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CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Transformada de LaplaceLaplace
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
[ ]Laplace de compleja le variabjs
dte)t(f)s(F)t(f0
st
+=== L
f(t) funcin temporal
f(t) = 0 para t < 0t
f(t)
[ ] [ ])s(G)s(F
)t(g)t(f)t(gf(t) si
===LL Cambio de
variable t s
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
Si la ecuacin algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solucin de la ecuacin diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la tcnica de expansin en fracciones parciales.
La Transformada de Laplace es un mtodo operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s.
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de Laplace
[ ] [ ])s(G)s(F
)t(g)t(f)t(gf(t) si
===LL
Cambio de variable t s
Resolucin del problema en el dominio s X(s)
Interpretacin y expresin de la solucin en el dominio t
Cambio de variable s t
[ ]
==j
j
st1 dse)s(X)s(X)t(x L
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace
Tomar (TABLA)
Tomar -1(TABLA)
PASO 4
PASO 1
Factorizar D(s)
Descomponer en fracciones simples
PASO 3
Resolver
Y(s)=N(s) / D(s)
PASO 2
Solucin
y (t)
Cond. Inic.Ec.Dif.Ord.
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Propiedades de la T. Laplace (I)
[ ]
s)(f
s)s(Fdt)t(f
dt)(df)(sf)s(Fs
dt)t(fd)(f)s(sF
dt)t(df
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
)(t +=
=
=
+=+
0
000
1
0
22
2
L
LL
L
Linealidad
Diferenciacin en el dominio del tiempo
[ ] ==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
Integracin en el dominio del tiempo
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Propiedades de la T. Laplace (II)
)s(sFlim)t(flim0st
=
[ ] )s(Fe)dt(f sd=- -L Desplazamiento en el tiempo
Teorema del valor final
Teorema de convolucin
NOTA: Este teorema slo es vlido si s F(s) no tiene polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.Es vlido solamente si, existe lim f tt ( )
Teorema del valor inicial
sF(s)limf(t)lims0t
=
)s(G)s(Fd)t(g)(f0
=
-tL
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Propiedades de la T. Laplace (III)Transformacin de variables. Cambio de escala
Traslacin en el campo complejo
( )[ ] s)F(t/fL =( )[ ] ( ) s/F1tfL =
: Constante positiva
[ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 =
(t)fe(t)f 1t2 m=: Constante
Diferenciacin en el campo complejo
[ ]ds
dF(s)tf(t)L =
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Propiedades I
[ ][ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
0
st
0
st
0
st +=+=+=++=+
LL
[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt
)t(dfdt
)t(df
dtsedu)t(fveudtdt
)t(dfdvduvuvdvu
dtedt
)t(dfdt
)t(df)0(f)s(sFdt
)t(df
0
st
00
stst
stst
0
st
+=+==
=====
=
=
L
LL
[ ] ==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Propiedades II[ ][ ]
)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f
t;d0tdtdte)dt(f)dt(f
)s(Fe)dt(f
sd
0
ssd
0
ssd
d
)d(s
0
st
0
st
sd
+
====
=======
L
L
)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f
)0(fdttd
)t(fd)0(fdtetd
)t(fdlim)s(sFlim
)0(fdtetd
)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim
0
00
st
0s0s
0
st
0st
=+=+=
=+=+=
+==
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Propiedades III
)s(G)s(Fde)(gde)(f
de)(gde)(fde)(gde)(f
dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f
t;0tt
dted)t(g)(fd)t(g)(f
)s(G)s(Fd)t(g)(f
0
s
0
s
s
0
ss
0
s
0
)(s
0 0
st
0
st
0
0
st
00
0
=
=
=
=
=
=
=
=
=====
=
=
+
L
L
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Transformada de Laplace de funciones bsicas (I)
[ ]sk
sekdtkedte)t(f)s(F)t(f
0
st
0
st
0
st =====
L
f(t) funcin escalnf(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0
t
f(t)=k
f(t) funcin rampaf(t) = 0 para t < 0f(t) = kt para t >= 0
t
f(t)=kt
20
sKdte.Kt)s(F st ==
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
t
+ +=== 0 0t)s(stt
sKdteKdte.e.K)s(F
f(t) funcin exponencialf(t) = 0 para t < 0f(t) = ke-t para t 0
Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes
Transformada de Laplace de funciones bsicas (II)
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Tabla de las transformadas ms comunes
t n e-t
e-t
t n
1
1Impulso unitario
F(s)f(t)
s1
1ns!n+
+s1
1++ n)s(!n
CIPQ Marga Marcos, Itziar Cabanes, Eva Portillo, 2006
Tabla de las transformadas ms comunes
wtA sen. A ws w
. 2 2+ A wt.cos A s
s w. 2 2+
A e wtat. sen A
ws a w( )+ +2 2
A e wtat. cos A
s as a w
++ +( )2 2
f(t) F(s)
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
F s N sD s
N ss p s p s p s pn
( ) ( )( )
( )( )( )( )...( )
= = + + + +1 2 3
En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuacin diferencial de coeficientes constantes, la funcin F(s) tiene normalmente la forma:
s ps p
s pn
= =
=
1
2
...son las races del polinomio D(s)donde:
Estas races podrn ser: reales simples, reales mltiples, complejas simples, complejas mltiples.
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
RAICES REALES SIMPLES:
- La funcin F(s) se podr descomponer en la siguiente forma:
- Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
==
+=++++++=+==
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1n
1ii
psA
psA
...ps
Aps
A
)p(s
N(s)D(s)N(s)F(s)
[ ]
+++
++
+== n
n
psA
psA
psA
sFtf 1-2
21-
1
11-1- ....)()(
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
RAICES REALES SIMPLES:
- Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:
- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:
ipsiisFpsA =+= )()(
=
=n
i
tpi
ieAtf1
.)(ip- polo del residuo
polo
i
i
Ap
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 1:Hallar la antitrasformada de Laplace de:
SOLUCIONLa funcin F(s) la podemos poner en la forma:
A continuacin calculamos los valores de Ai
Por tanto la transformada inversa de Laplace es:
( ) ( )( ) ( ) ( )652
43)( +++++=
sssssssF
( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652
43)( 3210 ++++++=+++++=
sA
sA
sA
sA
sssssssF
41
6s6)F(s)(s3152
5s5)F(s)(s2A
121
2s2)F(s)(s1A51
0sF(s)s0A
==+===+=
==+====
A
f t e e et t t( ) = + 15
112
215
14
2 5 6
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 2:Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCION
Vamos a calcular los Ai de otra forma:
Igualando los coeficientes:
Por tanto la solucin es:
)3()1()2(10)( ++
+=ss
ssF
31)3()1()2(10)( 21 +++=++
+=S
AS
Ass
ssF
212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=++++=+
55320
1021
21
21 ==
+=+=
AAAA
AA
tt eetf 355)( +=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
RAICES REALES MLTIPLES:
- Los coeficientes A1...An se calculan segn lo visto anteriormente y los ar de la siguiente manera:
ri
r
iin
n
ri
psa
psa
psa
psA
psA
pspspssN
sDsNsF
)(...
)()()(...
)(
))...()(()(
)()()(
221
1
1
21
+++++++++=
=+++==
i
ii
ps
ri1r
1r
1
ps
ri1r
ps
rir
)ps()s(D)s(N
dsd
)!1r(1a
)ps()s(D)s(N
dsda)ps(
)s(D)s(Na
=
=
=
+=
+=+=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
RAICES REALES MLTIPLES:
- Teniendo en cuenta que:
- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) ser de la forma:
-1 11
1
( ) ( )!s pt
re
ir
rp ti
+
=
[ ]f t F s A e A e A ea
rt
ar
t a t a e
p t p tn
p t
r r r r p t
n
i
( ) ( ) . . ... .
( )! ( )!... .
= = + + + ++ + + + +
-1 1 21 1 2
2 1
1 2
1 2
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 3:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIN
Lo ponemos en la forma:
F s ss s s
( )( ) ( )( )
= ++ + +1
2 4 32
2)3s)(s(FA4
3)4s)(s(FA
3sA
4sA
2sa
)2s(a
)3s)(4s()2s(1s)s(F
3s2
4s1
2112
22
=+==+=
+++++++=++++=
=
=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 3:
- Por lo tanto la solucin ser:
t2t3t4 et21
45e2e
43)t(f
+=
45
12s7s1s
dsd)2s)(s(F
dsda
21)2s)(s(Fa
2s2
2s
21
2s
22
=
++
+=+==+=
==
=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 4:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIN
F s s ss
( )( )
= + ++2
32 3
1
2C;0B;1ACBA3
BA22A1
C)1s(B)1s2s(A3s2sC)1s(B)1s(A3s2s
)1S(C
)1S(B
1SA
)1s(3s2s)s(F
22
22
323
2
===
++=+=
=
+++++=++++++=++
+++++=+++=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 4:
Por lo tanto la solucin queda:
Y finalmente, la funcin temporal es:
F ss s
( )( )
= + + +1
12
1 3
)t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=+=
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:
- Supongamos el denominador de 2 orden cuyas races son: +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:
1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyas races son
complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.
2. Obtener los valores de A y B
3. Descomponer y trasformar la fraccin en transformadas de Laplacecuya
antitransformada est en las tablas.
012
2 asasaBAs++
+
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 5:
- Hallar la antitransformada de Laplace de la funcin:
SOLUCIN
Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B y C:
)52(3)( 2 ++= ssssF
52)52(3)( 22 ++
++=++= ssCsB
sA
ssssF
56
53
5353
200
==
==+=
+=C
B
AACA
BA
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Mtodo de reduccin en fracciones parciales
EJEMPLO 5:
- Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:
- Y la solucin ser:
++++
+=
+++= 22222 2)1(
221
2)1(11
53
5221
53)(
sss
ssss
ssF
= tetetf tt 2sen212cos1
53)(
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Resolucin de ecuaciones diferenciales
Ejemplo:
tdtdtd
=
u.udLyydydL
0tparae)t(u;td
)(yd;)(yu.tdudy
tdyd
tdyd t
= ++
===++
502
0000502
2
2
22
2
)s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 =++
2s1U(s) += 2)1)(s2s(s
2.5Y(s) 2 +++=
[ ])s(YL)t(y == 12)(s1)(s
2.5Y(s) 2 ++=
...=
++
2)(s1)(s
2.5L 21
dominio t dominio s dominio t
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Descomposicin en fracciones simples
( )( ) ( )222
2
)2s(1s)2s(c
)2s()1s()2s)(1s(b
)2s(1s1sa
++++++
++++++
++ ( )21sc
1sb
2sa +++
( ) ttt221 te5.2e5.2e5.21s5.2
1s5.2
2s5.2L)t(y +=
+++++
=
[ ]1 )s(YL)t(y ==
++
2)(s1)(s
2.5L 21
=++
2)(s1)(s2.52
=++
2)(s1)(s2.52
0ba =+0cb2a =++ 3
2.52c2ba =++-2.5a = 2.5b = -2.5c =
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PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MS COMUNES Linealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)
Impulso unitario 1 Diferenciacin en el dominio del tiempo
dt
dfsfsFsdt
tfd
fssFdt
tdf
)0()0()()(
)0()()(
22
2
=
=
L
L
)0(...)0('
)0()()(
102
1
=
nn
nnn
n
fsfs
fssFsdt
tfdL
1 s1
Integracin en el dominio del tiempo s
fssFdttf
t )0()()()1(
0
+=
L [ ] )0(1)()( )(
11
)( +=
+ = in
iinn
n fss
sFtfL nt 1!+ns
n
Desplazamiento en el tiempo [ ] )()( sFedtf sd=L ate as +
1
Teorema del valor inicial
sF(s)limf(t)lims0t = atnet 1)(
!++ nas
n
Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim 0st = Asenwt 22 wswA +
Teorema de convolucin )()()()(
0
sGsFdtgtf =
L Acoswt 22 ws sA + ( )[ ] s)F(t/fL = Transformacin de
variables. Cambio de escala
( )[ ] ( ) s/F
1tfL = = constante positiva senwtAeat 22)( was
wA ++
Traslacin en el campo complejo
Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 = siendo = constante, entonces (t)fe(t)f 1
t2
m= wtAeat cos 22)( was
asA ++
+
Diferenciacin en el campo complejo [ ] ds
dF(s)tf(t)L =