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TRANSPORT D’ENERGIE ELECTRIQUE

Pr. Mohamed EL HARZLI

Année universitaire : 2017/2018

Modélisation d’une ligne électrique monophasée


Modélisation par constantes réparties

Dans le cas d’une ligne de transport, la prise en compte des imperfections réparties sur toute la longueur, conduit à une modélisation par constantes réparties.

Le tronçon de ligne de longueur dx situé à la distance x de la charge peut être représenté par le schéma suivant où r, l et c représentent :

r : résistance linéique;l : inductance linéique;c : capacité linéique;



L’application des lois de Kirchhoff permet d’écrire :

dt

)t,x(didx.l)t,x(i.dx.r)t,x(v)t,dxx(v

dt

)t,x(dvdx.c)t,dxx(i)t,x(i



Soit encore :

dt

)t,x(dil)t,x(i.r

dx

)t,x(v)t,dxx(v

t

)t,x(il)t,x(i.r

x

)t,x(v

dt

)t,x(dvc

dx

)t,dxx(i)t,x(i

t

)t,x(vc

x

)t,x(i



On en déduit que les courants et tensions sont régis par les équations différentielles suivantes:

La ligne étant alimentée par une tension sinusoïdale de pulsation , la charge étant supposée linéaire, on considérera que toutes les grandeurs sont sinusoïdales de pulsation .

2

2

2

2

t

)t,x(vc.l

t

)t,x(vc.r

x

)t,x(v

2

2

2

2

t

)t,x(ic.l

t

)t,x(ic.r

x

)t,x(i



On cherche donc des solutions qui s’écriront sous forme complexe de la forme :

L’équation permet de déterminer une

relation entre les amplitudes complexes :

avec : impédance linéique

)t,x(vRéele).x(VRéel)t,x(v t..j

)t,x(iRéele).x(IRéel)t,x(i t..j

t

)t,x(il)t,x(i.r

x

)t,x(v

)x(I.Z

dx

)x(Vdl

.l.jrZl



De la même façon, l’équation

conduit à :

avec : : admittance linéique

t

)t,x(vc

x

)t,x(i

)x(V.Y

dx

)x(Idl

.c.jYl



Pour déterminer les évolutions de V(x) et I(x), il faut résoudre les équations différentielles suivantes :

et

qui peuvent s’écrire en notation complexe :

et avec

2

2

2

2

t

)t,x(vc.l

t

)t,x(vc.r

x

)t,x(v

2

2

2

2

t

)t,x(ic.l

t

)t,x(ic.r

x

)t,x(i

)x(V.n

dx

)x(Vd 22

2

)x(I.ndx

)x(Id 22

2

ll2 Y.Zn



Résolution

Les solutions recherchées sont de la forme :

Les 4 constantes Kv1, Kv2, Ki1 et Ki2 seront déterminées en utilisant

les conditions initiales :

etles relations liant V(x) et I(x) :

et

x.n2v

x.n1v e.Ke.K)x(V

x.n2i

x.n1i e.Ke.K)x(I

chV)0(V chI)0(I

)x(I.Z

dx

)x(Vdl

)x(V.Ydx

)x(Idl



Résolution

Après développement des calculs, on en déduit :

On note X la longueur totale de la ligne.On en déduit que la ligne est représentable par un quadripôle ayant pour matrice :

)x.n(shn

I.Z)x.n(ch.V)x(V chl

ch +=

)x.n(ch.I)x.n(shn

V.Y)x(I ch

chl +=

DC

BA



Résolution

Tel que :

Avec

Remarque :

ch

ch

I

V.

DC

BA

I

E

)X(I

)X(V

)X.n(chA )X.n(sh.Y

ZB

l

l )X.n(sh.Z

YC

l

l

)X.n(chD

l

ll

Y

Z

n

Z

l

ll

Z

Y

n

Y


Modèle en π

On va montrer que dans certaines conditions (régime permanent à la fréquence industrielle et longueur de ligne inférieure à une certaine valeur), le quadripôle représentant la ligne de longueur X précédent peut se ramener à l’étude de l’un ou l’autre schéma suivant :


Modèle en π

Soit

L’écriture des lois des mailles et des nœuds permet de déterminer les coefficients de la matrice du quadripôle en en fonction de r, l, c et X.

ch

ch

11

11

I

V.

DC

BA

I

E


Modèle en π

Soit

L’écriture des lois des mailles et des nœuds permet de déterminer les coefficients de la matrice du quadripôle en en fonction de r, l, c et X.

ch

ch

11

11

I

V.

DC

BA

I

E


Modèle en π

Soit

ch

ch

ttt2t

t

ttt

I

V.

2

Y.Z1

4

Z.YY

Z2

Y.Z1

I

E


Comparaison entre les deux modèles

En effectuant un développement limité au deuxième ordre des sinus et cosinus hyperboliques, les coefficients de la matrice du quadripôle modélisant la ligne par constantes réparties s’écrivent :

1tt

2ll

22

A2

Y.Z1

2

X.Y.Z1

2

X.n1)X.n(chA

1tl

l

l BZ)X.n(sh.n

Z)X.n(sh.

Y

ZB


Comparaison entre les deux modèlesApplication numérique

Pour une ligne de transport en 130 kV (225 kV entre phases) les caractéristiques linéiques sont :

r = 0,04 Ω/km l = 1,2 mH/km c = 15 nF/km

Pour une ligne de 100 km, on a:

E=130000 V – w=100p – X=100



Constantes réparties

Modèle en p



Sur cet exemple, il est évident que dans ces conditions le modèle en π permet de décrire correctement cette ligne.

Mais attention ce modèle en π ne permet pas de décrire le comportement de la ligne sur des régimes transitoires comme la propagation de la foudre ou la mise sous tension.


Modélisation d’une ligne triphaséeDans une ligne triphasée, il existe des couplages capacitifs et

inductifs entre les différentes phases.


Modélisation d’une ligne triphasée

La loi des mailles sur la phase 1 s’écrit en triphasé :

La loi des nœuds sur la phase 1 s’écrit en triphasé :

( ) ( ) ( )dt

)t,x(iddx.m+

dt

)t,x(iddx.m+

dt

)t,x(iddx.l+)t,x(i.dx.r=)t,x(v)t,dx+x(v 321

111 -

dt

)t,x(vddx.c

dt

)t,x(vddx.c

dt

)t,x(dvdx.c.2c)t,dxx(i)t,x(i 3

m2

m1

m11

( ) ( )dt

)t,x(v-)t,x(vddx.c+

dt

)t,x(v-)t,x(vddx.c+

dt

)t,x(dvdx.c=)t,dx-x(i-)t,x(i 31

m21

m1

11



Les équations et écrites en monophasé deviennent dans le cas du triphasé :

)x(I.Z

dx

)x(Vdl

)x(V.Ydx

)x(Idl

)x(I

)x(I

)x(I

lmm

mlm

mml

..j

)x(I

)x(I

)x(I

.r

)x(V

)x(V

)x(V

dx

d

3

2

1

3

2

1

3

2

1

)x(V

)x(V

)x(V

c.2ccc

cc.2cc

ccc.2c

..j

)x(I

)x(I

)x(I

dx

d

3

2

1

mmm

mmm

mmm

3

2

1



ConclusionEn régime équilibré, le schéma monophasé suivant permet d’étudier

une ligne triphasée symétrique.

avec :


Choix d’un niveau de tension. Lignes aériennes, lignes souterraines ou câbles

Le choix d’un niveau de tension résulte d’un compromis entre le coût de la ligne et celui des pertes par effet Joule.



Le transport d’énergie électrique en haute tension peut s’effectuer par ligne aérienne ou par câbles.



Lignes aériennesLes conducteurs sont en général constitués d’un alliage

d’aluminium contenant du magnésium et du silicium. Cet alliage nommé « Almélec » présente une résistance mécanique supérieure à celle de l’aluminium par contre sa résistivité est plus importante que celle de l’aluminium.



Lignes aériennesEn 225 kV et 400 kV, un des conducteurs les plus utilisés est l’Aster 570 dont les principales caractéristiques sont : [TI D4421]Section : 570 mm2 Nombre de fils : 61 diamètre extérieur : 31 mmmasse linéique : 1574 kg/kmRésistance linéique à 20°C : 0.0583 Ω/kmRéactance linéique : 0.4 Ω/kmCourant maximal admissible en régime permanent (60°C) : 1000A



Câbles

A partir de quelques kV, les câbles utilisés sont de type unipolaire et à champ radial ce qui permet d’imposer la répartition du champ électrique en tous les points et éviter le risque de claquage de l’isolant. Ces câbles forment un système coaxial.



Câbles



CâblesLe conducteur ou l’âme est destiné à transiter le courant électrique. Il est obtenu par câblage de fils de cuivre ou d’aluminium.La gaine métallique externe est mise à la terre, elle permet de garantir un champ électrique radial et assure le retour des courants en cas de défaut. Cette gaine métallique est constituée d’un tube de plomb ou d’aluminium.



CâblesLes écrans semi-conducteurs permettent d’uniformiser le champ électrique au voisinage du conducteur et évitent les effets de pointe.L’isolant doit avoir une rigidité diélectrique élevée, une faible permittivité relative (pour limiter la valeur de la capacité linéique) et un faible angle de pertes.



Câbles

Exemple d’isolant utilisé pour la réalisation de câbles 400kV [TI D 4520]

Polyéthylène haute densité (Pehd) Permittivité relative :2,2 à 2,4Épaisseur de l’isolant en 400kV : 30mmChamp électrique maximum : 14 kV/mm



Câbles

Ce système coaxial présente une capacité linéique donnée par l’expression:

où R est le rayon extérieur de l’isolant et r le rayon intérieur.

r

RLn

...2c r0l



CâblesCette capacité linéique, très supérieure à celle d’une ligne

aérienne (de 15 à 20 fois), entraîne la circulation de courant capacitif à l’intérieur du câble qui a plusieurs conséquences :

Échauffement du câble même en l’absence de charge ce qui limite la longueur maximum du câble : Limite en courant;Augmentation de la tension le long du câble ce qui limite aussi la longueur du câble : Limite en tension.



Câbles

Puissance maximale transmissible en fonction de la longueur de la liaison [TI D4520]



Câbles

Coupe d'un câble THT 400 kV (Diamètre = 13 cm)

Exemple de câble 400kV âme de 1200mm2 en cuivre, isolant en polyéthylène haute densité.Puissance 800MVA en triphaséCapacité linéique :194 nF/kmCourant capacitif : 14 A/kmLongueur critique : 83 km

Cet effet capacitif limite l’utilisation des câbles en courant alternatif.


Choix d’un niveau de tension. Lignes aériennes, lignes souterraines ou câblesQuelques exemples de liaison par câble en courant alternatif de plus de 20km

Pays Liaison Puissance Longueur Tension Compensation

Espagne/Maroc

REE 700 MW 29 km 400 kV 150Mvar Espagne

2*125Mvar Maroc

Canada BC Hydro 37 km 500 kV

Japon TEPCO 900 MW 40 km 500 kV 300 Mvar

Corée KEPCO 523 MVA 22 km 345 kV 2*200Mvar



Puissance réactive consommée par la ligne

On suppose que la ligne peut être modélisée par le modèle suivant :

Où Sch représente la puissance apparente consommée par la charge et jch le déphasage entre la tension et le courant imposée par cette charge.



Puissance réactive consommée par la ligne On néglige la résistance de la ligne.

On considérera que la chute de tension dans l’inductance de ligne est suffisamment faible pour pouvoir écrire :

La puissance réactive consommée par la ligne triphasée s’écrit :

22ch EV

.C.EI..L32

.C.V

2

.C.EI..L3Q 22

L2ch

22Ll




avec

En choisissant Ich sur l’axe réel, la tension aux bornes de la charge s’écrit :

chchchcL IV2

.CjIII

ch.jchch e.VV

2

cos.V..Cj

2

sin.V..CII chchchchchL




Soit :

chchch

2ch2

ch

2chch

2chch

ch2L sin.I.V..C

2

V..CI

2

cos.V..C

2

sin.V..CII

chch

2ch

2ch

2ch2

L sin.3

S..C

2

V..C

V.9

SI

chch2

22

2

2ch

l sin.S..C.L14

.C.L.C.E.3

E.3

S..LQ



Puissance réactive consommée par la ligne On se propose de comparer la puissance réactive consommée par une liaison aérienne ou

par câble dans les deux cas suivants :

Caractéristiques linéiques de la ligne Caractéristiques de la charge

Ligne aérienne

l = 1,2 mH/km c = 15 nF/km 0 ≤ Sch ≤ 600 MVA tg(jch) = 0,4 inductif

câbles

l = 0,4 mH/km c = 200 nF/km 0 ≤ Sch ≤ 600 MVA tg(jch) = 0,4 inductif



Puissance réactive consommée par la ligne Dans le cas d’une ligne de longueur 10 km, alimentée par

une tension de 130 kV (225 kV entre phases), la puissance réactive consommée par la ligne ou les câbles en fonction de la puissance apparente consommée par la charge (Sch) est donnée par la figure suivante:


Choix d’un niveau de tension. Lignes aériennes, lignes souterraines ou câblesPuissance réactive consommée par la ligne




En conclusion, on retiendra :Une liaison par câbles fournit de la puissance réactive quelque soit la puissance apparente de la charge.Une liaison par lignes aériennes fournit à vide de la puissance réactive et en consomme en pleine charge.

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