Transportfenomen i människokroppen

25/01/16

1

Medicin och Teknik/ Introduktion till Medicin och Teknik/ 2011-11-16

Transportfenomen i människokroppen

Ingrid Svensson

Kapitel 2+3. Bevarandelagar, balansekvationer, dimensionsanalys och skalning

2016-01-25


Idag: Kapitel 2

•  Nyckelbegrepp: kontrollvolym, koordinatsystem, hastighet, acceleration, strömlinjer

•  Bevarandelagar på differentiell form •  Krafter, skjuvspänningar, randvärden •  Konstitutiva samband: Newtonsk-, icke newtonsk •  Bevarande av rörelsemängd ger uttryck för hastigheten

vid tryck-drivet flöde mellan två parallella plattor, rektangulär kanal och cylindrisk kanal

•  Blodreologi (sparas till tisdag)

25/01/16

2


Nyckelbegrepp: Kontrollvolym och enhetsnormal


Fixt koordinatsystem

För att beskriva rörelse krävs ett koordinatsystem!

! !,!, !, ! !

En fluid rör sig genom en volym: Om volymen krymper mot 0 erhålls lokala flödeshastigheten i en punkt

25/01/16

3


Medelhastighet och flödeshastigheter

!(!,!, !, !)!


Att åskådliggöra flöden

Ett en-dimensionellt flöde mellan två parallella plattor •  hastighetsvektorer

Mer komplexa flöden •  strömlinjer

25/01/16

4


Spänningar på ytan

•  En fluid i vila kan inte ta upp skjuvspänningar, endast tryck! (hydrostatik, Arkimedes)

•  Trycket är lika i alla riktningar

fluidelement


Konstitutiva samband

25/01/16

5


Newtonska resp. icke-newtonska vätskor

Potensfluid, n<1 , shear thinning, tixotrop, https://www.youtube.com/watch?v=J-DLBcraq2E n>1 , shear thickening, dilatant, https://www.youtube.com/watch?v=GorX5iVxHAw


Laminärt och turbulent flöde

!" = !"#! !•  Reynolds tal:

•  För cylindriska rör:

•  Inloppslängd (entrance length):

Stationärt, laminärt flöde

Turbulent flöde

!"!"#$ = 2100!

!! = 0.058!Re!

25/01/16

6


Reynolds tal i respirationssystemet

Ofta turbulens i fysiologiska system! Men, vi startar med att studera laminärt flöde!


Flöde skapat av en glidande platta

V=0

Vi följde härledningen på s. 113 och kom fram till att Hastigheten hos fluiden i x-led varierar alltså linjärt m.a.p. y

Kontrollvolym

!!!(!) = ! !ℎ!

25/01/16

7


Tryck-drivet flöde, rektangulär kanal

Följ härledningen, börjar på s. 114. Notera de sju antagandena på s.115. Ställ upp balansen för kontroll-volymen (p.s.s. som för flödet mellan plattorna). Slutar i: Hastigheten hos fluiden i x-led är störst i mitten och varierar alltså kvadratiskt m.a.p. y.

Kontrollvolym

!!!(!) =∆!ℎ!8!! (1−

4!!ℎ! )!

V=0

V=0

p=p0 p=pL

x=x0 x=xL

Tryckskillnaden driver flödet!


Tryck-drivet flöde, cylindrisk kanal

Härledning finns i avsnitt 2.7.3. sid. 118. Resultatet utnyttjas i S2.3.

!!!(!) =∆!!!4!" (1− !!

!!)!

25/01/16

8


S2.3 Catheter in a blood vessel

31

Evaluating the two boundary conditions results in the following two equations:

�

0 = −ΔpR

2

4µL+C2

µln R + C3 (S3.3.5a)

�

0 = −ΔpεR

2

4µL+C2

µlnεR + C3 (S3.3.5b)

Solving yields the following values for C2 and C3:

�

C2 = −ΔpR

21−ε

2( )4L ln ε( )

�

C3 =ΔpR

2

4µL−ΔpR

21−ε

2( ) ln R4L lnε

(S3.3.6a,b)

The velocity vz(R) is:

�

vz =ΔpR2

4µL1−

r2

R2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−ε2( )ln ε( )

ln r / R( )⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ (S3.3.7)

Note, that as ε goes to zero, the velocity profile approaches the parabolic profile for laminar flow in a

cylinder. The velocity profile is shown below for values of ε = 0.01, 0.1, 0.5. For all values of ε,

there is a significant distortion of the velocity profile due to the presence of the catheter.

To find the volumetric flow rate, compute the average velocity in the fluid between r and R and

compare to the value obtained in the absence of the catheter. The average velocity is:

�

v =1

πR21−ε2( )

vzr( )

εR

R

∫0

2π

∫ rdrdθ =2

R21−ε2( )

vzr( )rdr

εR

R

∫ (S3.3.8)

�

v =2

R21−ε2( )

ΔpR2

4µL1−

r2

R2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ −

1−ε2( )ln ε( )

ln r / R( )⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ rdr

εR

R

∫ (S3.3.9a,b)

Week 2. Conservation Relations and Momentum balances,

Dimension analysis and Scaling (Chapter 2 and 3)

Seminar 2. S2.1 Vector calculation

Prove the following vector relation:

∇ ∙ !!! = !! ∙ ∇!+ !∇ ∙ (!!)

S2.2 Constitutive models for fluids

In order to determine of the material properties, the following experiment is performed for three different fluids. Two parallel plates are separated by a thin gap of thickness H containing an unknown fluid. A known shear stress !!is applied to the upper plate, and the steady-state velocity of the plate is !!. Next the experiment is repeated for the same fluid but the shear stress is first doubled and finally increased by a factor four. For each case, the velocity V is determined as listed below. For each case, determine whether the velocities describe a Newtonian fluid, a Bingham plastic or a power law fluid. If the fluid is a Bingham plastic, determine the yield stress !!in the terms of !!. If the fluid is a power law fluid, determine the value of n.

Fluid 2!! 4!!

1 ! = 2!! ! = 4!! 2 ! = 3!! ! = 7!! 3 ! = 4!! ! = 16!!

S2.3 Catheter in a blood vessel

Catheters that are placed in arteries and veins will alter the flow through the vessel. Consider a catheter of radius εR that is placed in a blood vessel of radius R. Assume that the catheter is placed concentric in the vessel and determine the reduction in flow rate relative to a vessel of the same radius without a catheter. Assume steady flow and assume that the pressure drop is the same with and without the catheter. Treat the blood as a Newtonian fluid.

Derive how the catheter influences the flow!

Answers

Week 1.

Seminar 1. S1.1 For men: 98.5% in arterial and 99.1% in venous; for women 98.2% in arterial and

99.1% in venous. Note: almost all oxygen is transported as bounded to the hemoglobin in the erythrocytes!

S1.2 O2: 5.58 cm3 per 100 cm3 ; CO2: 2.18 cm3 per 100 cm3. Note: the exchange (in volume) of oxygen is bigger than the exchange of carbon dioxide!

Exercise 1. E1.1 Order Volume

cm3 Surface area

cm2 Cumulative

volume cm3

Cumulative surface area

cm2 1 0.0158 26.27 0.0158 26.27 2 0.03885 35.32 0.05 61.59 3 0.05738 31.44 0.11 92.99 4 0.09219 30.23 0.20 123.21 5 0.12788 26.64 0.33 149.86 6 0.20487 23.28 0.54 173.14 7 0.20733 15.56 0.74 188.70 8 0.24132 11.03 0.99 199.73 9 0.31010 8.17 1.30 207.89

10 0.23046 3.71 1.53 211.60 11 0.50671 3.99 2.03 215.59

E1.2 a) 18.2% (men), 16.7% (women); b) 1.249 l/min (almost the same as in the arterie!);

c) in the artery 5.18 mmole/l and in the vein 4.92 mmole/l (not so much difference!)

Week 2.

Seminar 2. S2.1 QED! (Quod erat demonstrandum – vilket skulle bevisas) S2.2 Fluid 1: Newtonian; fluid 2: Bingham plastic and !! = !

! !!; fluid 3: power law fluid and

! = !!

S2.3 !! = ∆!!!!!" 1− !!

!! − !!!!!" ! ln!(!!)

epsilon0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Red

uced

Q

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8Reduction in flow rate depending on the catheter size


Idag:

•  Koordinatsystem, hastighet, acceleration, strömlinjer •  Bevarandelagar på differentiell form •  Krafter, skjuvspänningar, randvärden •  Konstitutiva samband: Newtonsk-, icke newtonsk •  Bevarande av rörelsemängd gav uttryck för

hastigheten vid flöde mellan två parallella plattor, tryck-drivet flöde rektangulär kanal och cylindrisk kanal

•  Blodreologi (sparas till i morgon)

Obs! 2.4.2, 2.4.3 och 2.5.3 Hoppas över!

Obs! 2.7.5 Inlämningsuppgift 1!

Documents

Transportfenomen i människokroppen