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CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006 Transformada de Transformada de Laplace Laplace

Trasf.laplace Fracciones Parciales

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  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de Transformada de LaplaceLaplace

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de Laplace

    [ ]Laplace de compleja le variabjs

    dte)t(f)s(F)t(f0

    st

    +=== L

    f(t) funcin temporal

    f(t) = 0 para t < 0t

    f(t)

    [ ] [ ])s(G)s(F

    )t(g)t(f)t(gf(t) si

    ===LL Cambio de

    variable t s

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de Laplace

    Si la ecuacin algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solucin de la ecuacin diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la tcnica de expansin en fracciones parciales.

    La Transformada de Laplace es un mtodo operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

    Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s.

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de Laplace

    [ ] [ ])s(G)s(F

    )t(g)t(f)t(gf(t) si

    ===LL

    Cambio de variable t s

    Resolucin del problema en el dominio s X(s)

    Interpretacin y expresin de la solucin en el dominio t

    Cambio de variable s t

    [ ]

    ==j

    j

    st1 dse)s(X)s(X)t(x L

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace

    Tomar (TABLA)

    Tomar -1(TABLA)

    PASO 4

    PASO 1

    Factorizar D(s)

    Descomponer en fracciones simples

    PASO 3

    Resolver

    Y(s)=N(s) / D(s)

    PASO 2

    Solucin

    y (t)

    Cond. Inic.Ec.Dif.Ord.

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades de la T. Laplace (I)

    [ ]

    s)(f

    s)s(Fdt)t(f

    dt)(df)(sf)s(Fs

    dt)t(fd)(f)s(sF

    dt)t(df

    )s(bG)s(aF)t(bg)t(af

    )(t +=

    =

    =

    +=+

    0

    000

    1

    0

    22

    2

    L

    LL

    L

    Linealidad

    Diferenciacin en el dominio del tiempo

    [ ] ==0

    stdte)t(f)s(F)t(fL

    Integracin en el dominio del tiempo

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades de la T. Laplace (II)

    )s(sFlim)t(flim0st

    =

    [ ] )s(Fe)dt(f sd=- -L Desplazamiento en el tiempo

    Teorema del valor final

    Teorema de convolucin

    NOTA: Este teorema slo es vlido si s F(s) no tiene polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.Es vlido solamente si, existe lim f tt ( )

    Teorema del valor inicial

    sF(s)limf(t)lims0t

    =

    )s(G)s(Fd)t(g)(f0

    =

    -tL

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades de la T. Laplace (III)Transformacin de variables. Cambio de escala

    Traslacin en el campo complejo

    ( )[ ] s)F(t/fL =( )[ ] ( ) s/F1tfL =

    : Constante positiva

    [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 =

    (t)fe(t)f 1t2 m=: Constante

    Diferenciacin en el campo complejo

    [ ]ds

    dF(s)tf(t)L =

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades I

    [ ][ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

    )s(bG)s(aF)t(bg)t(af

    0

    st

    0

    st

    0

    st +=+=+=++=+

    LL

    [ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

    )t(dfdt

    )t(df

    dtsedu)t(fveudtdt

    )t(dfdvduvuvdvu

    dtedt

    )t(dfdt

    )t(df)0(f)s(sFdt

    )t(df

    0

    st

    00

    stst

    stst

    0

    st

    +=+==

    =====

    =

    =

    L

    LL

    [ ] ==0

    stdte)t(f)s(F)t(fL

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades II[ ][ ]

    )s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

    t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

    )s(Fe)dt(f

    sd

    0

    ssd

    0

    ssd

    d

    )d(s

    0

    st

    0

    st

    sd

    +

    ====

    =======

    L

    L

    )(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

    )0(fdttd

    )t(fd)0(fdtetd

    )t(fdlim)s(sFlim

    )0(fdtetd

    )t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

    0

    00

    st

    0s0s

    0

    st

    0st

    =+=+=

    =+=+=

    +==

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Propiedades III

    )s(G)s(Fde)(gde)(f

    de)(gde)(fde)(gde)(f

    dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

    t;0tt

    dted)t(g)(fd)t(g)(f

    )s(G)s(Fd)t(g)(f

    0

    s

    0

    s

    s

    0

    ss

    0

    s

    0

    )(s

    0 0

    st

    0

    st

    0

    0

    st

    00

    0

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =====

    =

    =

    +

    L

    L

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Transformada de Laplace de funciones bsicas (I)

    [ ]sk

    sekdtkedte)t(f)s(F)t(f

    0

    st

    0

    st

    0

    st =====

    L

    f(t) funcin escalnf(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0

    t

    f(t)=k

    f(t) funcin rampaf(t) = 0 para t < 0f(t) = kt para t >= 0

    t

    f(t)=kt

    20

    sKdte.Kt)s(F st ==

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    t

    + +=== 0 0t)s(stt

    sKdteKdte.e.K)s(F

    f(t) funcin exponencialf(t) = 0 para t < 0f(t) = ke-t para t 0

    Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes

    Transformada de Laplace de funciones bsicas (II)

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Tabla de las transformadas ms comunes

    t n e-t

    e-t

    t n

    1

    1Impulso unitario

    F(s)f(t)

    s1

    1ns!n+

    +s1

    1++ n)s(!n

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Tabla de las transformadas ms comunes

    wtA sen. A ws w

    . 2 2+ A wt.cos A s

    s w. 2 2+

    A e wtat. sen A

    ws a w( )+ +2 2

    A e wtat. cos A

    s as a w

    ++ +( )2 2

    f(t) F(s)

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    F s N sD s

    N ss p s p s p s pn

    ( ) ( )( )

    ( )( )( )( )...( )

    = = + + + +1 2 3

    En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuacin diferencial de coeficientes constantes, la funcin F(s) tiene normalmente la forma:

    s ps p

    s pn

    = =

    =

    1

    2

    ...son las races del polinomio D(s)donde:

    Estas races podrn ser: reales simples, reales mltiples, complejas simples, complejas mltiples.

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    RAICES REALES SIMPLES:

    - La funcin F(s) se podr descomponer en la siguiente forma:

    - Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace

    ==

    +=++++++=+==

    n

    1i i

    i

    n

    n

    2

    2

    1

    1n

    1ii

    psA

    psA

    ...ps

    Aps

    A

    )p(s

    N(s)D(s)N(s)F(s)

    [ ]

    +++

    ++

    +== n

    n

    psA

    psA

    psA

    sFtf 1-2

    21-

    1

    11-1- ....)()(

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    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    RAICES REALES SIMPLES:

    - Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:

    - La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:

    ipsiisFpsA =+= )()(

    =

    =n

    i

    tpi

    ieAtf1

    .)(ip- polo del residuo

    polo

    i

    i

    Ap

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    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 1:Hallar la antitrasformada de Laplace de:

    SOLUCIONLa funcin F(s) la podemos poner en la forma:

    A continuacin calculamos los valores de Ai

    Por tanto la transformada inversa de Laplace es:

    ( ) ( )( ) ( ) ( )652

    43)( +++++=

    sssssssF

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652

    43)( 3210 ++++++=+++++=

    sA

    sA

    sA

    sA

    sssssssF

    41

    6s6)F(s)(s3152

    5s5)F(s)(s2A

    121

    2s2)F(s)(s1A51

    0sF(s)s0A

    ==+===+=

    ==+====

    A

    f t e e et t t( ) = + 15

    112

    215

    14

    2 5 6

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    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 2:Hallar la antitransformada de Laplace de:

    SOLUCION

    Vamos a calcular los Ai de otra forma:

    Igualando los coeficientes:

    Por tanto la solucin es:

    )3()1()2(10)( ++

    +=ss

    ssF

    31)3()1()2(10)( 21 +++=++

    +=S

    AS

    Ass

    ssF

    212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=++++=+

    55320

    1021

    21

    21 ==

    +=+=

    AAAA

    AA

    tt eetf 355)( +=

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    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    RAICES REALES MLTIPLES:

    - Los coeficientes A1...An se calculan segn lo visto anteriormente y los ar de la siguiente manera:

    ri

    r

    iin

    n

    ri

    psa

    psa

    psa

    psA

    psA

    pspspssN

    sDsNsF

    )(...

    )()()(...

    )(

    ))...()(()(

    )()()(

    221

    1

    1

    21

    +++++++++=

    =+++==

    i

    ii

    ps

    ri1r

    1r

    1

    ps

    ri1r

    ps

    rir

    )ps()s(D)s(N

    dsd

    )!1r(1a

    )ps()s(D)s(N

    dsda)ps(

    )s(D)s(Na

    =

    =

    =

    +=

    +=+=

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    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    RAICES REALES MLTIPLES:

    - Teniendo en cuenta que:

    - Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) ser de la forma:

    -1 11

    1

    ( ) ( )!s pt

    re

    ir

    rp ti

    +

    =

    [ ]f t F s A e A e A ea

    rt

    ar

    t a t a e

    p t p tn

    p t

    r r r r p t

    n

    i

    ( ) ( ) . . ... .

    ( )! ( )!... .

    = = + + + ++ + + + +

    -1 1 21 1 2

    2 1

    1 2

    1 2

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 3:

    Hallar la antitransformada de Laplace de:

    SOLUCIN

    Lo ponemos en la forma:

    F s ss s s

    ( )( ) ( )( )

    = ++ + +1

    2 4 32

    2)3s)(s(FA4

    3)4s)(s(FA

    3sA

    4sA

    2sa

    )2s(a

    )3s)(4s()2s(1s)s(F

    3s2

    4s1

    2112

    22

    =+==+=

    +++++++=++++=

    =

    =

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 3:

    - Por lo tanto la solucin ser:

    t2t3t4 et21

    45e2e

    43)t(f

    +=

    45

    12s7s1s

    dsd)2s)(s(F

    dsda

    21)2s)(s(Fa

    2s2

    2s

    21

    2s

    22

    =

    ++

    +=+==+=

    ==

    =

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 4:

    Hallar la antitransformada de Laplace de:

    SOLUCIN

    F s s ss

    ( )( )

    = + ++2

    32 3

    1

    2C;0B;1ACBA3

    BA22A1

    C)1s(B)1s2s(A3s2sC)1s(B)1s(A3s2s

    )1S(C

    )1S(B

    1SA

    )1s(3s2s)s(F

    22

    22

    323

    2

    ===

    ++=+=

    =

    +++++=++++++=++

    +++++=+++=

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 4:

    Por lo tanto la solucin queda:

    Y finalmente, la funcin temporal es:

    F ss s

    ( )( )

    = + + +1

    12

    1 3

    )t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=+=

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:

    - Supongamos el denominador de 2 orden cuyas races son: +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:

    1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyas races son

    complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.

    2. Obtener los valores de A y B

    3. Descomponer y trasformar la fraccin en transformadas de Laplacecuya

    antitransformada est en las tablas.

    012

    2 asasaBAs++

    +

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 5:

    - Hallar la antitransformada de Laplace de la funcin:

    SOLUCIN

    Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B y C:

    )52(3)( 2 ++= ssssF

    52)52(3)( 22 ++

    ++=++= ssCsB

    sA

    ssssF

    56

    53

    5353

    200

    ==

    ==+=

    +=C

    B

    AACA

    BA

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Mtodo de reduccin en fracciones parciales

    EJEMPLO 5:

    - Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:

    - Y la solucin ser:

    ++++

    +=

    +++= 22222 2)1(

    221

    2)1(11

    53

    5221

    53)(

    sss

    ssss

    ssF

    = tetetf tt 2sen212cos1

    53)(

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Resolucin de ecuaciones diferenciales

    Ejemplo:

    tdtdtd

    =

    u.udLyydydL

    0tparae)t(u;td

    )(yd;)(yu.tdudy

    tdyd

    tdyd t

    = ++

    ===++

    502

    0000502

    2

    2

    22

    2

    )s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 =++

    2s1U(s) += 2)1)(s2s(s

    2.5Y(s) 2 +++=

    [ ])s(YL)t(y == 12)(s1)(s

    2.5Y(s) 2 ++=

    ...=

    ++

    2)(s1)(s

    2.5L 21

    dominio t dominio s dominio t

  • CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006

    Descomposicin en fracciones simples

    ( )( ) ( )222

    2

    )2s(1s)2s(c

    )2s()1s()2s)(1s(b

    )2s(1s1sa

    ++++++

    ++++++

    ++ ( )21sc

    1sb

    2sa +++

    ( ) ttt221 te5.2e5.2e5.21s5.2

    1s5.2

    2s5.2L)t(y +=

    +++++

    =

    [ ]1 )s(YL)t(y ==

    ++

    2)(s1)(s

    2.5L 21

    =++

    2)(s1)(s2.52

    =++

    2)(s1)(s2.52

    0ba =+0cb2a =++ 3

    2.52c2ba =++-2.5a = 2.5b = -2.5c =

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    PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MS COMUNES Linealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)

    Impulso unitario 1 Diferenciacin en el dominio del tiempo

    dt

    dfsfsFsdt

    tfd

    fssFdt

    tdf

    )0()0()()(

    )0()()(

    22

    2

    =

    =

    L

    L

    )0(...)0('

    )0()()(

    102

    1

    =

    nn

    nnn

    n

    fsfs

    fssFsdt

    tfdL

    1 s1

    Integracin en el dominio del tiempo s

    fssFdttf

    t )0()()()1(

    0

    +=

    L [ ] )0(1)()( )(

    11

    )( +=

    + = in

    iinn

    n fss

    sFtfL nt 1!+ns

    n

    Desplazamiento en el tiempo [ ] )()( sFedtf sd=L ate as +

    1

    Teorema del valor inicial

    sF(s)limf(t)lims0t = atnet 1)(

    !++ nas

    n

    Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim 0st = Asenwt 22 wswA +

    Teorema de convolucin )()()()(

    0

    sGsFdtgtf =

    L Acoswt 22 ws sA + ( )[ ] s)F(t/fL = Transformacin de

    variables. Cambio de escala

    ( )[ ] ( ) s/F

    1tfL = = constante positiva senwtAeat 22)( was

    wA ++

    Traslacin en el campo complejo

    Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 = siendo = constante, entonces (t)fe(t)f 1

    t2

    m= wtAeat cos 22)( was

    asA ++

    +

    Diferenciacin en el campo complejo [ ] ds

    dF(s)tf(t)L =