatura varia em resultado do calor trocado com a esfera. Determine a evolução temporal das temperaturas da esfera e do fluido, assumindo que os gradientes espaciais de temperatura são desprezáveis e que o líquido só troca calor com a esfera.

43. A parede do difusor na exaustão do motor de um foguetão tem uma espessura L = 25 mm e é constituída por uma liga de aço cujas propriedades são ρ = 8000 kg/m3, c = 500 J/kg K e k = 25 W/m K. Durante um teste de resistência ao fogo, a parede encontra-se à temperatura inicial uniforme de Ti = 25 ºC e é exposta aos gases quentes resultantes da combustão cuja temperatura é T∞ = 1750 ºC. A superfície exterior está isolada. A parede deve manter-se a uma temperatura pelo menos 100 ºC abaixo da temperatura de fusão do material que é igual a 1600 ºC. Assuma que o diâmetro do difusor é muito maior que a espessura da parede e que o coeficiente de convecção do lado dos gases quentes é igual a 500 W/m2 K.

(a) Determine a temperatura na superfície da parede em contacto com gases ao fim de 30s.

(b) Determine o tempo ao fim do qual a temperatura máxima permitida é atingida.

44. Uma placa plana de espessura 20 cm, inicialmente à temperatura de 800 K, foi colocada a arrefecer num meio a 300 K. Ao fim de 75 minutos foi medida a temperatura no centro da placa e à superfície, tendo-se registado as temperaturas de 450 K e 397.5 K, respectivamente. O coeficiente de convecção é 150 W m-2 ºC-1.

(a) Determine as propriedades físicas da placa relevantes para o problema descrito (condutibilidade térmica e difusibilidade térmica).

(b) Determine o tempo ao fim do qual a diferença entre a temperatura no centro da placa e a temperatura na superfície é igual a 25 ºC.

45. Uma barra de secção circular de um material compósito (k = 1.2 W m-1 K-1, ρ = 1500 kg m-3 e c = 1800 J kg-1 K-1) com 3 cm de diâmetro está inicialmente a 30 ºC. É então colocada numa câmara onde vapor saturado a 120 ºC condensa na sua superfície, aquecendo-a. Quando a temperatura no centro da barra atinge 110 ºC, a barra é retirada e arrefecida em ar a 20 ºC até a temperatura no centro atingir 30 ºC. Determine o tempo requerido para cada um destes processos. Assuma que o coeficiente de convecção é muito elevado no processo de aquecimento e igual a 15 W m-2 K-1 no processo de arrefecimento.

46. Uma esfera de aço (k = 36.4 W m-1 K-1, ρ = 7750 kg m-3 e c = 486 J kg-1 K-1) de 8 cm de diâmetro é aquecida numa fornalha até atingir uma temperatura uniforme de 800 ºC. Seguidamente é arrefecida por imersão num banho mantido à temperatura de 300 ºC até a temperatura no centro da esfera atingir 500 ºC. Determine o tempo requerido para esse arrefecimento, supondo o coeficiente de convecção muito elevado.

47. Considere uma peça de carne com a forma aproximada de um cilindro, de eixo horizontal, com um diâmetro de 10 cm e uma temperatura inicial de 10ºC, a assar num forno com ar à temperatura de 175ºC e um coeficiente de convecção de 15 W/m2K. Considere as propriedades da carne iguais às da água a 300 K: (α=1,4x10-7 m2/s, k=0,6 W/mK). Considerando o comprimento infinito:

(a) Calcule o tempo necessário para que a temperatura no centro atinja 80ºC.

(b) Calcule a temperatura máxima da superfície para as condições da alínea anterior.

(c) Admitindo que a temperatura no centro é 80ºC e a da superfície não deve ultrapassar 130ºC e mantendo as outras condições:

(i) Calcule qual o coeficiente de convecção máximo que pode utilizar.

(ii) Calcule a temperatura máxima do ar que pode utilizar.

(d) Se o cilindro for tratado como finito, indique qual a influência nos resultados das alíneas anteriores.

48. Um cubo de aço (k = 50 W/mK, ρ = 7820 kg/m3, c = 445 J/kgK) com 10 cm de lado, inicialmente a uma temperatura de 400ºC, é imerso num banho de óleo a 80ºC, que permite um coeficiente de convecção de 1 kW/m2K. Ao fim de um minuto calcule:

(a) A temperatura nos centros das faces do cubo e nos vértices.

(b) A temperatura média do cubo.

49. Um cubo (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de lado, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m2K. Determine a temperatura no centro, a meio de uma face e nos vértices do cubo, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cubo para o líquido durante esse período.

50. Barras de alumínio com uma secção de 2.5 cm por 5 cm são extrudidas a 500 ºC, como ilustrado na figura. Logo após a extrusão, as barras devem ser preparadas para distribuição, o que requer um arrefecimento rápido. Para esse efeito, as barras passam por uma câmara de arrefecimento onde opera um conjunto de sprays de água, à temperatura de 25 ºC. O coeficiente de convecção entre a água de arrefecimento e a superfície das barras é 5000 W/m2 K. As propriedades do alumínio são k = 230 W/m ºC, ρ = 2707 kg/m3 e cp = 896 J/kg K.

(a) Se as barras forem extrudidas à velocidade de 0.5 m/s, determine o comprimento L da câmara de arrefecimento requerido para que, à saída, a temperatura no centro das barras seja 150 ºC.

(b) Qual é a temperatura máxima na superfície das barras à saída da câmara de arrefecimento?

spray

L

vA

500oC

51. Um cilindro de cobre (k = 50 W/mK, α = 20x10-6 m2/s) com 100 mm de comprimento e 50 mm de diâmetro encontra-se inicialmente a uma temperatura uniforme de 20ºC. O cilindro é colocado entre duas placas que permitem que as suas bases atinjam 500ºC. (Este caso pode ser considerado como coeficiente de convecção infinito). Ao mesmo tempo, a superfície lateral do cilindro é sujeita a convecção forçada com ar a 500ºC com h = 75 W/m2K.

(a) Calcule ao fim de quanto tempo a temperatura no centro atinge 350 ºC.

(b) Calcule a temperatura mínima na superfície do cilindro ao fim do mesmo tempo. Justifique a escolha do ponto do cilindro que considerou para a resolução desta alínea.

52. Um cilindro (k = 17 W/mK, ρ = 8000 kg/m3, c = 420 J/kgK) com 5 cm de diâmetro e 5 cm de altura, inicialmente à temperatura de 550 ºC, é mergulhado num líquido à temperatura constante de 50 ºC. O coeficiente de convecção é 340 W/m2K. Determine a temperatura no

centro e a meio das faces do cilindro, bem como a temperatura média, ao fim de 2 minutos. Determine ainda a energia transmitida do cilindro para o líquido durante esse período.

53. O tratamento térmico de uma peça cilíndrica (ρ = 8 000 kg/m3, cp = 420 J Kg-1 K-1 e k = 21.6 W m-1 ºC-1) com 5 cm de diâmetro e 10 cm de comprimento, à temperatura inicial de 925 ºC, requer um arrefecimento rápido num banho de óleo à temperatura de 40 ºC. O coeficiente de convecção é 568 W m-2 K-1.

(a) Determine o tempo requerido para que a temperatura no centro da peça seja 260 ºC.

(b) Determine, para o tempo calculado em (a):

(i) A temperatura no centro da base

(ii) A temperatura na superfície cilíndrica, num plano equidistante da base e do topo

54. Pretende-se arrefecer dois cilindros de diâmetro D = 10 cm e altura L = 30 cm, inicialmente à

temperatura uniforme Ti = 500 K. Para esse efeito, são colocados num recinto onde circula ar à temperatura T∞ = 300 K, sendo o coeficiente de convecção igual a 100 W/m2K. As propriedades térmicas dos dois cilindros são as seguintes:

Cilindro A: ρA = 8000 kg/m3 Cilindro B: ρB = 8000 kg/m3 kA = 300 W/mK kB = 10 W/mºC cpA = 400 J/kgºC cpA = 500 J/kgK

(a) Determine, para ambos os cilindros, o tempo requerido para que a temperatura máxima seja 400 K, desprezando a troca de calor através da base e do topo.

(b) Determine, para ambos os cilindros, a temperatura mínima ao fim de meia hora, desprezando a troca de calor através da base e do topo.

(c) Repita a alínea anterior assumindo que o coeficiente de convecção na base e topo dos cilindros é igual ao coeficiente de convecção através da superfície lateral.

55. Um copo de água a 300 K com 8 cm de diâmetro e 12 cm de altura é colocado num frigorífico que mantém a temperatura do ar a 277 K. O coeficiente de convecção é 5 W/m2K. Ao fim de 6 horas o copo é retirado do frigorífico. Estime a temperatura média da água nesse instante, assumindo que só há condução de calor na água.

56. Uma parede espessa de betão, inicialmente a 400 K, é pulverizada com uma grande quantidade de água de modo a manter a superfície a 300 K. Quanto tempo é necessário para que um ponto a 5 cm da superfície arrefeça para 320 K?

57. No escoamento sobre uma superfície, o perfil de temperatura tem a seguinte forma:

( ) 32 DyCyByAyT −++=

onde os coeficientes A a D são constantes. Determine o coeficiente de transmissão de calor por convecção, h, em termos de T∞, coeficientes do perfil e propriedades do fluido.

58. O perfil de temperaturas na camada limite térmica de um escoamento sobre uma placa aquecida é dado por:

−−=−

− ∞

∞ νyu

TT

TT

s

s Prexp1

em que y é a distância normal à superfície, o número de Prandtl é 0.7, T∞ = 400 K, Ts = 300

K, u∞ /ν = 5000 s-1. Determine o coeficiente de convecção.

59. Uma expressão aproximada para o perfil de temperaturas numa camada limite térmica é

( ) ( )[ ]22

2x

y

x

y

TT

TT

tts

s

δδ−=

−−

∞

enquanto a espessura da camada limite térmica pode ser aproximada por

( )3121 PrRe

5.5

x

t

x

x=

δ

Escreva uma expressão para o coeficiente de convecção local.

60. A espessura da camada limite térmica é aproximadamente 13% maior do que a espessura da camada limite hidrodinâmica num escoamento laminar de ar a 20 ºC, à pressão atmosférica, sobre uma placa plana. Qual será a relação correspondente entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica e térmica num escoamento de água à mesma pressão e temperatura?

61. Uma chumaceira opera a 3600 rpm e é lubrificada com óleo cujas propriedades são ρ = 800 kg/m3, ν = 10-5 m2/s e k = 0.13 W/m K. O diâmetro do veio é 75 mm e o espaçamento entre o veio e a chumaceira é 0.25 mm.

(a) Determine a distribuição de temperaturas no óleo assumindo que não há transmissão de calor para o veio e que a superfície lubrificada da chumaceira é mantida a 75 ºC.

(b) Qual é a taxa de transmissão de calor para a chumaceira e qual a potência necessária para manter a chumaceira em funcionamento?

62. Ar à temperatura de 15 ºC e com uma velocidade de 15 m/s escoa-se paralelamente a uma placa plana cuja superfície é aquecida e mantida a 140 ºC. A área da placa é 0.25 m2 e a força de resistência ao escoamento é 0.25 N. Qual é a potência de aquecimento requerida para manter a placa àquela temperatura?

63. Considere o escoamento laminar, a baixa velocidade, com propriedades constantes, completamente desenvolvido, entre duas placas planas paralelas localizadas em y = ±b. Essas placas estão electricamente aquecidas, sendo o fluxo de calor na parede uniforme. Mostre que:

(a) O perfil de velocidades é dado por ( )[ ]215.1 byuu m −= , sendo um a velocidade média

do fluido.

(b) O factor de atrito é f = 96 / ReDh, sendo Dh o diâmetro hidráulico.

(c) O número de Nusselt é 140/17 = 8.24.

64. No escoamento laminar de um fluido sobre uma placa plana isotérmica, de comprimento L, o número de Nusselt é:

3/12/1 PrRe332,0 xxNu = para 0.6 ≤≤ Pr 50

(a) Represente graficamente, com um certo rigor, a evolução do fluxo de calor local, "xq , ao longo da placa.

(b) Determine a posição x (distância ao bordo de ataque da placa de comprimento L) onde o

fluxo de calor local, "xq , iguala o fluxo de calor médio para toda a placa, "

Lq .

(c) Qual a razão entre o fluxo de calor local a meio da placa e o fluxo de calor médio para toda a placa. Comente o resultado obtido.

65. Ar a 20 ºC e à pressão de 0.5×105 N/m2 escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 60 m/s. O comprimento da placa é 25 cm. Calcule a espessura da camada limite a 5, 10 15 20 e 25 cm do bordo de ataque.

66. Ar a 15 ºC e à pressão atmosférica escoa-se sobre uma placa plana à velocidade de 6 m/s. A placa é mantida à temperatura de 105 ºC ao longo de todo o seu comprimento.

(a) Deduza uma expressão para o coeficiente de convecção local ao longo da placa, enquanto o escoamento se mantiver em regime laminar.

(b) Calcule a taxa de transmissão de calor por unidade de largura desde o bordo de ataque até uma distância de 1 m desse ponto.

(c) Determine a espessura da camada limite hidrodinâmica a 1 m do bordo de ataque.

67. Vento a 8 m/s sopra sobre a cobertura de uma estação de investigação na Antártida, com 5 × 5 m2. Estime o coeficiente de convecção médio para uma temperatura ambiente de -50 ºC. Assuma que o número de Reynolds para a transição laminar/turbulento é 105.

68. Pretende-se construir um arrefecedor para óleo num avião, usando a superfície da asa como superfície de separação entre o óleo e o ar. A asa pode ser idealizada como uma superfície plana sobre a qual se escoa ar à pressão de 0.7 bar, temperatura de 0ºC e à velocidade de 60 m/s. Pretende-se dimensionar a superfície considerando que se pode colocar o arrefecedor a uma distância A=1m do bordo de ataque da asa, como indicado na figura. A temperatura do óleo e a resistência à transferência de calor do lado do óleo são tais que é válido supor a superfície do arrefecedor à temperatura de 55ºC, constante em toda a sua superfície. Pretende-se dissipar 2 kW no arrefecedor. Para as alíneas (a) e (b) considere a largura do arrefecedor B=0,6m perpendicular à secção representada.

(a) Calcule o comprimento C da superfície do arrefecedor.

(b) No caso da superfície do arrefecedor ser no bordo de ataque (A=0), qual o comprimento C?

(c) Considerando que antes do arrefecedor se retira a camada limite por sucção e que a superfície do arrefecedor deve ficar toda numa zona de camada limite laminar, calcule a dimensão C e a largura B para se trocar a potência pretendida.

Justifique a escolha das correlações e das temperaturas de referência que usar.

69. Considere o escoamento sobre uma placa plana com 1 m de comprimento para velocidades do escoamento não perturbado entre 0.1 e 100 m/s. Determine o coeficiente de convecção médio e a força de resistência por unidade de comprimento para ar a 25 ºC e a pressões de 1 atm e 0.01 atm.

70. A velocidade das correntes em oceanos pode ser determinada com o auxílio de um pequeno

sensor constituído por um cilindro de quartzo revestido com uma fina película de platina, a partir da medida de características de transferência de calor. Através da platina faz-se passar uma corrente eléctrica, que a aquece, e o calor é dissipado por convecção para o fluido envolvente. A resistência da película de platina é medida electricamente e a temperatura média do sensor é estimada a partir da resistência. Num dado ensaio, em alto mar, o recurso a um sensor deste tipo, com diâmetro exterior D = 9 mm e comprimento L = 3 cm, colocado perpendicularmente à direcção do escoamento, conduziu aos seguintes resultados:

• Potência = 1,101 W

• Temperatura do sensor = 21,35 ºC

• Temperatura da água do mar = 20,54 ºC.

(a) Estime a velocidade da água.

(b) Uma potencial fonte de erro associada ao uso deste tipo de sensores é a formação de depósitos na sua superfície exterior. Calcule a espessura de depósitos que conduzirá a um erro de 5% na velocidade da água, sabendo que a condutibilidade térmica dos depósitos é k = 1 W/(mK).

71. Um sensor de gelo encontra-se colocado na asa de um avião que se desloca a 150 m/s através de ar a -26 ºC e à pressão de 61 kPa. Um sistema de aquecimento é usado para aquecer a superfície do sensor até 0 ºC para avaliar, a partir da curva T=f(t) se há gelo presente (se tal suceder, haverá uma evolução a temperatura constante durante o tempo em

x

A C

que o gelo funde). Determine a potência mínima requerida do sistema de aquecimento, supondo que o sensor tem a forma de um disco com 2 cm de diâmetro. Suponha que a parte da frente da asa pode ser modelada como um cilindro com 30 cm de diâmetro com o sensor colocado no ponto de estagnação.

72. Durante a soldadura de alumínio por arco eléctrico são ejectadas pequenas gotas de alumínio fundido, algumas delas a temperaturas suficientemente quentes para promoverem a ignição e formarem faíscas. A maior parte das gotas é ejectada a temperaturas menores e arrefece. Se uma dada gota tem um diâmetro de 0.5 mm, uma temperatura inicial de 1700 K e uma velocidade inicial de 1 m/s, estime a taxa inicial de arrefecimento da gota. As propriedades do alumínio líquido a 1700 K são: ρ = 2100 kg/m3, cp = 1100 J /kg K, ε = 0.20. A temperatura do ar é 300 K.

73. Um permutador de calor é constituído por 30 filas de tubos na direcção longitudinal, com 15 mm de diâmetro exterior, e um arranjo desalinhado. O passo longitudinal é 15 mm e o passo transversal é 24 mm. Vapor à pressão de 2×105 Pa condensa dentro dos tubos. Num teste de eficiência, água à temperatura de 304 K e velocidade de 2 m/s entra no feixe de tubos, saindo a 316 K. Estime o coeficiente de convecção médio e a queda de pressão.

74. Água escoa-se no interior de um feixe de tubos com 10 filas na direcção longitudinal. Os tubos estão dispostos num arranjo alinhado com passo transversal 30 mm e passo longitudinal 25 mm. O diâmetro interior dos tubos é 15 mm. A velocidade do escoamento à entrada é 0.8 m/s e as temperaturas de entrada e saída da água são 324 e 336 K , respectivamente. A temperatura da superfície dos tubos é 453 K. Estime o coeficiente de convecção médio e a queda de pressão no feixe de tubos.

75. Um feixe de tubos desfasados, com 25 filas na direcção longitudinal, tem passos longitudinal e transversal iguais a 17 e 26 mm, respectivamente. Os tubos têm 16 mm de diâmetro exterior e 1 mm de espessura. Vapor à pressão de 1.7 × 105 Pa condensa dentro dos tubos e um óleo SAE 50 a 300 K escoa-se sobre os tubos à velocidade de 1.23 m/s. Supondo que o coeficiente de convecção do lado interior dos tubos é 8000 W/m2K, determine a temperatura de saída do óleo e a queda de pressão.

76. Um caudal de 2 kg/s de ar à temperatura de 290 K e à pressão atmosférica escoa-se através de uma conduta cuja secção transversal é de 1 m × 0.4 m. A conduta contém um feixe de tubos desfasados, paralelos à secção de entrada, com 1 m de comprimento e 15 mm de diâmetro exterior, sendo os passos longitudinal e transversal iguais a 30 mm. Se no interior dos tubos estiver vapor a condensar, à pressão atmosférica, qual é o número de filas de tubos requerido para aquecer o ar até 324 K? Determine a queda de pressão nessas condições.

77. Determine a queda de pressão por unidade de comprimento num escoamento de 7×10-4 kg/s de ar a 300 K e à pressão atmosférica numa conduta anular com raio interior 6 mm e raio exterior 10 mm.

78. Considere um escoamento estacionário, laminar, completamente desenvolvido (térmica e hidrodinamicamente), de um fluido de viscosidade elevada com propriedades constantes, através de um tubo de raio ro. A parede do tubo é mantida à temperatura constante Tw

através de um sistema de arrefecimento colocado ao longo daquela. Neste caso a equação de condução do calor, em coordenadas cilíndricas, para escoamento axi-simétrico, reduz-se a:

01

2

=

+

rd

ud

rd

Tdr

rd

d

rk µ

sendo o perfil de velocidades u(r) dado pela solução de Hagen-Poiseuille.

(a) Determine a distribuição de temperaturas dentro do tubo, T(r). Trace, com um certo rigor, o perfil de temperaturas.

(b) Sendo q a quantidade total de calor extraído pelo sistema de arrefecimento através da parede do tubo ao longo de um comprimento L, prove que:

ρpm

q∆

=&

onde ∆p é a diferença de pressão entre 0 e L e m& é o caudal mássico de fluido.

79. Considere um caudal de água m& = 3.0 kg/s que se escoa num tubo de secção circular, com um diâmetro interior D = 6 cm, à temperatura de 20 ºC. A jusante de uma secção, na qual o perfil de velocidades já se encontra completamente desenvolvido, a parede do tubo está aquecida, sendo mantida à temperatura de 90 ºC.

(a) Determine a temperatura média da água à saída do tubo se o comprimento da secção aquecida for L = 5 m.

(b) Repita a alínea anterior, sendo agora L = 1 m.

80. Considere um escoamento numa secção "A" de um tubo de 2.5 mm de diâmetro interior com as características hidrodinâmicas correspondentes a escoamento laminar totalmente desenvolvido; considere que a partir desta secção "A" o fluido passou a ser aquecido, sendo a temperatura da parede do tubo constante e igual a 70 °C; na secção "A", o fluido estava a uma temperatura de 15 °C, igual em toda a secção e a velocidade máxima do fluido na secção "A" é de 0.8 m/s.

(a) Calcule o comprimento do tubo necessário para aumentar a temperatura média do benzeno que se escoa nesse tubo de 15 °C para 40 °C.

(b) Trace com um certo rigor, o perfil de velocidades e temperaturas no plano à distância x da secção "A" (x = comprimento obtido na alínea anterior).

(c) Diga, qualitativamente, para o mesmo tubo e caudal mássico, que diferenças esperaria em relação ao comprimento do tubo referido na alínea (a) se os fluidos fossem (i) óleo limpo, (ii) ar, (iii) mercúrio. Justifique.

81. Um caudal de 0.025 m3/s de ar, à temperatura de 29 ºC, entra numa conduta com 0.15 m de diâmetro interior e 0.17 m de diâmetro exterior. A condutibilidade térmica do material constituinte da conduta é 0.15 W m-1 K-1. A conduta encontra-se banhada por água à temperatura de 17 ºC, sendo o respectivo coeficiente de convecção igual a 1500 W/m2K.

(a) Determine o comprimento que a conduta deverá ter de modo a arrefecer o ar até 21 ºC.

(b) Determine a potência do ventilador requerida para promover o escoamento do ar nas condições da alínea anterior.

82. Um caudal de 0.5 kg/s de água entra no interior de um tubo de secção circular com 10 m de comprimento e 2 cm de diâmetro interior. O tubo está sujeito a um fluxo de calor uniforme à taxa de 5×104 W/m2. Suponha que os perfis de velocidade e de temperatura estão completamente desenvolvidos e utilize as propriedades da água a 20 ºC.

(a) Calcule a queda de pressão no tubo.

(b) Calcule o coeficiente de convecção.

(c) Calcule a diferença entre a temperatura da parede e a temperatura média da água.

(d) Calcule a variação da temperatura média da água entre a entrada e a saída do tubo.

83. Considere um tubo com 10 m de comprimento e 2 cm de diâmetro interior. A parede do tubo é mantida a 320 K e um fluido a 300 K e à pressão atmosférica escoa-se no interior do tubo à velocidade de 3m/s. Determine a coeficiente de convecção médio e o gradiente de pressão se o fluido for

(a) Ar

(b) Água

(c) Óleo SAE 50

(d) Mercúrio

(e) Hélio

84. Um caudal de 0.05 kg/s de ar a 245 K e 10 atm escoa-se num tubo com 9 m comprimento, 3 cm de diâmetro interior e 4 cm diâmetro exterior. O ar é aquecido por vapor saturado que condensa num tubo interior, co-axial. A superfície exterior do tubo encontra-se isolada. Calcule o coeficiente de convecção médio, a temperatura média do ar à saída do tubo e a taxa de transmissão de calor.

85. Num permutador de calor de tubos concêntricos, um caudal de 0.4 kg/s de uma solução aquosa de 20% de etileno glicol escoa-se no tubo interior, que tem um diâmetro de 2 cm e uma espessura de 1 mm (parede de cobre). A água escoa-se no tubo anular, em sentido contrário. Sabendo que numa secção onde as temperaturas do etileno glicol e da água são 280 K e 290 K, respectivamente, os coeficientes de convecção para ambos os fluidos são iguais, determine o diâmetro exterior do tubo anular.

86. Vapor de água à pressão atmosférico condensa na superfície exterior de um tubo metálico, mantendo a parede do tubo a 100 ºC. O interior do tubo é arrefecido por ar à pressão atmosférica com uma velocidade de 5 m/s e com uma temperatura de 30 ºC. O diâmetro interior do tubo é 4 cm. Assuma condições completamente desenvolvidas, hidrodinâmica e termicamente.

(a) Calcule o coeficiente de convecção.

(b) Calcule o comprimento do tubo, sabendo que a temperatura de saída do ar é 90 ºC.

(c) Calcule os comprimentos hidrodinâmico e térmico de entrada. É realista a hipótese de condições completamente desenvolvidas, hidrodinâmica e termicamente?

87. Considere o escoamento de água num tubo cujo diâmetro interior é 2.5 cm e com um fluxo de calor imposto na superfície de 104 W/m2. Assuma condições completamente desenvolvidas, hidrodinâmica e termicamente. A diferença de temperatura local entre a parede e o fluido é 4 ºC. Calcule o caudal e verifique que o escoamento é turbulento. Determine as propriedades da água a 20 ºC.

88. Água a 77 ºC e com uma velocidade de 6 m/s entra num tubo com 2 cm de diâmetro e espessura desprezável. Ar a 27 ºC escoa-se perpendicularmente sobre a superfície exterior do tubo com uma velocidade de 30 m/s. Determine a temperatura de saída da água, sendo o comprimento do tubo igual a 1 m.

89. Considere a transferência de calor por convecção natural numa superfície vertical, com 1 m de altura e 0.6 m de largura, imersa numa atmosfera de ar em repouso, a uma temperatura 20 K mais fria que a da superfície. Qual a razão entre a taxa de transferência de calor na situação descrita e a taxa de transferência de calor numa superfície vertical, com 0.6 m de altura e 1 m de largura e com o ar em repouso a uma temperatura 20 K acima da temperatura da superfície? Despreze a transferência de calor por radiação e qualquer influência da temperatura sobre as propriedades termofísicas relevantes do ar.

90. Considere uma montagem de alhetas verticais, rectangulares, que servem para arrefecer um dispositivo electrónico montado numa atmosfera em repouso a 27 ºC Cada alheta tem um comprimento de 20 mm, uma altura de 150 mm e opera a uma temperatura aproximadamente uniforme e igual a 77 ºC.

(a) Imaginando que cada superfície das alhetas seja uma placa vertical, num meio infinito e em repouso, descreva resumidamente por que existe um espaçamento óptimo das alhetas. Estime o valor óptimo do espaçamento entre alhetas, supondo que as camadas limites desenvolvidas a partir de duas placas adjacentes não interagem entre si, a partir da solução de semelhança.

(b) Com o valor óptimo do espaçamento entre alhetas e com uma espessura de alheta t =1.5 mm, estime a taxa de transferência de calor pelas alhetas numa montagem cuja largura seja w = 355 mm.

91. Considere as condições do problema anterior, mas em termos de convecção natural em canais verticais com paredes planas e paralelas. Qual é o espaçamento óptimo entre as alhetas? Para esse espaçamento, e com os valores mencionados de t e de w, qual é a taxa de transferência de calor nas alhetas?

92. Um tubo de vapor atravessa uma grande sala cujas paredes e ar ambiente estão a 300 K. O tubo tem um diâmetro de 150 mm, emissividade de 0.85 e a temperatura da superfície exterior é 400 K. Calcule a perda de calor por unidade de comprimento do tubo.

93. Considere uma secção horizontal de um telhado com as mesmas dimensões que uma secção vertical de parede. Nas duas secções existem cavidades com ar no interior, encontrando-se a superfície do lado interior a 18ºC e a do lado exterior a 10ºC.

(a) Estimar a razão entre a taxa de transferência convectiva de calor na secção horizontal e a mesma taxa na secção vertical.

(b) Qual seria o efeito sobre a taxa de transferência convectiva de calor na secção vertical da parede, se fosse dividida na horizontal a meia altura da parede?

94. Uma placa com 1m × 1m faz um ângulo de 45º com a horizontal, estando a sua superfície inferior exposta a um fluxo radiativo (líquido) de 300 W/m2. Se a superfície superior estiver bem isolada, estime a temperatura da placa exposta ao ar ambiente a 10 ºC.

95. Ar quente escoa-se no interior de uma conduta com 0.15 m de diâmetro com uma velocidade média de 3 m/s. A sua superfície exterior, cuja emissividade é 0.5, encontra-se exposta ao meio ambiente, à temperatura de 0 ºC.

(a) Determine a potência calorífica perdida por unidade de comprimento da conduta para uma secção em que a temperatura média do ar quente é 70 ºC, desprezando a espessura da parede.

(b) Suponha que a conduta tem um isolamento com 2.5 cm de espessura, sendo a emissividade da superfície igual a 0.60. Supondo que a condutibilidade térmica desse isolamento é 0.050 W m-1 K-1, determine o novo valor da potência calorífica perdida por unidade de comprimento.

96. O radiador de um automóvel é um permutador de calor de corrente cruzada com ambos os fluidos não misturados. Um caudal de 0.05 kg/s de água entra no radiador a 400 K e sai a 330 K. A água é arrefecida por ar a 300 K, sendo o caudal de ar igual a 0.75 kg/s. O coeficiente global de transmissão de calor é 200 W/m2 K. Qual é a área de permuta requerida?

97. Numa cirurgia ao coração em condições de hipotermia, sangue do paciente é arrefecido antes da cirurgia e reaquecido após esta. Para o efeito é utilizado um permutador de calor contra-corrente com tubos concêntricos, de comprimento 0.5 m, sendo o tubo interior de paredes finas e com um diâmetro de 55 mm. Água a 60 ºC e com um caudal de 0.10 kg/s é usada para aquecer o sangue que entra no permutador a 18 ºC e com um caudal de 0.05 kg/s. Qual

é a temperatura do sangue à saída do permutador? O coeficiente global de transmissão de calor é 500 W/m2 K e o calor específico do sangue é 3500 J/kg K.

98. Considere um permutador de calor onde um fluido a 300 K é aquecido por tubos. Os tubos têm um diâmetro interior de 18 mm e exterior de 22 mm e um comprimento de 0,5 m. O coeficiente de convecção exterior é de 350 W/(m2 K) e a resistência térmica da parede do tubo é desprezável. No interior dos tubos escoa-se outro fluido (água ou etilenoglicol), inicialmente a 350 K, com um caudal que pode variar de 1 a 10 litros por minuto, por tubo. Suponha que o perfil de velocidades no interior dos tubos está completamente desenvolvido. Considere as propriedades da água e do etilenoglicol à temperatura de entrada nos tubos dadas na seguinte tabela:

ρ [kg/m3] µ [kg/(m s)] k [W/(m K)] cp [J/(kg K)]

Água 974 0,000365 0,668 4195 Etilenoglicol 1079 0,00342 0,261 2657

(a) Calcule o coeficiente de convecção interior para cada um dos fluidos e para os caudais

mínimo e máximo, indicando as aproximações efectuadas. (b) Calcule a potência fornecida por cada tubo.

99. Num permutador de calor de tubos concêntricos, muito longo, as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio são 80 ºC e 20 ºC, respectivamente. O caudal do fluido quente é o dobro do caudal do fluido frio e os calores específicos são iguais. Considere duas configurações:

(i) Escoamento contra-corrente

(ii) Escoamento co-corrente.

Para cada uma destas configurações, responda às seguintes questões:

(a) Esboce, com o rigor possível, a evolução da temperatura dos dois fluidos ao longo do permutador.

(b) Determine as temperaturas de saída dos dois fluidos.

(c) Determine a eficiência do permutador.

100. O condensador dum frigorífico, representado na figura, tem acoplado um ventilador que entra em funcionamento quando a temperatura de condensação ultrapassa 50ºC e/ou quando a temperatura do ar à saída do condensador ultrapassa 28ºC. Sabendo que o ar na cozinha se encontra a 22ºC e que a quantidade de calor dissipada no condensador é de 850 W, averigúe se o ventilador está a funcionar ou parado. Na resolução do problema, indique claramente: (a) o valor UA do condensador com o ventilador parado; (b) justificação que o levou a decidir se o ventilador arrancou ou não;

(c) o caudal de ar que atravessa o condensador quando o ventilador arranca devido à temperatura do ar à saída do condensador ultrapassar os 28ºC (considere que a temperatura de condensação é 50ºC).

Para a resolução do problema: pode ser desprezada a espessura do tubo do condensador; o coeficiente de convecção interior pode ser considerado constante e igual a

4000W/m2K. a superfície do condensador pode ser considerada equivalente a uma superfície plana

(vertical) com altura e largura de 1,2 e 0,6m respectivamente o fluido frigorigéneo entra na condensador sob a forma de vapor saturado e sai sob a

forma de líquido saturado

101. Considere o evaporador representado na figura. O evaporador é constituido por vários tubos de aço de diâmetro interior igual a 25 mm e espessura igual a 0.6 mm. O fluido quente é água que circula com um caudal de 2.5 m3/h por tubo, apresentando à entrada a temperatura de 90°C e à saída 80°C.

(a) Calcule o coeficiente global de transmissão de calor, justificando com clareza todas as simplificações e aproximações introduzidas na resolução.

(b) Calcule a temperatura do fluido que se está a evaporar.

(c) Determine a temperatura média da água na secção a meio de cada tubo.

102. O fluxo de energia devido à radiação solar incidente na superfície exterior da atmosfera terrestre foi medido com precisão e é igual a 1353 W/m2. Os diâmetros do sol e da terra são 1.39×109 m e 1.29×109 m, respectivamente, e a distância entre o sol e a terra é 1.5×1011 m.

(a) Qual é o poder emissivo do sol?

(b) Assumindo a superfície do sol como negra, qual é a sua temperatura?

(c) Qual é o comprimento de onda para o qual o poder emissivo do sol é máximo?

(d) Assumindo a superfície do sol como negra, e o sol como a única fonte de energia da terra, estime a temperatura da superfície da terra.

103. Determine a fracção de energia radiativa emitida pelo sol na gama visível do espectro electromagnético.

104. A emissividade espectral, direccional de um material difuso a 2000 K está representada na figura seguinte

(a) Determine a emissividade total hemisférica a 2000K.

(b) Determine o poder emissivo na gama do espectro entre 0.8 e 2.5 mm e para as direcções 0 ≤ θ ≤ 30º.

105. Um detector de área A2 = 4×10-6 m2 é usado para medir a radiação total emitida por uma superfície de área A1 = 5×10-6 m2 e temperatura T1 = 1000 K. Quando a superfície do detector recebe radiação emitida por A1 na direcção normal (θ = 0º), a uma distância L = 0.5 m, mede uma potência radiativa de 1.155×10-6 W. Qual é a emissividade normal da superfície? Quando o detector é deslocado horizontalmente, de tal modo que θ = 60º, mede 5.415×10-8 W. A superfície 1 será um emissor difusor?

106. Uma superfície difusa radia de acordo com a seguinte distribuição:

(a) Qual é o poder emissivo total da superfície?

(b) Qual é a temperatura mínima que a superfície pode ter?

(c) Qual é a emissividade total da superfície sabendo que a sua temperatura é 500 K?

107. Uma superfície opaca, com a reflectividade espectral hemisférica representada na figura, está sujeita à irradiação espectral também indicada na figura:

(a) Represente graficamente a absorvidade espectral hemisférica.

(b) Determine a irradiação total na superfície.

(c) Determine o fluxo radiativo absorvido pela superfície.

(d) Qual é a absorvidade hemisférica total da superfície?

108. Um vidro especial, difuso, com as propriedades espectrais indicadas na figura seguinte, é aquecido no interior de um grande forno. As paredes do forno estão revestidas com tijolo refractário, cinzento e difuso, com uma emissividade de 0.75 e encontram-se à temperatura de 1800 K. A temperatura do vidro é 750 K.

(a) Determine a transmissividade total, a reflectividade total e a emissividade total do vidro.

(b) Determine o fluxo radiativo (líquido) no vidro.

(c) Determine o fluxo radiativo (líquido) no vidro para temperaturas da parede de 1500 K e 2000 K.

109. Uma superfície difusa, cujas absorvidade e reflectividade espectrais se encontram representadas na figura, encontra-se exposta à radiação solar.

(a) Determine a transmissividade espectral da superfície.

(b) Se a irradiação for igual a 750 W/m2 e tiver a distribuição espectral igual à de um corpo negro a 5800 K, determine a absorvidade, reflectividade e transmissividade totais da superfície.

(c) Determine a emissividade da superfície quando esta se encontra à temperatura de 350 K.

(d) Determine o fluxo radiativo (líquido) na superfície.

110. Uma grande fornalha é constituída por paredes opacas, difusas e cinzentas, cuja emissividade é 0.85 e que se encontram a 3000 K. Um pequeno objecto difuso, com as propriedades espectrais representadas na figura, é mantido a 300 K no interior da fornalha. Determine ε, α, E, G e J para um ponto A na parede da fornalha e um ponto B na superfície do objecto.

111. Numa câmara de vácuo, cuja superfície é mantida à temperatura de 77 K, há uma janela cuja reflectividade e transmissividade espectrais estão representadas na figura. Um simulador de radiação solar, que emite como um corpo negro a 5800 K, irradia para a janela um fluxo de 3000 W/m2. A superfície exterior da janela encontra-se em contacto com ar à temperatura de 25 ºC, sendo o coeficiente de convecção igual a 15 W / m2 K, enquanto a temperatura da vizinhança pode ser tomada igual à temperatura do ar, isto é, 25 ºC.

(a) Determine a transmissividade total do material da janela à radiação do simulador solar.

(b) Determine a temperatura da janela em regime estacionário.

(c) Determine o fluxo de calor (líquido) transmitido para a câmara de vácuo.

112. Num forno, cujas paredes se encontram à temperatura de 1000 K, ar a 750 K escoa-se ar à velocidade de 5 m/s sobre uma peça cilíndrica com 0.2 m de comprimento e 25 mm de diâmetro. A peça é feita de um material cuja emissividade espectral está representada na figura.

(a) Determine a taxa de transmissão de calor para a peça no instante em que esta é colocada no forno a 300 K

(b) Determine a temperatura da peça em regime estacionário.

(c) Determine o tempo necessário para a temperatura da peça atingir uma temperatura inferior em 50 ºC à temperatura em regime estacionário.

113. A superfície de uma placa, exposta a um fluxo solar de 900 W/m2, tem uma emissividade de 0.1 e uma absorvidade à radiação solar de 0.9. A temperatura do ar e das superfícies envolventes é 17 ºC. O coeficiente de convecção entre a placa e o ar é 20 W m2 s-1. Determine a temperatura da placa em regime estacionário, quando a outra extremidade placa se encontra perfeitamente isolada.

114. Determine os factores de forma F12 e F21 para as configurações esquematizadas nas figuras seguintes usando as propriedades dos factores de forma. As configurações (a), (c), (d) e (g) são bidimensionais. Na configuração (b) as superfícies 1 e 2 são esféricas. A configuração (e) representa uma esfera sobre um plano infinito. A configuração (f) representa um disco na base de uma semiesfera.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g)

115. Determine F12 em função de factores de forma tabelados.

116. Determine F12 para as placas infinitas esquematizadas na figura usando a álgebra dos factores de forma.

117. Um disco circular de diâmetro D1 = 20 mm está localizado na base de um recinto cilíndrico com uma cúpula hemisférica. O recinto tem um diâmetro D = 0.5 m e a altura da secção cilíndrica é l = 0.3 m. O disco e a superfície do recinto são corpos negros a 1000 K e 300 K, respectivamente.

(a) Qual é o calor trocado por radiação entre o disco e a cúpula hemisférica?

(b) Qual é o calor trocado por radiação entre o disco e a parte de cima (1/3 da altura do cilindro) da secção cilíndrica?

118. Uma placa circular de diâmetro D = 500 mm é mantida à temperatura de 600 K e está localizada coaxialmente com uma superfície cónica perfeitamente isolada, a uma distância de 500 mm (ver figura). A placa e a superfície cónica são corpos negros que se encontram num recinto cujas paredes são mantidas a 300 K.

(a) Qual é temperatura da superfície cónica?

(b) Qual é a potência requerida para manter a placa a 600 K?

119. Um contentor esférico, de paredes finas, com 0.8 m de diâmetro, é usado para armazenar oxigénio líquido. Este contentor está colocado dentro de um outro com 1.2 m de diâmetro, separado do primeiro por vácuo. As superfícies dos contentores são opacas, difusas e cinzentas, com ε = 0.05. Se a superfície exterior está a 280 K e a interior está a 95 K, qual é a taxa de evaporação do oxigénio (calor latente de vaporização = 2.13×105 J/kg)?

120. Uma fornalha longa, semi-cilíndrica (raio = 1 m) é usada para tratamento térmico de chapas metálicas e é constituída por três zonas. A zona de aquecimento (1) é constituída por uma placa de um material cerâmico com emissividade 0.85 e opera a 1600 K por meio de queimadores. A zona de carga (2) é constituída pelas chapas metálicas a tratar, assumidas como corpos negros a 500 K. A zona refractária é constituída por tijolo isolante com uma emissividade de 0.6. Assuma regime estacionário, superfícies difusas e despreze a convecção.

(a) Qual é a potência calorífica que os queimadores devem fornecer, por unidade de comprimento da fornalha, para as condições indicadas?

(b) Qual é a temperatura do tijolo nas condições do problema?

121. Na figura está representado um estabelecimento comercial com uma grande montra para o exterior. Sabendo que o recinto é aquecido a partir de painéis caloríficos colocados no pavimento de modo a manter a temperatura deste a 25° C, determine a potência de aquecimento se as restantes paredes (tecto incluído) estiverem a 20° C e no exterior a temperatura for de 5° C. O chão e as restantes paredes podem ser tratados como corpos negros.

122. Uma fila de aquecedores (1) de geometria cilíndrica é usada para aplicar um revestimento numa superfície (2). Uma placa (3), perfeitamente isolada, é colocada conforme representado na figura. Os aquecedores podem ser tratados como corpos negros a 600 K, enquanto a placa (2) tem uma emissividade de 0.5 e é mantida a 400 K. A cavidade está cheia de um gás transparente à radiação. Os coeficientes de convecção entre as superfícies (1) e (2) e o ar são 10 W/m2 K e 2 W/m2 K, respectivamente (o coeficiente de convecção para a placa (3) pode ser desprezado).

(a) Determine a temperatura média do gás.

(b) Determine a potência calorífica libertada por cada aquecedor por unidade de comprimento.

(c) Determine o fluxo de calor para a superfície (2).