TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBREmmc2.geofisica.unam.mx/.../4_Cap_TransporteEnFluidoLibre.pdf · difusión molecular es el de la primera ley de Fick; Un modelo muy simple

TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I

POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y

CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN

AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM

LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

molecular.difusión enteprincipalm

fluido, de cuerpo al entrando tiempode unidadpor

área de unidadpor soluto de masa la representa

.radiactivo odecaimient e. p.

ión,consideracen soluto de fuente la es donde

,,,

es global balance deecuación La

,

por tiempocualquier en da extensiva

propiedad una es soluto de masa La

S

S

tBS

tBS

S

tBS

g

dxtxntxdxtxgtdt

dM

dxtxctM

LA ECUACIÓN GENERAL DE TRANSPORTE DE UN SOLUTO POR UN FLUIDO LIBRE

solución. la de

volumen de unidadpor soluto de masadecir, es

soluto, del masa lacon asociada intensiva propiedad

la esy soluto, delión concentrac la es Donde

:es libre fluidoun por solutos de e transportdel

local balance de ldiferenciaecuación La

,txc

gvct

cSS

PROCESOS DE TRANSPORTE

soluto. del masa de externa fuente la ,

y soluto, del masa de flujo ,

partícula, la de velocidadla ,

de acerca icay tecnológ científican informació de

suministro el necesita e transportdeecuación La

masa. de generación

y difusión,

advección,

:e transportde procesos tresdistinguirpueden Se

S

S

g

v

PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de difusión

molecular.difusión como conocidosson movimiento

ese a debidosson quedifusión de procesos Los

Browniano. movimiento como

conocidos aleatorios caminos tieneacompañan las que

soluto del partículas lasy agitación, permanenteen están

fluidoun n constituye que asmicroscópi partículas Las

PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de difusión

IDD

cDtx

tx

S

S

:reduce seecuación lay ,isotrópico es

difusión, de es proceso el Cuando molecular.difusión

de tensor denominada matriz una es D Donde

,

:iónconcentrac la de gradiente delfunción una es

,, soluto, de masa de flujo

el ndorepresenta vectorialcampo el que establece ella

Fick; deley primera la de el esmolecular difusión

para usado eampliamentmuy y simplemuy modeloUn

PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de generación de masa

vo.conservati

denomina se e transportde sistema el caso esteEn

contiene. que masa la conserva fluido de cuerpo caday

generada es masa de nada cero, a iguales

nteidénticameson externas fuentes las Cuando

., externas, fuentespor

adeterminad es generada es masa la que la arazón La

txgS

PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de generación de masa

fluido. elen contenidos solutos diferentes entre

químicas reacciones lasy radiactivo odecaimient el

son ivassignificat nteespecialmeson que dos ejemplo,por

diversos;son sumiderosy fuentes talesde orígenes Los

mente.respectiva ,0,0,

cuando masa de sumideroun y masa de fuente

unahay que dice se nteInformalme

vo.conservati-no denomina le se e transportde sistema y tal

0, cero, de diferentes

son soluto del externas fuentes las cuando parte otraPor

txgotxg

txg

SS

S

LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSPORTE DIFUSUVO

.siguientes losson ecuación la de especiales casos Algunos

es local balance

de ldiferenciaecuación la aplicado es esto Cuando

s.isotrópico usualmente

son difusión de procesos los libres, fluidos Para

molecular.difusión para básica vaconstitutiecuación la

como aceptada tegeneralmen esFick deley primera La

cDgvct

cS


cDgt

c

v

cDgvct

c

D

cDgcvt

c

v

S

S

S

: 0 reposoen está fluido el Cuando3.

0posición la de nteindependie esdifusión de

ecoeficient el ,homogéneos es fluido el Cuando2.

0 bleincompresi es fluido el Si1.

2


.siguientes lasson ellas a aplicables ecuaciones Las

es.aplicacion

muchasen interés de también es ioestacionar Estado El

:calor delecuación conocida la a reduce se

gobernante ldiferenciaecuación la reposo,en está que

homogéneo fluidoun por voconservati e transportel Para

2cDt

c


elípticas. ecuaciones para prototipo el Laplace, deecuación la es última Esta

0

:voconservati es e transportel cuando

reposo,en homogéneo fluidoun deción representa La5.

:reposoen está fluido el cuandosituación La4.

:homogéneos fluidos para caso El3.

:blesincompresi fluidos para caso El2.

:por gobernado general, más caso El1.

2

2

c

gcD

gvccD

gcvcD

gvccD

S

S

S

S

ioestacionar Estado

PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE DIFUSUVO

Problemas dependientes del tiempo.

problema. del conocido dato es que

inicial,ión concentrac la es función la donde

0y , ;0,

frontera,su seay espacial dominio el Sea

:prescritos

son ión concentrac la de iniciales valoresLos

:iniciales sCondicione

frontera. de scondicione lasadición en prescritas

son iniciales scondicione las decir, es frontera;

dey iniciales valoresde problemasson planteados

bien problemas los lineal, es ,, Cuando

0

0

xc

txxcxc

ΩΩ

ctxgS



problema. del conocido dato es ,función la donde

0y ;,,,

1, que talesúmeros y Sean

as.consideradser a

frontera de scondicione de forma general más laSon

Robin. tipofrontera de sCondicione

22

tx

txtxtxctxn

c

n



0;,,,,

masa. de totalflujo deCondición

0.y ;,,

Neumann. tipofrontera de sCondicione

0.y ;,,

Dirichlet. tipofrontera de sCondicione

mente.respectiva

0),=1(=y 0)=( 1= casos los aen Correspond

Newmann. dey Dirichlet frontera de scondicione lasson

frontera de scondicione las de simportantemuy esparticular casos Dos

tyxtxtxcntxvtxn

cD

txtxtxn

c

txtxtxc



0.010. 0.005, 0.001, Dy 0,=g .5,0 t1, v:Además

(0,1). unitario intervalo el es problema del dominio

del definición la cual elen

onalunidimensi caso el para

libres fluidospor e transportpara

ldiferenciaecuación la parasolución

la observa se figura siguiente laEn

S



solución. la de asíy curva la de pendiente ladecrecer

de es D de valor elr incrementa de efecto El

conserva. se sistema del masa la que indicando

0.5,ión concentrac la dealrededor simétricasson curvas Las

0

,0

:Iniciales

1,0

0,1

:Dirichlet

:son frontera de scondicione Las

x

c

xx

c

x

xc ii

ii

ii


Problemas de estado estacionario.

solución. existe no

dominio, del frontera la en toda impuestasson Neumann

tipofrontera de scondicione las cuando embargo,Sin

tiempo.del esdependient problemas losen tratadas

mismas lasson considerar a frontera de scondicione Las

iniciales. scondicioneincluyen no

tiempodel ntesindependie planteadosbien problemas Los

PROCESOS IRREVERSIBLES DE PRIMER ORDEN

0

:esecuación la homogéneo, es fluido el Si

positiva. constante una es Donde

,,

:aplicada es externas fuentes las paraexpresión siguiente la ellas Para

orden.primer de lesirreversib procesos como

adascaracterizser pueden ción biodegrada formas ciertasy hidrólisis

,radiactivo odecaimient como talesquímica, actividad de clases Ciertas

a reduce se local balance de ldiferenciaecuación la

hace se esto cuando lados; en todos 0 = , procesos Para

cDcvct

c

txctxg

cDvct

c

gvosconservati

S

S


30.= es ido transcurr tiempoely ,150 de valor El

. de valoresdiferentes para anterior,ecuación la

por descrito problema al soluciones

presentan se figura siguiente laEn

0

:esecuación la homogéneo, es fluido el Si

t, v=.D=

cDcvct

c


0,0

:es inicialcondición la Y

45,0

0,1

:son frontera de scondicione Las

.incrementa sereacción de tasala

conforme curva cada bajo áreas menoresen

refleja se cual la global masa de pérdida

la esorden primer de químicareacción

esta desolución laen impacto evidente más El

xc

xx

c

x

xc

ii

ii

ii

ECUACIONES DIFERENCIALES PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO

txcgcv

txcgvc

txcgt

c

v

txcgcvt

c

v

txcgvct

c

D

S

S

S

S

S

,,

bleincompresi fluidoy ioestacionar estado Para4.

,,

ioestacionar estado Para3.

,,

: 0 reposoen está fluido el Cuando2.

,,

0 bleincompresi es fluido el Si1.

,,

0 ndoestablecie derivadaser puede

solutos de difusivo-no e transportdel gobernanteecuación La

PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS PARA TRANSPORTE NO DIFUSIVO

• Una importante diferencia entre las ecuaciones

generales de transporte difusivo y no-difusivo es que

la primera contiene derivadas espaciales de segundo

orden, debido a que D>0, mientras que la otra no.

• Como consecuencia la ecuación de transporte

difusivo es una ecuación parabólica de segundo

orden, mientras que la de transporte no-difusivo es

una ecuación de primer orden.


• Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden

pueden ser reducidas a una familia ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, cada una de ellas satisfechas a lo largo de ciertas curvas llamadas curvas características; como se puede ver, las curvas características para transporte no-difusivo so las trayectorias el espacio-tiempo de partículas de fluido.

• Por tanto, la solución de tales ecuaciones diferenciales parciales es completamente determinada cuando su valor es prescrito en un y solo un punto de la curva característica en el espacio-tiempo. Consecuentemente, los problemas bien planteados son aquellos que cumplen esta condición y el siguiente principio general se cumple.


• Los problemas bien planteados de valores en la

frontera del transporte no difusivo de un soluto son

esos en los cuales el valor de la concentración del

soluto es prescrito en un y solo un punto de la

trayectoria espacio-temporal de cada partícula de

fluido.

Problemas bien planteados en una dimensión espacial

• Los problemas con dependencia del tiempo a

ser considerados serán formulados en el

intervalo espacial [a, b] y en el intervalo de

tiempo [0, T].

• Por lo tanto, la ecuación diferencial será

satisfecha en en el dominio [a, b]x[0, T] del

plano x-t.

txcg

x

cv

t

cS ,,

:espacialdimensión una Para


• Un problema de transporte de soluto que es

bien planteado puede ser establecido como

adherida al Principio Básico para Problemas

Bien Planteados del Transporte no difusivo:

– Encuéntrese la concentración, c(x,t), para t>0,

hasta cierto tiempo T, en cada a<x<b cuando los

valores de la concentración son conocidos tanto al

inicio y en cada en un extremo del intervalo [a, b].


• El correspondiente problema matemático es un

problema con valores iniciales y de frontera

con condiciones de frontera Dirichlet que

puede ser establecido como sigue:

– Encuéntrese la función c(x,t), definida en el

dominio rectangular [a, b]x[0, T], que satisface la

ecuación diferencial siguiente,


Tttctac

bxaxcxc

txcgx

cv

t

cS

0,,

frontera la a scondicione lay

,0,

iniciales scondicione lascon

,,

Dirichlet frontera de scondicionecon

frontera dey iniciales scon valore problema

0


• Este problema es bien planteado siempre que la

velocidad sea conocida en todos lados:

• esta condición es requerida para hacer seguro que cualquier partícula de fluido que cruce la frontera izquierda del intervalo espacial del intervalo (x=a) nunca regrese a ella;

• si una partícula cruza esa frontera más de una vez en el intervalo de 0 a T entonces la ecuación debería prescribir el valor de C en dos puntos diferente en la trayectoria en el espacio-tiempo para la misma partícula, y el principio básico de problemas bien planteados de transporte no-difusivo sería violado.


ttXpttXpcgttXpx

v

x

vttXpc

tXt

cttXpvttXp

t

c

tXt

pttXp

x

cttXp

t

ctX

t

C

ttXpctXC

ngianación Lagrarepresenta

txcgx

vc

x

cv

t

c

S

S

,,,,,,,,,

,,,,,

,,,,,,

:aLagrangianción representa la de

derivada la para fórmula lay e transportdeecuación la

usandoy ecuación esta tiempoal respectocon derivando

,,,

:esión concentrac la de La

,,

:esecuación la de explícita más forma Una


ttXpttXpcgttXpx

vttXpctX

dt

dCS ,,,,,,,,,,

:a reduce seecuación la

X, fluido de partícula la fija mantenemos si ,conclusiónEn


• Se usó derivada total porque cuando la

partícula de fluido se mantiene fija, la

derivada parcial y la derivada total coinciden.

• Si la función de posición, p(X, t), es conocida

la ecuación obtenida constituye una ecuación

diferencial ordinaria para la concentración a lo

largo de cada trayectoria de partícula de

fluido.


• Como ya se mencionó, la función de posición

p(X,t) de cada partícula necesita ser conocida

para aplicar la ecuación; no obstante,

usualmente este no es el caso, no obstante la

velocidad es en efecto conocida y por

definición de la velocidad de partícula:

fija mantenida es partícula la cuando

,,,,

X

ttXpvtXdt

dp


• Esta ecuación suministra una ecuación diferencial

ordinaria para p(X,t) de la cual es obtenida.

• En conclusión, el método general de solución consiste en primero resolver esta ecuación numéricamente y, cuando p(X,t) sea disponible, integrar la ecuación para la concentración.

• Actualmente las ecuaciones diferenciales ordinarias son fácilmente resueltas usando esquemas numéricos como el método Runge Kutta, aunque procedimientos más simples son satisfactorios en muchos casos.


• Como una ilustración de este resultado

general, consideraremos un caso cuando una

solución analítica exacta puede ser obtenida.

Para este fin se asume que ninguna fuente de

solutos está presente, gS(c,x,t) = 0, y que v es

una constante. Entonces la ecuación se reduce

al caso:

0, tXdt

dC


tiempo.del travésaión concentrac devalor

su conserva fluido de partícula cada decir, es ente;exclusivam

fluido, de partícula la de Xposición la defunción una es

,

:obtener para integradaser puede cual La

0,

constante una es 0, = :Caso

XC

XCtXdt

d

tXdt

dC

vc,x,tgS


0.en ,

izquierda, fronterasu de travésa

][ intervalo al Entró 2.

o 0;en t

b][a, intervalo elen estaba Ya 1.

:desposibilida dos solohay fluido de partículacualquier para

0; asúmasey ],,0[ t],[ Sea

ón.continuaci a explica se como obtenidaser puede

e transportde ecuaciones las de frontera dey iniciales

valoresde problema delsolución la caso, simple este Para

tax

a,b

vTa,bx


vtxctxc

vtXx

0,

:esión concentrac la Además

0.=en t fluido de partícula la deposición la es X Aquí

:por dada es 0en t

partícula cada deposición la caso,primer elEn


vtaxv

axtctxc

vtaxvtxctxc

T t b x a

v

axtctxc

ttvXx

cuando aplica se,

cuando aplica se ,

:entonces ,0y que y t talesx cualquier Dada

,

:por dada es partícula la deión concentrac La

'

por dado es T, t t'que tal0,> ttiempo

elen partícula la deposición La por t'. denotado será tiempoesey

T, a cero de vacual el b],[a, intervalo al entró cual al tiempoelpor

daidentificaser puede fluido de partícula cada caso, segundo elEn

0


Tttctbcytctac

txcgx

cD

xx

cv

t

cS

0,,,

:sonDirichlet frontera de scondicione Las

iniciales. scondicione mismas las satisface Y

,,

ldiferenciaecuación lapor gobernada es Dirichlet, tipo

frontera de scondicione lasy difusivo es sistema el cuando

físico, problema mismo del modelo El .Comentario

21

Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales

ttXpttXpcgttXpvx

vttXpctX

dt

dC

txcgcvcvt

c

S

S

,,,,,,,,,,

:soluto delión concentrac la de aLagrangianción representa la Usando

,,

:como escritaser puedeorden primer de parcial ldiferenciaecuación La

difusivo. no e transportde sionalesmultidimen

modelos a extendidas fácilmenteser pueden sprecedente ideas Las

Problemas bien planteados en varias dimensiones espaciales

3,2,1,,,,

:explícita más forma una ional tridimensmodeloun Para

,,,

.ordinarias lesdiferencia ecuaciones de sistemaun

como dainterpreta es fluido de partícula la de velocidadla

de definición la cuando obtenidaser puedeposición defunción La

ittXpvtXdt

dp

ttXpvtXdt

pd

ii

Problemas bien planteados para modelos de estado estacionario

xcgvc S ,

:a reduce seecuación la

tiempo,del nteindependie es buscadasolución la Cuando

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