Transmissions Numeriques Bande de Base

Transmission numérique en bande de base’Baseband Pulse Transmission’

Cours de Télécommunications

Thierry Sartenaer

Novembre 2006

Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 1 / 56

Introduction

Outline

1 Introduction

2 Filtre adapté

3 Calcul du taux d’erreur

4 Interférence entre symboles

5 Critère de Nyquist

6 Codes à réponse partielle

7 Transmission PAM multi-niveaux

8 Egalisation linéaire MMSE

9 Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions


Introduction

Introduction

Ce chapitre traite de la transmission de données numériques d’origine quelconque (issuesd’un signal analogique ou non )

Transmission en bande de base: ne nécessite pas la modulation d’une porteuse

Système optimal pour la détection d’un signal connu, pollué par un bruit AWGN: filtreadapté

Méthode de calcul du taux d’erreur binaire dû à la présence du bruit

Déformation du signal transmis sur un canal dispersif: interférence entre symboles

Critère de Nyquist pour la non-déformation du signal

Technique de contrôle de l’interférence entre symboles: codes à réponse partielle

Techniques d’égalisation pour récupérer un signal déformé

Usage et interprétation du diagramme de l’oeil


Filtre adapté

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1 Introduction

2 Filtre adapté









Filtre adapté

Filtre adapté

Problème courant en télécom: détection d’une impulsion de forme connue g(t), corrompuepar du bruit blanc de PSD N0/2

Observation du signal bruité sur un intervalle de durée T:

x(t) = g(t) + w(t), 0 ≤ t ≤ T

Choix d’un filtre h(t) dont la sortie en t = T permettra la détection du signal:

y(t) = x(t)⊗ h(t) = g0(t) + n(t)

Définition du rapport signal à bruit (à maximiser):

η =|g0(T)|2

E[n2(t)]


Filtre adapté

Filtre adapté

Evaluation du numérateur (effet d’un filtre sur le spectre):

|g0(T)|2 =

∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f )G(f ) exp(2πjft)df

∣∣∣∣2Evaluation du dénominateur (effet d’un filtre sur la densité spectrale de puissance):

E[n2(t)] =

∫ ∞

−∞SN(f )df =

N0

2

∫ ∞

−∞|H(f )|2df

Inégalité de Schwarz:Soit 2 fonctions complexes φ1(x) et φ2(x) d’énergie finie:∫ ∞

−∞|φ1,2(x)|2dx < ∞

L’inégalité suivante est toujours vérifiée:∣∣∣∣∫ ∞

−∞φ1(x)φ2(x)dx

∣∣∣∣2

≤∫ ∞

−∞|φ1(x)|2dx

∫ ∞

−∞|φ2(x)|2dx

Egalité dans le cas suivant (k constante arbitraire):

φ1(x) = kφ∗2 (x)


Filtre adapté

Filtre adapté

Application de l’inégalité de Schwarz au numérateur:∣∣∣∣∫ ∞

−∞H(f )G(f ) exp(2πjft)df

∣∣∣∣2 ≤ ∫ ∞

−∞|H(f )|2df

∫ ∞

−∞|G(f )|2df

Borne supérieure sur le SNR (indépendante de H(f )!):

η ≤ 2N0

∫ ∞

−∞|G(f )|2df

Egalité obtenue pour le filtre optimal:

Hopt(f ) = kG∗(f ) exp(−2πjfT)

Réponse impulsionnelle du filtre optimal:

hopt(t) = k∫ ∞

−∞G∗(f ) exp[−2πjf (T − t)]df

= k∫ ∞

−∞G(−f ) exp[−2πjf (T − t)]df

= kg(T − t)

Justification de l’appellation filtre ’adapté’!Valable pour du bruit Gaussien ou non-GaussienTélécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 7 / 56

Filtre adapté

Filtre adapté

Propriété fondamentale du filtre adapté: le rapport signal à bruit η en sortie du filtre adapténe dépend que du rapport entre l’énergie E du signal d’entrée et la densité spectrale depuissance N0 du bruit blanc à l’entréeSpectre du signal en sortie du filtre:

G0(f ) = Hopt(g)G(f ) = k|G(f )|2 exp(−2πjfT)

Signal échantillonné à la sortie du filtre:

g0(T) =

∫ ∞

−∞G0(f ) exp(2πjfT)df = k

∫ ∞

−∞|G(f )|2df = kE

Par l’identité de Parseval, l’énergie du signal vaut en effet:

E =

∫ ∞

−∞g2(t)dt =

∫ ∞

−∞|G(f )|2df

Puissance moyenne du bruit en sortie du filtre:

E[n2(t)] =k2N0

2

∫ ∞

−∞|G(f )|2df = k2N0E/2

SNR final (la forme de l’impulsion g(t) n’a aucune importance!):

η =(kE)2

(k2N0E/2)=

2EN0


Filtre adapté

Filtre adapté

Cas particulier d’un filtre adapté à uneimpulsion rectangulaire

Implémentation: circuit’integrate-and-dump’, le signal d’entréeest intégré sur une durée T , puisl’intégrateur revient dans son état initial


Calcul du taux d’erreur

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1 Introduction

2 Filtre adapté










Probabilité d’erreur due au bruit

Soit un train d’impulsions binaire de type ’polaire NRZ’: les symboles 1 et 0 sontreprésentés par des impulsions rectangulaires positives ou négatives, d’amplitude A, et dedurée Tb

Signal reçu dans l’intervalle d’observation (0 ≤ t ≤ Tb):

x(t) = +A + w(t), symbol 1

= −A + w(t), symbol 0

Le récepteur est supposé parfaitement synchronisé (connaissance parfaite de la positiondes intervalles de durée Tb), et la forme des impulsions est connueObjectif: sur base de l’observation du signal bruité, décider si le symbole transmis est 0 ou1




Décision basée sur un seuil λ: le signal échantillonné en sortie du filtre adapté est comparéau seuilDeux types d’erreur possibles (analysées séparément):

1 Erreur de type 1: choix du symbole 1 alors que 0 a été transmis2 Erreur de type 2: choix du symbole 0 alors que 1 a été transmis

Sortie du filtre adapté pour la transmission d’un symbole 0:

y =

∫ Tb

0x(t)dt = −A +

1Tb

∫ Tb

0w(t)dt

Y est une variable aléatoire Gaussienne de moyenne −A et de variance:

σ2Y =

1T2

bE[∫ Tb

0

∫ Tb

0w(t)w(u)dtdu

]=

1T2

b

∫ Tb

0

∫ Tb

0E[w(t)w(u)]dtdu

=1

T2b

∫ Tb

0

∫ Tb

0Rw(t, u)dtdu




Fonction de covariance d’un bruit blanc de PSD N0/2:

Rw(t, u) =N0

2δ(t − u)

Variance de Y:

σ2Y =

1T2

b

∫ Tb

0

∫ Tb

0

N0

2δ(t − u)dtdu =

1T2

b

∫ Tb

0

N0

2dt =

N0

2Tb

Fonction de distribution conditionnelle de Y:

fy(y|0) =1√

πN0/Tbexp(− (y + A)2

N0/Tb

)




Définition de la fonction d’erreur erf(u):

erf(u) =2√π

∫ u

0exp(−z2)dz

Symétrie: erf(−u) = −erf(u), valeurs limites: −1 et +1Fonction d’erreur complémentaire erfc(u) = 1− erf(u) :

erfc(u) =2√π

∫ ∞

uexp(−z2)dz

Bornes supérieure et inférieure pour u élevé:

exp(−u2)√πu

(1− 1

2u2

)< erfc(u) <

exp(−u2)√πu

Définition de la fonction-Q donnant directement la surface sous-tendue par la queue d’uneGaussienne normalisée (moyenne nulle, variance unité):

Q(v) =1√2π

∫ ∞

vexp(− x2

2

)dx

Equivalence: erfc(u) = 2Q(√

2u)




Probabilité d’erreur de type 1 (y > Λ alors que le symbole 0 a été transmis):

p10 =

∫ ∞

λ

fy(y|0)dy =1√

πN0/Tb

∫ ∞

λ

exp(− (y + A)2

N0/Tb

)Changement de variable:

z =y + A√N0/Tb

Probabilité d’erreur de type 1:

p10 =1√π

∫ ∞

(A+λ)/√

N0/Tb

exp(−z2)dz =12

erfc

(A + λ√N0/Tb

)De manière équivalente, on peut calculer la probabilité d’erreur de type 2:

p01 =12

erfc

(A− λ√N0/Tb

)Probabilité d’erreur moyenne pour des probabilités a priori p0 et p1:

Pe = p0p10 + p1p01 =p0

2erfc

(A + λ√N0/Tb

)+

p1

2erfc

(A− λ√N0/Tb

)Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 15 / 56



Le taux d’erreur moyen dépend du seuil λ qui peut se calculer de manière optimale commesuit:

λopt =N0

4ATblog(

p0

p1

)Cas particulier: symboles équiprobables (p0 = p1 = 0.5)

Seuil optimal: λopt = 0 (correspond bien à l’intuition)

Canal ’binaire symétrique’: p10 = p01

Probabilité d’erreur moyenne:

Pe =12

erfc

(A√

N0/Tb

)

Energie du signal transmis par bit: Eb = A2Tb

La probabilité d’erreur symbole dans un canal binaire symétrique dépend uniquement durapport Eb/N0 entre l’énergie du signal transmis par bit Eb et la densité spectrale depuissance du bruit N0:

Pe =12

erfc

(√Eb

N0

)Télécommunications (ECAM) Transmission numérique en bande de base Novembre 2006 16 / 56



Borne supérieur sur la probabilité d’erreursymbole:

Pe <exp(−Eb/N0)

2√

πEb/N0

Amélioration exponentielle du tauxd’erreur en fonction de Eb/N0

Une augmentation modeste du rapportEb/N0 permet d’obtenir un taux d’erreurproche de 0


Interférence entre symboles

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1 Introduction

2 Filtre adapté











Soit un système de transmission par modulation d’impulsions en amplitude (PAM) de typebinaireAmplitudes ak des impulsions: +1 pour un symbole binaire bk = 1, −1 pour un symbolebinaire bk = 0En pratique on peut également envisager des transmissions PAM non-binaires, impliquantplus de 2 niveaux d’amplitude possibles, le choix d’une amplitude particulière ak dépendalors d’une séquence de plusieurs bitsLa séquence ak passe ensuite dans un filtre de mise en forme g(t), produisant le signal:

s(t) =∑

k

akg(t − kTb)

Le signal passe à travers un canal dispersif de réponse h(t), puis est corrompu par le bruitw(t)




Le signal reçu passe à travers un filtre de réception c(t)

La sortie du filtre de réception est échantillonnée à cadence symbole, de manièresynchrone avec l’émetteur

Les échantillons reçus sont soumis à un organe de décision qui les compare à un seuil λ

La sortie du filtre de réception peut s’écrire:

y(t) = µ∑

k

akp(t − kTb − t0) + n(t)

t0 représente un temps de propagation (délai) et peut être négligé sans perte de généralité

L’impulsion p(t) résulte de la mise en cascade du filtre d’émission, du canal, et du filtre deréception:

µp(t) = g(t)⊗ h(t)⊗ c(t)

On normalise l’impulsion p(t): p(0) = 1, le facteur µ représente donc un facteur global dechangement d’amplitude à travers la chaine de transmission

Dans le domaine fréquentiel, on a:

µP(f ) = G(f )H(f )C(f )




Le signal échantillonné à la sortie du filtre de réception peut s’écrire:

y(ti) = µ

∞∑k=−∞

akp[(i− k)Tb] + n(ti) = µai + µ∑k 6=i

akp[(i− k)Tb] + n(ti)

En l’absence de bruit et d’interférence entre symboles, on a simplement y(ti) = µai

La conception d’un système de transmission numérique en bande de base a pour objectifde minimiser l’effet du bruit et de l’interférence entre symboles (ISI) de manière àmaintenir le taux d’erreur à un taux très faible

Dans les systèmes à SNR élévé (exemple: réseau téléphonique), les performances sontprincipalement limitées par l’ISI, et la présence du bruit peut être négligée en premièreapproximation


Critère de Nyquist

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1 Introduction

2 Filtre adapté









Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Le récepteur a pour tâche d’extraire la séquence y(iTb) en sortie du filtre de réception, puisde décoder cette séquence afin de récupérer les symboles binaires bk

Le contrôle du canal équivalent p(t) a pour but de satisfaire au mieux la propriété suivante:

p(iTb − kTb) = 1 (i = k) ou 0 (i 6= k)

Cette condition assure une réception parfaite en l’absence de bruit:

y(ti) = µai

Le critère de Nyquist est simplement l’expression de cette condition de réception parfaite(pas d’interférence entre symboles) dans le domaine fréquentiel

Le spectre de l’impulsion globale {p(nTb)} échantillonnée à cadence 1/Tb peut s’écrire:

Pδ(f ) = F

{∞∑

m=−∞

[p(mTb)δ(t − mTb)]

}=

1Tb

∞∑n=−∞

P(f − nTb

)


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Pour une réception sans ISI, le spectre devient:

Pδ(f ) =

∫ ∞

−∞p(0)δ(t) exp(−2πjft)dt = p(0) = 1

Le critère de Nyquist s’écrit finalement:

∞∑n=−∞

P(f − nTb

) = Tb

Si le canal global p(t), composé de la mise en cascade du filtre d’émission, du canalphysique, et du filtre de réception, a un spectre P(f ) satisfaisant le critère de Nyquistci-dessus, alors les échantillons du canal enregistrés à une cadence 1/Tb sont exemptésd’interférence entre symboles.


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Canal de Nyquist idéal: spectre P(f ) rectangulaire, de bande passante W = 12Tb

Impulsion correspondante dans le domaine temporel:

p(t) =sin(2πWt)

2πWt= sinc(2Wt)


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Les impulsions successives, échantillonnées aux instants t = 0,±Tb,±2Tb, · · ·n’interfèrent pas les unes sur les autresCanal le plus économique en bande passante (fréquence de Nyquist W), mais 2inconvénients:

1 Transition abrupte de la réponse du filtre, irréalisable en pratique2 L’impulsion p(t) décroît en 1/|t| (lent!), ce qui provoque une dégradation importante des

performances en cas d’erreur de timing


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Solution: extension de la bande passante depuis la valeur minimale W = 1/2Tb vers unevaleur ajustable entre W et 2W

Pour un filtre dont le spectre est limité à la bande [−2W, 2W], on peut se contenter despécifier le critère de Nyquist dans la bande [−W, W] comme ceci:

P(f ) + P(f − 2W) + P(f + 2W) =1

2W, −W ≤ f ≤ W

Une solution répandue à ce problème est le filtre en cosinus surélevé (raised cosinespectrum) constitué d’une partie plate et une partie dite ’rolloff’ de forme sinusoïdale:

P(f ) =

1

2W 0 ≤ |f | < f11

4W

{1− sin

[π(|f |−W)2W−2f 1

]}f1 ≤ |f | < 2W − f1

0 |f | ≥ 2W − f1


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Facteur de rolloff 0 ≤ α ≤ 1 (représente la bande passante en excès par rapport à W):

α = 1− f1

W

Bande passante totale:BT = W(1 + α)


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

Domaine temporel:

p(t) = [sinc(2Wt)](

cos(2παWt)1− 16α2W2t2

)Premier facteur: impulsion de Nyquistidéale, assurant le passage par 0 auxinstants adéquats

Second facteur: décroissance en 1/|t|2,réduisant l’importance de la ’queue’ del’impulsion, ce qui la rend moins sensibleaux erreurs de timing


Critère de Nyquist

Critère de Nyquist

La bande passante requise et la robustesse à l’encontre des erreurs de timing augmententquand le facteur de rolloff évolue entre 0 et 1.

Cas particulier du filtre ’full-cosine rolloff’ pour α = 1:

P(f ) =

{1

4W

[1 + cos

(πf2W

)]f1 ≤ |f | < 2W

0 |f | ≥ 2W

Dans le domaine temporel:

p(t) =sinc(4Wt)

1− 16W2t2

Propriétés:A t = ±Tb/2 = ±1/4W, on a p(t) = 0.5: l’impulsion mesurée à mi-hauteur a donc unelargeur exactement égale à la durée du bit TbL’impulsion passe par 0 aux instants t = ±3Tb/2,±5Tb/2, · · · en plus des passages par 0habituels aux instants t = ±Tb,±2Tb, · · ·

Ces propriétés sont utiles pour assurer la synchronisation du signal reçu. Le prix à payerest que la bande passante est alors 2 fois plus élevée que pour le canal de Nyquist idéalcorrespondant à α = 0


Codes à réponse partielle

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1 Introduction

2 Filtre adapté











La technique des codes à réponse partielle (’correlative-level coding’ ou ’partial-responsesignaling’) permet d’atteindre la limite théorique de 2W symboles par seconde dans uncanal de largeur W Hertz, en utilisant des filtres réalisables (pas de transition abrupte duspectre) et tolérants aux erreurs de timing (affaiblissement rapide de la réponseimpulsionnnelle)

L’idée est d’introduire volontairement de l’ISI, de manière contrôlée, pour pouvoirl’interpréter correctement dans le récepteur




Codage duobinaire, ou code à réponse partielle de type I

Symboles binaires bk = 1 ou 0

Modulation PAM produisant des amplitudes ak = +1 ou −1 selon bk

Codeur duobinaire produisant des amplitudes ck à trois niveaux: -2, 0 et 2

ck = ak + ak−1

La séquence d’impulsions décorrélées à 2 niveaux ak est donc transformée en séquenced’impulsions à 3 niveaux ck, ce qui revient à introduire de l’ISI de manière contrôlée

La séquence d’impulsions ck passe ensuite dans un filtre de Nyquist idéal




Réponse en fréquence du filtre équivalent:

HI(f ) = Hnyq(f )[1 + exp(−2πjfTb)]

= Hnyq(f )[exp(πjfTb) + exp(−πjfTb)] exp(−πjfTb)

= 2Hnyq(f ) cos(πfTb) exp(−πjfTb)

Pour un filtre de Nyquist idéal (réponse en fréquence rectangulaire), on a donc:

HI(f ) = 2 cos(πfTb) exp(−πjfTb), |f | ≤ 1/2Tb




La réponse impulsionnelle est constituée de la somme de 2 impulsions de Nyquistdistantes de Tb:

hI(t) =sin(πt/Tb)

πt/Tb+

sin[π(t − Tb)/Tb]

π(t − Tb)/Tb

=sin(πt/Tb)

πt/Tb− sin[πt/Tb]

π(t − Tb)/Tb

=T2

b sin[πt/Tb]

πt(Tb − t)

L’impulsion diminue en 1/|t|2, ce qui est plus rapide que l’impulsion de Nyquist




Le décodage peut se faire en soustrayant la décision ak−1 sur le symbole précedent:

ak = ck − ak−1

Problème des systèmes à rétroaction de décision (’decision feedback’): risque depropagation des erreurs

Solution possible: utilisation d’un précodage (addition modulo-2 = opérationnon-linéaire!):

dk = bk ⊕ dk−1




Combinaison du précodeur et du codeur duobinaire: ck = 0 pour un symbole binairebk = 1, et ck = ±2 pour un symbole binaire bk = 0

Décodage simplifié: si |ck| < 1, on décide bk = 1 et si |ck| > 1, on décide bk = 0




Certaines applications exigent un spectre nul en DC. Solution: codage duobinaire modifiéou code à réponse partielle de type IV

Codeur modifié: corrélation sur une durée de 2 bits

ck = ak − ak−2

Précodeur modifié (optionnel):dk = bk ⊕ dk−2




Réponse en fréquence du filtre:

HIV(f ) = 2j sin(2πfTb) exp(−2πjfTb), |f | ≤ 1/2Tb

Réponse impulsionnelle (différence de 2 impulsions de Nyquist distantes de 2Tb):

hIV(t) =2T2

b sin(πt/Tb)

πt(2Tb − t)




Généralisation: la distance de corrélation peut être quelconque (pas seulement 1 ou 2), etles poids associés au codeur peuvent aussi varier




Les différentes classes de codes à réponse partielle sont obtenues en construisant unecombinaison linéaire d’impulsions de Nyquist décalées:

h(t) =

N−1∑n=0

wnsinc(t

Tb− n)

Codage duobinaire: w0 = +1, w1 = +1; codage duobinaire modifié: w0 = +1 ,w1 = 0 etw2 = −1Un choix approprié des coefficients permet d’obtenir les caractéristiques spectralessouhaitées, en fonction de l’applicationPrix à payer: moindre résistance au bruit en raison du plus grand nombre de niveauxd’amplitude


Transmission PAM multi-niveaux

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1 Introduction

2 Filtre adapté











Un système M-PAM produit en général M ≥ 2 niveaux d’amplitudeDébit binaire total (en bits/s) plus élevé que le débit des symboles PAM (en bauds):

1Tb

= log2(M)1T

Codage de Gray: les symboles voisins diffèrent d’un seul bit


Egalisation linéaire MMSE

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1 Introduction

2 Filtre adapté











Solution pour le bruit de canal: filtre adapté

Solution pour l’interférence entre symboles: critère de Nyquist

En pratique, bruit et ISI se produisent simultanément: le filtre de réception doit être conçuen conséquence

Solution possible: égaliseur ’zero-forcing’ qui force l’ISI à zéro en inversant l’effet ducanal physique, de manière à ce que la cascade ’filtre d’émission + canal physique + filtrede réception’ respecte le critère de Nyquist. Inconvénient: risque d’amplification du bruitdans les ’trous’ de la réponse en fréquence du canal

Solution de compromis entre bruit et ISI: égaliseur MMSE (Minimum Mean Square Error)




Opération du filtre de réception sur le signal reçu:

y(t) =

∫ ∞

−∞c(τ)x(t − τ)dτ

Expression du signal reçu:

x(t) =∑

k

akq(t − kTb) + w(t)

où q(t) = g(t)⊗ h(t) résulte du filtre de transmission g(t) et du canal physique h(t), ak

représente le symbole transmis à t = kTb et w(t) est le bruit de canal

Echantillon recueilli en sortie du filtre de réception:

y(iTb) =∑

k

ak

∫ ∞

−∞c(τ)q(iTb − kTb − τ)dτ +

∫ ∞

−∞c(τ)w(iTb − τ)dτ = ξi + ni

Idéalement, on voudrait recevoir y(iTb) = ai, on définit donc l’erreur comme:

ei = y(iTb)− ai = ξi + ni − ai




Définition de l’erreur quadratique moyenne (MSE):

J =12

E[e2i ] =

12

E[ξ2i ] +

12

E[n2i ] +

12

E[a2i ] + E[ξini] + E[niai] + E[ξiai]

Terme 1: E[ξ2i ] peut être évalué pour i = 0 pour un signal stationnaire:

E[ξ2i ] =

∑l

∑k

E[alak]

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞c(τ1)c(τ2)q(lTb − τ1)q(kTb − τ2)dτ1dτ2

Pour des symboles +1 et -1 indépendants, on a E[alak] = 1 pour k = l et 0 ailleurs. Onutilise la fonction d’autocorrélation de la séquence {q(kTb)}:

Rq(τ2 − τ1) =∑

k

q(kTb − τ1)q(kTb − τ2)

On a finalement:E[ξ2

i ] =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞c(τ1)Rq(τ1, τ2)c(τ2)dτ1dτ2




Terme 2:

E[n2i ] =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞c(τ1)c(τ2)E[w(iTb − τ1)w(iTb − τ2)]dτ1dτ2

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞c(τ1)c(τ2)Rw(τ2 − τ1)dτ1dτ2

où Rw(τ) est la fonction de covariance statistique du bruit. Pour du bruit blanc, on a:

Rw(τ2 − τ1) =N0

2δ(τ2 − τ1)

On a finalement:

E[n2i ] =

N0

2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞c(τ1)c(τ2)δ(τ2 − τ1)dτ1dτ2




Terme 3: E[a2i ] = 1

Termes 4 et 5: E[ξini] = E[niai] = 0

Terme 6:

E[ξiai] =∑

k

E[akai]

∫ ∞

−∞c(τ)q(iTb − kTb − τ)dτ =

∫ ∞

−∞c(τ)q(−τ)dτ

Expression finale de l’erreur quadratique moyenne:

J =12

+12

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

(Rq(t − τ) +

N0

2δ(t − τ)

)c(t)c(τ)dtdτ −

∫ ∞

−∞c(t)q(−t)dt

Pour trouver le filtre de réception optimal (MMSE), on différentie l’expression ci-dessuspar rapport à c(t) et on égale le résultat à 0, ce qui donne:∫ ∞

−∞

(Rq(t − τ) +

N0

2δ(t − τ)

)c(τ)dτ = q(−t)




Solution dans le domaine fréquentiel:(Sq(f ) +

N0

2

)C(f ) = Q∗(f )

Ce qui donne une solution explicite pour le filtre de réception MMSE:

C(f ) =Q∗(f )

Sq(f ) + N02

La densité spectrale de puissance de la séquence {q(kTb)} peut se calculer comme suit:

Sq(f ) =1Tb

∑k

∣∣∣∣Q(f − kTb

)

∣∣∣∣2Le récepteur linéaire optimal est donc composé de 2 éléments en cascade:

1 Un filtre adapté de réponse q(−t) avec q(t) = g(t)⊗ h(t)2 Un égaliseur transversal (ligne a délai à cadence 1/Tb) dont la réponse est l’inverse de la

fonction périodique Sq(f ) + (N0/2)




La mise en oeuvre de l’égaliseur MMSE optimal implique généralement un nombre infinide coefficients (filtre IIR). En pratique, on approxime la solution par un nombre fini decoefficients {ck}N

k=−N (FIR)La conception d’un récepteur MMSE statique ne convient pas en pratique: le canal q(t)n’est pas toujours connu (problème de l’estimation de canal), et le canal peut varier dans letempsLa solution généralement adoptée est la conception d’un récepteur adaptatif qui assure uneimplémentation adaptative à la fois du filtre adapté et de l’égaliseur, de manière combinée.’Fractionally-spaced equalizer’: plus facile à mettre en oeuvre, placé directement à lasortie du canal, travaille à cadence plus élevée (2/Tb)


Egalisation adaptative et à rétroaction des décisions

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1 Introduction

2 Filtre adapté










Egalisation adaptative

Mise en oeuvre d’un égaliseur adaptatif: requiert le calcul d’une séquence d’erreur e[n],différence entre la sortie courante y[n] de l’égaliseur, et la réponse souhaitée d[n]

L’algorithme LMS, par exemple, peut être utilisé pour la mise à jour des coefficients w[n]en fonction du signal d’erreur e[n]:

w[n + 1] = w[n] + µe[n]x[n]



Egalisation adaptative

Mode d’entraînement: au démarrage, une séquence d’entraînement, connue du récepteur,est utilisée par l’émetteur, ce qui permet d’initialiser les coefficients de l’égaliseur à desvaleurs correctes (disponibilité du signal souhaité d[n])

Mode orienté décisions: en régime, l’émetteur transmet une séquence inconnue desymboles, et le récepteur prend une décision sur les symboles reçus. On peut supposer queces décisions sont correctes la plupart du temps. Les décisions prises par le récepteurconstituent alors la réponse souhaitée servant à calculer le signal d’erreur. Dans ce mode,le récepteur est capable de suivre les variations lentes du canal.



Egalisation à rétroaction des décisions

Amélioration de l’égaliseur linéaire MMSE: égaliseur à rétroaction des décisions(’decision-feedback equalizer’ ou DFE) = égaliseur non-linéaire!Séquence reçue à la sortie du canal:

x[n] = h[0]a[n] +∑k<0

h[k]a[n− k] +∑k>0

h[k]a[n− k]

L’interférence due aux échantillons précurseurs peut être annulée en utilisant les décisionsdéjà prises par le récepteur



Egalisation à rétroaction des décisions

La synthèse de la partie avant (’feedforward’) de l’égaliseur a pour but de réduire auminimum (sans amplifier le bruit de canal ) l’interférence entre symboles due auxéchantillons postcurseurs du canalL’interférence due aux échantillons précurseurs sera ensuite parfaitement éliminée par lapartie arrière (’feedback’) de l’égaliseur, à condition que les décisions soient correctesInconvénient de la méthode: rique de propagation d’erreurUn algorithme adaptatif peut être utilisé pour mettre à jour conjointement les coefficientsdes 2 filtres sur base d’un même signal d’erreurPour les canaux fortement dispersifs, l’égaliseur DFE apporte un gain de performancesignificatif par rapport à l’égaliseur linéaire


Documents

Transmissions Numeriques Bande de Base