TRANSPORT AND

PROPAGATION IN THE

ENVIRONMENT

1. Transport theory in continuous media

2. Atmospheric mass transport

3. Energy transport and thermoelectricity

4. Biological transport

Atmospheric mass transport

1) General equations

2) Theory of turbulence

3) Planetary boundary layer

4) Vertical distributions in the PBL

5) Gaussian models

6) Deposition processes

Bibliography:

• M. Lazaridis. First Principles of Meteorology and Air Pollution. Springer-Verlag (2010)

• S. Pal Arya. Air Pollution Meteorology and Dispersion. Oxford Univ. Press (1999).

• V.E. Alemany, P.A. López. Dispersión de contaminantes en la atmósfera. Univ. Pol. Valencia (2000).

• A.R. Paterson. A First Course in Fluid Dynamics. Cambridge Univ. Press (1983).

• D.J. Tritton. Physical fluid dynamics. Oxford Univ. Press (1988).

• M.L. Salby. Fundamentals of atmospheric physics. San Diego Acad. Press (1996).

Relevant aspects related to armospheric mass transport and pollutant dispersal:

• Physical (meterological) and chemical phenomena involved

• Types of pollutants:- Primary and secondary

• Emission – Immission

• Effects on the environment:- Climate Change- Acidification and soil erosion- Photochemical Smog

• Social effects:- Health- Economics

1. General equations

As in every physical system, the foundamental equations result from conservation principles (in this case, mass, moment and energy).

Continuity equation:

Navier-Stokes equation:

Energy conservation in the atmosphere:

2 ( ) ( , )c

vc D c R c S x tt

21·

vv v p F v

t

Starting point of every mechanical model for atmospheric transport

and dispersal

2

v H

Tc v T S

t

Large-scale circulation

Neglecting inertial effects and viscosity: Including friction with the surface:

General case:

2' , ... ( , )i

i i i i i i i i j i

cv c v c D c R c c S x t

t

' '

'

i i i i iv v v c c c

p p p

2

' 1' · ' ' '

i i

i i i i i i

v vv v v v p p F v v

t

New variables (related to the statistical properties of the turbulent flux) appear in the system of equations, so additional hypothesis/theories are necessary → Turbulence closure problem

2. Turbulence theory

Eddies and cascade energy: Energy is transfered to smaller scales through deformation (e.g. vortex twisting and stretching) leading to a vortex hierarchy which lacks a characteristic scale.

Turbulence (high Re)

Scales, vorticity and turbulence

Small Re

2· ·v vt

Kolmogorov’s theory of turbulence

• Finite dissipation rate for arbitrarily large Re

• 2/3 Law

• 4/5 Law

3

D

UC

L

2 2/3 2/3( ) ,v l f l l

2 2/3 5/3( ) ( ) ( ) ( )

k

v l k E k dk E k k

3 4

( )5

v l l

Fractal turbulence

• Reynolds averaged equations:

2 221

'v v p v

Reynolds stress tensor

The form of the tensor leads again to the Turbulence closure problem

• Boussinesq aproximation:

' ' 'yx

x y T x T

vv cv v v c K

y x x

Turbulent eddy viscosity Turbulent eddy diffusivity

2 , ... ( , )i

i i i i i i i i j i

cv c K c D c R c c S x t

t

Navier-Stokes +

3. Planetary boundary layer:

• Boundaries tend to initiate and/or promote turbulence.

The concept of Reynolds number has a limited utility in these situations.

Velocity profile in the boundary layer (Law of the Wall):

• Characteristic velocity in the layer:

• Viscous sublayer:

• Inertial sublayer:

paretv

0

lnz

z vz

constant v y

Ekman spiral (turbulent PBL):Stratified (buoyantly-driven) PBL:

210 2p K v v g

Planetary layers:

• Microlayer: ~10 cm

• Surface layer: ~ 10 m

• Mix (convective) layer: ~ 1 Km

• Stable layer: ~ 200 m

Key aspects for the dynamics of the layer:

• Equilibrium and energy dinamics• Relative humidity• Roughness

Estratificació mecànica:

0

2

0

dg

dz RidU

dz

(Mechanic) Richardson number

Condicions d’estabilitat segons el nombre de Richardson:

Ri 0 Estable (estratificació elevada)

Ri=0 Neutre

Ri<0 Inestable (poca estratificació)

Estratificació convectiva:

2

dg

dz RidU

dz

(Convective) Richardson number

Condicions d’estabilitat:

Ri 0.25 Estable (estratificació elevada)

Ri< 0.25 Dominància de la turbulència

Ri<0 Contribució tèrmica a la turbulència

A la teoria de la capa límit teníem:

Com a alternativa, s’acostuma a fer servir la llei empírica on vr és la velocitat de referència (habitualment a zr=10 m d’alçada) i el paràmetre a depèn de les condicions d’estabilitat meteorològica

Transport vertical atmosfèric

Necessitem entendre el comportament de l’exterior en sortir de la xemeneia

1) Comportament de la velocitat del vent amb l’altura

a

r

r

zv v

z

2) Comportament de la densitat i pressió amb l’altura

dpg

dz

pM RT

0 0

Mg Mg

RT RTp p e e

Les variacions respecte a aquest resultat d’equilibri poden donar lloc a diferents fenòmens, d’entre els quals ens interessen sobretot els fluxos estratificats

Lee waves:

U

W

L

3) Comportament de la temperatura amb l’altura

Fem la hipòtesi de que l’aire és un gas ideal i els processos termodinàmics atmosfèrics són (i) prou lents com per a considerar-los processos quasiestàtics, (ii) adiabàtics (dQ=0).

Dia: Nit:

dpg

dz

pv RT

dU dW

d10ºC/Km

d p

T g

z c

Gradient adiabàtic sec

Si considerem la composició en humitat de l’aire:

.

a w

a w

ev

dpg

dz

p RTM M

dU dQ dW

2

2

1d

dd1

d

a

w

wpp

p

M LwT g g RT

w M L wz cc L

T Rc T

Gradient pseudoadiabàtic

Estabilitat atmosfèrica amb un gradient vertical de temperatures real γ:

Absolutament estable

Neutre saturat

Condicionalment inestable

Neutre sec

Absolutament inestable

w

w

w

w

(de vegades s’utlitza com a referència el concepte de temperatura potencial: temperatura a la qual quedaria l’aire si el transportéssim adiabàticament fins al nivell del mar.)

Efectes de l’estabilitat atmosfèrica sobre la dispersió de contaminants

Gradient adiabàtic sec ( )

_____ Gradient real ( )

Models Gaussians de dispersió

• Paper de la difusió tèrmica (molecular):

• Contaminants primaris no reactius

• Efectes de font inclosos en les condicions inicials o de contorn

20 3

-8

-11

310 J 10 m/s

2

Recorregut llire mitjà 10 m

Temps característic 10 s

c BE k T v

2

5 210 m /sx

Dt

Difusió molecular molt més lenta que difusió turbulenta

2i

i i i i

cv c K c

t

Navier-Stokes +

•…i si a més fem la suposició de flux constant: 2i

i i i

cv c K c

t

Cas sense advecció (difussió de substàncies):2c

K ct

•Font puntual i emissió instantània

• Font difusa i emissió instantània

2

0

43/2

4

r r

Ktm

c eKt

Distribució Gaussiana

2

max max 30.0736

6

r mt c

K r

A partir de la funció de Green s’obté:

Exemple: Font d’emissió homogènia en el pla z=0

2

0

0 40 3/2

( )

4

( : domini d'emissió)

r r

Ktm r

c dr eKt

2

2 1 2 141

e erf -erf erf -erf2 4 4 4 4

z

Ktx x y y

cKt Kt Kt Kt

• Font puntual i emissió contínua

De manera equivalent al cas de fonts difuses podem fer servir:

Exemple: emissió a ritme constant

2

00

4 '3/2

( ')'

4 '

r rt t

Kt

t

m tc dt e

Kt

temps

tt0

01 erf4 4

Q rc r r r

Kr Kt

4

t Qc

Kr

Efectes d’advecció (“arrossegament”):

0c

v c c c r vtt

2

adv. sense adv.

, ,c

v c K c c r t c r vt tt

Font puntual:

Font lineal (infinita) a y=z=0:

Font d’àrea infinita a z=0:

• Aproximació de ploma fina (estacionària)

2

4

r xv

KQ

c eKr

2 , xv c K c v vu

2 2

2 2 2 4,4

y zv

KxQ

x y z c eKx

2

4

4

zv

KxQ

c eKvx

2

4 1 erf2 4

z

KtQ Kt z z

c eK Kt

Altres formes (més senzilles) de caracteritzar l’estabilitat atmosfèrica:

Taules d’estabilitat de Pasquill-Gifford

Important tenir en compte el fenomen de subsidència:

Models de ploma Gaussiana

• Models típicament usats a nivell industrial per a la predicció de l’impacte ambiental de xemeneies, carreteres, etc.

• Es basen en l’aproximació de ploma fina sota determinades condicions inicials i de contorn.

• Es fa necessari determinar fonamentalment les condicions a terra i a la capa límit, i l’altura efectiva de la font d’emissió.

BOUNDARY LAYER

• Condicions de contorn: Mètode de les imatges

Reflexió:

Absorció:

Reflexió/absorció parcials:

El problema principal es troba en les condicions a la capa límit. Normalment es fan servir condicions parcialment reflectives, que poden dependre dels paràmetres meteorològics.

sense paret

sense paret

, , , , , ,

, , ,

c x y z t c x y z t

c x y z t

sense paret

sense paret

, , , , , ,

, , ,

c x y z t c x y z t

c x y z t

z

sense paret

sense paret sense paret

, , , , , ,

, , , (1 ) , , ,

c x y z t c x y z t

p c x y z t p c x y z t

Comportament del contaminant dins de la xemeneia (a efectes de disseny)

• Transport vertical de la ploma i alçada efectiva de la font

Pèrdues de càrrega (règim turbulent):

(Equació de Darcy-Weisbach)

Variació de pressions ascensional:

Variació de pressions dinàmica (velocitat inicial nul·la):

2

c

hvp C

d

v int extap gh

2

int

1

2dp v

2

/ 2a c d

cabalp p p v

d

Processos de decaiment

Existeixen diferents mecanismes pels quals els contaminants són “eliminats” de l’aire

Sedimentació: Caiguda per efectes gravitatoris a baix número de Reynolds

E

Pes FA

2

limit

2

9

gV gRv

f

Deposició humida

Retirada de les partícules atmosfèriques per l’arrossegament provocat pels efectes de precipitació (pluja, neu, calamarsa…) meteorològics.

Decaiment químic

2 , ...ii i i i i i j

cv c K c R c c

t

Exemple: Decaiment amb probabilitat constant (equivalent al decaiment radiactiu)

(0)

tii i i

dcc c c e

dt

2

sense dec.

, ,tii i i i i i i

cv c K c c c r t e c r t

t

E

Pes Cv2

limit

gVv

C

Exemple: Caigua en règim aerodinàmic

Deposició

Habitualment expressa la combinació dels efectes gravitatoris i d’altres (turbulències, etc) que controlen el decaiment vertical de les partícules.

limit' 'z z

cJ v c v c v c D

z

Flux de decaiment:

Velocitat de decaiment:

Models de deposició de font:

Models de deposició en superfície:

1

d a s tv R R R

aerodinàmica molecular transferència

( , ) ( , ) : ritme d'emissiód

QJ x y dy v c x y dy Q

x

0

, * , ; ', * ', ;0 d '

x

d dc x z c x z H v c x z c x x z x

zd: alçada de deposició

c*: solució de l’equació de transport amb condicions de contorn reflectives a terra)